SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
NAM ĐỊNH

ĐỀ KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG HỌC KỲ II
NĂM HỌC 2016 – 2017
Môn: Toán – lớp 11.
(Thời gian làm bài: 90 phút)

ĐỀ CHÍNH THỨC

Đề thi gồm 02 trang

Phần I. Trắc nghiệm (2 điểm).
Câu 1: Giải phương trình cos 2 x + 2cos x − 3 = 0 .
A. x = π + k 2π, k ∈ ¢ .

B. x = k 2π, k ∈ ¢ . C. x = − π + k 2π, k ∈ ¢ .
2

D. x = π + k 2π, k ∈ ¢ .
2

Câu 2: Số nghiệm của phương trình tan  x + π ÷ = 3 thuộc đoạn  π ; 2π  là
2

6


A. 1.

B. 2.





C. 3.



D. 4.

Câu 3: Có 12 học sinh gồm 8 nam và 4 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách chọn từ 12 học sinh đó ra 3 học
sinh gồm 2 nam và 1 nữ ?
A. 112 cách.

B. 220 cách.

Câu 4: Cho cấp số nhân ( un ) có u1 = −
A. u10 = −256.

C. 48 cách.

D. 224 cách.

1
và u2 = 1 . Tính u10 .
2

B. u10 = 256.


C. u10 = −512.

D. u10 = 512.

Câu 5: Tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = x 3 + 3x tại tiếp điểm M ( −1; −4 ) có hệ số góc k là
A. k = 4.

B. k = 3.

C. k = 0.

D. k = 6.

Câu 6: Cho tứ diện ABCD. Khi đó hai đường thẳng AB và CD là hai đường thẳng
A. cắt nhau.

B. song song.

C. chéo nhau.

D. trùng nhau.

Câu 7: Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M , N lần lượt là trung điểm
của các cạnh AB và SD . Cắt hình chóp bởi mặt phẳng ( CMN ) . Khi đó thiết diện nhận được là
A. một tam giác.

B. một tứ giác.

C. một ngũ giác.


D. một lục giác.

Câu 8: Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình vuông có cạnh bằng a . Tam giác SAB là
tam giác vuông cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng chứa đáy. Biết I là
một điểm trong không gian cách đều các điểm A, B, C , D và S . Tính độ dài đoạn thẳng IS .
A. IS = a.

B. IS = a 2.

C. IS =

a 2
.
2

a
D. IS = .
2


Trang 1.

Phần II. Tự luận (8 điểm).
Câu 1 (2 điểm). Tính các giới hạn sau:
1.1. lim

x →+∞

1.2. lim
x →1


( x + 1) ( x 2 − 2 )
2 x3 + x + 1

.

x + 3 − 3x + 1
.
x2 + x − 2

 3x3 − x − 2
khi x ≠ 1

Câu 2 (1 điểm). Cho hàm số f ( x ) =  x − 1
. Tìm tất cả các giá trị của tham số m
m − 2 x
khi x = 1

để hàm số đã cho liên tục tại x = 1.
Câu 3 (2 điểm).

π

3.1. Cho hàm số f ( x ) = sin 2 x + 3 cos 2 x + 12sin  x + ÷. Giải phương trình f ' ( x ) + 4 = 0.
6

3.2. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = x3 + 3x + 2 , biết tiếp tuyến đó
vuông góc với đường thẳng ∆ : x + 6 y + 6 = 0.
Câu 4 (3 điểm). Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông có cạnh bằng a 2;


SA ⊥ ( ABCD ) và SA = 2a . Gọi E là hình chiếu vuông góc của A trên cạnh SB .
4.1. Chứng minh BD ⊥ ( SAC ) .
4.2. Chứng minh BC ⊥ ( SAB ) và ( AEC ) ⊥ ( SBC ) .
4.3. Gọi G và K lần lượt là trọng tâm của các tam giác SAD và ACD. Tính góc giữa
đường thẳng GK và mặt phẳng ( SAB ) .
----------HẾT---------

Họ và tên học sinh:………………………………….…………………Số báo danh:………………


Chữ ký của giám thị:…………………………………………………………………………………
Trang 2.

