DŨNG
CHUYÊN ĐỀ 5: BẤT ĐẲNG THỨC VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH
Phần 1: BẤT ĐẲNG THỨC VÀ CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC
TỰ LUẬN BỔ SUNG KIẾN THỨC.
2.1. Bài tập về so sánh số.
*So sánh hai số chứ căn bậc hai (2 câu)
Câu 1. Không dùng máy tính và bảng số hãy so sánh:
1) M = 1991 + 1993 và N = 2 1992

2) K = 2001 + 2004 và L = 2002 + 2003

3) E = 2000 + 2005 và F = 2002 + 2003

4) P = 2 + 3 và Q = 5

Đ/S: 1)M < N
Câu 2. So sánh:

2)K < L

3)E < F

1) H = n + 3 + n + 4 và K = n + n + 7

(n ≥ 0)

4)P > Q

2) E = a + b và F = a − c + b + c

Đ/S: 1) H > K

(b > a > c > 0)

2) E > F

*So sánh hai số chứa căn bậc hai và bậc 3 ( 2 câu)
Câu 3. Không dùng máy tính và bảng số hãy so sánh:
1) M = 8 − 5 và N = 3 28 − 3

2) E = 3 9 + 3 2 và F = 3 26

Đ/S: 1)M < N

2) E > F

Câu 4. Không dùng máy tính và bảng số hãy so sánh:
1) A =

2 − 37
3 − 123
và B =
3
4

3 7 +5 2

2) C =

Đ/S: 1) A < B


5

và D = 6,9

2)C < D

2.2. Bất đẳng thức chứa dấu GTTĐ ( 2 câu)
Câu 5. Cho hai số a, b tùy ý. Chứng minh các bất đẳng thức sau:
1) a + b ≤ a + b

2) a − b ≤ a − b

Câu 6.1) Chứng minh rằng đối với ba số a, b, c tùy ý, ta có a + b + c ≥ a + b + c . Đẳng thức xảy ra khi nào?
2) Áp dụng. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức f (x) = x + 2 + x + 1 + 2x − 5
Đ/S: 1) a ≥ 0, b ≥ 0, c ≥ 0 hoặc a ≤ 0, b ≤ 0, c ≤ 0

2) 8

2.3. Chứng minh bất đẳng thức dựa vào định nghĩa và tính chất (5 câu)
Câu 7. Cho a, b ∈ ¡ . Chứng minh các bất đẳng thức sau:
1) a 2 + b 2 ≥ 2ab

2
2) (a + b) ≥ 4ab

2
2
2
3) 2(a + b ) ≥ (a + b)


4
4
2
2 2
4) 2(a + b ) ≥ (a + b )

Câu 8. Cho a, b, c ∈ ¡ . Chứng minh các bất đẳng thức sau:
1) a 2 + b 2 + c 2 ≥ ab + bc + ca

2) a 2 + b 2 + 1 ≥ ab + a + b

a + b + c + 3 ≥ 2(a + b + c)
2

2

3)

4) a + b + c ≥ 2(ab + bc − ca)

2

2

2

2

Câu 9. Cho a, b, c,d ∈ ¡ . Chứng minh rằng a + b ≥ 2ab. Áp dụng chứng minh các bất đẳng thức sau:
2


2

2) (a 2 + 1)(b 2 + 1)(c2 + 1) ≥ 8abc

1) a 4 + b 4 + c 4 + d 4 ≥ 4abcd
Câu 10. Cho a, b ∈ ¡ . Chứng minh các bất đẳng thức sau:
1) a 4 + 4 ≥ 4a 2

3) a +

2) a 4 + 3 ≥ 4a

1
≥ a (a>0)
4

Câu 11. Cho a, b, c ∈ ¡ . Chứng minh các bất đẳng thức sau:
1) a 2 + b 2 + c 2 + 12 ≥ 4(a + b + c)

2) (a + b + c)3 ≥ 3(ab + bc + ca)

0976 66 33 99 – 0913 04 06 89
Trang 1/17

4) a + b +

1
≥ a + b (a,b>0)
2



3) 2a 2 + b 2 + c 2 ≥ 2a(b + c)

4) 3(a 2 + b 2 + c 2 ) ≥ (a + b + c) 2

5) a 4 + b 4 + c 4 ≥ a 2 b 2 + b 2 c 2 + c2 a 2

6) a 6 + b 6 + c 6 ≥ a 3 b 3 + c3 (a 3 + b3 )

