Bài 10 : Hoán vị chỉnh hợp tổ hợp
I/ Lý thuyết
Nhắc lại quy tắc cộng , quy tắc nhân , hoán vị , chỉnh hợp , tổ hợp và công thức nhị thức
Newton
II/ Bài toán :
VD1 : Khi đến trờng bạn A có 1 trong 2 cách trang phục sau : Mặc bộ trang phục gồm : Một quần
trắng và 1 áo dài hoặc một bộ gồm quần tây xanh và 1 áo sơ mi . Hỏi bạn A có 5 quần trắng , 6 áo
dài , 4 áo sơ mi và 3 quần tây xanh thì bạ A có bao nhiêu bộ trang phục ?
HD : TH 1 : có 5 x 6 = 30 cách
TH2 : có 3 x4 = 12 cách
VD2 : a) Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 3 chữ số lẻ khác nhau
b) Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 3 chữ số lẻ
VD3 : Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 4 chữ số khác nhau (
10 9
4 3
A A 4536 = )
VD4 : Xét các số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau lập nên từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5 . Hỏi có bao
nhiêu số không bắt đầu từ chữ số 1 ( P
5
P
4
= 96 )
VD5 : Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 6 chữ số khác nhau lập nên từ các chữ số 0,1, 2, 3, 4, 5 mà chia
hết cho 5
VD6 : Cho 7 chữ số 0,1, 2, 3, 4, 5 , 6
a) Từ 7 chữ số trên có thể lập đợc bao nhiêu số , mỗi số gồm 5 chữ số khác nhau ( 2160 )
b) Trong các số nói ở câu a) có bao nhiêu số chẵn ( 1260 )
c) Trong các số nói ở câu a) có bao nhiêu số chia hết cho 5 ( 660 )
VD : Từ các chữ số 0, 4, 5, 7, 9 :
a) Tìm tất cả các số có 4 chữ số khác nhau ( 96 )
b) Có bao nhiêu số lớn hơn 5000 (72)

c) Có bao nhiêu số chia hết cho 5 (42)
VD : Từ các số 1, 2, 3, 4 , 5
a) Hãy tìm tất cả các số có 3 chữ số khác nhau nằm trong khoảng ( 300, 500) (24)
b) Câu hỏi nh trên nhng các chữ số không cần khác nhau (50)
HD : a) Gọi số đó là :
abc
, ta chia thanh 2 TH : a = 3 hoặc a = 4
b) b : có 5 cách chọn , c có 5 cách chọn , a có 2 cách chọn :
VD : Hãy tìm tất cảc các số tự nhiên có 6 chữ số khác nhau :
1 2 3 4 5 6
n a a a a a a=

sao cho a
1
+ a
6
=10 ; a
2
+ a
5
=10 ; a
3
+ a
4
=10 ;
HD : ( xem lại lời giải )
Nhận xét : số 0 và số 5 không thoả mãn bài toán . Vậy chỉ còn 8 số : 1, 2,3,4, 6, 7, 8, 9
a
1
có 8 cách chọn , mỗi cách chọn a

1
có 1 cách chọn a
6
, Mỗi cách chọn a
1
, a
6
có 6 cách chọn a
2
. Mỗi
cách chọn a
1
, a
6
, a
2
có 1 cách chọn a
5
, Mỗi cách chọn a
1
, a
6
, a
2
, a
5
có 4cách chọn a
3
, Mỗi cách chọn a
1

