SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC

ĐỀ CHÍNH THỨC

KIỂM TRA CHẤT LƯỢNG CHUYÊN MÔN GIÁO VIÊN
NĂM HỌC 2016 - 2017
MÔN: TOÁN - CẤP THCS
Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề


 x + 2 x− x −3  x− x
2 
−
:
+
Câu 1 (3,0 điểm). Cho biểu thức P = 
÷

÷
÷
x −2÷
 x +1 x − x − 2   x − x − 2

a) Rút gọn biểu thức P.
b) Chứng minh P < 1 .
c) Tìm giá trị lớn nhất của P.

Câu 2 (2,0 điểm).
3 x − y = 2m − 1
( 1) , trong đó x và y là ẩn, m là tham số.
a) Cho hệ phương trình 

 x + 2 y = 3m + 2
Tìm tất cả các giá trị của m để hệ phương trình (1) có nghiệm ( x; y ) sao cho S = x 2 + y 2 đạt
giá trị nhỏ nhất.
b) Tìm các số thực x, y thỏa mãn ( x + 1) 2 + 2 xy + 2 y + y 2 + 2 x − 3 y − 3 = 0.
Câu 3 (1,0 điểm).
Hai tổ cùng làm một công việc trong 15 giờ thì xong. Nếu tổ I làm trong 3 giờ và tổ
II làm trong 5 giờ thì họ làm được 25% công việc. Hỏi mỗi tổ làm riêng công việc đó trong
bao lâu thì xong? Biết rằng năng suất mỗi tổ không thay đổi trong quá trình làm việc.
Câu 4 (3,0 điểm).
Cho đường tròn ( O; R ) và dây cung cố định AB < 2R. Gọi K là điểm chính giữa của
cung nhỏ AB; N là điểm tùy ý trên đoạn thẳng AB (N khác A, B). Nối KN và kéo dài cắt
( O; R ) tại điểm thứ hai là M. Chứng minh rằng
a) Tam giác AKN và tam giác MKA đồng dạng.
b) Đường thẳng AK tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp tam giác AMN.
c) Tổng bán kính 2 đường tròn ngoại tiếp tam giác AMN và tam giác BMN không
phụ thuộc vào vị trí điểm N.
Câu 5 (1,0 điểm). Cho dãy số ( an ) được xác định bởi a1 = 1, an +1 = 2an + 3an2 − 2 , với n là số
nguyên dương. Chứng minh rằng mọi số hạng của dãy số ( an ) đều là số nguyên.

---------------Hết --------------Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm
Họ và tên thí sinh: .................................................................. Số báo danh: ........................

/>

SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC


KIỂM TRA CHẤT LƯỢNG CHUYÊN MÔN GIÁO VIÊN
NĂM HỌC 2016 -2017
HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN – CẤP THCS



 x + 2 x− x −3  x− x
2 
−
:
+
Câu 1 (3,0 điểm). Cho biểu thức P = 
÷

÷
÷
x −2÷
 x +1 x − x − 2   x − x − 2

a) Rút gọn biểu thức P.
b) Chứng minh P < 1 .
c) Tìm giá trị lớn nhất của P.

Nội dung
a)
x ≥ 0
x ≠ 4

Điểm
1,00

Điều kiện: 

0,25


 x +2
x − x −3  
x− x
2 
⇒ P = 
−
:
+
÷

÷
÷
x −2÷
 x + 1 ( x + 1)( x − 2)   ( x + 1)( x − 2)


0,25

=

x−4− x+ x +3 x− x +2 x +2
:
( x + 1)( x − 2) ( x + 1)( x − 2)

0,25

=

x −1

x −1
. Vậy P =
x+ x +2
x+ x +2

0,25

b)

1,00

x ≥ 0
x −1
−x − 3
−1 =
ta xét P -1=
x+ x +2
x+ x +2
x ≠ 4
−x − 3
< 0 ⇒ P −1 < 0 ⇒ P < 1
Do x ≥ 0 ⇒ − x − 3 < 0 mà x + x + 2 > 0 ⇒
x+ x +2

Với 

c)
TH 1: Nếu 0 ≤ x ≤ 1 ⇔ 0 ≤ x ≤ 1 ⇔ −1 ≤ x − 1 ≤ 0 mà x + x + 2 > 0 ⇒ P ≤ 0 (1)
x > 1
x ≠ 4


0,50
0,50
1,00
0,25

TH 2: 