ĐÁP ÁN, BIỂU ĐIỂM MÔN TOÁN – LỚP 11 THPT
NĂM HỌC 2016 – 2017
Phần I. Trắc nghiệm (2 điểm).
Câu
Câu 1
Câu 2
Câu 3
Đáp án
B
A
A

Câu 4
B

Câu 5
D


Câu 6
C

Câu 7
B

Câu 8
C

Phần II. Tự luận (8 điểm).
Câu
Tính giới hạn lim

( x + 1) ( x

2x + x + 1
3

x →+∞

Câu
1.1

Ta có lim

x →+∞

( x + 1) ( x


2

− 2)

2x + x + 1
3

− 2)

2

Đáp án

Điểm

.

( x + 1) ( x 2 − 2 )

= lim

x →+∞

x3
2x + x +1
x3

0,5

3


2
 1 
1 + ÷1 − 2 ÷ 1
x  x 
= lim 
= .
( x + 1) ( x 2 − 2 ) 1
x →+∞
1 1
2
lim
= .
2+ 2 + 3
x →+∞
2 x3 + x + 1
2
x
x
Vậy
x + 3 − 3x + 1
lim
.
x →1
x2 + x − 2
Tính giới hạn
Ta có lim
x →1
Câu
1.1


 x + 3 − 2 3 ( x − 1) 
x + 3 − 3x + 1
= lim  2
− 2
÷
2
÷
x →1
x +x−2
 x + x−2 x + x−2

(

)(


x+3 −2
= lim 
x →1 
x − 1) ( x + 2 )
(

(

)

0,25

3 ( x − 1) ÷

−
x + 3 + 2 ( x − 1) ( x + 2 ) ÷


x+3+2

0,25

)





( x + 3) − 4
3 ÷
1
3 ÷
= lim 
−
= lim 
−
x →1 
x − 1) ( x + 2 ) x + 3 + 2 x + 2 ÷ x→1  ( x + 2 ) x + 3 + 2 x + 2 ÷
(



1
11

x + 3 − 3x + 1
11
= − 1 = − . Vậy lim
=− .
2
x →1
12
12
x + x−2
12
3
 3x − x − 2
khi x ≠ 1

Cho hàm số f ( x ) =  x − 1
. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để
m − 2 x
khi x = 1

hàm số đã cho liên tục tại x = 1.
Tập xác định của f ( x ) là D = ¡ . Ta có f ( 1) = m − 2 .

(

Câu
2

0,5

)


(

)

( x − 1) ( 3x + 3x + 2 )
3x3 − x − 2
= lim
= lim ( 3 x 2 + 3x + 2 ) = 3 + 3 + 2 = 8
x →1
x →1
x
→
1
x →1
x −1
x −1
Hàm số đã cho liên tục tại x = 1 ⇔ lim f ( x ) = f ( 1) ⇔ 8 = m − 2 ⇔ m = 10.

0,25
0,25

0,25

2

lim f ( x ) = lim

x →1


Vậy giá trị của tham số m cần tìm là m = 10.

π

Cho hsố f ( x ) = sin 2 x + 3 cos 2 x + 12sin  x + ÷. Giải phương trình f ' ( x ) + 4 = 0.
6


0,5
0,25


π

Tập xác định của f ( x ) là D = ¡ . Ta có f ' ( x ) = 2 cos 2 x − 2 3 sin 2 x + 12 cos  x + ÷.
6

π

Do đó f ' ( x ) + 4 = 0 ⇔ 2 cos 2 x − 2 3 sin 2 x + 12 cos  x + ÷+ 4 = 0
6

1
3
π
π
π




⇔ cos 2 x −
sin 2 x + 3cos  x + ÷+ 1 = 0 ⇔ cos  2 x + ÷+ 3cos  x + ÷+ 1 = 0
2
2
6
3
6



π
π
π
π




⇔ 2 cos 2  x + ÷+ 3cos  x + ÷ = 0 ⇔ cos  x + ÷ = 0 (vì cos  x + ÷∈ [ −1;1] )
6
6
6
6





Câu
3.2


π π
π
⇔ x + = + kπ ⇔ x = + kπ , k ∈ ¢ .
6 2
3
Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = x 3 + 3 x + 2 , biết tiếp tuyến đó vuông
góc với đường thẳng ∆ : x + 6 y + 6 = 0.
Tập xác định của hàm số D = ¡ . Ta có y ' = 3x 2 + 3 .
1
1
Đường thẳng ∆ : y = − x − 1 có hệ số góc k = − . Gọi M ( x0 ; y0 ) là tọa độ tiếp điểm
6
6
của tiếp tuyến của đồ thị hàm số đã cho, ta có hệ số góc k1 của tiếp tuyến tại tiếp điểm
2
M là k1 = y ' ( x0 ) = 3 x0 + 3 . Vì tiếp tuyến tại tiếp điểm M vuông góc với đường thẳng

