Phần I: LỜI NÓI ĐẨU
I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI:
1. Cơ sở lý luận:
Đổi mới phương pháp dạy học là sự thay đổi từ các phương pháp dạy học tiêu cực
đến các phương pháp tích cực, sáng tạo. Nhưng không phải thay đổi ngay lập tức bằng
những phương pháp hoàn toàn mới lạ mà phải là một quá trình áp dụng phương pháp dạy
học hiện đại trên cơ sở phát huy các yếu tố tích cực của phương pháp dạy học truyền thống
nhằm thay đổi cách thức, phương pháp học tập của học sinh chuyển từ thụ động sang chủ
động.
Trong chương trình giải tích 12 mới hiện nay, chương số phức được đưa vào, trong
đó gồm các phần: khái niệm về số phức, cộng trừ nhân chia hai số phức, phương trình bậc
hai với hệ số thực, phương trình bậc hai với hệ số phức (nâng cao) và biểu diễn số phức
dưới dạng lượng giác (nâng cao) chiếm vị trí khá quan trọng và thường có trong các đề thi
tốt nghiệp, Cao đằng và Đại học. Phần lớn học sinh còn lúng túng trong việc phân tích đề để
tìm lời giải. Chính vì thế mà tôi đã nghiên cứu, biên soạn vấn đề này nhằm giúp học sinh đi
đúng hướng và tìm ra lời giải.
2. Cơ sở thực tiễn:
Đây là vấn đề mới đối với học sinh phổ thông, Bộ giáo dục đã chuyển tải nội dung
này từ nội dung học đại học năm thứ nhất xuống lớp 12. Với thời lượng cho phép giảng dạy
trên lớp là có hạn. Chất lượng học sinh trong lớp không đồng đều, nếu dạy cho các học sinh
yếu, trung bình hiểu thì học sinh khá giỏi sẽ chán, và nguồn học sinh thi đậu đại học lại
mong manh. Để phát huy tính năng động và sáng tạo của học sinh khá giỏi tôi đã biên soạn
nhóm bài tập này và sắp xếp thứ tự các bài tập từ dễ đến khó, nhằm giúp học sinh làm bài
tốt phần số phức trong các kỳ thi sắp tới.
II. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU
Bản thân nghiên cứu đề tài này nhằm mục đích:
+ Chia sẻ với đồng nghiệp và các em học sinh một số phương pháp giúp học tốt
chương Số phức.

Võ Tô Hiệp – TT.GDTX&KTTH-HN Tân Hưng

Trang 1


+ Trang bị thêm nhiều kiến thức, kinh nghiệm trong quá trình hướng dẫn học sinh tự
học, tự ôn tập, tự tìm tòi, khám phá kiến thức và khả năng tư duy sáng tạo.
+ Góp phần nâng cao chất lượng bộ môn Toán và đặc biệt là nâng cao chất lượng
giáo dục hàng năm.
+ Hưởng ứng phong trào thi đua “Dạy tốt và học tốt” và thực hiện tốt hơn cuộc vận
động “Mỗi thầy cô giáo là tấm gương đạo đức, tự học và sáng tạo”.
+ Hưởng ứng phong trào viết SKKN của TT.GDTX&KTTH-HN Tân Hưng và của
CĐCS TT.GDTX&KTTH-HN Tân Hưng phát động.
III. LỊCH SỬ ĐỀ TÀI
Bắt đầu từ năm 2008, chương trình toán lớp 12 đã thay đổi khá nhiều về nội dung. Và
chương Số phức được đưa vào giảng dạy trong chương trình lớp 12 kể từ giai đoạn này.
Trong nhiều năm qua, các đề thi tốt nghiệp THPT, các đề thi đại học và cao đẳng đều ra
những câu hỏi về số phức, tuy nhiên việc hướng dẫn học sinh có những kiến thức cơ bản,
những phương pháp học tốt chương Số phức, cách vận dụng linh hoạt và sáng tạo các
phương pháp trong quá trình học chương số phức nói chung và bộ môn toán nói riêng vẫn
còn hạn chế. Nhìn chung học sinh chỉ giải được những dạng toán cơ bản, đơn giản mà chưa
ứng dụng các phương pháp ở mức độ cao hơn.
Qua quá trình giảng dạy, tôi đã tích lũy được một số kinh nghiệm và đã đúc kết thành
SKKN này cùng với sự đóng góp nhiệt tình của đồng nghiệp.
IV. PHẠM VI ĐỀ TÀI
Đề tài này có thể áp dụng rộng rãi cho tất cả các giáo viên giảng dạy bộ môn toán ở
các TT.GDTX, các trường THPT và các em học sinh lớp 12 tham khảo, ôn thi tốt nghiệp và
luyện thi cao đẳng, đại học.
Phạm vi nghiên cứu của đề tài này bao gồm:
1. Xác định phần thực, phần ảo, số phức liên hợp và môđun của số phức.
2. Các phép toán về số phức
3. Căn bậc hai của số phức

