__ Tài liệu ôn thi THPT Quốc Gia môn Toán năm 2017

CHỦ ĐỀ NGUYÊN HÀM-TÍCH PHÂN-ỨNG DỤNG
A/ KIẾN THỨC CẦN NHỚ:

o
o
o
o
o
o
o
o
o
o

1. Định nghĩa nguyên hàm:
Cho hàm số f(x) xác định trên K.
Hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f(x) nếu F’(x) = f(x) với mọi x ∈ K .
2. Bảng nguyên hàm:
Hàm số sơ cấp
Nguyên hàm bổ sung
1 1
∫ dx = x + C
o ∫ (ax + b)α dx = .
(ax + b)α +1 + C
a α +1
xα +1
α
1
∫ x dx = α + 1 + C , (α ≠ −1;α ∈ ¡ )

o ∫ e ax +b dx = e ax +b + C
a
1
1
1
o ∫
dx = x + C
1
1
∫ x 2 dx = − x + C
o ∫
dx = ln ax + b + C
2 x
ax + b
a
2
2
cos
xdx
=
sin
x
+
C
a
+
b
1
∫
o ∫ cos(ax + b)dx = sin(ax + b) + C

a
∫ sin xdx = − cos x + C
1
o ∫ sin( ax + b)dx = − cos(ax + b) + C
1
2
a
∫ (1 + tan x)dx =∫ cos2 x dx = tan x + C
s in x
o ∫ tan xdx = ∫
dx = − ln cos x + C
1
2
cos
x
(1
+
cot
x
)
dx
=
dx
=
−
cot
x
+
C
∫

∫ sin 2 x
cos x
o ∫ cot xdx = ∫
dx = ln sin x + C
1
dx
=
ln
x
+
C
sin
x
∫x
x
x
∫ e dx = e + C
ax
+C
ln a

x
∫ a dx =

3. Định nghĩa tích phân:
Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn [ a; b ] . Giả sử F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên đoạn [ a; b ] .
b

Hiệu: F(b) – F(a) được gọi là tích phân từ a đến b của hàm số f(x) .Kí hiệu:


∫ f ( x)dx
a

b

Công thức:

∫ f ( x)dx = F ( x)

b
a

= F (b) − F (a )

a

4. Các bài toán đổi biến số:
Bài toán

Ví dụ
π
2

b

∫ f [ u ( x)] .u '( x)dx

Bài toán 1:

a


Phương pháp: + Đặt t = u ( x) ⇒ dt = u '( x )dx
 x = a t = α
⇒
+ Đổi cận: 
 x = b t = β
+ Thế:
b

∫
a

β

f [ u ( x) ] .u '( x )dx = ∫ f (t )dt

Ví dụ: Tính I = esin x .cos xdx
∫
0

Giải
Đặt t = sin x ⇒ dt = cos xdx
x = 0 ⇒ t = 0
Đổi cận: 
x = π ⇒ t = 1

2

α


Tổ Toán – Tin

1


__ Tài liệu ôn thi THPT Quốc Gia môn Toán năm 2017
1

1

⇒ I = ∫ et dt = et = e1 − e0 = e − 1
0

0

b

∫

Bài toán 2:

1

2
Ví dụ: Tính I = ∫ x x + 1dx

u ( x ).u '( x)dx

a


0

Giải
Đặt t = x + 1 ⇒ t = x 2 + 1 ⇒ 2tdt = 2 xdx
⇒ tdt = xdx
x = 0 ⇒ t = 1
Đổi cận: 
x = 1⇒ t = 2

Phương pháp: + Đặt t = u ( x) ⇒ t = u ( x)
2

2

⇒ 2tdt = u '( x )dx
 x = a  t = α1
⇒
+ Đổi cận: 
 x = b t = β1
+ Thế:
b

∫
a

2

⇒I=

β1


u ( x ).u '( x)dx = ∫ t.2tdt

∫ t.tdt =
1

2

2

2

1 3
1
2
∫1 t dt = 3 t 1 = 3 2 2 − 1

α1

Bài toán 3:

a
2

∫

a

a − x dx
2


∫a

Bài toán 4:

2

0

0

2

1
dx
+ x2

Phương pháp:
+ Đặt x = a tan t ⇒ dx = a (1 + t an 2 x )dt
+ Đổi cận: …….
+ Thế: ……..

