CHUYÊN ĐỀ: SỐ PHỨC
A. KIẾN THỨC CẦN NHƠ
I. SỐ PHỨC

1. Số phức là một biểu thức dạng a + bi, trong đó: a, b ∈ ¡ , i2 = -1. Kí hiệu: z = a + bi
• a: phần thực,
• b: phần ảo.
Chú ý:
• z = a + 0i = a được gọi là số thực (a ∈ ¡ ⊂ £ )
• z = 0 + bi = bi được gọi là số ảo (hay số thuần ảo)
• 0 = 0 + 0i vừa là số thực vừa là số ảo
• i được gọi là đơn vị ảo.
2. Biểu diễn hình học của số phức : Điểm M(a ; b) biểu diễn cho số phức z = a + bi
3. Hai số phức bằng nhau. Cho hai số phức z = a + bi và z ' = a '+ b 'i với a, b, a ', b ' ∈ ¡
a = a '
z = z' ⇔ 
b = b '
6. Môđun của số phức z = a + bi là :

z = a 2 + b2

7. Số phức liên hợp của số phức z = a + bi là : z = a − bi
II. CÁC PHÉP TOÁN TRÊN TẬP SỐ PHỨC
B. Phép cộng, phép trừ và phép nhân các số phức:
Được thực hiện theo quy tắc cộng, trừ, nhân đa thức.
2. Phép chia số phức khác 0.
c + di
Để tính thương a + bi ta nhân cả tử và mẫu với số phức liên hợp của a+bi.
III. PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI TRÊN TẬP SỐ PHỨC
±i a
1. Căn bậc hai của số thực âm: Có hai căn bậc hai của số thực a âm là:

.
2
≠
0
3. Phương trình bậc hai ax + bx + c = 0 (a, b, c là số thực cho trước, a
).
2
Tính ∆ = b − 4ac
b
x=−
2a
o ∆ = 0 : Phương trình có một nghiệm thực là
o ∆ > 0 : Phương trình có hai nghiệm thực phân biệt
o ∆ < 0 : Phương trình có hai nghiệm phức phân biệt

x1 , 2 =
x1 , 2 =

−b ± ∆
2a
−b ± i ∆
2a

B. BÀI TẬP
Dạng 1: Số phức – Các phép toán trên tập số phức
Câu 1. Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau đây?
M ( −2;3)
A. Điểm
là điểm biểu diễn số phức z = 3 − 2i .
B. Số phức z = 3i − 1 có phần thực là 3 , phần ảo là -1.

C. Số phức z = 5 − i có môđun bằng 26 .
D. Tập hợp các số thực là tập con của tập hợp các số phức.
Câu 2. Cho số phức z = 1 − 2i . Tìm nghịch đảo của số phức w = 1 - z + z2.
1 2
3 2
− + i
− + i
A. 12 − 27i .
B. 15 15 .
C. 13 13 .
D. 1− i .


M ( 1; −3) , N ( −2;5 )

lần lượt là hai điểm biểu diễn số phức z1 , z2 trên mặt phẳng tọa độ
1
z1 −
z2 bằng:
Oxy. Khi đó phần thực của số phức
Câu 3. Biết

A.

−

31
29 .

92

B. 29 .

31
C. 29 .

D.

−

2iz − ( 2 − 3i ) = 1 + 4i .

Câu 4. Tìm số phức liên hợp của số phức z thỏa mãn
1 3
7 1
1 3
z = + i.
z = − i.
z = − i.
2 2
2 2
2 2
A.
B.
C.

92
29 .

2+i
z − 2 + 5i =

1 − 3i .
Câu 5. Tìm phần ảo của số phức z thỏa mãn điều kiện
43
19
43
19
−
−
10 .
B. 10 .
C. 10 .
D. 10 .
A.

Câu 6. Cho số phức
A. 10 .

z

thỏa mãn
B.

D.

( 3 + 2i ) z + 3 − 4i = 4 + i . Tìm mô-đun của số phức
2.