4. Giải phương trình trên tập số phức
5. Dạng lượng giác của số phức, xác định acgumen của số phức

Võ Tô Hiệp – TT.GDTX&KTTH-HN Tân Hưng

Trang 2


Phần II: NỘI DUNG VÀ GIẢI PHÁP
I. THỰC TRẠNG
Mục tiêu cơ bản của Giáo dục nói chung, của Nhà trường nói riêng là đào tạo và xây
dựng thế hệ học sinh trở thành những con người mới phát triển toàn diện, có đầy đủ phẩm
chất đạo đức, năng lực, trí tuệ để đáp ứng với yêu cầu thực tế hiện nay. Nền giáo dục của
nước ta đã tiếp cận được với khoa học hiện đại. Các môn học đều đòi hỏi tư duy sáng tạo và
hiện đại của học sinh. Đặc biệt với một môn học có tính đặc thù cao như môn Toán càng đòi
hỏi quá trình tư duy rất tích cực của học sinh, đòi hỏi học sinh tiếp thu kiến thức một cách
chính xác, khoa học và hiện đại.
Để thực hiện được điều đó mỗi giáo viên chỉ có kiến thức vững vàng, một tâm hồn
đầy nhiệt huyết, mà điều cần thiết là phải tự giác, tích cực tìm ra những phương pháp dạy
học mới, phải biết vận dụng các phương pháp giảng dạy một cách linh hoạt, khắc phục lối
truyền thụ một chiều, phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, sáng tạo của học sinh, bồi
dưỡng cho học sinh năng lực tư duy sáng tạo, năng lực giải quyết vấn đề, bồi dưỡng năng
lực tự nghiên cứu, tự rèn luyện, tự tìm tòi, tự tìm ra giải pháp thích hợp để giải quyết vấn
đề.
Thực tế hiện nay các giáo viên cũng đã tích cực thực hiện đổi mới phương pháp dạy
học, khắc phục được lối truyền thụ kiến thức một chiều, khắc phục được tình trạng đọc chép
nhưng giáo viên chưa bồi dưỡng được năng lực tư duy sáng tạo và năng lực tự tìm tòi, tự
nghiên cứu, tự tìm ra hướng đi để giải quyết vấn đề.
Năm học 2012-2013 tôi đã tiến hành khảo sát 25 em học sinh lớp 12 hệ GDTX, với
nội dung khảo sát là bài kiểm tra cuối chương Số phức. Kết quả như sau:

Lớp

Giỏi

Khá

Trung bình
Yếu
SL
%
SL
%
SL
%
SL
%
12
0
0%
2
8%
10
40%
13
52%
Từ kết quả trên tôi thấy số lượng học sinh đạt loại trung bình và khá, giỏi chỉ đạt

48%, còn học sinh yếu, kém lại đạt đến 52%. Tôi đã tiến hành phân tích nguyên nhân dẫn
đến tình hình trên, nguyên nhân chủ quan là do các em là học sinh GDTX, đa số học yếu,
nền tảng kiến thức của các em đã bị hỏng từ các lớp dưới, bản thân các em học khá thì chủ

quan, còn các em học yếu thì thiếu sự quan tâm của gia đình, bản thân mất căn bản nên các
Võ Tô Hiệp – TT.GDTX&KTTH-HN Tân Hưng

Trang 3


em không thích học, chán học, bài vở khi giáo viên cho về nhà không chịu học, không chịu
tìm tòi, học hỏi, không chịu làm bài tập….. Nguyên nhân khách quan là chương trình từ lớp
1 đến lớp 12 các em đã quen dần với số tự nhiên, số nguyên, số vô tỉ, số hữu tỉ và số thực.
Nên khi bước sang chương Số phức vừa mới lạ, vừa khó, các em chưa quen nên dễ nhầm
giữa số phức và số thực.
Trước thực trạng trên đã thúc đẩy tôi nghiên cứu nhiều hơn để đưa ra phương pháp
giúp các em học tốt hơn chương Số phức.
II. NỘI DUNG VÀ GIẢI PHÁP
Chủ đề 1: Xác định phần thực, phần ảo, số phức liên hợp và môđun của số phức
 Phương pháp:
- Viết số phức dưới dạng: z = a + bi
- Từ đó suy ra: phần thực là a, phần ảo là b, số phức liên hợp z = a − bi và môđun
z = a 2 + b2

 Bài tập áp dụng:
Bài 1: Tìm phần thực, phần ảo, số phức liên hợp và mô đun của số phức:
a. z = i − (2 + 4i ) − (1 + 2i)
Lời giải:

z = i − (2 + 4i ) − (1 + 2i) = −3 − 5i

Phần thực: -3

Phần ảo: -5


Số phức liên hợp: z = −3 + 5i

Mô đun: z = a 2 + b 2 = 34

b. z = ( 3 − 2i) 2
Lời giải:

z = ( 3 − 2i) 2 = −1 − 4 3i

Phần thực: -1

Phần ảo: 4 3

Số phức liên hợp: z = −1 + 4 3i Mô đun: z = a 2 + b 2 = 49 = 7
c. z = (3 + 2i)3 − (1 − 2i )3
Lời giải:

z = (3 + 2i)3 − (1 − 2i )3 = 2 + 44i

Phần thực: 2

Phần ảo: 44

Số phức liên hợp: z = 2 − 44i

Mô đun: z = a 2 + b 2 = 1940

Võ Tô Hiệp – TT.GDTX&KTTH-HN Tân Hưng


Trang 4


Bài 2: Tìm phần thực, phần ảo, số phức liên hợp và mô đun của số phức:
33

1
10
 1− i 
z=
÷ + ( 1 − i ) + ( 2 + 5i ) ( 2 − 5i ) +
i
1+ i 

Lời giải:
33

1
10
 1− i 
z=
÷ + ( 1 − i ) + ( 2 + 5i ) ( 2 − 5i ) +
i
1+ i 
33

 (1 − i ) 2 
i
2
=

+ [ ( 1 − i ) ]5 + 4 − 25i 2 + 2
2 
i
 1− i 
33

5
 −2i 
=
÷ + ( −2i ) + 29 − i = 29 − 34i
 2 

Phần thực: 29

Phần ảo: -34

Số phức liên hợp: z = 29 + 34i

Mô đun: z = a 2 + b 2 = 1997

Bài 3: Cho số phức z = a + bi , a, b ∈ R . Tìm phần thực, phần ảo của các số phức sau:
a. z1 = z 2 − 3z + 5i
Lời giải:

z1 = z 2 − 3 z + 5i = ( a + bi ) 2 − 3(a + bi ) + 5i = (a 2 − 3a − b 2 ) + (2ab − 3b + 5)i

Phần ảo: 2ab − 3b + 5

Phần thực: a 2 − 3a − b 2
b. z2 =


z+i
iz − 2

Lời giải:

z2 =

z+i
a − bi + i
a − (b − 1)i −a (2b + 1) + (b 2 + b − a 2 − 2)i
=
=
=
iz − 2 (a + bi )i − 2 −b − 2 + ai
(b + 2) 2 + a 2