Phương pháp: + Đặt
x = a sin t ⇒ dx = acos xdx
+ Đổi cận: ….
+ Thế: ….

5. Tích phân từng phần:
b


a). Công thức:

b

∫ udv = uv a − ∫ vdu
b

a

a

b). Các dạng toán tích phân từng phần:
b

1

Bài toán 1: Tích phân dạng: ∫ P ( x).e dx

x
Ví dụ: Tính I = ∫ xe dx

x

a

Phương
pháp:
u
=
P

(
x
)
du
=
P
'(
x
)dx


⇒


x
x
 dv = e dx v = e

0

Đặt

Giải
u
=
x
du

 = dx
⇒

Đặt 

x
x
 dv = e dx v = e
1

1

1

x
x
x
Vậy, I = xe 0 − ∫ e dx = e − e 0 = e − (e − 1) = 1
0

π
2

b

Bài toán 2: Tích phân dạng: ∫ P ( x).sin xdx
a

Phương
pháp:
u = P ( x)
du = P '( x)dx
⇒


 dv = sin xdx v = −cos x

Đặt

Ví dụ: Tính tích phân I = (2 x + 1)sin xdx
∫
0

Giải
u = 2 x + 1
du = 2dx
⇒
Đặt 
 dv = sin xdx v = −cos x
π
2
0

π
2

Vậy, I = − [(2 x + 1) cos x] + 2 cos xdx
∫
0

Tổ Toán – Tin

2



__ Tài liệu ôn thi THPT Quốc Gia môn Toán năm 2017
π

= 1 + 2sin x 02 = 1 + 2 = 3
π
2

b

Bài toán 3: Tích phân dạng: ∫ P ( x).cos xdx
a

Phương
pháp:
u = P ( x)
du = P '( x)dx
⇒

 dv = cos xdx v = sin x

Đặt

Ví dụ: Tính tích phân I = (1 − x)cos xdx
∫
0

Giải
u = 1 − x
du = −dx

⇒
Đặt 
 dv = cos xdx v = sin x
π
2
0

π
2

Vậy, I = [(1 − x )sin x] + sin xdx
∫
0

= 1−
b

π
π
π
+ cos x = 1 − − 1 = −
2
2
2
π
2
0

2


Bài toán 4: Tích phân dạng: ∫ P ( x).ln xdx

Ví dụ: Tính tích phân I = ∫ 2 x ln xdx

1

u = ln x
du = dx
⇒
x
Phương pháp: Đặt 
 dv = P ( x )dx v = ...

3
= 4 ln 2 −
2

Giải
1

u = ln x
du = dx
⇒
x
Đặt 
 dv = 2 xdx v = x 2


a


1

2

2

1
Vậy, I = (2 x ln x ) 1 − ∫ xdx = (2 x ln x) 1 − x 2
2 1
1
2

2

6. Diện tích hình phẳng:
Dạng 1: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C) y = f(x), trục Ox, hai đường thẳng: x = a;
x = b.
Phương pháp:
+ Giải phương trình y = f(x) = 0 tìm nghiệm trên đoạn [a;b].
+ Nếu không có nghiệm nào ∈ [a;b] thì áp dụng công thức:
b

S = ∫ f ( x) dx =
a

b

∫ f ( x)dx
a


+ Nếu có một nghiệm c ∈ [a;b] thì ta áp dụng công thức sau:
b

S = ∫ f ( x) dx =
a

c

b

a

c

∫ f ( x)dx + ∫ f ( x)dx

( Chú ý: y = f(x) = 0 có 2, 3 nghiệm trở lên ∈ [a;b], thì ta cũng áp dụng tương tự)
Ví dụ: Tính diện tích của hình phẳng được giới hạn bởi các đường : y = x 2 − 2 x , trục Ox và hai
đường thẳng x = −1; x = 1.
Giải:
x = 0
2
Đặt f ( x ) = x 2 − 2 x , ta có: f ( x ) = 0 ⇔ x − 2 x = 0 ⇔ 
 x = 2(l )
Vậy diện tích của hình phẳng cần tìm là:
0

1

 x3


 x3

4
S = ∫ ( x − 2 x )dx = ∫ ( x − 2 x)dx + ∫ ( x − 2 x)dx =  − x 2 ÷ +  − x 2 ÷ = (đvdt).
 3
 −1  3
0 3
−1
−1
0
1

0

2

1

2

2

Tổ Toán – Tin

3


__ Tài liệu ôn thi THPT Quốc Gia môn Toán năm 2017
Dạng 2: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị: y = f1 ( x) (C1 ); y = f 2 ( x ) (C2 )