C. 2 2 .

z=


7 1
+ i.
2 2

w = ( 1+ z) z

D. 7 .

z = ( 1+ i) , n ∈ N
Câu 7. Cho số phức z thỏa mãn
thỏa mãn phương trình
log 4 ( n − 3) + log 4 ( n + 9 ) = 3
Tìm phần thực của số phức z
A. 5 .
B. 6 .
C. 7 .
D. 8 .
n

Câu 8. Tìm cặp số thực ( x; y ) thỏa mãn điều kiện: ( x + y ) + (3x + y )i = (3 − x) + (2 y + 1)i .
4 7
 4 7
4 7
 4 7
 ; ÷
 − ;− ÷
 ;− ÷
− ; ÷
5

5
5
5
 5 5 .




B.
.
C.
.
D.  5 5  .
A.
2
Câu 9. Biết rằng số phức z = x + iy thỏa mãn z = −8 + 6i . Mệnh đề nào sau đây là sai?

A.

 x4 + 8 x2 − 9 = 0

.

3
y =
x
B. 

 x 2 − y 2 = −8
.


 xy = 3

x = 1
 x = −1
.


y
=
3
y
=
−
3


C.
hoặc

2
2
D. x + y + 2 xy = −8 + 6i.
3
Câu 10. Với là hai số thực x, y thỏa mãn x(3 + 5i ) + y (1 − 2i ) = 9 + 14i . Giá trị của 2 x − 3 y là:
205
353
172
94
.

.
.
.
. 109
B. 61
C. 61
D. 109
A

Câu 11. Cho số phức z = a + bi thỏa mãn (1 + i ) z + (3 − i ) z = 2 − 6i . Hiệu a − b bằng
A. 5.
B. -1.
C.1.
D. -8.
Câu 12. Cho số phức z = a + bi thỏa mãn
là:
A.

a = ±2b .

(

5 z +i
Câu 13. Cho
A. 2

z +1

B. a


) = 2−i

= 3b .

z.z + 3( z − z ) = 5 + 12i
C. b

= ±2a .

. Mối liên hệ giữa
D.

. Tìm phần thực của số phức w = 1 + z + z .
B. 3
C. 1

b = 3a .

2

D. −1

a

và

b


z − ( 2 + 3i ) z = 1 − 9i

Câu 14. Cho số phức z thỏa mãn điều kiện
. Tìm mô-đun của số phức
2
w= z −i
34 .
B. 5 .
C. 5 .
D. 7 .
A.
z − 2z = −7 + 3i + z

Câu 15. Cho z có phần thực là số nguyên và
w = 1− z + z2 .
A.

w = 37

B.

w = 457

C.

. Tính môđun của số phức

w = 425

D.

z.z = 10( z + z ) và z


w = 445

Câu 16. Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn
A. 3.
B. 2.
C.1.

có phần ảo bằng ba lần phần thực?
D. 0.
13 z + 1
A=
z = 5
z − 2 + 3i = 4
z−2 .
Câu 17. Cho z thỏa mãn
và
. Tính
A. 898
B. 98
C. 890
D. 198

z = ( x + iy ) − 2( x + iy ) + 5
2

Câu 18. Cho số phức
phức đó là số thực:
A. x = 1 và y = 0.


C. x = 1 hoặc y = 0.

B. x = −1.

Câu 19. Cho số phức z = a + bi . Để

(với x, y ∈ ¡ ). Với giá trị nào của

x, y

thì số

D. x = 1 .

z là một số thực, điều kiện của a và b là:
2
2
A. b = 0 và bất kì a hoặc b = 3a .
B. b = 3a.
2
2
2
2
C. b = 5a .
D. a = 0 và bất kì b hoặc b = a .
z = a + (a − 1)i (a ∈ ¡ ) . Giá trị thực nào của a để | z |= 1 ?
Câu 20. Cho số phức
1
a= .
2

A.

3

a = 0
a = 1 .
C. 

2
a= .
3
B.

D.

(1− z)
Câu 21. Nếu môđun của số phức z bằng m thì môđun của số phức
A. 4m.
Câu 22. Cho số phức
A. −2 ≤ m ≤ 6 .
Câu 23. Biết số phức
được là:
A.

m = ±3

.