−a (2b + 1)
Phần thực: (b + 2)2 + a 2

b2 + b − a 2 − 2
Phần ảo:
(b + 2) 2 + a 2

 Bài tập làm thêm:
Bài 1: Tìm phần thực, phần ảo, số phức liên hợp và môđun của số phức:
a. z = (4 − 2i) + (1 + 4i) − 3i

b. z = (2 − i) 2 − (2 + i) 2


3 −i
2 +i
−
d. z =
1+ i
i

e. z =

1 + i + i 2 + ... + i 2008
i + 2i + 3i + ... + 2008i

c. z =

(3 − 2i ) 2 (1 + i) 2
1− i

f. z = 2010i 2009 + 2009i 2010

Bài 2: Tìm phần thực, phần ảo, số phức liên hợp và môđun của các số phức sau biết
z = 1 − 2i

a. z1 = z 2 + 3i − 1

b. z2 = z 3 − z + z

c. z3 =

Võ Tô Hiệp – TT.GDTX&KTTH-HN Tân Hưng


1+ z + z2
z

d. z4 =

z3 +1
1− z + z2

Trang 5


Bài 3: Tính z + z và z.z biết:
a. z = 2 + 3i

b. z = −5 + 2i

c. z = −i

Chủ đề 2: Các phép toán về số phức
 Phương pháp:
Cho hai số phức z = a + bi và z ' = a '+ b ' i
Khi đó:

+ Cộng và trừ hai số phức:

z ± z ' = (a ± a ') + (b ± b ')i

+ Nhân hai số phức:

z.z ' = (aa '− bb ') + (ab '+ a ' b)i


+ Chia hai số phức:

z aa '+ bb ' ab '− a ' b
=
−
i
z ' a '2 + b '2 a '2 + b '2

+ Nghịch đảo của số phức:

1
a-bi
a
b
= 2
= 2
− 2
i
2
2
z a +b
a + b a + b2

 Bài tập áp dụng:
Bài 1: Thực hiện các phép tính sau:
a) ( 3 − 4i ) +( 5 + 2i )
Lời giải: ( 3 − 4i ) +( 5 + 2i ) = 8 −2i
b)


( 2 − 3i ) ( 4 − 5i )

Lời giải: ( 2 − 3i ) ( 4 − 5i ) = −7 − 22i
c) ( 2 + 4i ) ( 3 − 5i ) + 7 ( 4 − 3i )
Lời giải: ( 2 + 4i ) ( 3 − 5i ) + 7 ( 4 − 3i ) = 26 + 2i + 28 − 21i = 54 −19i
d)

2+i
3 − 2i

Lời giải:
e)

2 + i (2 + i )(3 + 2i ) 4 7
=
= + i
3 − 2i
13
13 13

( 3 + 2i ) ( 1 − 3i ) +
1+ i 3

( 2 − i)

Lời giải:

( 3 + 2i ) ( 1 − 3i ) +
1+ i 3


=

( 2 − i) =

9 − 7i
(9 − 7i)(1 − i 3)
+ (2 − i ) =
+ (2 − i)
4
1+ i 3

9−7 3 7+9 3
17 − 7 3 11 + 9 3
−
i+ 2−i =
−
i
4
4
4
4

Võ Tô Hiệp – TT.GDTX&KTTH-HN Tân Hưng

Trang 6


f) ( 3 − 4i )

2


Lời giải: ( 3 − 4i ) = 9 − 24i − 16i 2 = 25 − 24i
2

Bài 2: Tìm nghịch đảo của các số phức sau:
a. z = i
Lời giải:

1 1 −i
= = = −i
z i 1

b. z = 2 + 3i
Lời giải:
c. z =

1
1
2 − 3i 2 3
=
=
= − i
z 2 + 3i
13
13 13

1+ i 5
3 − 2i

Lời giải:


1 3 − 2i (3 − 2i)(1 − i 5) 3 − 2 5 2 + 3 5
=
=
=
−
i
z 1+ i 5
6
6
6

(

d. z = 3 + i 2

(

)

2

Lời giải: z = 3 + i 2

)

2

= 7 − 6i 2 =>


1
1
7 + 6i 2
7 6 2
=
=
=
+
i
z 7 − 6i 2
121
121 121
z

z

1
Bài 3: Cho hai số phức: z1 = 3 − 5i , z1 = 3 − i . Tính z và 1
z2
2

Lời giải:

z
z1
3 − 5i ( 3 − 5i)( 3 + i)
=
=
= 2 − 3i => 1 = a 2 + b 2 = 7
z2

z2
4
3 −i

 Bài tập làm thêm:
Bài 1: Thực hiện phép tính
5
+ 2 − 3i
a.
4−i

d.

5 − 2 3i 12
−i
(1 − i )8

1
b. (2 + 3i )(1 − i ) 2

(3 − 2i )3 (1 − i) 2
c.
1+ i

e. (2 − 4i )(5 + 2i) + (3 + 4i)(−6 − i)

f.

3 + 7i 5 − 8i
+

2 + 3i 2 − 3i

Bài 2: Tìm số phức nghịch đảo của số phức z, biết:
a. z = (1 + i 2) 2

b. z =

1
1
+
1+ i 1− i

c. z = (3 + 2i)(1 − i) + (3 − 2i )(1 + i)

Bài 3: Tính
Võ Tô Hiệp – TT.GDTX&KTTH-HN Tân Hưng

Trang 7


a.

1 + i tan x
1 − i tan x

b.

(1 + i )9
(1 − i )7


c.