Phương pháp:
+ Hoành độ giao điểm của hai đồ thị là nghiệm của phương trình: f1 ( x) = f 2 ( x) .
Giả sử x = a; x = b ( a < b) là nghiệm của phương trình.
+ Khi đó diện tích của hình phẳng cần tìm được tính theo công thức sau:
b

S = ∫ f1 ( x) − f 2 ( x) dx =
a

b

∫ [ f ( x) − f
1

2

( x) ] dx

a

Ví dụ: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường : y = x 2 − 2 x ; y = x
Giải:
Hoành độ giao điểm của hai đường cong là nghiệm của phương trình: x 2 − 2 x = x
x = 0
⇔ x 2 − 3x = 0 ⇔ 
x = 3
Vậy, diện tích của hình phẳng cần tìm là:
3

S=∫

0

3

 x3 3 
9
x − 3 x dx = ∫  x − 3x  dx =  − x 2 ÷ = (đvdt).
 3 2 0 2
0
3

2

2

7. Thể tích vật thể tròn xoay:
Thể tích của khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường: (C): y = f(x), trục Ox, hai
đường thẳng x = a, x =b(a < b) khi quay quanh trục Ox là:
b

V = π ∫ [ f ( x) ] dx
2

a

Chú ý: Nếu thể tích của khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường: (C): x = f(y),
trục Oy, hai đường thẳng y = α ; y = β (α < β ) khi quay quanh trục Oy là:
β

V = π ∫ [ f ( y ) ] dy

2

α

Ví dụ: Thể tích của khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường: (C): y = 2 x − x 2 , trục
Ox, hai đường thẳng x = 0, x =2(a < b) khi quay quanh trục Ox.
Giải:
Thể tích khối tròn xoay cần tìm là:
2

4
x5 
16π
V = π ∫ (2 x − x ) dx = π ∫ (4 x − 4 x + x )dx = π  x 3 − x 4 + ÷ =
(đvtt).
4 0
5
3
0
0
2

2

2 2

2

3


4

B/ BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM:
Câu 1: Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x ) =
A.
C.

∫ f ( x ) dx = e
∫

x

ln ( e x + 4 ) + C

ex
f ( x ) dx = x
+C
e +4

ex
4 + ex

B.
D.

∫ f ( x ) dx = ln ( e
∫

x


+ 4) + C

ex
f ( x ) dx = ln x
+C
e +4

Tổ Toán – Tin

4


__ Tài liệu ôn thi THPT Quốc Gia môn Toán năm 2017
2
Câu 2: Biết F(x) là một nguyên hàm của hàm số f ( x ) = 3x + 2 x − 1 và F ( 1) = 2 . Trong
các khẳng định sau, đâu là khẳng định đúng?
3
2
A. F ( x ) = x + x − x + C
B. F ( x ) = 6 x + 2
3
2
3
2
C. F ( x ) = x + x + x − 1
D. F ( x ) = x + x − x + 1

Câu 3: Họ nguyên hàm của hàm số f ( x ) = x x 2 − 1 là:
2 2
x − 1) x 2 − 1 + C

(
3
1 2
x −1 + C
C. F ( x ) =
3

1 2
x − 1) x 2 − 1 + C
(
3
2 2
x −1 + C
D. F ( x ) =
3

A. F ( x ) =

B. F ( x ) =

Câu 4: Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x) = 2 x − 1.
A.

1

∫ f ( x)dx = 3 (2 x − 1)

2 x − 1 + C.

B.


1

∫ f ( x)dx = − 3

2 x − 1 + C.

1
2
+ C.
D. ∫ f ( x)dx = (2 x − 1) 2 x − 1 + C.
2x −1
3
x
Câu 5:Cho I= ∫ xe dx , đặt u = x 2 , khi đó viết I theo u và du ta được:
1
u
u
u
A. I = 2∫ e du
B. I = ∫ e du
C. I = ∫ eu du
D. I = ∫ ue du
2

C.

