H v tờn:Lp:.

Chủ đề phơng trình bậc hai một ẩn
A. Kiến thức cần nhớ
I. Định nghĩa : Phơng trình bậc hai một ẩn là phơng trình có dạng
ax 2 + bx + c = 0

trong đó x là ẩn; a, b, c là những số cho trớc gọi là các hệ số và a 0
II. Công thức nghiệm của phơng trình bậc hai :
Phơng trình bậc hai ax 2 + bx + c = 0(a 0)
= b 2 4ac

*) Nếu > 0 phơng trình có hai nghiệm phân biệt :
x1 =

b +
b
; x2 =
2a
2a

*) Nếu = 0 phơng trình có nghiệm kép :
x1 = x 2 =

b
2a

*) Nếu < 0 phơng trình vô nghiệm.
III. Công thức nghiệm thu gọn :
Phơng trình bậc hai ax 2 + bx + c = 0(a 0) và b = 2b '
' = b '2 ac

*) Nếu ' > 0 phơng trình có hai nghiệm phân biệt :
x1 =

b '+ '
b ' '
; x2 =
a
a

*) Nếu ' = 0 phơng trình có nghiệm kép :
x1 = x 2 =

b '
a

*) Nếu ' < 0 phơng trình vô nghiệm.
IV. Hệ thức Vi - et và ứng dụng :
1. Nếu x1; x2 là hai nghiệm của phơng trình ax 2 + bx + c = 0(a 0) thì :
b

x1 + x 2 = a

x x = c
1 2 a


H v tờn:Lp:.

2. Muốn tìm hai số u và v, biết u + v = S, uv = P, ta giải phơng trình :

x 2 Sx + P = 0

(Điều kiện để có u và v là S2 4P 0 )
3. Nếu a + b + c = 0 thì phơng trình ax 2 + bx + c = 0(a 0) có hai nghiệm :
c
a
2
Nếu a - b + c = 0 thì phơng trình ax + bx + c = 0(a 0) có hai nghiệm :
c
x1 = 1; x 2 =
a
x1 = 1; x 2 =

C. Các dạng bài hay gặp trong bộ môn Toán
1. Phơng trình bậc hai dạng khuyết :
a/ Phơng trình bậc hai khuyết hạng tử bậc nhất :
b/ Phơng trình bậc hai khuyết hạng tử tự do :
Phơng pháp giải : Phân tích đa thức vế trái thành nhân tử bằng phơng pháp đặt nhân tử
chung, đa về phơng trình tích rồi giải.
2. Phơng trình bậc hai đầy đủ :
Phơng pháp giải :
- Sử dụng công thức nghiệm hoặc công thức nghiệm thu gọn để giải.
- Sử dụng quy tắc nhẩm nghiệm để tính nghiệm với một số phơng trình đặc biệt.
3. Phơng trình đa đợc về phơng trình bậc hai :
a/ Phơng trình trùng phơng : ax 4 + bx 2 + c = 0(a 0)
Phơng pháp giải : Đặt t = x2( t 0 ) đa về dạng : at 2 + bt + c = 0
b/ Phơng trình chứa ẩn ở mẫu :
Phơng pháp giải :
- Bớc 1. Tìm điều kiện xác định của phơng trình.
- Bớc 2. Quy đồng mẫu thức hai vế rồi khử mẫu.

- Bớc 3. Giải phơng trình vừa nhận đợc.
- Bớc 4. Trong các giá trị tìm đợc của ẩn, loại các giá trị không thỏa mãn điều kiện xác
định, các giá trị thỏa mãn điều kiện xác định là nghiệm của phơng trình đã cho.
c/ Phơng trình tích.
4. Không giải phơng trình tính giá trị của biểu thức nghiệm (áp dụng định lý Vi-et)
Tỡm iu kin tng quỏt phng trỡnh ax2+bx+c = 0 (a 0) cú:
1. Cú nghim (cú hai nghim) 0
2. Vụ nghim < 0
3. Nghim duy nht (nghim kộp, hai nghim bng nhau) = 0


H v tờn:Lp:.

4. Cú hai nghim phõn bit (khỏc nhau) > 0
5. Hai nghim cựng du 0 v P > 0
6. Hai nghim trỏi du > 0 v P < 0 a.c < 0
7. Hai nghim dng(ln hn 0) 0; S > 0 v P > 0
8. Hai nghim õm(nh hn 0) 0; S < 0 v P > 0
9. Hai nghim i nhau 0 v S = 0
10.Hai nghim nghch o nhau 0 v P = 1
11. Hai nghim trỏi du v nghim õm cú giỏ tr tuyt i ln hn a.c < 0 v S < 0
12. Hai nghim trỏi du v nghim dng cú giỏ tr tuyt i ln hn
a.c < 0 v S > 0
( ú: S = x1+ x2 =

b
c
; P = x1.x2 = )
a
a


Bài 1. Giải các phơng trình sau :
a / 2x 2 8 = 0
b / 3x 2 5x = 0
c / 2x 2 + 3x + 5 = 0
d / x 4 + 3x 2 4 = 0
e / x 3 + 3x 2 2x 6 = 0
x+2
6
f/
+3=
x 5
2x

