UBND HUYỆN VĨNH LỘC
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
KỲ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 NĂM HỌC 2016 - 2017
ĐỀ THI MÔN: TOÁN
Thời gian làm bài: 150 phút (Không kể thời gian giao đề)
Bài 1: (4,0 điểm)
Cho biểu thức P =

3x  9 x  3
x x 2



x 1
x 2

x 2



x 1

a. Tìm ĐKXĐ và rút gọn P
b. Tìm x để P < 0
Bài 2: (4,0 điểm)
a. Giải phương trình: x 2  7 x  6 x  5  30 .
b. Cho hai số dương a và b. Chứng minh rằng

1 1
 4
a b

 a  b  . 

Bài 3: (4,0 điểm)
a. Tìm số tự nhiên n sao cho A = n 2 + n + 6 là số chính phương
b. Cho các số nguyên dương x, y, z thỏa mãn x 2  y 2  z 2
Chứng minh A = xy chia hết cho 12
Bài 4: (6,0 điểm) Cho tam giác ABC nhọn, ba đường cao AA', BB', CC'.
a. Chứng minh ΔAC'C  ΔAB'B
  900 . Chứng minh rằng AM = AN.
b. Trên BB' lấy M, trên CC' lấy N sao cho 
AMC  ANB

c. Gọi S, S' lần lượt là diện tích của tam giác ABC và tam giác A'B'C'.
Chứng minh rằng cos 2 A  cos 2 B  cos 2 C  1 

S'
S

Bài 5: (2,0 điểm)
Cho x, y là các số dương thỏa mãn x  y 
A  3x  4 y 

2
8

5x 7 y

34
. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

35


ĐÁP ÁN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN LỚP 9
Bài

Nội dung cần đạt

Điểm

Câu a: (2,0 điểm)
- Tìm được ĐKXĐ: x  0, x  1

0,5

- Ta có
3x  9 x  3
x x 2



1




x 1




x2

3x  3 x  3
( x  2)( x  1)



0,5

x 2



x 1

( x  1)( x  1)
( x  2)( x  1)



( x  2)( x  2)
( x  2)( x  1)

3x  3 x  3  x  1  x  4
( x  2)( x  1)

0,5

x3 x 2
( x  2)( x  1)

( x  2)( x  1)
( x  2)( x  1)



x 1

0,5

x 1

Câu b: (2,0 điểm)
- Ta có: P < 0


x 1
x 1

0,5

0

 x  1  0(do x  1  0)
 x 1

1,0

 x 1

- Kết hợp với ĐKXĐ ta được: Với 0  x  1 thì P < 0.


0,5

Câu a: (2,0 điểm)
Giải phương trình: x 2  7 x  6 x  5  30 .
- ĐKXĐ x  5 .
0,25

- Ta có
x 2  7 x  6 x  5  30
 x 2  8 x  16  x  5  6 x  5  9  0
  x  4 
2





2

x53  0


- Vì

 x  4

2

 0;






2

x  5  3  0 nên

1,0

 x  4  2  0


2
 x  5  3  0
 x  4  0

 x  5  3  0
 x4





0,5
0,25

(thỏa mãn ĐKXĐ)
- Nghiệm của phương trình đã cho là x = 4

2

Câu b: (2,0 điểm)
1


1

Cho hai số dương a và b. Chứng minh rằng  a  b  .     4
a b


0,75

- Ta có
1 1
a b
   2 
b a
a b

 a  b  . 

- Vì a,b >0.nên áp dụng bất đẳng thức cosi cho hai số dương
a b
a b
 2 . 2
b a
b a


0,75

0,5

1 1
- Do đó  a  b  .     4
a b

Câu a: (2,0 điểm)
Tìm số tự nhiên n sao cho A = n 2 + n + 6 là số chính phương
- Để A là số chính phương thì A = n 2 + n + 6 = a2 (a  N )
 4n 2  4n  24  4a 2

3

0,25
0,5

- Ta có: n 2 + n + 6 =a2   2a    2n  1  23
2

2

  2a  2n  1 .  2a  2n  1   23

0,5

- Vì a, n là các số tự nhiên nên (2a +2n +1) là số tự nhiên và
2a + 2n + 1 > 2a – 2n -1. Do đó


0,25


 2a  2n  1  23

 2a  2n  1  1
 4a  24

 4n  20
a  6

n  5

0,5

- Vậy n = 5

Câu b: (2,0 điểm)
Cho các số nguyên dương x, y, z thỏa mãn x 2  y 2  z 2
Chứng minh A = xy chia hết cho 12
1,0

- Xét phép chia của xy cho 3
Nếu xy không chia hết cho 3 thì
 x  1(mod 3)

 y  1(mod 3)
2
 x  1(mod 3)
 2

 y  1(mod 3)

(Vô lí)

 z 2  x 2  y 2  2(mod 3)

Vậy xy chia hết cho 3 (1)
- Xét phép chia của xy cho 4
Nếu xy không chia hết cho 4 thì
 x  1(mod 4)

 y  1(mod 4)
 x 2  1(mod 4)

TH1:  

2
 y  1(mod 4)
 z 2  x 2  y 2  2(mod 4)

0,5
(vô lí )

TH2: Trong hai số x,y một số chia 4 dư 2, một số chia 4 dư 1 hoặc -1.
Không mất tính tổng quát giả sử


 x  1(mod 4)

 y  2(mod 4)

 x 2  1(mod 8)
( vô lí)
 2
 y  4(mod 8)
 z 2  x 2  y 2  5(mod 8)

0,5

- Vậy xy chia hết cho 4 (2)
- Từ (1) và (2): Vậy xy chia hết cho 12
A

B'

C

N

M

4

B

A'

C

Câu a (2,0 điểm): Chứng minh ΔAC'C  ΔAB'B
- Xét ΔAC'C;ΔAB'B có

Góc A chung

2,0

'  C
'  90 0
B

Suy ra: ΔAC'C  ΔAB'B
Câu b (2,0 điểm): Chứng minh AM = AN.