0,5

0,25

0,25

0,25

0,25

 x0 = 1
 1

2
∆ do đó k .k1 = −1 ⇔ ( 3 x0 + 3)  − ÷ = −1 ⇔ 
 6
 x0 = −1

+) Với x0 = 1 ⇒ y0 = 6 ⇒ M ( 1;6 ) . Tiếp tuyến tại tiếp điểm M ( 1;6 ) của đồ thị hàm số
đã cho có phương trình y = 6 x.
+) Với x0 = −1 ⇒ y0 = −2 ⇒ M ( −1; −2 ) . Tiếp tuyến tại tiếp điểm M ( −1; −2 ) của đồ thị
hàm số đã cho có phương trình y = 6 x + 4.

0,25
0,25

Hình vẽ

Câu 4

Câu
4.1

Chứng minh BD ⊥ ( SAC ) .
ABCD là hình vuông ⇒ BD ⊥ AC .

Từ giả thiết SA ⊥ ( ABCD ) và BD ⊂ ( ABCD ) ⇒ SA ⊥ BD.

0,5

 BD ⊥ AC

⇒ BD ⊥ ( SAC ) .

Ta có  BD ⊥ SA
 SA ∩ AC = A


0,5


Câu
4.2

Chứng minh BC ⊥ ( SAB ) và ( AEC ) ⊥ ( SBC ) .

Từ giả thiết SA ⊥ ( ABCD ) và BC ⊂ ( ABCD ) ⇒ SA ⊥ BC.

ABCD là hình vuông ⇒ BC ⊥ AB.
 BC ⊥ SA

⇒ BC ⊥ ( SAB ) .
Ta có  BC ⊥ AB
 SA ∩ AB = A


0,25

0,25

Từ giả thiết ta có AE ⊥ SB . Ta có BC ⊥ ( SAB ) và AE ⊂ ( SAB ) ⇒ BC ⊥ AE .
 AE ⊥ SB

⇒ AE ⊥ ( SBC ) .

Ta có  AE ⊥ BC
 SB ∩ BC = B


Câu
4.3

0,25

 AE ⊂ ( AEC )
⇒ ( AEC ) ⊥ ( SBC ) .
Vậy 
AE
⊥
SBC
(
)

Gọi G và K lần lượt là trọng tâm của các tam giác SAD và ACD. Tính góc giữa
đường thẳng GK và mặt phẳng ( SAB ) .
Gọi I là trung điểm của AD . Vì G là trọng tâm của các tam giác SAD do đó

G ∈ SI và

IG 1
= . Vì K là trọng tâm của các tam giác ACD do đó K ∈ CI và
IS 3

IK 1
IG IK 1

= . Ta có
=
= ⇒ GK / / SC.
IC 3
IS IC 3
Vì GK / / SC ⇒ góc giữa đường thẳng GK và mặt phẳng ( SAB ) bằng góc giữa

đường thẳng SC và mặt phẳng ( SAB ) .

0,25

0,25

0,25

 SC ∩ ( SAB ) = S
⇒ SB là hình chiếu vuông góc của đường thẳng SC trên
Ta có 
BC
⊥
SAB
(
)


mặt phẳng ( SAB ) . Do đó góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng ( SAB ) bằng
·
góc giữa hai đường thẳng SC và SB. Ta có ( SC , SB ) = BSC
(vì tam giác SBC


0,25

·
vuông tại B ⇒ BSC
< 900 ).
·
Vậy góc giữa đường thẳng GK và mặt phẳng ( SAB ) bằng BSC
.
Ta có AC = 2a , tam giác SAC là tam giác vuông tại A ⇒ SC = SA2 + AC 2 = 2a 2 .
Lại có tam giác SAB là tam giác vuông tại A ⇒ SB = SA2 + AB 2 = a 6 .
·
Xét tam giác vuông SBC vuông tại B , ta có cos BSC
=

SB
3
·
=
⇒ BSC
= 300.
SC
2

0,25

Vậy góc giữa đường thẳng GK và mặt phẳng ( SAB ) bằng 300.
Chú ý:

+) Số điểm mỗi câu trắc nghiệm là bằng nhau.
+) Các cách giải khác mà đúng đều cho điểm tối đa theo mỗi câu. Biểu điểm chi tiết mỗi câu đó

chia theo các bước giải tương đương./.