7) a 2 b 2 + b 2 c 2 + c 2 a 2 ≥ a 2 bc + b 2 ac + c 2 ab

8) (ab + bc + ca) 2 ≥ 3abc(a + b + c)

2.4. Bất đẳng thức cô si
2.4.1. Cho 2, 3 số và biểu thức có tính đối xứng ( 4 câu)
Câu 12. Cho a, b >0. Chứng minh các bất đẳng thức sau:
1 1
1) ( a + b )  + ÷ ≥ 4
a b

2) (a + b)(1 + ab) ≥ 4ab

3) ( a + b)8 ≥ 64ab(a + b) 2

4)

a b
+ ≥2
b a


Câu 13. Cho a, b, c >0. Chứng minh các bất đẳng thức sau:
2) ab + bc + ca ≥ abc

1) a + b + c ≥ ab + bc + ca
3)

ab bc ca
+ + ≥ a+b+c
c
a
b

a+ b+ c

4)

a
b
c 1 1 1
+ +
≥ + +
bc ca ab a b c

a b
+ ≥ a + b +1
b a

6)


a 2 b2 c2
+ + ≥ a+b+c
b
c
a

a 3 b 3 c3
+ + ≥ ab + bc + ca
b c a

8)

a 3 b 3 c3
+ +
≥ abc
bc ac ab

5) ab +
7)

(

)

Câu 14. Cho a, b, c, d >0. Chứng minh các bất đẳng thức sau:
1 1 1
1) ( a + b + c )  + + ÷ ≥ 9
a b c

 a   b  c 

2)  1 + ÷1 + ÷1 + ÷ ≥ 8
 b   c  a 

3) (a + b)(b + c)(c + a) ≥ 8abc

2
2
2
2
2
2
2 2 2
4) (a + b )(b + c )(c + a ) ≥ 8a b c

2
2
2
5) (a + b + c)(a + b + c ) ≥ 9abc

6) (1 + a + b)(a + b + ab) ≥ 9ab

1 1 1 1
16
7) + + + ≥
a b c d a +b+c+d

8)

2
2

2
1
1 1
+
+
≤
+ +
a 2 + bc b 2 + ca c 2 + ab ab bc ca

Câu 15. Cho a ≥ 1, b ≥ 1. Chứng minh a b − 1 + b a − 1 ≤ ab

2.4.2. Sử dụng tính chất: Cho a, b, c >0. Chứng minh

1 1
4
1 1 1
9
+ ≥
; + + ≥
a b a +b a b c a+b+c

và cho nhiều biến hơn

(4 câu)
Câu 16. Cho a, b, c >0. Chứng minh

1 1
4
+ ≥
( Ι ) . Áp dụng bất đẳng thức (I) để chứng minh các bất đẳng thức sau:

a b a+b

1 1 1
1
1 
 1
+
+
1) + + ≥ 2 
÷
a b c
a+b b+c c+a 
3)

ab
bc
ca
a +b+c
+
+
≤
a+b b+c c+a
2

Câu 17. Chứng minh rằng trong mọi ∆ABC , ta luôn có:
độ dài 3 cạnh và p =

2)

1

1
1
1
1
1


+
+
≥ 2
+
+
÷
a+b b+c c+a
 2a + b + c a + 2b + c a + b + 2c 

4)

a, b, c > 0
1
1
1

+
+
≤ 1 , ∀ 1 1 1
2a + b + c a + 2b + c a + b + 2c
 a + b + c = 4

1

1
1
1 1 1
+
+
≥ 2  + + ÷. Trong đó a = BC, b = AC, c = AB là
p−a p−b p−c
a b c

a+b+c
là nửa chu vi.
2

Câu 18. Cho x, y, z >0 và x+2y+4z=12. Chứng minh
Câu 19. Cho a, b, c >0. Chứng minh

2xy
8yz
4xz
+
+
≤6
x + 2y 2y + 4z 4z + x

1 1 1
9
+ + ≥
a b c a+b+c

1)


2
2
2
9
+
+
≥
a+b b+c c+a a +b+c

3)

a
b
c
3
+
+
≥
b+c c+a a+b 2

( II ) . Áp dụng bất đẳng thức (II) để chứng minh các bất đẳng thức sau:
1
1
1  3
2
2
2 
+
+

