Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN LỚP 7
CÁC BÀI TOÁN VỀ TỈ LỆ THỨC
TÍNH CHẤT CỦA DÃY TỈ SỐ BẰNG NHAU.
A. Kiến thức cơ bản.
I.

Tỉ lệ thức.

1.

Định nghĩa: Tỉ lệ thức l{ đẳng thức của hai tỉ số

Dạng tổng quát:

a c
 hoặc a:b=c:d
b d

Các số hạng a và d gọi là ngoại tỉ; b và c gọi là trung tỉ
2.

Tính chất.

a)

Tính chất 1 (Tính chất cơ bản)

a c
  ad  bc (với b,d≠0)

b d
b)

Tính chất 2 (Tính chất hoán vị)

Từ tỉ lệ thức

a c
 (a,b,c,d≠0) ta có thể suy ra ba tỉ lệ thức kh|c bằng c|ch:
b d

-

Đổi chỗ ngoại tỉ cho nhau

-

Đổi chỗ trung tỉ cho nhau

-

Đổi chỗ ngoại tỉ cho nhau v{ đổi chỗ trung tỉ cho nhau

Cụ thể: Từ



a c
 (a,b,c,d≠0)
b d


a b d c d b
 ,  , 
c d b a c a

II. Tính chất của dãy tỉ số bằng nhau.
1)

Tính chất 1: Từ tỉ lệ thức

2)

Tính chất 2:

a a c a c
a c


( b  d )
suy ra 
b bd bd
b d

a c e
  ta suy ra
b d f

a c e a c e a c e c e
  



 ...
b d f bd d bd  f d  f
(Giả thiết các tỉ số đều có nghĩa)
* Nâng cao.
W: www.hoc247.net

F: www.facebook.com/hoc247.net

T: 098 1821 807

Trang | 1


Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

1. Nếu
2. Từ

=k thì
=> +)
+)

(Tính chất n{y gọi l{ tính chất tổng hoặc hiệu tỉ lệ)
* Chú ý: C|c số x, y, z tỉ lệ với c|c số a, b, c =>
Ta còn viết x:y:z = a:b:c
B. Các dạng toán và phương pháp giải.
Dạng 1: Tìm th{nh phần chưa biết trong tỉ lệ thức, d~y tỉ số bằng nhau
Dạng 2: Chứng minh tỉ lệ thức
Dạng 3: Tính gi| trị biểu thức

Dạng 4: Ứng dụng tính chất của tỉ lệ thức, d~y tỉ số bằng nhau v{o giải b{i to|n chia tỉ lệ.
Dạng 5: Tính chất của tỉ lệ thức |p dụng trong bất đẳng thức

W: www.hoc247.net

F: www.facebook.com/hoc247.net

T: 098 1821 807

Trang | 2


Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

Dạng 1: TÌM THÀNH PHẦN CHƯA BIẾT TRONG TỈ LỆ THỨC, DÃY TỈ SỐ BẰNG NHAU
Bài 1: Tìm x biết:
a)
b)
Giải
a)

Từ

=> 7(x-3) = 5(x+5). Giải ra x = 23

b) Cách 1. Từ

=> (x-1)(x+3) = (x+2)(x-2)

(x-1).x + (x-1).3 = (x+2).x – (x+2).2

- x + 3x – 3 =

+ 2x – 2x – 4

Đưa về 2x = -1 => x =
Cách 2:

x 1
x2
+1=
+1
x2
x3

2x 1 2x 1
=
x2
x3

 2x+1=0  x= -

Bài 2: Tìm x, y, z biết:

1
(Do x+2  x+3)
2

và x – 3y + 4z = 62
Giải


Cách 1 (Đặt giá trị chung)
Đặt

=> {

Mà x – 3y + 4z = 62 => 4k – 3.3k + 4.9k = 62
4k – 9k + 36k = 62
31k = 62 => k = 2

Do đó {

Vậy x = 8; y= 6; z = 18
Cách 2 (Sử dụng tính chất của d~y tỉ số bằng nhau)
Áp dụng tính chất của d~y tỉ số bằng nhau ta có:
=>{

