Toán Cao Cấp C1
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (98.62 KB, 2 trang )
Toán Cao Cấp C1 – Đại Số Tuyến Tính.
Đưa toán cao cấp về các bài toán đơn giản cấp 2 – 3 đã học.
Kiến thức cần nắm
1. Các Phép Toán Ma Trận:
a. Phép Cộng (trừ): Như cộng 2 vector a=(2 ;3) và b=(5 ;4 ) => a+b =(2+5 ;3+4) = (7 ;7)
b. Phép Nhân : A cấp 2x3 nhân với B cấp 3x5 thỉ được ma trận C cấp 2x5. Cách nhân qua các
bước sau :
i. Nhân dòng 1 với cột 1 ghi vào vị trí dòng 1 cột 1 của ma trận C.
ii. Nhân dòng 1 với cột 2 ghi vào vị trí dòng 1 cột 2 của ma trận C... (cho đến hết
số cột của ma trận B)
iii. Nhân dòng 2 với cột 1 ghi vào vị trí dòng 2 cột 1 của ma trận C... ( Làm tương
tự như dòng 1)
Chú Ý : AxB khác BxA
c. Ma Trận Bậc thang Rút Gọn : + Phần tử trụ =1.
+ Các phần tử cùng cột với phần tử trụ và khác phần tử trụ phải
= 0.
d. Tìm Hạng Matran : là đưa Matran về ma trận bậc thang. Hạng của ma trận = số dòng khác 0 của
ma trận bậc thang.
Hạng Matran : Cho Matran A vuong cấp n: r(A) = n detA khác 0.
Hạng Matran: Cho A cấp mxn, k = min{m,n}. r(A) = k A có định thức con cấp K khác 0.
e. Chuyển Vị : ( A + B )T = AT + BT
(x.A)T = x. AT
f.
2. Độc lập tuyến tính, phụ thuộc tuyến tính :
a. Phụ thuộc tuyến tính là : cái này phụ thuộc vào cái kia qua một hàm số hay biểu thức .
(VD : y=2x , x thuộc N, thì y phụ thuộc vào x và ngược lại)
i. Theo định nghĩa của thầy : phụ thuộc tuyến tính là hàm số y=2x có nghiệm x và
y khác 0 sao cho y – 2x =0 VD : y=2 và x=1 ; y=4, x=2,.... Có Vô Số Nghiệm.
Nên Phụ Thuộc Tuyến Tính.
ii. Cách giải : Cho 2 ma trận A, B xét xem có phụ thuộc tuyến tính hay không.
Ta đưa về bài Toán xA + yB = 0, rồi tìm x, y. Nếu phương trình có nghiệm
khác 0 thì là Phụ thuộc tuyến tính. Nếu ra nghiệm x = y = 0 là Độc Lập
Tuyến Tính.
b. Vậy : Độc Lập tuyến tính là một hàm số mà x, y không phụ thuộc vào nhau. VD :
x2 + y2 = 0 Hàm số này = 0 khi x = y = 0 là nghiệm duy nhất
i. Cách giải bài toán giống như Phụ thuộc tuyến tính.
ii. Chú Ý : Hệ 1 vector khác 0 luôn là hệ độc lập tuyến tính.
+ Mọi hệ con khác Rỗng của hệ ĐLTT luôn ĐLTT.
c. Tính chất Phụ Thuộc Tuyến Tính :
i. Có chứa Vector 0. VD : a = (2 ;3) b =(0;0) => 2x + y0 = 0 và 3x + y0 = 0 có vô
số nghiệm x = 0, y = 1 hay x = 0, y = 2....
ii. Hai vector bằng nhau hoặc tỉ lệ với nhau. VD : a= (2 ;3), b= (4 ;6) => 2x + 4y =
0 và 3x + 6y = 0 là phụ thuộc tuyến tính. (có vô số nghiệm)
iii. Hệ có số vector lớn hơn số tọa độ trong vector : VD : a=(2 ;3) b=(3 ;1) c =
(4 ;5) Có 3 Vector lớn hơn số 2 tọa độ (x ,y) (trong R2 ) trong mỗi vector.
iv. Hệ chứa 1 hệ con PTTT là hệ PTTT.
d. Độc Lập Tuyến Tính tối đại (ĐLTT Max): Là độc lập Tuyến Tính và có tính Tối Đại.
i. Độc lập tuyến tính như trên.
ii. Tối đại : (giống với định nghĩa dung dịch bão hòa : Nếu dung dịch đã bão hòa,
ta thêm dung môi vào thì dung dịch không còn bão hòa) Vậy nếu ta thêm vào
hàm số x2 + y2 + z = 0 thi phương trình có vô số nghiệm z = - (x2 + y2), và z phụ
thuộc vào x, y = > Phụ Thuộc tuyến tính. Không còn Độc Lập Tuyến tính
nữa, nên ta gọi hàm số chưa thêm là tối đại.
iii. Cách giải : Có hệ A gồm nhiều vector A1, A2,...
1. Tìm các vector Độc Lập tuyến tính. VD: A1 Khác 0, nên ĐLTT. (xem
Chú Ý ĐLTT)
2. Thêm vào các vector A1 ấy 1 vector A2 khác thành hệ B (chứa 2 vector :
A1, A2.), nếu B còn độc lập tuyến tính thì, tiếp tục thêm vào vector khác
nữa thành hệ C, Nếu C phụ thuộc tuyến tính thì B là ĐLTT Max ( A1
con B, B con C)
3. ĐL : Một hệ A có thể có nhiều hệ con ĐLTT max, các hệ con này có
số Vector bằng nhau.
TC : Nếu hệ đã ĐLTT thì hệ con ĐLTT Max chính là hệ đó.
TC : Hệ Vector Không là ĐLTT Max nó chứa toàn các vector
KHÔNG, hoặc là hệ Rỗng.
TC : Mọi hệ Vector đều có hệ con ĐLTT Max.
TC : r(A) = K => Mọi hệ con ĐLTT có K vector luôn là ĐLTT Max.
3. Hạng của hệ Vector :
Số lượng vector của 1 hệ con ĐLTT Max trong hệ, là hạng của hệ đó.
r(A) = 0 khi Ai = 0.
R(A) =< n (n là số vector trong hệ A)
R(A) = n khi A là hệ ĐLTT.
Hạng của hệ Vector = Hạng Ma trân liên kết của nó.
Biện luận hạng ma trận theo m bằng cách dùng detA. Có 2 trường hợp:
+ detA = 0 : Thế m vào Matran A để tìm r(A)
+ detA Khác 0: => r(A) = n (n là cấp của ma trận Vuông A)
+ Hoặc detA cấp K Khác 0 thì r(A) = k với K = min(n,m) khi A có cấp nxm. VD: như
A ma trận vuông cấp 3, có det Cấp 2 trong A khác 0 thì r(A) = 2.