2) ( a + b + c ) 
÷≥ ( a + b + c)
a+b b+c c+a  2

0976 66 33 99 – 0913 04 06 89
Trang 2/17


x
y
z
3
+
+
≤
x +1 y +1 z +1 4

Câu 20. Cho x, y, z>0 và x+y+z =1. Chứng minh

2.4.3. Bất đẳng thức trong tam giác (2 câu)
Câu 21. Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác, chứng minh:
1) b − c < a < b + c

2) a − b < c < a + b

3) c − a < b < c + a

Câu 22. Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác, chứng minh:
1)


a
b
c
+
+
≥3
b+c−a
c+a−b
a +b−c

2) abc ≥ ( a + b − c ) ( b + c − a ) ( c + a − b )

3) 8(p − a)(p − b)(p − c) ≤ abc

2
2
2
4) ab + bc + ca ≤ a + b + c < 2(ab + bc + ca)

2.5. Bất đẳng thức Bunhiacopxki cho 2 số và 3 số (3 câu)
Câu 23. Chứng minh các bất dẳng thức sau:
2
2
1)Nếu 2x+3y=4 thì 2x + 3y ≥

2
2
3)Nếu 3x+4y=7 thì x + y ≥

16

5

2
2
2)Nếu 6x+y=5 thì 9x + y ≥ 5

49
25

2
2
4)Nếu 6x+12y=5 thì 4x + 9y ≥ 1
2
2
6)Nếu x + 7y = 10 thì x + y ≥ 2

2
2
5)Nếu 3x+4y=10 thì x + y ≥ 4
2
2
7)Nếu 3a − 5b = 8 thì 7a + 11b ≥

2464
137

8) ( x − 2y + 1) + ( 2x − 4y + 5 ) ≥
2

2


9
5

Câu 24. Chứng minh các bất đẳng thức sau:
1)Nếu x 2 + y 2 = 1 thì 3x + 4y ≤ 5

2) Nếu x 2 + 2y 2 = 8 thì 2x + 3y ≤ 2 17

5
3) Nếu x 2 + 4y 2 = 1 thì x − y ≤
2

4) Nếu 36x 2 + 16y 2 = 9 thì y − 2x ≤

5) Nếu 4(a − 1) 2 + 9(b − 2) 2 = 5 thì 2a + 6b − 20 ≤ 5

6) Nếu x 2 + y 2 = u 2 + v 2 = 1 thì x(u + v) + y(u − v) ≤ 2

5
4

Câu 25. Chứng minh các bất đẳng thức sau:
1)Nếu x ∈ [ 1;3] thì 6 x − 1 + 8 3 − x ≤ 10 2

2) Nếu x ∈ [ 1;5] thì 3 x − 1 + 4 5 − x ≤ 10

3)Nếu x ∈ [ −2;1] thì 1 − x + 2 + x ≤ 6

4) Nếu x ∈ [ 4;13] thì 2 x − 4 + 13 − x ≤ 3 5


Câu 26. Cho a, b, c ∈ ¡ . Chứng minh các bất đẳng thức sau:
1) 3(a 2 + b 2 + c 2 ) ≥ (a + b + c) 2

2)Nếu a + b + c = 6 thì a 2 + b 2 + c 2 ≥ 12

3)Nếu a 2 + b 2 + c 2 = 1 thì a + 3b + 5c ≤ 35

4)Nếu 4a + 9b + 16c = 49 thì

1 25 64
+ +
≥ 49 ( a.b.c ≠ 0 )
a b
c

TRẮC NGHIỆM
2.6. Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất sử dụng bất đẳng thức cô si.
2.6.1. Cho các số chứa 1 biến: thêm bớt, tách để đánh giá (3 câu)
Câu 27. Cho x > 2. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức f (x) = x +
A. 6

B. 2 3

Câu 28. Cho x > 0. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức y =
A. 3

3
là:
x−2

C. 2 3 + 2

D. 2 + 3

C. 9

D. 3 + 6

C. 12

D. 18

x 2 + 3x + 9
là:
x

B. 6

Câu 29. Cho y = x(6 − x) với 0 ≤ x ≤ 6 . Giá trị lớn nhất của y là:
A. 3

B. 9

2.6.2. Điểm rơi trong bất đẳng thức cô si (2 câu).
Câu 30. Cho x ≥ 1. Biểu thức P = 3x +

1
đạt giá trị nhỏ nhất tại :
2x


0976 66 33 99 – 0913 04 06 89
Trang 3/17


A. x =

1

B. x = 2

6

Câu 31. Cho P = x +

1
x

3
2

C.