0,5

- Xét AMC vuông tại M đường cao MB'
AM 2  AB '.AC

0,5

- Xét ANB vuông tại N đường cao NC'

0,5


0,5

AN 2  AC '.AB

- Theo câu a ta có AB'.AC = AC'.AB
- Do đó: AM = AN
Câu c: (2,0 điểm) Chứng minh cos 2 A  cos 2 B  cos 2 C  1 

- Chỉ ra được
- Tương tự

S AB 'C '  AB ' 
2

  cos A
S ABC  AB 

S BA 'C '
 cos 2 B
S ABC

0,5

- Do đó:

0,5

S
 S BA 'C '  SCA ' B '
cos A  cos B  cos C  AB 'C '
S ABC


2

S ABC  S A ' B 'C '
S ABC


0,5

2

SCA ' B '
 cos 2 C
S ABC

2

S'
S

2

 1

0,5

S'
S

Cho x, y là các số dương thỏa mãn x  y 

34
35

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A  3x  4 y 

2

8

5x 7 y

0,5

- Ta có:
2
8

5x 7 y
1
1
2 5x 8 7 y
 x y  

2
2
5x 2 7 y 2
A  3x  4 y 

5

0,5

- Áp dụng bất đẳng thức cosi cho hai số dương ta được
2 5x
2.5 x

2

2
5x 2
5 x.2
8 7x
8.7 x

2
4
7x 2
7 x.2

0,25


Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai
Website Hoc247.vn cung cấp một môi trường học trực tuyến sinh động, nhiều tiện ích thông
minh, nội dung bài giảng được biên soạn công phu và giảng dạy bởi những giáo viên nhiều năm
kinh nghiệm, giỏi về kiến thức chuyên môn lẫn kỹ năng sư phạm đến từ các trường Đại học và
các trường chuyên danh tiếng.

I.

Luyện Thi Online
Học mọi lúc, mọi nơi, mọi thiết bi – Tiết kiệm 90%
-

Luyên thi ĐH, THPT QG với đội ngũ GV Giỏi, Kinh nghiệm từ các Trường ĐH và THPT danh tiếng.


-

H2 khóa nền tảng kiến thức luyên thi 6 môn: Toán, Ngữ Văn, Tiếng Anh, Vật Lý, Hóa Học và Sinh Học.

-

H99 khóa kỹ năng làm bài và luyện đề thi thử: Toán,Tiếng Anh, Tư Nhiên, Ngữ Văn+ Xã Hội.

II.

Lớp Học Ảo VCLASS
Học Online như Học ở lớp Offline
-

Mang lớp học đến tận nhà, phụ huynh không phải đưa đón con và có thể học cùng con.

-

Lớp học qua mạng, tương tác trực tiếp với giáo viên, huấn luyện viên.

-

Học phí tiết kiệm, lịch học linh hoạt, thoải mái lựa chọn.

-

Mỗi lớp chỉ từ 5 đến 10 HS giúp tương tác dễ dàng, được hỗ trợ kịp thời và đảm bảo chất lượng học tập.

Các chương trình VCLASS:
-


Bồi dưỡng HSG Toán: Bồi dưỡng 5 phân môn Đại Số, Số Học, Giải Tích, Hình Học và Tổ Hợp dành cho
học sinh các khối lớp 10, 11, 12. Đội ngũ Giảng Viên giàu kinh nghiệm: TS. Lê Bá Khánh Trình, TS. Trần
Nam Dũng, TS. Pham Sỹ Nam, TS. Lưu Bá Thắng, Thầy Lê Phúc Lữ, Thầy Võ Quốc Bá Cẩn cùng đôi HLV đạt
thành tích cao HSG Quốc Gia.

-

Luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán: Ôn thi HSG lớp 9 và luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán các
trường PTNK, Chuyên HCM (LHP-TĐN-NTH-GĐ), Chuyên Phan Bội Châu Nghệ An và các trường Chuyên
khác cùng TS.Trần Nam Dũng, TS. Pham Sỹ Nam, TS. Trịnh Thanh Đèo và Thầy Nguyễn Đức Tấn.

-

Hoc Toán Nâng Cao/Toán Chuyên/Toán Tiếng Anh: Cung cấp chương trình VClass Toán Nâng Cao,
Toán Chuyên và Toán Tiếng Anh danh cho các em HS THCS lớp 6, 7, 8, 9.

III.

Uber Toán Học
Học Toán Gia Sư 1 Kèm 1 Online
-

Gia sư Toán giỏi đến từ ĐHSP, KHTN, BK, Ngoại Thương, Du hoc Sinh, Giáo viên Toán và Giảng viên ĐH.
Day kèm Toán mọi câp độ từ Tiểu học đến ĐH hay các chương trình Toán Tiếng Anh, Tú tài quốc tế IB,…

-

Học sinh có thể lựa chọn bất kỳ GV nào mình yêu thích, có thành tích, chuyên môn giỏi và phù hợp nhất.


-

Nguồn học liệu có kiểm duyệt giúp HS và PH có thể đánh giá năng lực khách quan qua các bài kiểm tra
độc lập.

-

Tiết kiệm chi phí và thời gian hoc linh động hơn giải pháp mời gia sư đến nhà.

W: www.hoc247.net

F: www.facebook.com/hoc247.net

T: 098 1821 807