W: www.hoc247.net

F: www.facebook.com/hoc247.net

T: 098 1821 807

Trang | 3


Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

Cách 3 (Phương ph|p thế)
Từ


=> x=
=> y=

Mà x – 3y + 4z = 62 =>
Do đó x =

đua về 31z = 558 => z = 18

; y=

Vậy x = 8; y = 6 v à z =18
Bài 3: Tìm x, y, z biết:
a)

và 2x + 3y – z = 186
2x = 3y = 5z và |

b)

|=95
Giải

a)

C|ch 1: Từ

Và

=>


=>

=

Ta có:

=>

=>

=>
(*)
=

=>{
Vậy x=45; y=60 và z=84
Cách 2: Sau khi l{m đến (*) ta đặt

=

=k

(Sau đó giải như c|ch 1 của b{i 2)
Cách 3: Sau khi l{m đến (*) dùng phương ph|p thế giải như c|ch 3 của b{i 2.
b)
Mà |

Vì 2x = 3y = 5z =>
|


=

=>

=

 x  y  z  95

 x  y  z  95

+) Nếu x+y-z= 95
Ta có

=

=>{

+) Nếu x + y – z = - 95
W: www.hoc247.net

F: www.facebook.com/hoc247.net

T: 098 1821 807

Trang | 4


Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

Ta có


=

=>{

Vậy: [

Bài 4: Tìm x, y, z biết:
a)

và – x + z = -196

b)

và 5z – 3x – 4y = 50
4
3
2


và x + y – z = - 10
3x  2 y 2 z  4 x 4 y  3z

c)

Giải
a)

Vì


=>
=>
=>

=

Ta có

= =

=>{

Vậy x = 231; y = 28 và z = 35
b)
=


Ta có
(

)

(

)

(

)


(

)

(

)

(

)

{

Vậy x = 5; y = 5 và z = 17
c)

Vì

4
3
2


=
3x  2 y 2 z  4 x 4 y  3z

W: www.hoc247.net

F: www.facebook.com/hoc247.net


T: 098 1821 807

Trang | 5


Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

=>{

=>{



Từ {

=> {

x y z x  y  z  10
  

 10
2 3 4 23 4
1

Vậy x = - 20; y = -30 và z = -40

Bài 5: Tìm x. y, z biết:
a)
b)


x: y: z = 2: 3: 5 và xyz = 810
=

và

+

= - 650
Giải

a)

Vì x: y: z = 2: 3: 5 =>

=

Cách 1 (Đặt giá trị chung)
Đặt

=

=>{

Mà xyz = 810 => 2k.3k.5k = 810 => 30
=>{

=810 =>

=27 => k = 3


Vậy x = 6; y = 9 và z = 15

Cách 2: Từ

=

=> ( ) =

=> x = 6 thay v{o đề b{i tìm ra y = 9 ; z = 15



Vậy x = 6; y = 9 và z = 15
Cách 3: (Phương ph|p thế) L{m tương tự c|ch 3 của b{i 2
b)

Từ

=

=> ( )

( )

( ) =>

=

Cách 1: (Đặt gi| trị chung)

Đặt
Mà

=
+2

= k => {
–3

= - 650 => 4

+ 2.9

=>-26

W: www.hoc247.net

F: www.facebook.com/hoc247.net

T: 098 1821 807

Trang | 6


Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

Nếu k = 5=>{

Nếu k = -5 => {
Vậy [

Cách 2 (Sử dụng tính chất của d~y tỉ số bằng nhau)
Vì

=

=>

=>{
Theo đề b{i suy ra x,y,z cùng dấu

 x  10; y  15; z  20
Vậy 
 x  10; y  15; z  20
Cách 3 (Phương ph|p thế)
Bài 6: Tìm x, y, z biết:
(1)
Giải:
* Nếu

0

Ta c ó

(

) (

) (

)


(

)

(2)

Từ (1) v{ (2) ta có x + y + z =

=>

thay v{o đề b{i ta được:
{

Hay

=

+)

=> 2x =

=> 3x = => x =

+)