Bài 2. Cho phơng trình bậc hai ẩn x, tham số m : x 2 + mx + m + 3 = 0 (1)
a/ Giải phơng trình với m = - 2.
b/ Gọi x1; x2 là các nghiệm của phơng trình. Tính x12 + x 22 ; x13 + x 32 theo m.
c/ Tìm m để phơng trình có hai nghiệm x1; x2 thỏa mãn : x12 + x 22 = 9 .
d/ Tìm m để phơng trình có hai nghiệm x1; x2 thỏa mãn : 2x1 + 3x2 = 5.
e/ Tìm m để phơng trình có nghiệm x1 = - 3. Tính nghiệm còn lại.
f/ Tìm m để phơng trình có hai nghiệm trái dấu.


H v tờn:Lp:.

g/ Lập hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm của phơng trình không phụ thuộc vào giá trị của m.
d/ Theo phần b : Phơng trình có nghiệm x1; x 2 0
x1 + x 2 = m
x1x 2 = m + 3


Khi đó theo định lý Vi-et, ta có :

(a)
(b)

Hệ thức : 2x1 + 3x2 = 5
(c)
Từ (a) và (c) ta có hệ phơng trình :
x1 + x 2 = m
3x + 3x 2 = 3m
x = 3m 5
x = 3m 5
1
1
1

2x1 + 3x 2 = 5
2x1 + 3x 2 = 5
x 2 = m x1
x 2 = 2m + 5
x1 = 3m 5
vào (b) ta có phơng trình :
x 2 = 2m + 5

Thay

(3m 5)(2m + 5) = m + 3
6m 2 15m 10m 25 = m + 3
6m 2 26m 28 = 0
3m 2 + 13m + 14 = 0

(m) = 132 4.3.14 = 1 > 0

=> phơng trình có hai nghiệm phân biệt :
13 + 1
= 2
2.3
13 1
7
m2 =
=
2.3
3
m1 =

Thử lại :

+) Với m = 2 = 0
+) Với m =

7
25
=
>0
3
9

=> thỏa mãn.
=> thỏa mãn.

7

phơng trình có hai nghiệm x1; x2 thỏa mãn : 2x1 + 3x2 = 5.
3
e/ Phơng trình (1) có nghiệm x1 = 3 (3) 2 + m.(3) + m + 3 = 0 2m + 12 = 0 m = 6

Vậy với m = 2; m =

Khi đó : x1 + x 2 = m x 2 = m x1 x 2 = 6 (3) x 2 = 3
Vậy với m = 6 thì phơng trình có nghiệm x1 = x2 = - 3.
f/ Phơng trình (1) có hai nghiệm trái dấu ac < 0 1.(m + 3) < 0 m + 3 < 0 m < 3
Vậy với m < - 3 thì phơng trình có hai nghiệm trái dấu.
g/ Giả sử phơng trình có hai nghiệm x1; x2. Khi đó theo định lí Vi-et, ta có :
x1 + x 2 = m
m = x1 x 2

x1 x 2 = x1x 2 3

x1x 2 = m + 3
m = x1 x 2 3

BI TP:
Bài 1. Giải các phơng trình :


H v tờn:Lp:.

a / x 2 2 5x + 4 = 0
b / x 4 29x 2 + 100 = 0
(1)
Bài 2: Cho phơng trình ẩn x, tham số m : mx 2 5x (m + 5) = 0
a/ Giải phơng trình (1) khi m = 5.

b/ Chứng tỏ rằng phơng trình (1) luôn có nghiệm với mọi giá trị của m.
c/ Trong trờng hợp phơng trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1; x2. Hãy tính theo m giá trị
của biểu thức A = 16x1x 2 3(x12 + x 22 ). Tìm m để A = 0.
(1)
Bài 8. Cho phơng trình ẩn x, tham số m : (m + 3)x 2 2(m 2 + 3m)x + m3 + 12 = 0
a/ Tìm số nguyên m nhỏ nhất sao cho phơng trình (1) có hai nghiệm phân biệt.
b/ Gọi x1; x2 là hai nghiệm của phơng trình (1). Tìm số nguyên m lớn nhất sao cho x12 + x 22 là
một số nguyên.
Bi 3:Cho phơng trình bậc hai ẩn x, m là tham số :
x 2 2(m 3) x + 2m 7 = 0

(1)

a/ Chứng tỏ rằng phơng trình (1) luôn có nghiệm với mọi m.
1

1

b/ Gọi hai nghiệm của phơng trình (1) là x1 ; x2 . Hãy tìm m để x + 1 + x + 1 = m
1
2
Bi 4: Cho phơng trình bậc hai ẩn x, m là tham số :
x 2 3mx + 3m 4 = 0