,
a
6
, a
2
, a
5
, a
3
có 1 cách chọn a
4
. Vậy có : 8.1.6.1.4.1. = 192
VD7 : Với các chữ số 0, 1, 2, 3, 6, 9 có thể lập đợc bao nhiêu số chia hết cho 3 và gồm 5 chữ số khác
nhau .
HD : Gọi số đó là :
abcde
a có 5 cách chọn ( trừ số 0 ) , số cách chọn các số còn lại là : A
4
5
: có 600 sô . Trong đó số
không chia hết cho 3 là :
KN 1 : Lập từ các số : 0, 1, 3, 6, 9 ( 96 ) , KN 2 : lập 0, 2, 3, 6, 9 ( 96 )
Số số cần tìm là : 600 192 = 408
VD8 : Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số mà các chữ số đều lớn hơn 4 và đôi một khác nhau .
Tính tổng của tất cả các số tự nhiên nói trên
HD : Các số đợc lập từ : 5, 6, 7,8 ,9 có : P
5
= 120 số
Sự xuất hiện của mỗi chữ số 5,6,7 ,8, 9 ở mỗi hàng là nh nhau , nên tổng các chữ số ở hàng đơn vị của
120 số nêu trên là : ( 5 + 6 + 7 + 8 + 9) . 120/5 = 840

Vậy tổng của 120 số trên là : 840 ( 1 + 10 + 10
2
+ 10
3
+ 10
4
) = 9333240
VD9 : Từ các chữ số 1, 2,3 , 4, 5, 6 thiết lập tất cả các số có 6 chữ số khác nhau . Hỏi trong các số
thiết lập đợc có bao nhiêu số mà 2 chữ số 1 và 2 không đứng cạnh nhau .
HD : Vì có 6 vị trí nên nếu 1 đứng trớc thì có 5 trờng hợp để số 2 đứng ngay sau . Cũng có 5 TH số 1
đứng ngay sau số 2 . Trong mỗi trờng hợp , bốn vị trí còn lại có : P
4
cách chọn . Vậy có
( 5 + 5).P
4
= 240 số mà 1 và 2 đứng cạnh nhau . Mà có tất cả P
6
= 720 số có 6 chữ số đợc lập từ các số
đã cho . Vậy kết quả là : 720 240 = 480
VD10 : Viết các số có 6 chữ số bằng các chữ số 1, 2, 3, 4,5 ( một chữ số xuất hiện 2 lần , còn các chữ
số còn lại xuất hiện 1 lần ) . Có bao nhiêu cách viết ?
HD : G/s chữ số 1 đợc viết 2 lần , suy ra : có C
2
6
= 15 cách chọn vị trí để viết . 4 vị trí còn lại đợc viết
từ các chữ số còn lại có : P
4
cách viết . Vậy có C
2
6

.P
4
cách viết có 2 chữ số 1 . Vì vai trò của 5 chữ số
là nh nhau nên có : 5 C
2
6
.P
4
= 1800 cách viết
VD11 : Có bao nhiêu số gồm 7 chữ số sao cho tổng các chữ số của mỗi sô là 1 số chẵn .
HD : Chữ số hàng chục ngàn khác 0 nên có 9 cách chọn , 5 chữ số tiếp theo mỗi chữ số có 10 cách
chọn , riêng chữ số hàng đơn vị cũng có 10 cách chọn nhng chỉ có 5 cách chọn để tổng các chữ số là
chẵn . Vậy có : 9.10
5
.5 số
VD12 : Từ 3 chữ số 1,2, 3 có thể tạo ra đợc bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số , trong đó có mặt mặt
đủ 3 chữ số trên
HD : TH1 : Ngoài 3 chữ số 1,2,3 G/s ta lấy thêm 2 số 1 . Coi 5 chữ số là khác nhau từng đôi một , có
5! số . Nhng trong đó có các số giống nhau do hoán vị của 3 số 1 . Vậy chỉ có 5!/3! = 20 số .
Loại số nh thế này có : 3.20 = 60 số
TH2 : G/s ta lấy thêm 2 và 3 . Lập luận tơng tự ta có số số của loại này là : 3.5!/(2 !.2 !) = 90
Tóm lại có : 150 số
VD13 : Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 4 chữ số sao không có chữ số nào lặp lại đúng 3 lần
HD : có 9000 số tự nhiên có 4 chữ số từ 1000 đến 9999. Trong đó có 9 số có 3 chữ số 0 là :
a000
,
có : 8 + 9 + 9 + 9 = 35 số có 3 chữ số là :
b111,1a11,11a1,111a
với b nhận 8 giá trị ( khác 0 và 1) và a
nhận 9 giá trị ( khác 1) . tơng tự đối với các số : 2,3, ..., 9 . Vậy có : 9000 (9 +35.9) = 8676