∫ f ( x)dx =

2


1

2x
Câu 6: Tích phân I = ∫ x.e dx
0

e +1
A. I =
4

−e 2 + 1
B. I =
4

2

Câu 7: Tính tích phân I =

D. I = 3

π
2

∫π sin 2 x.cosxdx

−

A. I = 0


e2 − 1
C. I =
4

2

C. I = −

B. I = 3

π
6

D. I =

π
6

1

Câu 8: Tích phân I = ∫ (| 2 x − 1| − | x |)dx bằng:
0

A. 2

B. 3
2

Câu 9:Gỉa sử


∫1+
1

B. 12
5

Câu 10: Tích phân

∫x
4

A. 2 ln 2
2

Câu 11. Biết I = ∫
0

D. 0

x
a
1
a
dx = + 4ln , trong đó
tối giản. Tính a + b
b
2
b
x −1


A. 11

A. a − b = 1

C. 1

2

2x − 3
dx bằng:
− 3x + 2
B. ln 2

C. 13

D. 14

C. 3ln 2

D. 4ln 2

2

x
dx = a + lnb . Chọn khẳng định đúng:
x +1
B. 2a + b = 5
C. a + 2 = b
Tổ Toán – Tin


D. ab = 0
5


__ Tài liệu ôn thi THPT Quốc Gia môn Toán năm 2017

Câu 12. Cho hàm số f(x) có đạo hàm trên đoạn [0;3], f(0) = 2 và f(3)= 5. Tính
3

I = ∫ f ' ( x ) dx .
0

A. 3
B. −9
C. −5
D. 9
Câu 13: Cho hình (H) giới hạn bởi y = sin x; x = 0; x = π và y = 0. Tính thể tích vật thể
tròn xoay khi quay hình (H) quanh trục Ox.
π
π2
π2
A. V =
B. V =
C. V = 2π
D. V =
2

2

4


Câu 14: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi y = x ² ; x = 1 ; x = 2 và y = 0.
A.

4
3

B.

8
3

C.

7
3

D. 1

Câu 15. Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số y = f1 ( x ) , y = f 2 ( x )
liên tục và hai đường thẳng x = a , x = b (a < b) được tính theo công thức:
b

A. S = ∫ f1 ( x ) − f 2 ( x ) dx .

B. S =

a

b


∫ f ( x ) − f ( x ) dx .
1

2

a

b

C. S = ∫  f1 ( x ) − f 2 ( x )  dx .

b

b

a

a

D. S = ∫ f1 ( x ) dx − ∫ f 2 ( x ) dx .

a

Câu 16: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = x 4 − 4 x 2 + 1 và đồ thị
hàm số y = x 2 − 3
A. 6
B. 4
C. 2
D. 8

Câu 17: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi y = – x ³ + 3x + 1 và đường thẳng y = 3 là
45
21
D.
.
4
4
2
Câu 18. Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi ( C ) : y = x + 2 x ; y − x − 2 = 0 là:
5
7
9
11
A.
B.
C.
D.
2
2
2
2
Câu 19: Cho hình thang cong ( H ) giới hạnbới các đường
y = e x , y = 0, x = 0 và x = ln 4 . Đường thẳng x = k (0 < k < ln 4) chia
( H ) thành hai phần có diện tích là S1 S 2 và như hình vẽ bên. Tìm k
để S1 = 2S2 .
2
A. k = ln 4
B. k = ln 2
3
8

C. k = ln
D. k = ln 3
3

A.

57
.
4

B.

27
.
4

C.

x
Câu 20: Cho I = F ( x ) = ∫ xe dx biết F ( 0 ) = 2015 , vậy I = ?
A. I = xe x + e x + 2014
B. I = xe x − e x + 2016
C. I = xe x + e x + 2016
D. I = xe x − e x + 2014

Câu 21: Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x ) =

e −6 x +1
2


Tổ Toán – Tin

6


__ Tài liệu ôn thi THPT Quốc Gia môn Toán năm 2017

f ( x ) dx = −

e −6 x +1
+C
12

A.

∫

C.

∫ f ( x ) dx = 3e

−6 x +1

B.

+C

D.