(1 − i )5 − 1
(1 + i )5 + 1

Chủ đề 3: Căn bậc hai của số phức
 Phương pháp:
- Biến đổi số phức đã cho về dạng: z=a+bi
- Gọi z’ = x + yi với x, y ∈ R là một căn bậc hai của số phức z=a+bi
-

 x2 − y 2 = a
2
⇔
⇔
x
+
yi
=
a
+
bi
(
)
Ta có z ' = a + bi

 2 xy = b
2

- Giải hệ phương trình trên tìm x,y

- Từ đó suy ra các căn bậc hai của số phức z
 Bài tập áp dụng:
Bài 1: Tìm các căn bậc hai của mỗi số phức sau:
a. z = 2
Lời giải: z = 2

=> số phức z có hai căn bậc hai là: ± 2

b. z = −5
Lời giải: z = −5 = 5i 2

=> số phức z có hai căn bậc hai là: ±i 5

c. z = 2i
Lời giải:
Gọi z’= x + yi là căn bậc hai của z
Khi đó,
x 2 − y 2 = 0
z '2 = z ⇔( x + yi ) 2 = 2i ⇔( x 2 − y 2 ) + 2 xyi = 2i ⇔
2 xy = 2
x =1
 y 2 =1(n)
1
2
4
−
y
=
0


y
=
1

 2
 y2
z =1 + i


 y = −1(l )
y =1
⇔
⇔
⇔
⇒ 1
1 ⇔
x = −1
1
z2 = −1 −i
x = 1
x = y


x
=



y


y


y = −1

d. z = 8 + 6i
Lời giải:
Gọi z’= x + yi là căn bậc hai của z
Khi đó,

Võ Tô Hiệp – TT.GDTX&KTTH-HN Tân Hưng

Trang 8


x 2 − y 2 = 8
z '2 = z ⇔( a + bi ) 2 = 8 + 6i ⇔( x 2 − y 2 ) + 2 xyi = 8 + 6i ⇔ 
2 xy = 6
x = 3
 y 2 =1( n)
9
2
4
2
−
y
=
8

y

+
8
y
−
9
=
0



2
y
z = 3 + i


 y 2 = −9(l )
 y =1
⇔
⇔
⇔
⇔
⇒ 1
3
x = −3
3
z2 = −3 −i
x = −3
x = y



x
=



y

y


y = −1

e. z = −3 + 4i
Lời giải:
Gọi z’= x + yi là căn bậc hai của z
Khi đó,
x 2 − y 2 = −3
z ' = z ⇔( x + yi ) = −3 + 4i ⇔( x − y ) + 2 xyi = −3 + 4i ⇔ 
2 xy = 4
2

2

2

2

  y 2 = −1(n)
 x = 1
4

2
4
2
−
y
=
−
3

y
−
3
y
−
4
=
0



2
y
 z = 1 + 2i


  y 2 = 4(l )
y = 2
⇔
⇔
⇔

⇔
⇒ 1
2

 x = −1  z2 = −1 − 2i
2
x = 2
x = y


x
=



y
y
  y = −2


Bài 2: Tìm số phức z, sao cho
a. z 2 = −15 + 8i
Lời giải:
Đặt z = a+bi => z 2 = (a + bi )2 = (a 2 − b 2 ) + 2abi
Theo giả thuyết:

 a = 1

a 2 − b 2 = −15
 z = 1 + 4i

b = 4
2
2
2
z = −15 + 8i ⇔ (a − b ) + 2abi = −15 + 8i ⇔ 
⇔
⇒ 1
 a = −1  z2 = −1 − 4i
2ab = 8

 b = −4

b. z 2 = −2i
Lời giải:
Đặt z = a+bi => z 2 = (a + bi )2 = (a 2 − b 2 ) + 2abi

Võ Tô Hiệp – TT.GDTX&KTTH-HN Tân Hưng

Trang 9


 a = 1

a 2 − b2 = 0
b = −1  z1 = 1 − i
2
2
2
⇔
⇒

Theo giả thuyết: z = −15 + 8i ⇔ (a − b ) + 2abi = −2i ⇔ 
 a = −1  z2 = −1 + i
 2ab = −2

 b = 1

c. z 3 = 1
Lời giải:
Đặt z = a+bi => z 3 = (a + bi)3 = (a 3 − 3ab 2 ) + (3ab 2 − b3 )i
Theo giả thuyết:


a = 1

b = 0
 z1 = 1



a = −1 2
a 3 − 3ab 2 = 1
1


3
3
2
2
3


z = 1 ⇔ (a − 3ab ) + (3ab − b )i = 1 ⇔ 
⇔ 
⇒
z
=
−
−
2
2
3

 b =− 3
2
3
ab
−
b
=
0



2


z = − 1 +
a = −1 2
3





2
b = 3


2


3
i
2
3
i
2

 Bài tập làm thêm:
Bài 1: Tìm các căn bậc hai của mỗi số phức sau:
a. z = −8

b. z = 3i

1 − 3i
3−i

c. z = 5 − 12i

d. z =

c. z 2 = −5 + 12i


d. z 4 = 1

e. z = (2 + 6i)(2 − 6i)

Bài 2: Tìm số phức z, biết:
a. z 4 = −1

b. z 2 = 3i

e. z 3 = −i

Chủ đề 4: Giải phương trình trên tập số phức
 Phương pháp:
Cho phương trình: ax 2 + bx + c = 0 , (a ≠ 0). Tính ∆ = b 2 − 4ac
−b ± ∆
+ Nếu ∆ > 0 => Phương trình có hai nghiệm phân biệt: x1,2 =
2a

+ Nếu ∆ = 0 => Phương trình có nghiệm kép: x1 = x2 =

−b
2a

+ Nếu ∆ < 0 => Phương trình có hai nghiệm phức: x1,2 =
Võ Tô Hiệp – TT.GDTX&KTTH-HN Tân Hưng