VD14 : Có 10 câu hỏi gồm 4 câu lí thuyết và 6 câu bài tập . Để cấu thành 1 đề thi gồm 3 câu có cả lí
thuyết và bài tập . Hỏi có bao nhiêu khả năng cấu tạo đè thi ?
HD ( TH 1 : 1 LT + 2 BT ; TH2 : 2 LT và 1 BT )
VD15 : Một đội văn nghệ có 20 ngời gồm 10 nam và 10 nữ . Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra 5 ngời
sao cho :
a) Có đúng 2 nam trong 5 ngời đó
b) Có ít nhất 2 nam và 1 nữ trong 5 ngời đó ( 3TH : 2 : 3 , 3 : 2, 4 : 1 )
VD16 : Trong số 16 học sinh có 3 học sinh giỏi , 5 HS khá , 8 HS trung bình . Có bao nhiêu cách chia
16 HS đó thành 2 tổ , mỗi tổ 8 ngời sao cho mỗi tổ đều có HS giỏi và mỗi tổ có ít nhất 2 HS khá
VD17 : Xếp chỗ ngồi cho 10 HS gồm 5 nam và 5 nữ vào 2 bàn , mỗi bàn có 5 ghế . Hỏi có bao nhiêu
cách sắp xếp chỗ ngồi , nếu :
a) Các HS ngồi tuỳ ý ( 10 ! )
b) Các HS nam ngồi 1 bàn , các HS nữ ngồi 1 bàn ( 5!. 5! )
VD18 : Có bao nhiêu cách sắp 5 HS A, B, C, D, E vào 1 ghế dài sao cho
a) C ngồi chính giữa ( P
4
)
b) A và E ngồi ở 2 đầu ghế ( 2 . P
3
)
VD19 : Một nhóm gồm 10 HS : 7 nam và 3 nữ . Có bao nhiêu cách xếp 10 HS trên thành 1 hàng dọc
sao cho 7 nam đứng liền nhau .
HD : Đánh số các vị trí từ 1 đến 10 . Có 4 trờng hợp các HS nam đứng liền nhau : ( từ 1

7 , từ 2

8; từ 3

9 , từ 4


10 ) . Trong mỗi trờng hợp đó 3 HS có 3! cách hoán vị , 7 HS nam có 7! cách
hoán vị . Vậy có : 4 .3!.7! = 120960
VD20 : Cho 5 chữ số 1, 2,3, 4, 5 . Hỏi có thể lập đợc bao nhiêu số , mỗi số gồm 5 chữ số khác nhau ?
Trong đó có bao nhiêu số :
a) Bắt đầu từ chữ số 2 ( P
4
)
b) Không bắt đầu từ chữ số 4 ( P
5
P
4
)
c) Bắt đầu bằng 13 (P
3
)
d) Không bắt đầu bằng 135 (P
2
)
VD21 : Với các chữ số 0, 1, 2, 3,4,5,6 có thể lập đợc bao nhiêu số gồm 5 chữ số khác nhau , trong đó
nhất thiết phải có mặt chữ số 6
HD : Số có dạng
abcde
có tất cả : A
5
7
số , số có dạng
0bcde
có
4
6

A
số . Vậy số có 5 chữ số khác
nhau và chữ số đầu tiên khác 0 là :
5 4
7 6
A A 2160 =
số
Tơng tự số có 5 chữ số khác nhau và chữ số đầu tiên khác 0 mà lập nên từ : 0, 1, 2, 3, 4,5 là :
5 4
6 6
A A 600 = số
ĐS : 2160 600 = 1560
VD22 : Cho p điểm trong không gian ( không có 2 điểm nào trùng nhau ) . Trong đó có q điểm đồng
phẳng , số còn lại không có 4 điểm nào đồng phẳng . Dựng tất cả các mặt phẳng chứa 3 điểm trong p
điểm đó
a) Có bao nhiêu mp khác nhau
b) Có bao nhiêu tứ diện
HD : a. Có
3
p
C
mặt phẳng , trong đó có q điểm đồng phẳng nên có
3
q
C
mp đợc tạo ra từ q điểm này .
Vậy số mp là :
3
p
C