∫ f ( x ) dx = −3e

∫

−6 x +1

+C

e −6 x +1
f ( x ) dx =
+C
2

Câu 22: Cho I= ∫ x 5 x 2 + 15dx , đặt u = x 2 + 15 khi đó viết I theo u và du ta được :
6
4
2
A. I = ∫ (u − 30u − 225u )du

4
2
B. I = ∫ (u − 15u ) du

6
2
2
C. I = ∫ (u − 30u + 225u )du

5
3
D. I = ∫ (u − 15u )du


Câu 23: Biết F(x) là một nguyên hàm của hàm số f ( x ) =
B. 5 ( 1 + ln 2 )

A. 2 ln 5 + 4

4
và F ( 0 ) = 2 . Tìm F ( 2 ) .
1+ 2x

C. 2 ( 1 + ln 5)

D. 4 ln 5 + 2

1 + 3ln x
dx , đặt t = 1 + 3ln x . Khẳng định nào sau đây
x

e

Câu 24: Cho tích phân I = ∫
1

đúng?
22 2
A. I = ∫ t dt
31

22
B. I = ∫ tdt
31


32 2
C. I = ∫ t dt
21

2e
D. I = ∫ tdt
31

e

Câu 25: Tích phân I = ∫ 2 x ( 1 − ln x ) dx bằng
1

e −2
3
2

A.

B. −

3 − e2
2

C.

e2 − 3
3


D.

e2
−3
2

π

Câu 26: Tính tích phân I = ∫ x sin xdx , đặt u = x , dv = sin xdx . Khi đó I biến đổi thành
0

A. I = − x cos x − ∫ cos xdx

B. I = − x cos x + ∫ cos xdx

C. I = x cos x + ∫ cos xdx

Câu 27: Tính tích phân I =

D. I = − x sin x + ∫ cos xdx
π /4

∫ cos

3

x.sin xdx.

0


3
A. I =
8

4
B. I = u
4

1
2

4
C. I = − u
3

1

1
2

1

1

D. I = − ∫ 2 u 3du
1

3

a

a
, trong đó tối giản. Tính S = a + b
b
b
0
A. S = 10
B. S = 8
C. S = 6
D. S = 4
1
4 x + 11
a
a
dx = ln , trong đó tối giản.Tính P = a.b
Câu 29:Gỉa sử ∫ 2
b
b
0 x + 5x + 6
A. P = 15
B. P = 16
C. P = 18
D. P = 21

Câu 28:Giả sử tích phân I = ∫ x x 2 + 1dx =

b

Câu 30. Biết
F ( b) .


∫ f ( x ) dx = 10 , F ( x ) là một nguyên hàm của f ( x )

và F ( a ) = −3 . Tính

a

Tổ Toán – Tin

7


__ Tài liệu ôn thi THPT Quốc Gia môn Toán năm 2017

A. F ( b ) = 13
B. F ( b ) = 16
C. F ( b ) = 10
D. F ( b ) = 7
Câu 31:Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi các đường y = sin 2 x, y = cos x và hai
π
đường thẳng x = 0, x = là :
2

3
1
( dvdt )
D. ( dvdt )
2
2
Câu 32:Thể tích khối tròn xoay giới hạn bởi y = ln x, y = 0, x = 1, x = 2 quay quanh trục


A.

1
( dvdt )
4

B.

1
( dvdt )
6

C.

Ox có kết

π

(

quả là:
2
A. 2π ( ln 2 − 1)

)

2ln 2 − 1

B. π ( 2ln 2 − 1)


C. π ( 2ln 2 + 1)

2

2

D.

2

Câu 33.Cho đồ thị hàm số y = f ( x ) . Diện tích hình phẳng (phần gạch trong hình) là:
0

A.

∫

−3

0

0

f ( x ) dx − ∫ f ( x ) dx

B.

0

4


4

−3

0

−3

∫

−3

4

4

f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx
0

∫ f ( x ) dx − ∫ f ( x ) dx D. ∫ f ( x ) dx

C.

Câu 34:Gọi D là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = xe x và các đường thẳng
x = 1, x = 2, y = 0 . Tính thể tích V của khối tròn xoay thu được khi quay hình D xung
quanh trục Ox.
2
A. V = ( π e )
B. V = 2π e 2

C. V = π e 2
D. V = ( 2 − e ) π
1
3

Câu 35: Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi y = x 3 − x 2 và Ox. Thể tích khối tròn xoay
sinh ra khi quay (H) quanh Ox bằng:
53π
21π
A.
B.
6

5

C.

81
35

D.