1 x + x + 2 x −1+ x −1+ 4
4
4
⇒ =
=
= x +1+1+
= x −1+ 3 +
P
x −1
x −1
x −1
x −1

Do x > 1 và x ≠ 4 nên

x − 1 > 0 và

0,25

4
>0.
x −1


Áp dụng BĐT Côsi cho 2 số dương ta được:
4
1
1
≥ 2 4 + 3 ⇔ ≥ 7 ⇔ P ≤ (2)
P
7
x −1
1
Từ (1) và (2) ta suy ra P ≤
7
4
1
⇔ x − 1 = 2 ⇔ x = 9 . Vậy Pmax = ⇔ x = 9 .
Dấu “=” xảy ra ⇔ x − 1 =
x −1
7
x −1+ 3 +

/>
0,25

0,25


Câu 2 (2,0 điểm).
3 x − y = 2m − 1
( 1) , trong đó x và y là ẩn, m là tham số.
a) Cho hệ phương trình 

 x + 2 y = 3m + 2
Tìm tất cả các giá trị của m để hệ phương trình (1) có nghiệm ( x; y ) sao cho S = x 2 + y 2 đạt
giá trị nhỏ nhất.
b) Tìm các số thực x, y thỏa mãn ( x + 1) 2 + 2 xy + 2 y + y 2 + 2 x − 3 y − 3 = 0 .
Nội dung
a)
 y = 3 x − 2m + 1
3 x − y = 2m − 1
⇔

 x + 2 y = 3m + 2
 x + 2 ( 3 x − 2m + 1) = 3m + 2
x = m
⇔
y = m +1
x = m
2
Thay 
vào biểu thức S = x 2 + y 2 = m 2 + ( m + 1) = 2m 2 + 2m + 1
 y = m +1
2
1 1 1

2
S = 2m + 2m + 1 = 2  m + ÷ + ≥
2 2 2

1
−1
Vậy S min = ⇔ m =

2
2
b)
Điều kiện: 2 x − 3 y − 3 ≥ 0(*)
PT ⇔ x 2 + 2 x + 1 + 2 xy + 2 y + y 2 + 2 x − 3 y − 3 = 0
⇔ ( x + y ) 2 + 2( x + y ).1 + 1 + 2 x − 3 y − 3 = 0
⇔ ( x + y + 1) 2 + 2 x − 3 y − 3 = 0.
( x + y + 1) 2 ≥ 0
x + y +1 = 0
⇒
Do 
2 x − 3 y − 3 = 0
 2 x − 3 y − 3 ≥ 0
x = 0
⇔
⇒ Nghiệm của phương trình là (0; −1) .
 y = −1

Điểm
1,00
0,25
0,25
0,25

0,25
1,00
0,25
0,25
0,25
0,25


Câu 3 (1,0 điểm). Hai tổ cùng làm một công việc trong 15 giờ thì xong. Nếu tổ I làm trong
3 giờ và tổ II làm trong 5 giờ thì họ làm được 25% công việc. Hỏi mỗi tổ làm riêng công
việc đó trong bao lâu thì xong? Biết rằng năng suất mỗi tổ không thay đổi trong quá trình
làm việc.
Nội dung
Điểm
Gọi thời gian tổ I làm một mình xong công việc là x (giờ, x > 15 )
Gọi thời gian tổ II làm một mình xong công việc là y (giờ, y > 15 )
1
Khi đó
Năng suất của tổ I là (công việc)
x
0,25
1
Năng suất của tổ II là
(công việc)
y
1
Năng suất của cả 2 tổ là
(công việc)
15

/>

1 1
+ (công việc)
x y
1 1 1
Theo bài ra ta có phương trình + = (1)

x y 15
3
Trong 3 giờ tổ I làm được (công việc)
x
5
Trong 5 giờ tổ II làm được
(công việc)
y

1 giờ cả hai tổ làm được là

0,25

Theo đầu bài tổ I làm trong 3 giờ, tổ II làm trong 5 giờ được 25% công việc =
1 1 1
 x + y = 15

(công việc) ta có hệ phương trình 
. Đặt
3 + 5 = 1
 x y 4

1
4

0,25

1

u = x


v = 1
y


1
1


u + v = 15
u = 24  x = 24
⇒
⇒
⇒
1
1
 y = 40
3u + 5v =
v =
40

4 

0,25

Vậy tổ I làm một mình trong 24 giờ và tổ II làm trong 40 giờ thì xong công việc.
Câu 4 (3,0 điểm). Cho đường tròn (O; R) và dây cố định AB < 2R. Gọi K là điểm chính
giữa của cung nhỏ AB; N là điểm tùy ý trên đoạn thẳng AB (N khác A, B). Nối KN và kéo
dài cắt (O) tại điểm thứ hai là M. Chứng minh rằng
a) Tam giác AKN và tam giác MKA đồng dạng.