-
3
q
C
+ 1
b. . Có
4
p
C
tứ diện , trong đó có q điểm đồng phẳng nên có
4
q
C
tứ diện đợc tạo ra từ q điểm này . Vậy
số mp là :
4
p
C
-
4
q
C

VD23 : Trong mp cho đa giác đều có 10 cạnh
a) Có bao nhiêu tam giác tạo thành từ các đỉnh của đa giác ? (
3
10
C
= 120 )
b) Có bao nhiêu tam giác chứa 2 cạnh của đa giác ?

c) Có bao nhiêu tam giác chứa đúng 1 cạnh của đa giác ?
d) Có bao nhiêu tam giác không chứa cạnh nào của đa giác ?
HD : b) Tam giác có 3 đỉnh liên tiếp là tam giác chứa 2 cạnh của đa giác , do đó có 10 tam giác
c) Tam giác chứa đúng 1 cạnh của đa giác là tam giác có 2 đỉnh thuộc 1 cạnh của đa giác và đỉnh thứ
3 đối diện với cạnh đã chọn . Do đó tơng ứng với mỗi cạnh ta chọn đợc 6 đỉnh đối diện , số tam giác
cần tìm là : 6.10 =60
d) Tam giác không chứa cạnh nào của đa giáclà : Đáp số a) - ĐS b - ĐS c = 120 10 60 = 50
VD24 : Trong một giải cờ vua gồm nam và nữ vận động viên . Mỗi VĐV phải chơi 2 ván với mỗi
VĐV còn lại . Cho biết có 2 VĐV nữ và cho biết số ván các VĐV nam chơi với nhau hơn số ván họ
chơi với 2 VĐV nữ là 66 . Hỏi có bao nhiêu VĐV tham gia giải và số ván tất cả các VĐV đã chơi .
HD : Gọi n là số VĐV tham gia giải (
n 2,n Â
) , Số ván VĐV nam chơi với nhau là : 2.
2
n
C
Số ván VĐV nam chơi với 2 VĐV nữ là : 4n . Ta có : 2.
2
n
C - 4n = 66 , n = 11
VD25 : Trong mp cho 3 điểm A, B,C . Từ A dựng m đờng thẳng , từ b dựng n đờng thẳng , từ C dựng
p đờng thẳng . Trong số các đờng thẳng vừa dựng không có 3 đờng thẳng nào đồng quy và không có
cặp đờng thẳng nào song song . Tìm số các tam giác tạo bởi các đờng thẳng của các đờng thẳng trừ 3
điểm A, B, C
HD : - Số các giao điểm nằm trên 1 đờng thẳng xuất phát từ A là : n + p
- Số các giao điểm nằm trên 1 đờng thẳng xuất phát từ B là : m + p
- Số các giao điểm nằm trên 1 đờng thẳng xuất phát từ C là : n + m
Tổng số các giao điểm : T = 1/2[ m( n + p) + n ( m + p) + p(m + n) ] = mn + np + pm
ĐS:
3 3 3 3

mn np pm n p m p m n
C mC nC pC
+ + + + +

(do trên mỗi đờng thẳng qua A có n+p điểm thẳng hàng)
VD26 : Trong 1 mp có 9 đờng thẳng song song cắt 10 đờng thẳng song song khác thì tạo nên bao
nhiêu hình bình hành ?
HD : Mỗi hình bình hành là 1 cách chọn của 2 đờng thẳng trong 9 đờng song song và 2 đờng trong 10
đờng song song . Vậy có :
2 2
9 10
C .C 1620=