81π
35

Câu 36:Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số
y = f ( x ) = x 3 − 4 x 2 + x + 6 và trục hoành.
A. S = ∫−1 f ( x ) dx
3


B. S =

C. S = ∫−1 f ( x ) dx − ∫2 f ( x ) dx
2

3

∫

3

−1

f ( x ) dx

D. S = ∫−1 f ( x ) dx + ∫2 f ( x ) dx
2

3

Câu 37:GọiV là thể tích của khối tròn xoay sinh ra khi cho hình phẳng giới hạn bởi các đường
y=

1
 15

+ 1, y = 0, x = 1, x = k ( k > 1) quay xung quanh trục Ox. Tìm k để V = π  + ln16 ÷.
x
 4



A. k = e2

B. k = 2e

C. k = 4
Tổ Toán – Tin

D. k = 8
8


__ Tài liệu ôn thi THPT Quốc Gia môn Toán năm 2017




Câu 38:Đặt F ( x ) = ∫  x3 + x 2 +

1 
÷dx , ta có:
x2 

x 4 x3 1
+ − +C
4 3 x
x4 x2 1
C. F ( x ) = + + + C
4 3 x


x4 x2
+ + ln x 2 + C
4 3
2
D. F ( x ) = 3x 2 + 2 x − 3 + C
x

A. F ( x ) =

B. F ( x ) =

1

5
2
Câu 39:Cho I = ∫ x 1 − x dx . Nếu đặt 1 − x 2 = t thì I bằng :
0

1

0

A. ∫ t ( 1 − t ) dt

B. ∫ t ( 1 − t ) dt

2

0


1

1

C. ∫ t ( 1 − t
2

)

2 2

0

0

dt

4
2
D. ∫ ( t − t ) dt
1

BÀI TẬP TỰ LUYỆN
1
- 3 là
cos2x
A. t an x - 3x + C .
B. - t an x - 3x + C . C. cot x - 3x + C .
Câu 2: Nguyên hàm của hàm số f (x ) = 3x là


Câu 1: Nguyên hàm của hàm số f (x ) =

D. - cot x - 3x + C

3x + 1
+C.
B. 3 ln 3 + C .
C.
D. x 3x - 1 + C .
x+1
1
Câu 3: Nguyên hàm của hàm số f ( x ) = x 3 - 3x + là biểu thức nào sau đây?
x
4
4
4
x 3
x 3
x 2
x4 3
A. - x 2 + ln x + C . B. - x 2 + ln x + C . C. - x 2 + ln x + C .
D. - x 2 - ln x + C .
4 2
4 2
4 3
4 2
x
Câu 4: Nếu F ( x ) là một nguyên hàm của f (x ) = e - 1 và F (0) = 7 thì F (x ) là
3x
A.

+C.
ln 3

x

A.e x - x + 6 .
B.e x - x - 6 .
C. - e x + x + 4 .
D.e x - x + 7 .
Câu 5: Họ nguyên hàm của hàm số f ( x ) = 3 sin x + 7 cos x là biểu thức nào sau đây?
A. - 3 cos x + 7 sin x + C . B. - 3 cos x + 7 sin x .
C. 3 cos x + 7 sin x + C .
D.
3 cos x - 7 sin x + C .
Câu 6: Hàm nào sau đây không phải là một nguyên hàm của hàm số y =
2x
.
x+1
x
Câu 7: Nguyên hàm của hàm số f ( x ) = xe là:

A.

-x+1
.
x+1

B.

C.


- 2
.
x+1

D.

2
?
(x + 1)2

x- 1
.
x+1

x2 x
e +C.
D. xe x + e x + C .
2
ln x
1
Câu 8: Gọi F (x ) là một nguyên hàm của hàm y = ln 2 x + 1. . Biết F (1) = . Giá trị F 2 (e )
x
3

A. xe x - e x + C .

B.e x + C .

C.


bằng:
A.

8
.
9

B.

1
.
9

8
3

C. .

Tổ Toán – Tin

D.

1
.
3
9


__ Tài liệu ôn thi THPT Quốc Gia môn Toán năm 2017


Câu 9: Gọi F (x ) là nguyên hàm của hàm số f (x ) trên đoạn
sau, đẳng thức nào đúng?
b

A.

b

b

ò f (x )dx = F ( b) - F ( a ) . B. ò f (x )dx = F ( a ) - F (b).
a

éa;bù. Trong các đẳng thức
ê
ë ú
û

C.

a

ò f (x )dx = F ( b) + F ( a ) .