=> 2y =

=> 3y = => y =


+) Có x + y + z = , mà x = và y =
W: www.hoc247.net

F: www.facebook.com/hoc247.net

T: 098 1821 807

Trang | 7


Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

=>z=

=

Vậy
{

* Nếu x + y + z = 0 ta có:
(1) =>
=> x = y = z = 0
Vậy [

Bài 7: Tìm x, y biết:
a)
b)
Giải
a)


Vì

=> 24(1+2y) = 18(1+4y)

=>24 +48y = 18 +72y
Đưa về 24y = 6 => y =
=>

thay v{o đề b{i ta có

= 18. => 18x = 90 => x = 5

Ta có

=>1+3y = -12y
=> 15y = -1 => y =
Ta được

thay vào
=> 5x .

=>

=> x = 2

Vậy x = 2 và y =

W: www.hoc247.net

F: www.facebook.com/hoc247.net


T: 098 1821 807

Trang | 8


Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

Dạng 2: CHỨNG MINH TỈ LỆ THỨC
Để chứng minh tỉ lệ thức

ta thường dùng một số phương pháp sau:

•) Phương pháp 1: Chứng tỏ rằng A.D = B.C
•) Phương pháp 2: Chứng tỏ hai tỉ số

có cùng gi| trị

•) Phương pháp 3: Sử dụng tính chất của tỉ lệ thức
* Một số kiến thức cần chú ý
•)

(n

•)

0)

=> ( ) = ( ) (n


N *)

Sau đ}y l{ một số b{i tập minh họa ( giả thiết c|c tỉ số đ~ cho đều có nghĩa)
Bài 1: Cho tỉ lệ thức

Chứng minh rằng
GIẢI

Cách 1 (pp1):
(
Ta có: (



)(
)(

)
)

–
}

(a+b).(c-d) = (a – b).(c+d)


Cách 2 (pp2):
Đặt

= k => {

(
(
(
(



)
)
)
)

}

=

Cách 3 (pp3):
Từ
W: www.hoc247.net

F: www.facebook.com/hoc247.net

T: 098 1821 807

Trang | 9


Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

Ta có:

=



Cách 4: Từ

=> {

=>



=

Bài 2: Cho tỉ lệ thức

Chứng minh rằng

(1)

GIẢI
Cách 1:

(

}

)

(


)
(



)

(

)


Cách 2:
= k => {

thay v{o 2 vế của (1) chứng minh 2 vế có cùng gi| trị

Cách 3:
Vì


=> ( )
=

=

( )

=


B ài 3: chứng minh rằng nếu

thì

a)
b)

=
GIẢI

a)

Từ
=>

W: www.hoc247.net

F: www.facebook.com/hoc247.net

T: 098 1821 807

Trang | 10


Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

b)

Từ

=>

=
=

=

=>

=

Bài 4: Cho b2 = ac; c2 = bd. Chứng minh rằng:

1)

(

)

2)
GIẢI
1)

Vì

}


(



Vậy
2)

(
Có:

)

)
}

( )


Bài 5: Cho a, b, c thỏa m~n
Chứng minh: 4(a-b)(b-c) = (

)
GIẢI

Từ



(

(

)


(

)

)(

)

Bài 6: Biết
CMR: abc +

W: www.hoc247.net

(

)

và
=0

F: www.facebook.com/hoc247.net

T: 098 1821 807

Trang | 11


Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai


GIẢI
Từ

=> ab +

(1)

Nh}n cả hai vế của (1) với c ta có: abc +
Ta c ó :

(2)

=> bc +

Nh}n cả hai vế của (3) với

(3)

ta có:

(4)

Cộng cả hai vế của (2) v{ (4) ta có:
abc +

+

=

abc +




=0

Bài 7: Cho

(1)

CMR:
GIẢI
Nh}n thêm cả tử v{ mẫu của (1) với a hoặc b; c
Từ (1) ta có:

=

=0

{




Bài 8: CMR: Nếu a(y+z) = b(z+x) = c(x+y)

(1)

Trong đó a,b,c l{ c|c số kh|c nhau v{ kh|c 0 thì:
(


)