B. 2m.
C. 2m.

z = ( m − 1) + ( m − 2 ) i, ( m ∈ R )
B. −6 ≤ m ≤ 2 .

z=

2

z

| a |= 1.
bằng:

D. m.

. Tìm giá trị nào của m để
 m ≤ −6

C. 2 ≤ m ≤ 6
D.  m ≥ 2 .

z ≤5

m + 3i
2
1 − i (m là tham số thực) có | z |= 9 . Các giá trị thực m có thể nhận

B. m = 3 .

C. m


= −3 .

D.

m = −1 .

2
z = 2
Câu 24. Xét số phức z thỏa mãn
và z là số thuần ảo. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
3
3
1< z <
< z <2
z <1
z >2
2.
A.
.
B.
C. 2
.
D.
.
2z −1
w=
z ≤1
2 + iz . Mệnh đề nào dưới đây đúng?
Câu 25. Cho số phức z thỏa mãn
và số phức

w =2
1< w < 2
w ≤1
w >2
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.


z1 + z2
z ,z
Câu 26. Xét 2 số phức 1 2 phân biệt thỏa mãn z1 − z2 là số thuần ảo. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
z = 1, z2 = 1
z = z2
A. 1
.
B. z1 = z2 .
C. 1
.
D. z1 = − z2 .

Câu 27. Trong các số phức z thỏa mãn
A. z = 3 + 4i.

z = z − 3 + 4i


B. z = −3 − 4i.

Câu 28. Trong các số phức z thỏa mãn điều kiện
z là
1
5
145
5
B. 10
C. 2
A.

. Số phức có mô đun nhỏ nhất là
3
3
z = − 2i.
z = + 2i.
2
2
C.
D.

z − 2 + 2i = z − 2i

. Mô đun nhỏ nhất của số phức

1
D. 5


z − 2 + 3i = 3
Câu 29. Trong các số phức z thỏa mãn điều kiện
. Mô đun nhỏ nhất của số phức z là
A . 13 − 3
B. 2
C. 13 − 2
D. 2
Câu 30. Trong các số phức z thỏa mãn điều kiện
nhất là
2 1
z =
+ i
2 2
A . z = 1 + 3i
B.

z ( 1 + i ) − 3 + 2i =

Câu 31. Trong các số phức z ≠ 0 thỏa mãn điều kiện
z +i
P=
z
nhất của biểu thức

C.
z ≥2

z =

13

2 . Số phức z có mô đun lớn

3 1
− i
2 2

D.

z =

3 15
+ i
4 4

. Tìm tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ

A.1
B. 2
C. 3
D. 4
Câu 32. Trong số phức z có mô-đun bằng 2017 và w là số phức thỏa mãn điều kiện
1 1
1
+ =
z w z +w . Tính mô đun nhỏ nhất của số phức w
2015
B. 1
C. 2017
D. 0
A.

Câu 33. Đẳng thức nào sau đây đúng.
2018
2018
2018
2018
1+ i)
= 21009 i
1+ i)
= −21009 i
1+ i)
= −21009
1+ i)
= 21009
(
(
(
(
A.
.
B.
.
C.
D.
.
Dạng 2: Biểu diễn hình học của số phức và tìm tập hợp điểm biểu diễn
các số phức.
Câu 34. Điểm M trong hình vẽ bên là điểm biểu diễn của số phức z. Tìm phần
thực và phần ảo của số phức z.
A. Phần thực là −4 và phần ảo là 3.
B. Phần thực là 3 và phần ảo là −4i.

C. Phần thực là 3 và phần ảo là −4.
D. Phần thực là −4 và phần ảo là 3i.
Câu 35. Cho số phức z thỏa mãn (1 + i ) z = 3 − i. Hỏi điểm biểu diễn của z là điểm
nào trong các điểm M, N, P, Q ở hình bên ?
A. Điểm P.
B. Điểm Q.
C. Điểm M.
D. Điểm N.


Câu 36. Trong mặt phẳng phức cho điểm

M

(

2;3

) . Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?