D.

a

b


ò f (x )dx = - F ( b) - F ( a ) .
a

4

Câu 10: Cho T =

ò

xdx . Khi đó giá trị của T là

1

A. T =

14
.
3

C. T =

B. T = 7.
e

Câu 11: Cho P =

2

ò x dx


21
.
2

7
3

D. T = .

. Khi đó giá trị của P là

1

A. P = 2.

B. P = 1.

C.

c

Câu 12: Cho biết

2
−2.
e2

b


b

ò f (x )dx = 7 ,ò f (x )dx = 3
a

A. 10.

D. P = 2e − 1.

và a< c< b. Khi đó tích phân

c

B. -4.

ò f (x )dx

bằng

a

C. 21.

D. 4.

0

Câu 13: Giá trị

2x - 1

dx bằng:
x
- 1

ò 1-

A. ln 2 - 2 .
Câu 14: Cho

B. ln 2 + 2 .
p
2

p
2

0

0

ò f ( x ) dx = 5 . Khi đó ò éêëf ( x ) + 2 sin x ùúû.dx

A. 3.

B. 5 +

Câu 15: Tích phân

p
4


ò 2 sin

2

0

A. p 4

C. - ln 2 + 2 .

p
.
2

D. - ln 2 - 2 .

bằng:

D. 5 + p .

C. 7.

x bằng
dx
2

B. p + 2 .

2

.
2

4

2

C. - p 4

D. - p + 2 .

2
.
2

4

2

1

Câu 16: Biết rằng tích phân

ò(2x + 1)e dx = a + be. , tích ab
x

bằng:

0


A. 1 .

B. - 1 .

C. - 15 .
2

Câu 17: Cho tích phân

ò
1

(x

2

)

- 2x ( x - 1)
x+1

D. 5 .

dx = a + b ln 3 + c ln 2 (a, b, c Î ¤ ) . Chọn khẳng

định đúng trong các khẳng định sau:
Tổ Toán – Tin

10



__ Tài liệu ôn thi THPT Quốc Gia môn Toán năm 2017

C. b > 0 .
A. a < 0 .
B. c < 0 .
D. a + b + c > 0 .
Câu 18: Khi cho hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f ( x) liên tục trên [ a; b ] , trục
Ox , x = a , x = b khi quay quanh trục hoành, thì thể tích được xác định bởi công thức
b

A. π ∫  f ( x )  2 dx.

B.

a

b

b

∫  f ( x )  dx.

C. ∫  f ( x )  2 dx.

2

a

a


b

D. π ∫ f ( x ) dx.
a

Câu 19: Gọi V là thể tích của khối tròn xoay khi cho hình phẳng (H) được giới hạn bởi
các đường y = x + 1; y = 0; x = 0; x = 1 ; quay quanh trục Ox
7
3

7
3

A. V= π .

C. V= 7π .

B . V= .

D. V=7.

Câu 20: Diện tích của hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường y = x 2 + 1; y = 0; x = 0; x = 1 bằng
A.

4
.
3

B. 2.


C. 3.

D.4.

Câu 21: Diện tích của hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường y = x 2 − 2 x; y = x; x = 1; x = 2
bằng
A.

13
.
3

B. 13.

4
3

C. 0.

D. .

Câu 22: Thể tích của khối tròn xoay khi cho hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường
y = sin x, y = 0, x = 0, x =

A.

π
quay quanh trục Ox bằng
2


π2
.
4

B.

π
.
4

D. π .

C. π 2 .

Câu 23: Tìm m để hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = x 2 + 2mx + m 2 + 1 , trục Ox ,
32
trục Oy và đường thẳng x = 2 có diện tích bằng .

A. m = 1 .

B. m = −3 .

3

C. m = 1, m = −3 .

D. Không tồn tại m .

Câu 24: Một vật chuyển động với vận tốc v(t ) = 1 + 2t (m / s ) . Biết quãng đường mà vật

chuyển động trong khoảng thời gian từ lúc xuất phát ( t = 0) đến thời điểm t1 là 6(m) .
Tính t1 .
A. t1 = 3 .

B. t1 = 2 .

5
2

C. t1 = .

D. t1 = 42 .

Câu 25: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C ) của hàm số y = x 2 − 2 x + 2 và
các tiếp tuyến đi qua điểm A(2; −2) của đồ thị (C ) .
A.

16
.
3

128

B. 3 .

8

C. 3 .

Tổ Toán – Tin


11

D. 3 .

11