(

)

(

)

GIẢI
Vì a,b,c ≠ 0 nên chia c|c số của (1) cho abc ta được:
W: www.hoc247.net

F: www.facebook.com/hoc247.net

T: 098 1821 807

Trang | 12


Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

=

(

)

(


) (

)

(

)



(

W: www.hoc247.net

(

(

)

(

)

) (

)

(


)

(

)

) (

)

F: www.facebook.com/hoc247.net

T: 098 1821 807

Trang | 13


Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

Dạng 3 : TÍNH GIÁ TRỊ BIỂU THỨC
Bài 1: Cho tỉ lệ thức

3x  y 3
x
 . Tính giá trị của tỉ số
x y 4
y

Bài giải:

Cách 1 :
3x  y 3
  4(3x – y) = 3(x+y)  12x – 4y = 3x + 3y
x y 4

Từ

 12x – 3y = 3(x+y)  9x = 7y

Vậy

x
7
=
y
9

Cách 2:
3x
1
3x  y 3
3
y
 
Từ

x
x y 4
1 4
y


Bài 2: Cho

Đặt

x
3a  1 3
=a 
=
y
4
a 1

yzx
x y z
  . Tính giá trị của biểu thức P =
x yz
2 3 4

Cách 1:
Đặt

x y z
  = k  x = 2k ; y = 3k ; z = 4k ( k  0)
2 3 4

P=

3k  4k  2k 5k 5



2k  3k  4k 3k 3

Vậy P =

5
3

Cách 2 :
Có

x y z y zx y zx x y z x y z
  =



2 3 4 3 4 2
5
2 3 4
3



yzx x yz
yzx 5



5
3

x yz 3

W: www.hoc247.net

F: www.facebook.com/hoc247.net

T: 098 1821 807

Trang | 14


Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

Vậy P =

5
3

Bài 3: Cho dãy tỉ số bằng nhau
a
b
c
d
Tính giá trị của biểu thức



bcd acd abd bca

M


ab bc cd d a



cd ad ab bc

Bài giải:
a
b
c
d



bcd acd abd bca

Từ


a
b
c
d
1 
1 
1 
1
bcd
acd

abd
bca



a bc d a bc d a bc d a bc d
(*)



bcd
acd
abd
bca

+) Xét a  b  c  d  0  a  b  (c  d ); b  c  (a  d )
 M  4

+) Xét a  b  c  d  0 Từ (*) ta có :
bc d  a c d  a bd  bc a
a bc d M 4

Bài 4: Cho a , b ,c đôi một khác nhau và thỏa mãn



a 

b 


c







ab bc ca


c
a
b

Tính giá trị của biểu thức P  1  1  1  
b
c
a
Bài giải:
ab bc ca
ab
bc
ca



1 
1 
1

c
a
b
c
a
b

Từ


abc abc abc


(*)
c
a
b

+) Xét a  b  c  0  a  b  c; a  c  b; b  c  a
P

a  b b  c a  c c a b abc



 

 1
b
c

a
b c a
abc

W: www.hoc247.net

F: www.facebook.com/hoc247.net

T: 098 1821 807

Trang | 15


Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

+) Xét a  b  c  0 Từ (*) ta có :
a bcP 8

Bài 5 : Cho các số a;b;c khác 0 thỏa mãn
Tính giá trị của biểu thức P 

ab
bc
ca


ab bc ca

ab2  bc 2  ca 2
a 3  b3  c 3


Bài giải:
Với a, b, c  0 ta có :

ab
bc
ca


ab bc ca



ab bc ca
1 1 1 1 1 1


     
ab
bc
ca
b a c b a c



1 1 1
   a  b  c  P 1
a b c

W: www.hoc247.net


F: www.facebook.com/hoc247.net

T: 098 1821 807

Trang | 16


Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

Dạng 4: ỨNG DỤNG TÍNH CHẤT CỦA TỈ LỆ THỨC, DÃY TỈ SỐ BẰNG NHAU VÀO GIẢI BÀI
TOÁN CHIA TỈ LỆ
Bài 1: Tìm số tự nhiên có ba chữ số biết rằng số đó chia hết cho 18 và các chữ số của nó chia
hết cho tỉ lệ với 1;2;3.
Lời giải
Gọi số tự nhiên có 3 chữ số cần tìm là ̅̅̅̅̅ , ( ĐK : a, b, c  N * ,1  a  9,0  b, c  9 )
=> 1  a  b  c  27
+) ̅̅̅̅̅ ⋮ 18