−b ± i ∆
2a


Trang 10


* Lưu ý:
Việc giải phương trình, hệ phương trình được giải tương tự như giải trên trường số thực
nhưng chú ý đến việc tìm căn bậc hai của số âm hoặc căn bậc hai của số phức.
 Bài tập áp dụng:
Bài 1: Giải các phương trình sau trên tập số phức:
a. 3z + ( 2 + 3i ) ( 1 − 2i ) = 5 + 4i
Lời giải:
3 z + ( 2 + 3i ) ( 1 − 2i ) = 5 + 4i ⇔ 3 z + 8 − i = 5 − 4i
⇔ 3 z = 5 − 4i − 8 + i ⇔ 3 z = −3 − 3i ⇔ z = −1 − i

Vậy phương trình có 1 nghiệm

z = −1 − i

b. ( 3 − 2i ) z + ( 4 + 5i ) = 7 + 3i
Lời giải:

( 3 − 2i ) z + ( 4 + 5i ) = 7 + 3i ⇔ ( 3 − 2i ) z = 7 + 3i − 4 − 5i
⇔ (3 − 2i ) z = 3 − 2i ⇔ z = 1

Vậy phương trình có 1 nghiệm

z=1
c. ( 1 + 3i ) z − ( 2 + 5i ) = ( 2 + i )

2


Lời giải:

( 1 + 3i ) z − ( 2 + 5i ) = ( 2 + i )
⇔z=

2

⇔ ( 1 + 3i ) z = 3 + 4i + 2 + 5i

5 + 9i (5 + 9i )(1 − 3i ) 16 3
=
= − i
1 + 3i
10
5 5

Vậy phương trình có 1 nghiệm z =
d.

16 3
− i
5 5

2+ i
- 1 + 3i
z=
1- i
2+ i

Lời giải:

2+ i
- 1 + 3i
- 1 + 3i 1 - i
z=
Û z=
.
1- i
2+ i
2+ i 2+ i
2 + 4i
(2 + 4i )(3 - 4i ) 22
4
Û z=
=
=
+
i
3 + 4i
25
25 25

Vậy phương trình có 1 nghiệm z =

22
4
+
i
25 25

e. 5 - 2iz = ( 3 + 4i ) ( 1 - 3i )

Võ Tô Hiệp – TT.GDTX&KTTH-HN Tân Hưng

Trang 11


Lời giải:
5 - 2iz = ( 3 + 4i ) ( 1 - 3i ) Û 5 - 2iz = 15 - 5i
Vậy phương trình có 1 nghiệm
10 - 5i
(10 - 5i ).2i
5
Û - 2iz = 10 - 5i Û z =
=
= + 5i
- 2i
4
2
z=

5
+ 5i
2

f. (3 + 4i )z = (1 + 2i )(4 + i )
Lời giải:
(3 + 4i )z = (1 + 2i )(4 + i ) Û (3 + 4i )z = 2 + 9i
42 19
2 + 9i
(2 + 9i )(3 - 4i ) 42 19
Vậy phương trình có 1 nghiệm z = + i

Û z=
=
=
+
i
25 25
3 + 4i
25
25 25

Bài 2: Giải các phương trình sau trên tập số phức:
a. 2 z 2 + 6 z + 5 = 0
Lời giải:
Tính ∆ = b 2 − 4ac = 36 − 4.2.5 = −4 < 0
Phương trình có hai nghiệm phức: x1,2 =

−b ± i ∆
2a

=

−6 ± 2i
3 1
=− ± i
4
2 2

=

4 ± 8i

= 2 ± 4i
2

b. z 2 − 4 z + 20 = 0
Lời giải
Tính ∆ = b 2 − 4ac = 16 − 4.1.20 = −64 < 0
Phương trình có hai nghiệm phức: x1,2 =

−b ± i ∆
2a

Bài 3: Giải phương trình sau trên tập số phức:
a. z 4 − 8 = 0
Lời giải:
z = ± 2 2
z2 = 2 2
z −8 = 0 ⇔ z = 8 ⇔ 
⇔
2
 z = ±i 2 2
 z = −2 2

4

4

Vậy phương trình có 4 nghiệm: z1,2 = ± 2 2 , z3,4 = ±i 2 2
b. z 4 + 2 z 2 − 3 = 0
Võ Tô Hiệp – TT.GDTX&KTTH-HN Tân Hưng


Trang 12


Lời giải: Đặt t = z

2

z2 = 1
 z = ±1
t = 1
pt ⇔ t + 2t − 3 = 0 ⇔ 
⇔ 2
⇔
 t = −3
 z = ±i 3
 z = −3
2

Vậy phương trình có 4 nghiệm z1,2 = ±1 và z3,4 = ±i 3
c. z 3 − 2 z 2 + 6 z − 5 = 0
Lời giải:
z 3 − 2 z 2 + 6 z − 5 = 0 ⇔ ( z − 1)( z 2 − z + 5) = 0
z = 1
z = 1
⇔ 2
⇔
 z = 1 ± 19 i
z − z + 5 = 0

2

2
1
19
i
Vậy phương trình có 3 nghiệm z1 = 1 và z2,3 = ±
2

2

Bài 4: Giải phương trình sau trên tập số phức:
a. z 2 + (1 + 2i ) z + i − 1 = 0
Lời giải:
Tính ∆ = b 2 − 4ac = (1 + 2i )2 − 4(i − 1) = 1 >0

−b + ∆ −(1 + 2i) + 1
=
= −i
 x1 =
2
a
2
Phương trình có hai nghiệm phân biệt: 

−b − ∆ −(1 + 2i ) − 1
=
= −1 − i
 x2 =
2a
2



b. ( z 2 − z ) 2 + 3( z 2 − z ) − 4 = 0
Lời giải:
Đặt t = z 2 − z

z2 − z = 1
 z 2 − z − 1 = 0(*)
t = 1
pt ⇔ t + 3t − 4 = 0 ⇔ 
⇔ 2
⇔ 2
z
−
z
=
−
4
t = −4

 z − z + 4 = 0(**)
2

* z2 − z −1 = 0
Tính ∆ = b 2 − 4ac = 1 − 4.1.(−1) = 5
Phương trình có hai nghiệm phân biệt: z1,2 =