(1)

a/ Chứng minh rằng với mọi giá trị của m phơng trình (1) luôn có hai nghiệm phân
biệt ?
b/ Hãy tìm m để phơng trình (1) có một nghiệm x1 = 4 + 2 3 . Khi đó hãy tìm nghiệm
x2 của phơng trình đó

Bi 5: Cho phơng trình bậc hai ẩn x, m là tham số : x 2 2 x + m = 0

(1)

a/ Tìm m để phơng trình (1) có nghiệm.
b/ Chứng minh rằng với mọi m phơng trình (1) không thể có hai nghiệm cùng là số
âm.
c/ Tìm m để phơng trình (1) có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn x1 - 2x2 = 5.
Bi 6: Cho phơng trình bậc hai ẩn x (m, n là các tham số) :
x 2 + (m + n) x (m 2 + n 2 ) = 0 (1)


H v tờn:Lp:.

a/ Giải phơng trình (1) khi m = n = 1.
b/ Chứng minh rằng với mọi giá trị của m, n thì phơng trình (1) luôn có nghiệm.
c/ Tìm m, n để phơng trình (1) tơng đơng với phơng trình x 2 x 5 = 0 .
Bài 7:.Cho phơng trình : x 2 2(m + 1) x + 2m + 5 = 0
a/ Giải phơng trình khi m =

5
2

b/ Tìm tất cả các giá trị của m để phơng trình đã cho có nghiệm.
Bài 8:
Cho phơng trình bậc hai :
x 2 2(m + 1) x + m 2 + 3m + 2 = 0

(1)


a/ Tìm các giá trị của m để phơng trình luôn có hai nghiệm phân biệt.
b/ Tìm giá trị của m thỏa mãn x12 + x22 = 12 (Trong đó x1 , x2 là hai nghiệm của phơng
trình) ?
Bài 9.
Cho phơng trình: x2 - ( m + 1)x + m2 - 2m + 2 = 0
1. Giải phơng trình với m = 2
2. Tìm m để phơng trình có nghiệm kép; vô nghiệm; có hai nghiệm phân biệt.
Bài 10:
Cho phơng trình: x2 - 2(m + 1)x + m - 4 = 0 (1) (m là tham số)
1) Giải phơng trình (1) với m = 1.
2) Tìm các giá trị của m để phơng trình (1) có hai nghiệm trái dấu.
3) Với x1, x2 là nghiệm của (1). Tính theo m giá trị của biểu thức:
A = x1(1 - x2) + x2(1 - x1).
Bài 12.
Cho phơng trình (ẩn x) : 2x2 + mx + m - 3 = 0 (1)
1) Giải phơng trình (1) khi m = -1.
2) Chứng minh rằng phơng trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m.
3) Tìm các giá trị của m để phơng trình (1) có hai nghiệm trái dấu và nghiệm âm có giá
trị tuyệt đối lớn hơn nghiệm dơng.


H v tờn:Lp:.

Bài 13
Cho phơng trình bậc hai x 2 2(2m 1) x + 3m 2 4 = 0 (x là ẩn)

(1)

a/ Chứng minh rằng phơng trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m.
b/ Gọi x1; x2 là hai nghiệm phân biệt của phơng trình (1). Hãy tìm m để x1 + 2 x2 = 2

Bài 14.
Cho phơng trình x2 - 2x - 1 = 0 có hai nghiệm là x1, x2.
x

x

2
1
Tính giá trị của biểu thức : S = x + x
1
2

Bài 15. (
Cho phơng trình : (m + 1) x 2 2(m 1) x + m 2 = 0

(1)

(m là tham số).

a/ Giải phơng trình (1) với m = 3.
1

1

3

b/ Tìm m để phơng trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1; x2 thỏa mãn : x + x = 2 .
1
2


KIM TRA CH PHNG TRèNH
Bi 1: Gii cỏc phng trỡnh:


H v tờn:Lp:.

a / 2x 2 5x = 0

b / 9x 2 25 = 0

c / 2x 2 + 3x + 5 = 0

d / x 4 + 3x 2 4 = 0

Bi 2: Cho phơng trình bậc hai ẩn x, tham số m : x 2 + mx + m 3 = 0 (1)
a/ Giải phơng trình với m = - 2.
b/ Tìm m để phơng trình có nghiệm x1 = - 3. Tính nghiệm còn lại.
c/ Chng t phng trỡnh (1) luụn cú hai nghim phõn bit vi mi m.
2
2
d/ Gọi x1; x2 là các nghiệm của phơng trình .Tỡm giỏ tr nh nht ca A = x1 + x 2
2
2
e/Tìm m để phơng trình có hai nghiệm x1; x2 thỏa mãn : x1 + x 2 = 9 .

f/ Tìm m để phơng trình có hai nghiệm x1; x2 thỏa mãn : 2x1 + 3x2 = 5.
g/ Lập hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm của phơng trình không phụ thuộc vào giá trị của m
h/ Tìm m để phơng trình có hai nghiệm trái dấu.
Bi lm.