<=> {

̅̅̅̅̅ ⋮
̅̅̅̅̅ ⋮

( do 18=2.9 v{ ƯCLN(2;9)=1 )

+) C|c chữ số của số cần tìm tỉ lệ với 1; 2; 3
Mà ̅̅̅̅̅ ⋮ 2 => c ⋮ 2
=>a, b, c tỉ lệ với 1;3; 2 hoặc a; b; c tỉ lệ với 3; 1; 2
+) a, b, c tỉ lệ với 1; 3; 2 =>


a b c abc
  
1 3 2
6

=>a + b + c ⋮ 6
Lại có ̅̅̅̅̅ ⋮ 9

<=>a + b + c ⋮ 9

Mà 1  a  b  c  27
Nên a + b + c = 18
=>

a b c
  3
1 3 2

=>{

(Thỏa m~n điều kiện)

Nếu a, b, c tỉ lệ với 3; 1; 2 =>{

(Thỏa m~n điiều kiện)

Vậy số tự nhiên có 3 chữ số cần tìm l{ 396; 936.
Bài 2: Ba lớp 7A, 7B, 7C có tất cả 144 học sinh. Nếu rút ở lớp 7A đi
7B đi


1
số học sinh, rút ở lớp
4

1
1
số học sinh, rút ở lớp 7C đi học sinh thì số học sinh còn lại của cả 3 lớp bằng
7
3

nhau. Tính số học sinh mỗi lớp ban đầu.
Lời giải
Gọi số học sinh ban đầu của lớp 7A,7B.7C lần lượt l{ x,y, z (học sinh)
ĐK: x, y, z  N * , x, y, z  144

W: www.hoc247.net

F: www.facebook.com/hoc247.net

T: 098 1821 807

Trang | 17


Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

+) Ba lớp 7A,7B,7C có tất cả 144 học sinh => x  y  z  144
+) Nếu rút ở lớp 7A đi


1
1
1
học sinh, rút ở lớp 7B đi học sinh, rút ở lớp 7C đi học sinh thì
4
7
3

số học sinh còn lại của 3 lớp bằng nhau.
Nên ta có


3
6
2
x y z
4
7
3

3
6
2
x y z x  y  z 144
x
y
   

6
24

42
18 z
8 7 9 8  7  9 24

 x  48

  y  42 (Thỏa m~n điều kiện)
 z  54


Vậy số học sinh lúc đầu của c|c lớp 7A, 7B, 7C lần lượt l{ 48 học sinh, 42 học sinh, 54 học
sinh.
Bài 3: Lớp 7A có 52 học sinh được chia l{m ba tổ. Nếu tổ một bớt đi 1 học sinh, tổ hai bớt đi
2 học sinh, tổ ba thêm v{o 3 học sinh thì số học sinh tổ một , hai, ba tỉ lệ nghịch với 3; 4; 2.
Tìm số học sinh mỗi tổ.
Lời giải
Gọi số học sinh tổ một, tổ hai, tổ ba của lớp 7A lần lượt l{ x, y, z.(học sinh)
ĐK: x, y, z  N * , x, y, z  52
+) Lớp 7A có 52 học sinh => x + y + z = 52
+) Nếu tổ một bớt đi 1 học sinh, tổ hai bớt đi 2 học sinh, tổ ba thêm v{o 3 học sinh thì số học
sinh tổ một, hai, ba tỉ lệ nghịch với 3; 4; 2
Nên ta có 3.(x – 1) = 4.(y – 2) = 2.(z + 3)