−b ± ∆ 1 ± 5
=
2a
2


* z2 − z + 4 = 0
Tính ∆ = b 2 − 4ac = 1 − 4.1.4 = −15 = 15i 2
Võ Tô Hiệp – TT.GDTX&KTTH-HN Tân Hưng

Trang 13


Phương trình có hai nghiệm phức: z1,2 =

−b ± i ∆
2a

Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm: z1,2 =

=

1 ± i 15
2

1± 5
1 ± i 15
và z3,4 =
2
2

Bài 5: Giải phương trình sau trên tập số phức:
a. ( z + i)( z 2 − 1)( z 3 + i ) = 0
Lời giải:
z + i = 0

 z = −i
 2

2
3
( z + i )( z − 1)( z + i ) = 0 ⇔  z − 1 = 0 ⇔  z = ±1
 z3 + i = 0
 z 3 − i 3 = 0(*)

z = i

2
Phương trình (*) ⇔ ( z − i )( z + z + 1) = 0 ⇔ 

2
 z + z + 1 = 0(**)

Tính ∆ = b 2 − 4ac = 1 − 4.1.1 = −3 = 3i 2
Phương trình (**) có 2 nghiệm phức: z1,2 =

−b ± i ∆
2a

=

−1 ± i 3
2

=


−1 ± i 3
2

Vậy phương trình đã cho có 6 nghiệm phân biệt:
z1 = −i; z2 = i; z3 = 1; z4 = −1; z5,6 =

−1
3
±
i
2
2

b. z 4 + 2 z 3 − z 2 + 2 z + 1 = 0
Lời giải:
z4 + 2z3 − z 2 + 2z + 1 = 0 ⇔ z2 +
1
z

Đặt: w = z + ⇒ z 2 +

1
1
+ 2( z + ) − 1 = 0
2
z
z

1
= w2 − 2

2
z

w = 1
pt ⇔ w 2 − 2 + 2 w − 1 = 0 ⇔ w 2 + 2 w − 3 = 0 ⇔ 
 w = −3
1
z

* z + = 1 ⇔ z2 − z +1 = 0
Tính ∆ = b 2 − 4ac = 1 − 4.1.1 = −3 = 3i 2
Phương trình (**) có 2 nghiệm phức: z1,2 =

−b ± i ∆
2a

1
z

* z + = −3 ⇔ z 2 + 3 z + 1 = 0
Võ Tô Hiệp – TT.GDTX&KTTH-HN Tân Hưng

Trang 14


Tính ∆ = b 2 − 4ac = 9 − 4.1.1 = 5
Phương trình (**) có 2 nghiệm phân biệt: z3,4 =

−b ± ∆ −3 ± 5
=

2a
2

Vậy phương trình có 4 nghiệm phân biệt: z1,2 =

−1 ± i 3
−3 ± 5
và z3,4 =
2
2

 Bài tập làm thêm:
Bài 1: Giải phương trình sau trên tập số phức:
a. 2 z + (2 + i )(−1 + 3i ) = 4 − 5i

b. (5 − 7i) + 3 z = (2 − 5i)(1 + 3i)

c. 5 − 2ix = (3 + 4i )(1 − 3i)

d. 3z (2 − i ) + 1 = 2iz (1 + i ) + 3i

Bài 2: Giải phương trình sau trên tập số phức:
a. z 2 + z + 7 = 0

b. 2 z 2 + 3z + 4 = 0

c. 3z 2 + 2 z + 7 = 0

Bài 3: Giải phương trình sau trên tập số phức:
a. z 4 − 3z 2 + 6 = 0

b. z 4 − 3z 3 + z 2 − 2 z + 1 = 0
c. z 4 − 9 z 2 + 18 z − 9 = 0
d. ( z − 1)( z + 5)( z − 3)( z + 7) = 297
Bài 4: Giải phương trình sau trên tập số phức:
a. 3z 2 − (1 + 3i) z + i = 0
b. (2i) z 2 − (3 + 2i) z − 1 + 2i = 0
c. iz 3 − (1 + 2i) z 2 + iz − 1 = 0
d. z 4 + 3iz 2 + 3i = 0
Chủ đề 5: Dạng lượng giác của số phức, xác định acgumen của số phức
 Phương pháp:
+ Thực hiện các phép toán, đưa số phức về dạng đại số z = a + bi
+ Tính môđun r = a 2 + b2
a

cosϕ = r
+ Tìm ϕ sao cho: 
là một acgumen của z.
sin ϕ = b

r

+ Dạng lượng giác của số phức z = a + bi là: z = r (cosϕ + i sin ϕ )
 Bài tập áp dụng:
Võ Tô Hiệp – TT.GDTX&KTTH-HN Tân Hưng

Trang 15


Bài 1: Tìm dạng lượng giác của các số phức sau:
a. z = 1 − 3i

Lời giải:
Số phức z = 1 + 3i có môđun r = a 2 + b 2 = 12 + ( 3)2 = 2 và có một acgumen là ϕ sao cho:
1

cosϕ = 2
π
π
π
⇒ ϕ = => Vậy z = 2[cos( ) + i sin( )]

3
3
3
sin ϕ = 3

2

* Cách khác:
1
3 
π
π

z = 1 + 3i = 2  +
i÷
= 2  cos + i sin ÷
÷
3
3


2 2 

b. z = 3 + i
Lời giải:
Số phức z = 3 + i có môđun r = a 2 + b 2 = ( 3) 2 + 12 = 2 và có một acgumen là ϕ sao cho:

3
cosϕ =
π
π
2 ⇒ϕ = π

=> Vậy z = 2[cos( ) + i sin( )]
6
6
6
sin ϕ = 1

2

* Cách khác:
z = 3 + i = 2(

3 1
π
π
+ i ) = 2(cos + i sin )
2 2
6
6


c. z = 1 − i 3
Lời giải:
Số phức z = 1 − i 3 có môđun r = a 2 + b 2 = 12 + (− 3) 2 = 2 và có một acgumen là ϕ sao cho:
1

cosϕ = 2
π
π
π
⇒ ϕ = − => Vậy z = 2[cos(- ) + i sin( − )]