A. Điểm M biểu diễn cho số phức có môđun bằng 11 .
B. Điểm M biểu diễn cho số phức không thuần ảo.
C. Điểm M biểu diễn cho số phức u = 2 + 3i .
D. Điểm M biểu diễn cho số phức có phần ảo bằng 2 .
Câu 37. Trong mặt phẳng (Oxy), gọi A, B, C lần lượt là các điểm biểu diễn của các số phức
z1 = -1+3i; z 2 = -3-2i, z 3 = 4+i
. Tam giác ABC là:
A. Một tam giác cân.
B. Một tam giác đều.
C. Một tam giác vuông .

D. Một tam giác vuông cân
Câu 38. Trong mặt phẳng (Oxy), gọi A, B, C lần lượt là các điểm biểu diễn của các số phức
2 + 6i
1 + 2i; ( 1 − i ) ( 1 + 2i ) ;
3 − i . Diện tích tam giác ABC là:

1
1
5
5
A. 4 .
B. 2 .
C. 5 .
D. 2
Câu 39. Trong mặt phẳng (Oxy), gọi A, B, C lần lượt là các điểm biểu diễn của các số phức
4i
2 + 6i
,1 − i,1 + 2i,
i −1
3 − i . Số phức biểu diễn bởi điểm D sao cho tứ giác ABCD là hình vuông là
A. −1 − i .
B. 1 + 5i .
C. 1+ i .
D. 1 − 5i
Câu 40. Có bao nhiêu điểm có tọa độ nguyên biểu diễn số phức z có phần ảo dương và đồng thời
z + z ≤ 4, z − z < 6
thỏa mãn
A. 20 .
B. 15 .
C. 6 .

D. 10
Câu 41. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , điểm biểu diễn của các số phức z = 3 + bi với b ∈ ¡ luôn
nằm trên đường có phương trình là:
A. x = 3.
B. y = 3.
C. y = x.
D. y = x + 3.
Câu 42. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều kiện
phần thực bằng 3 lần phần ảo của nó là một
A. Parabol
B. Đường tròn
C. Đường thẳng
D. Elip

Câu 43. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , tập hợp các điểm biểu diễn của các số phức z thỏa mãn
z+2 = i−z
là
A. Đường thẳng 4x-2y-3=0 .
B. Đường thẳng 4x-2y+3=0
C. Đường thẳng 4x+2y+3=0.
D. Đường thẳng 4x+2y-3=0
Câu 44. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , tập hợp các điểm biểu diễn của các số phức z thỏa mãn
z +1− i = 2
là
A. Đường tròn tâm (1;2), bán kính R=1 . B. Đường tròn tâm (-1;1), bán kính R=2.
C. Đường tròn tâm (1;-1), bán kính R=2 . D. Đường thẳng x-y=2.
Câu 45. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , tập hợp các điểm biểu diễn của các số phức z thỏa mãn
z − i = ( 1+ i) z
là đường tròn có phương trình
2

2
2
2
A. x + y − 2 x − 1 = 0 .
B. x + y − 2 y − 1 = 0 .
2
2
C. x + y + 2 x − 1 = 0 .

2
2
D. x + y + 2 y − 1 = 0 .


Câu 46. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , tập hợp các điểm biểu diễn của các số phức z sao cho
( z − 1) z − i
là số thực
A. Đường thẳng x − y + 1 = 0 .
B. Đường thẳng − x + y + 1 = 0 .
2
2
2
2
C. Đường tròn x + y − x − y = 0 .
D. Đường tròn x + y − x + y = 0 .

(

)


Câu 47. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , tập hợp các điểm biểu diễn của các số phức z thỏa mãn
z +1− i ≤ 1
A. Đường tròn tâm I(-1;1), bán kính R =1 .
B. Đường tròn tâm I(-1;-1), bán kính R =1 .
C. Hình tròn tâm I(-1;1), bán kính R =1 .
D. Hình tròn tâm I(1;-1), bán kính R =1 .
z =4
Câu 48. Cho các số phức z thỏa mãn
. Biết rằng tập hợp các điểm biểu diễn các số phức
w = ( 3 + 4i ) z + i
là một đường tròn. Tính bán kính r của đường tròn đó.
r
=
4
A.
.
B. r = 5 .
C. r = 20 .
D. r = 22 .
Dạng 5. Giải phương trình trên tập số phức
Câu 49. Giải phương trình (3+2i)z = z -1 trên tập số phức.
1 1
1 1
1 1
1 1
z=− − i
z= − i
z= + i
z=− + i
4 4 . B.