3  x – 1 4  y – 2  2  z  3



12
12
12

x

– 1

4

y

– 2   z  3

3
6

x  1 y-2 z  3 x  y  z 52




4
4
3
6
13
13

 x  1  16
 x  17


 y  2  12   y  14 (Thỏa m~n điều kiện)
 z  3  24
 z  21



W: www.hoc247.net

F: www.facebook.com/hoc247.net

T: 098 1821 807

Trang | 18


Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

Vậy số học sinh tổ một, tổ hai, tổ ba của lớp 7A lần lượt l{ 17 học sinh, 14 học sinh, 21 học
sinh.
Bài 4: Tìm ba ph}n số có tổng bằng

. Biết tử của chúng tỉ lệ với 3; 4; 5 còn mẫu của

chúng tỉ lệ với 5; 1; 2.
Lời giải
Gọi ba ph}n số cần tìm l{


với

a, b, c, d , e, g  Z
b, d , g  0

Theo đầu b{i ta có
a : c : e = 3:4 :5, b : d : g =5:1:2
+) a:c:e= 3 :4 :5 =>

a c e
3
   3
b d g
70

a c e
   k với k  Z
3 4 5

a=3k ,c =4k , e =5k



+) b : d : g = 5 : 1 : 2 =>

b d g
   t với t  Z , t  o
5 1 2


b=5t, d=t, g=2t


+)

và

a c e
3
3k 4k 5k 213
   3
=>   
b d g
70
5t
t
2t
70



k 71 213
k 3
. 
=> 
t 10
70
t
7




a 9 c 12 e 15

, 
, 
b 35 d
7 g 14

Vậy ba ph}n số cần tìm l{

9 12 15
,
,
35
7
14

Bài 5: Độ d{i ba cạnh của một tam gi|c tỉ lệ với 2; 3; 4. Ba chiều cao tương ứng với ba cạnh
tỉ lệ với ba số n{o?
Lời giải
Gọi a, b, c l{ độ d{i ba cạnh của một tam gi|c v{

,

lần lượt l{ c|c chiều cao tương

ứng.
Diện tích của tam gi|c đó l{:


a.ha b.hb c.hc


=> a.
2
2
2

= b.

= c.

(1)

+) có a, b, c tỉ lệ với 2; 3; 4
a
2

=> 

b c
  k (k o )
3 4

W: www.hoc247.net

F: www.facebook.com/hoc247.net

T: 098 1821 807


Trang | 19


Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

=> a = 2k, b = 3k v à c = 4k
(1) =>2k.
=> 2
=>

=3

= 3k.

= 4k.

=4

=>

ha hb hc
=>
 
6
4 3

,

2ha 3hb 4hc



12 12 12

tỉ lệ với 6; 4 ; 3

Vậy độ d{i ba cạnh của một tam gi|c tỉ lệ với 2; 3; 4 thì ba chiều cao tương tứng với ba cạnh
đó tỉ lệ với 6; 4; 3.

Bài 6: Một ô tô phải đi từ A đến B trong một thời gian dự định. Sau khi đi được quãng
đường thì ô tô tăng vận tốc thêm 20%. Do đó ô tô đến B sớm hơn được 10 phút. Tính thời
gian ô tô đi từ A đến B.
Lời giải
Gọi vận tốc dự định l{ x, vận tốc mới tăng l{ y ( x,y > 0)
Ta có y 

120
y 6
x => 
100
x 5

Gọi C l{ trung điểm của AB. Ô tô đến B sớm hơn dự định 10 phút l{ nhờ tăng vận tốc từ điểm
C.
Nếu ô tô đi từ C đến B với vận tốc x mất thời gian l{
Nếu ô tô đi từ C đến B với vận tốc y mất thời gian l{
Thì x.
=>

= y.