3
3
3
sin ϕ = − 3

2

* Cách khác:
1
3
π
π
z = 1 − i 3 = 2( −
i ) = 2[cos(− ) + i sin( − )]
2 2
3
3


Võ Tô Hiệp – TT.GDTX&KTTH-HN Tân Hưng

Trang 16


d. z =

1 − 3i
3 +i

Lời giải:
Ta có: z =

1 − 3i (1 − 3i)( 3 − i ) −4i
=
=
= −i
4
4
3 +i

Số phức z = −i có môđun r = a 2 + b 2 = 02 + (−1) 2 = 1 và có một acgumen là ϕ sao cho:
cosϕ = 0
π
π
π
⇒ ϕ = − => Vậy z = 1[cos(- ) + i sin(− )]

2
2

2
sin ϕ = −1

* Cách khác:
π
π
z = −i = 1(0 − 1.i ) = 1[cos(- ) + i sin(− )]
2
2

e. z = ( 1 − 3i ) ( 3 + i )
Lời giải:
Ta có: z = ( 1 − 3i ) ( 3 + i ) = 2 3 − 2i
Số phức z = 2 3 − 2i có môđun r = a 2 + b 2 = (2 3) 2 + (−2) 2 = 4 và có một acgumen là ϕ sao
cho:

3
cosϕ =
π
π
2 ⇒ϕ = −π
=> Vậy z = 4[cos(- ) + i sin( − )]

6
6
6
sin ϕ = − 1

2


* Cách khác:
z = 2 3 − 2i = 4(

f. z = ( 1 − i 3 )

3 1
π
π
− i ) = 4[cos(- ) + i sin (- )]
2 2
6
6

2

Lời giải:
Ta có: z = ( 1 − i 3 ) = −2 − 2 3i
2

Số phức z = −2 − 2 3i có môđun r = a 2 + b 2 = (−2) 2 + (−2 3) 2 = 4 và có một acgumen là ϕ
sao cho:

Võ Tô Hiệp – TT.GDTX&KTTH-HN Tân Hưng

Trang 17


1

cosϕ = − 2

4π
4π
4π
⇒ϕ =
=> Vậy z = 4[cos( ) + i sin( )]

3
3
3
sin ϕ = − 3

2

* Cách khác:
1
3
4π
4π
z = −2 − 2 3i = 4(− −
i) = 4[cos( ) + i sin( )]
2 2
3
3

Bài 2: Xác định môđun và agumen của mỗi số phức sau:
a. z =

5 + 11i 3
7 − 4i 3


Lời giải:

( 5 + 11i 3 ) ( 7 + 4i 3 ) = 97 ( −1 + i 3 ) = −1 + i 3
Ta có: z = 5 + 11i 3 =
49 + 48

7 − 4i 3

97

+ Môđun của z là: r = a 2 + b 2 = (−1) 2 + ( 3) 2 = 2
1

cosϕ = − 2
2π
⇒ϕ =
+ Agumen của z là ϕ sao cho: 
3
sin ϕ = 3

2

* Cách khác:
1
3
2π
2π 

z = −1 + i 3 = 2(− +
i ) = 2  cos

+ i sin
÷
2 2
3
3 


+ Môđun của z là: r = 2
+ Agumen của z là : ϕ =
π

π

2π
3

π

π




b. z =  cos + i sin ÷ cos + i sin ÷
7
7
4
4







Lời giải:
Ta có:
π
π 
π
π  
π
π
π
π  π
π
π
π 

z =  cos + i sin ÷ cos + i sin ÷ =  cos cos − sin sin ÷+ i  sin cos − cos sin ÷
7
7 
4
4  
7
4
7
4 
7
4
7

4 

z = cos

11π
11π
+ i sin
28
28

+ Môđun của z là: r = 1
Võ Tô Hiệp – TT.GDTX&KTTH-HN Tân Hưng

Trang 18


+ Agumen của z là : ϕ =

11π
28

* Cách khác:
π
π 
π
π
π π
π π 



z =  cos + i sin ÷ cos + i sin ÷ = 1.1 cos( + ) + i sin( + ) 
7
7 
4
4
7 4
7 4 


z = cos

11π
11π
+ i sin
28
28

+ Môđun của z là: r = 1
+ Agumen của z là : ϕ =

11π
28

 Bài tập làm thêm:
Bài 1: Tìm dạng lượng giác của các số phức sau:
a. z = − 3 + i

b. z = ( 2 − i 6 ) ( 1 − i )

c. z =


− 3 +i
1+ i

Bài 2: Xác định mô đun và acgumen của các số phức sau:
π
7

π
7

π
4

π
4

a. z = −2(cos + i sin )(cos − i sin )

b. z =

4 + 6i
5i − 1

III. KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU:
Năm học 2012-2013 tôi đã tiến hành khảo sát 25 em học sinh lớp 12 hệ GDTX, với
nội dung khảo sát là bài kiểm tra cuối chương Số phức. Kết quả như sau:
Lớp

Giỏi


Khá

Trung bình
Yếu
SL
%
SL
%
SL
%
SL
%
12
0
0%
2
8%
10
40%
13
52%
Cuối năm học 2013-2014 tôi chọn 25 em học sinh lớp 12 hệ GDTX để khảo sát với

nội dung cũng là bài kiểm tra cuối chương Số phức. Kết quả thu được như sau:
Lớp

Giỏi

Khá


Trung bình
Yếu
SL
%
SL
%
SL
%
SL
%
12
7
28%
6
24%
10
40%
2
8%
Từ kết quả trên cho thấy kết quả học tập của học sinh khi học chương Số phức có

phần tiến bộ rõ rệt. Tỉ lệ học sinh đạt Khá giỏi đã tăng lên và tỉ lệ học sinh yếu kém giảm rõ
nét. Hy vọng việc bổ sung thêm các phương pháp trong đề tài này sẽ làm phong phú thêm
kinh nghiệm giải toán cho học sinh, góp phần hình thành lòng đam mê, yêu thích bộ môn,
từ đó hướng các em vòa việc nghiên cứu để tìm ra những ứng dụng mới, không hài lòng với
những kiến thức đã biết mà luôn có tinh thần tìm tòi sáng tạo để tự tìm ra kiến thức mới.
Võ Tô Hiệp – TT.GDTX&KTTH-HN Tân Hưng