4 4 .
4 4
4 4
A.
C.
D.
2
z z
z
Câu 50. Gọi 1 , 2 là hai nghiệm phức của phương trình: z − 2z + 10 = 0 Trong đó 1 có phần ảo là
số dương. Tính số phức liên hợp của số phức
A. w = −i

w = ( 1 + 2i ) − z1 

B. w = i
2

2017

C. w = −1
2

. Giá trị biểu thức A = z1 + z2 + z3

D. w = 1

2

biết z1, z2,


z3 là 3 nghiệm của phương trình

Câu 51
(3z + 9i) −2z 2 + 4z − 5 = 0

(

)

A.13
B.-10
C.14
z4 + z2 − 6 = 0
Câu 52. Tìm tích các nghiệm thuần ảo của phương trình
A. −6
B. 3
C. −2
Câu 53. Trong tập số phức. Gọi

P = z1 . z2 . z3

D. 10
D. −3

z1 , z2 , z3 là ba nghiệm của phương trình z − 3 z + 8z − 6 = 0 . Tính
3

2


.
P
=
6
A.
B. P = 59
C. P = −4
D. P = 36
4
2
Câu 54. Trong C, phương trình z - 6z + 25 = 0 có nghiệm là:
A. ±3 ± 4i
B. ±5 ± 2i
C. ±8 ± 5i
D. ±2 ± i
2
2
z = z +z
. Số nghiệm của phương trình
Câu 55
A.1
B.2
C.3
D. 4
4
 z +1 

÷ =1
z
−

1


. Số nghiệm của phương trình
Câu 56
A.1
B.2
C.3
D. 4
Câu 57. Biết hai số phức có tổng bằng 3 và tích bằng 4. Tổng môđun của chúng bằng
B. 10
C. 8
D. 4
A. 5

Câu 58. Cho phương trình z + az + b = 0 . Biết a, b là số nguyên và phương trình có một nghiệm
phức z=2-3i. Khi đó tổng a+b bằng:
2

A. a+b=9

B.a+b=17

C. a+b=13

D. a+b= 13 .


Câu 59. Khẳng định nào sau đây là sai
A. Trong tập hợp số phức, mọi số đều có số nghịch đảo

B. Mọi phương trình bậc hai đếu có nghiệm trên tập số phức
C. Phần thực và phần ảo của số phức z bằng nhau thì z nằm trên đường phân giác góc
phần tư thứ nhất và góc phần tư thứ ba
D. Hiệu của một số phức và số phức liên hợp của nó là một số thuần ảo.
Câu 60. Khẳng định nào đúng.
A. Cho số phức z= a +bi . Nếu a, b càng nhỏ thì môđun của z càng nhỏ.
B. Nếu tổng của hai số phức là số thực thì cả hai số ấy đều là số thực.
C. Hai số phức có mô đun bằng nhau thì bằng nhau.
D. Căn bậc hai của số thực âm là số phức.
B. PHẦN TỰ LUẬN
( 1 + i ) z + 3 = 2i − 4 z . Tìm phần thực và phần ảo của số phức w = 2 z + z .
Câu 1. Cho số phức z thỏa mãn:
Câu 2. Cho số phức z thỏa
z.

( 2 - 3i ) .z +( 4 + i ) .z =- ( 1 + 3i )

2

. Tính mô đun của số phức liên hợp của

2
Câu 3. Gọi z1, z2 là hai nghiệm phức của phương trình 2 z − z + 10 = 0 . Tính giá trị của biểu thức

M=

| z1 |2 + | z 2 |2

( z1 + z 2 ) 2015 .


4
2
Câu 4. Giải phương trình trên tập số phức 3 z + 4 z − 15 = 0 .