=>

y 6
y t1
mà 

x 5
x t2

t1  60
t t
t t
t1 6
 => 1  2  1 2  10 => 
6 5
65
t2 5
t2  50

=>Thời gian ô tô đi nửa đường AB với vận tốc đ~ tăng hết 50 phút
Thời gian ô tô đi nửa đường AB với vận tốc dự định hết 60 phút.
Vậy thời gian ô tô đi từ A đến B l{ 60 + 50 = 110 (phút)
Bài 7: Một cửa h{ng có ba cuộn vải, tổng chiều d{i ba cuộn vải đó l{ 186m, gi| tiền mỗi mét
vải của ba cuộn l{ như nhau. Sau khi b|n được một ng{y cửa h{ng còn lại cuộn thứ nhất,
cuộn thứ hai, cuộn thứ ba. Số tiền b|n được của ba cuộn thứ nhất, thứ hai, thứ ba lần lượt
tỉ lệ với 2; 3; 2. Tính xem trong ng{y đó cửa h{ng đ~ b|n được bao nhiêu mét vải mỗi cuộn.
W: www.hoc247.net

F: www.facebook.com/hoc247.net


T: 098 1821 807

Trang | 20


Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

Lời giải
Gọi chiều d{i cuộn vải thứ nhất, thứ hai, thứ ba lần lượt l{ x, y, z (m)
ĐK: 0< x, y, z < 186
+) Tổng chiều d{i ba cuộn vải đó l{ 186m => x + y + z = 186
+ Sau khi b|n được một ng{y cửa h{ng còn lại cuộn thứ nhất, cuộn thứ hai, cuộn thứ ba
=> Trong ng{y đó cửa h{ng đ~ b|n được số mét vải ở cuộn thứ nhất, thứ hai, thứ ba lần lượt
là

x 2 y 2z
(mét)
, ,
3 3 5

+) Số tiền b|n được của ba cuộn thứ nhất, thứ hai, thứ ba lần lượt tỉ lệ với 2; 3; 2 và giá tiền
mỗi mét vải của ba cuộn như nhau.
=> Số mét v{i b|n được của ba cuộn thứ nhất, thứ hai, thứ ba lần lượt tỉ lệ với 2; 3; 2
=>

x 2 y 2z
:
:
 2 : 3: 2
3 3 5


=>

2x 2 y 2z


12 9 10

=>

x y z
x  y  z 186
  

6
12 9 10 12  9  10 31

 x  72

=>  y  54 ( Thỏa m~n điều kiện )
 z  60


Vậy trong ng{y đó cửa h{ng đ~ b|n số mét vải ở cuộn thứ nhất, thứ hai, thứ ba lần lượt là :
24; 36; 24 (mét).

W: www.hoc247.net

F: www.facebook.com/hoc247.net


T: 098 1821 807

Trang | 21


Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

Dạng 5: TÍNH CHẤT CỦA TỈ LỆ THỨC ÁP DỤNG TRONG BẤT ĐẲNG THỨC
Tính chất 1: Cho 2 số hữu tỷ
CM:

a
c
và với b> 0; d >0.
b
d

a c
  ad  bc
b d

Giải:
a c


 ad cb

 ad  bc
+ Có b d


bd db

b  0; d  0

+ Có:

ad  bc

 ad bc
a c

 

b  0; d  0 bd db
b d

Tính chất 2: Nếu b > 0; d > 0 thì từ

a c
a ac c
  
 (B{i 5/33 SGK Đ7)
b d
b bd d

Giải:
a c




+ b d
  ad  bc(1) thêm vào 2 vế của (1) với ab ta có:
b  0; d  0
 ad  ab  bc  ab
a b  d   b c  a  

a ac

 2
b bd

+ Thêm vào hai vế của (1) dc ta có:

1  ad  dc  bc  dc
 d  a  c   c b  d 


ac c
  3
bd d

+ Từ (2) và (3) ta có:
Từ

a c
a ac c
  
 (đpcm)
b d
b bd d


Tính chất 3: a; b; c là các số dương nên
a. Nếu

th ì

W: www.hoc247.net

F: www.facebook.com/hoc247.net

T: 098 1821 807

Trang | 22


Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

b. Nếu

thì

Bài 1. Cho a; b; c; d > 0.
CMR: 1 

a
b
c
d




2
abc bcd cd a d ab

Giải:
a
 1 theo tính chất (3) ta có:
abc

+ Từ

ad
a

1 (do d>0)
abcd abc

Mặt khác:

a
a

 2
abc abcd

+ Từ (1) và (2) ta có:

a
a
ad



 3
a bc d a bc a bc d

Tương tự ta có:
b
b
ba


 4
a bc d bc d a bc d
c
c
cb


 5
a bcd cd a cd a b
d
d
d c


 6
d+a+b+c d  a  b a  b  c  d

Cộng bất đẳng thức kép (3); (4); (5); (6) theo từng vế thì được:
1


a
b
c
d



2
abc bcd cd a d ab

Bài 2. Cho

a c
a ab  cd c
 và b; d  0 CMR:  2

b d
b b  d2 d

Giải:
Ta có

a c
a.b c.d
ab cd
 và b; d  0 nên

 2  2
b d

b.b d.d
b
d

W: www.hoc247.net

F: www.facebook.com/hoc247.net

T: 098 1821 807

Trang | 23


Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

Theo tính chất (2) ta có:

ab ab  cd cd
a ab  cd c
 2
 2  2

2
2
b
b d
d
b b  d2 d

C. BÀI TẬP ÁP DỤNG

Bài 1. Tìm các số x,y,z biết rằng
a.

x2 x4

x 1 x  7

b.

x y z
và 5x  y  2 z  28
 
10 6 21

c. 4 x  3 y ; 7 y  5z và 2 x  3 y  z  6
d. x : y : z  12 : 9 : 5 và xyz  20
e.

10
6
14


và xyz  6720
x  5 y  9 z  21

f.

x  16 y  25 z  9
và 2 x3  1  15



9
16
25

Bài 2. Tìm các số x,y,z biết rằng
a. x : y : z  3: 4 : 5 và 5z 2  3x2  2 y 2  594
b. 3  x  1  2  y  2  ; 4  y  2   3  z  3 và 2 x  3 y  z  50
c.

12 x  15 y 20 z  12 y 15 y  20 z
và x  y  z  48


7
9
11

d.

2x 3 y 4z
và  x  y  z  49


3
4
5

Bài 3.


Tìm các số x,y,z biết :

a.

x 3 y 5
 ;  và 2 x  3 y  5z  1
y 2 z 7

b,

1 4 y 1 6 y 1 8y


13
19
5x

c.

2x 1 y  2 2x  3 y 1


5
7
6x

W: www.hoc247.net

F: www.facebook.com/hoc247.net


T: 098 1821 807

Trang | 24


Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

d,

y  z 1 x  z  2 y  x  3
1



x
y
z
x yz
a c
 . Chứng minh rằng ta có tỉ lệ thức sau ( với giả thiết các tỉ số đều
b d

Bài 4. Cho tỉ lệ thức
có nghĩa )
a.

2a  7b 2c  7d

3a  4b 3c  4d


b,

2015a  2016b 2015c  2016d

2016c  2017d 2016a  2017b

ab 
a 2  b2
c. 


2
2
cd  c d
2

ab  2a  3b 
d,


cd  2c  3d 

e,

2

7a 2  5ac 7b 2  5bd

7a 2  5ac 7b 2  5bd

a
b

Bài 5. Cho a  c  2b và 2bd  c  b  d  ; b, d  0 CMR : 

Bài 6. Cho dãy tỉ số bằng nhau :
 a a a 
a1
 1 2 3
a2015  a2  a3  a4 

Bài 7. Cho
Cmr :

a1 a2 a3
  
a2 a3 a4

 a2014 

 a2015 



c
d

a2014
Cmr ta có đẳng thức
a2015


2014

a c
 các số x, y, z, t thỏa mãn ax  yb  0 và zc  td  0
b d

xa  yb xc  yd

za  tb
zc  td

Bài 8. Cho tỉ lệ thức
Bài 9. Cho

2a  13b 2c  13d
a c
Cmr : 

3a  7b
3c  7d
b d

a1 a2 a3
  
a2 a3 a4

Tính : 1) A 

a12  a22 


 a1  a2 

W: www.hoc247.net



an 1 an

an
a1

( a1  a2 

 an  0 )

 an2

 an 

2

F: www.facebook.com/hoc247.net

T: 098 1821 807

Trang | 25