b) Đường thẳng AK tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp tam giác AMN.
c) Tổng bán kính 2 đường tròn ngoại tiếp tam giác AMN và tam giác BMN không
phụ thuộc vào vị trí điểm N.
Nội dung
Điểm
K

A

P

N

L

Q

B

O
O1

M
O2

a)

/>
1,00



1 »
1 »
·
= sd KB
= sd KA
= ·AMK
Ta có KAN
2
2
Kết hợp với ·AKN = ·AKM suy ra tam giác AKN đồng dạng với tam giác MKA .
b)
Trên nửa mặt phẳng bờ AN có chứa tia AK kẻ tia Ax là tiếp tuyến của đường tròn
·
 xAN
= ·AMN
·
⇒ xAN
= ·AMN
ngoại tiếp tam giác AMN. Ta có:  ·
 KAN = ·AMN

Do Ax, AK cùng thuộc nửa mặt phẳng bờ AN nên Ax trùng với AK. Mà Ax là tiếp
tuyến của đường tròn ngoại tiếp ΔAMN, suy ra đpcm.
c)
Gọi L, P, Q lần lượt là trung điểm của AB, AN , BN và O1 , O2 lần lượt là tâm đường
tròn ngoại tiếp tam giác AMN , BMN . Khi đó ta có
·AO P = 1 ·AO N = ·AMN ⇒ ·AO P = ·AMN (1).
1
1

1
2
1 »
1 »
·
·
= sd KB
= sd KA
= ·AMN ⇒ KAL
= ·AMN ( 2 )
Mặt khác KAL
2
2
·
·
Từ (1) và (2) suy ra AO1P = KAL
, kết hợp với ·APO1 = ·ALK = 900 suy ra tam giác
AO1P đồng dạng với tam giác KAL .
O A AP
KA. AP KA. AN
⇒ O1 A =
=
Từ đó suy ra 1 =
( 3)
KA KL
KL
2 KL
KB.BQ KA.BN
=
Tương tự ta được O2 Β =

( 4)
KL
2 KL
KA. AN KA.BN
KA
KA
+
=
. AB
Từ (3) và (4) suy ra O1 A + O2 Β =
( AN + BN ) =
2 KL
2 KL
2.KL
2.KL
Do A, B, K , L cố định nên O1 A + O2 B không phụ thuộc vào vị trí của điểm N .

0,50
0,50
1,00
0,50
0,50
1,00
0,25

0,25

0,25

0,25


Câu 5 (1,0 điểm). Cho dãy số ( an ) được xác định bởi a1 = 1, an +1 = 2an + 3an2 − 2 , với n là

số nguyên dương. Chứng minh rằng mọi số hạng của dãy số ( an ) đều là số nguyên.
Nội dung
Chứng minh bằng quy nạp ta được an ≥ 1, ∀n ∈ ¥ * . Từ giả thiết ta được
an +1 − an = an + 3an2 − 2 > 0, ∀n ∈ ¥ * ⇒ an +1 > an , ∀n ∈ ¥ * (1).
Ta có ( an +1 − 2an ) = 3an2 − 2 ⇒ an2+1 − 4an +1an + an2 + 2 = 0 (2).
Trong (2) thay n bởi n + 1 ta được
an2+ 2 − 4an + 2 an +1 + an2+1 + 2 = 0 (3).
Từ (2) và (3) ta được
an2+ 2 − 4an + 2 an +1 + an2+1 + 2 = an2+1 − 4an+1an + an2 + 2

Điểm
0,25

2

Suy ra an2+ 2 − an2 = 4an+ 2 an+1 − 4an +1an
( an+ 2 − an ) ( an+ 2 + an ) = 4an+1 ( an+ 2 − an ) (4)
Từ (1) và (4) suy ra an + 2 + an = 4an +1 , ∀n ∈ ¥ * ⇒ an + 2 = 4an+1 − an , ∀n ∈ ¥ *(5) .
Ta có a1 = 1, a2 = 3 , kết hợp với (5) và phương pháp quy nạp ta được mọi số hạng
của dãy số ( an ) đều là số nguyên.
- Hết -

/>
0,25

0,25


0,25