Trang 19



Phần III: KẾT LUẬN
I. TÓM LƯỢC GIẢI PHÁP
Việc viết sáng kiến kinh nghiệm là một trong những vấn đề cấp thiết nhất cho giai
đoạn hiện nay, giai đoạn công nghiệp hóa hiện đại hóa đất nước, một đất nước đang phát
triển như Việt Nam ta nói chung, riêng đối với ngành giáo dục cần phải đổi mới nhanh
chóng, song ở mỗi bộ môn đặc biệt các môn tự nhiên điều cốt lõi mà chương trình lớp trên
kế thừa và áp dụng thì mỗi giáo viên chúng ta nên chỉ ra và tạo mọi điều kiện để các em
nắm bắt được. Có như vậy, tình trạng hỏng kiến thức cơ bản mới hạn chế và dần khắc phục
được. Ví dụ như trong SKKN này các em học sinh sẽ biết được cách xác định phần thực,
phần ảo, số phức liên hợp và môđun của số phức; biết thực hiện các phép toán về số phức
như phép cộng hai số phức, phép trừ hai số phức, phép nhân hai số phức, phép chia hai số
phức và tìm nghịch đảo của số phức; Các em học sinh còn biết tính các căn bậc hai của số
phức; biết cách giải phương trình trên tập số phức và biết dạng lượng giác của số phức, biết
cách đưa số phức từ dạng đại số sang dạng lượng giác, biết cách xác định acgumen của số
phức,…
Hy vọng rằng với đề tài này có thể giúp các em có thêm nhiều kiến thức, biết tự học,
tự tìm tòi và sáng tạo khi giải toán. Đặc biệt là giúp các em ham học và thích học chương Số
phức nói chung và bộ môn Toán nói riêng.
II. PHẠM VI, ĐỐI TƯỢNG ÁP DỤNG
Phạm vi nghiên cứu của đề tài này bao gồm: Xác định phần thực, phần ảo, số phức
liên hợp và môđun của số phức; Các phép toán về số phức; Căn bậc hai của số phức; Giải
phương trình trên tập số phức và dạng lượng giác của số phức, xác định acgumen của số
phức.
Đề tài này có thể được áp dụng cho các em học sinh lớp 12 khi học chương Số phức,
các học sinh ôn tập thi tốt nghiệp THPT, luyện thi cao đẳng, đại học. Ngoài ra để tài này
cũng có thể để giáo viên tham khảo khi giảng dạy chương Số phức.
III. KIẾN NGHỊ
Qua SKKN này tôi muốn chia sẽ với các bạn đồng nghiệp một số kinh nghiệm mà tôi

tích lũy được trong quá trình giảng dạy môn Toán. Hy vọng các thầy cô sẽ giới thiệu rộng
rãi cho học sinh và đồng nghiệp dạy 12. Tuy nhiên những vấn đề được trình bày trong đề tài
Võ Tô Hiệp – TT.GDTX&KTTH-HN Tân Hưng

Trang 20


này là những gợi ý, các ví dụ cũng cần được sưu tập thêm, phương pháp giải các ví dụ có
thể chưa tối ưu, hy vọng rằng quý đồng nghiệp sẽ tiếp tục nghiên cứu chắc chắn đề tài sẽ
đem lại nhiều lợi ích. Hy vọng SKKN này sẽ góp phần nâng cao chất lượng dạy và học bộ
môn Toán.

TÀI LIỆU THAM KHẢO
1.

Phương pháp giải toán chuyên đề tích phân và số phức
(Nguyễn Văn Nho & Lê Bảy – NXB Đại Học Quốc Gia Hà Nội năm 2012)

2.

Phân dạng và phương pháp giải các dạng bài tập Giải Tích 12
(Nguyễn Đức Bằng & Dương Quang Hòa – NXB ĐHQG TPHCM năm 2011)

3.

Báo toán học và tuổi trẻ.

4.

Phân dạng và phương pháp giải toán số phức

(Lê Hoành Phò - NXB Đại Học Quốc Gia Hà Nội năm 2008)

5.

Các đề thi đại học ở các năm

6.

Bộ tài liệu ôn thi đại học
(TS. Vũ Thế Hựu - NXB ĐHSP TPHCM năm 2010)

Võ Tô Hiệp – TT.GDTX&KTTH-HN Tân Hưng

Trang 21


MỤC LỤC
Phần I: LỜI NÓI ĐẦU
I. Lý do chọn đề tài -------------------------------------------------------------------------------------------------------1
II. Mục đích của đề tài --------------------------------------------------------------------------------------------------1
III. Lịch sử đề tài -----------------------------------------------------------------------------------------------------------2
IV. Phạm vi đề tài ---------------------------------------------------------------------------------------------------------2
Phần II: NỘI DUNG VÀ GIẢI PHÁP
I. Thực trạng ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------3
II. Nội dung và giải pháp ----------------------------------------------------------------------------------------------4
III. Kết quả -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------19
Phần III: KẾT LUẬN
I. Tóm lược giải pháp -------------------------------------------------------------------------------------------------20
II. Phạm vi, đối tượng áp dụng ----------------------------------------------------------------------------------20
III. Kiến nghị ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------20

IV. Tài liệu tham khảo ------------------------------------------------------------------------------------------------21
V. Mục lục -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------22

Võ Tô Hiệp – TT.GDTX&KTTH-HN Tân Hưng

Trang 22