6

C.

10
3

D. 1


( x ≥ 3) . Giá trị nhỏ nhất của biểu thức P là:

A. 2

B. 3

D.

5
2

2.6.3. Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất sử dụng bất đẳng thức cô si có biểu thức đối xứng (3 câu).
Câu 32. Cho 3 số dương a, b, c thỏa mãn a+b+c=1. Giá trị lớn nhất của biểu thức S = abc(a + b)(b + c)(c + a) là:
A.

2
9

B.

8
729

C. 1

D.

4
81


 a  b   c 
Câu 33. Cho 3 số thực dương a, b, c. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = 1 + ÷ 1 + ÷1 + ÷ là:
 b  c   a 
A. 2

B. 3

Câu 34. Cho 3 số dương a, b, c thỏa mãn
A. 1

C. 4

D. 8

1
1
1
+
+
≥ 2 . Khi đó giá trị lớn nhất của biểu thức M=abc là:
a +1 b +1 c +1

B. 2

C.

1
2


D.

1
8

2.6.4. Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki cho hai biến và ba biến (3 câu).
Câu 35. Cho biểu thức P = 7 − x + 2 + x . Biểu thức P đạt giá trị lớn nhất M và giá trị nhỏ nhất m là:
A. M = 3 2, m = 3

B. M = 7, m = 0

C. M = 3 2, m = 0

D. M = 18, m = 0

2
2
Câu 36. Cho biểu thức P = y − 2x + 5 với 36x + 16y = 9 . Biểu thức P đạt giá trị lớn nhất M và giá trị nhỏ nhất m là:

A. M =

25
15
,m=
4
4

B. M =

25

,m=0
4

5
C. M = , m = 0
2

D.

Câu 37. Cho 3 số dương x, y, z thỏa mãn x+y+z=1. Giá trị lớn nhất của biểu thức P = 1 − x + 1 − y + 1 − z là:
A. 3

B.

C. 2

6

D.

5

D.

2

2.8. Các câu hỏi khác (1 câu)
Câu 38. Cho hai số a > b >0. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = a +
A. 2


4
là:
b(a − b) 2

B. 4

C. 2 2

Phần 2: ĐẠI CƯƠNG VỀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH
2.1. Mối quan hệ giữa điều kiện và tập nghiệm bất phương trình (3 câu)
Câu 39. Tập nghiệm của bất phương trình
A. [ 5; +∞ )

3 − x + x − 5 ≥ −10 là:

B. ( −∞;3]

Câu 40. Tập nghiệm của bất phương trình
A. { 1}

x
x−2

<

2
x−2

C. [ 1; +∞ )


D. Kết quả khác

C. ∅

D. { 2}

là:

B. [ 2; +∞ )

A. ( 2; +∞ )

D. ∅

x − 1 + 1 − x + 2x ≥ 2 là:

B. ∅

Câu 41. Tập nghiệm của bất phương trình

C. ¡

2.2. Quan hệ giữa các phép biến đổi tương đương và bất phương trình (3 câu).
Câu 42. Trong các bất phương trình sau, bất phương trình nào tương đương với bất phương trình 2x − 1 ≥ 0
A. 2x − 1 +

1
1
≥
x −3 x −3


B. 2x − 1 −

1
1
≥−
x +3
x +3

C.

2x − 1
≥0
x

Câu 43. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng:

0976 66 33 99 – 0913 04 06 89
Trang 4/17

D. (2x − 1) x − 2 ≥ 0


A. x +

1
1
< 1+ ⇔ x < 1
x
x


B.

1
>1⇔1> x −2
x−2
Câu 44. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng:

x(x − 1)
≤2⇔x≤2
x −1

C.

D. x > −2 ⇔ x − x > −2 − x

A. (x − 1) 2 > 3 ⇔ x − 1 > 3

B. x > −2 ⇔ x − x > − x − x

C.Với điều kiện x>1 ta có

1
> 1 ⇔ 1 > x −1
x −1

D. x + x − 2 > x − 2 ⇔ x > 0

2.3. Câu hỏi khác (1 câu)
Câu 45. Tập nghiệm của bất phương trình x + 2 x − 2 + x 2 + 1 − 1 ≤ 0 là:

C. [ 2; +∞ )

B. ∅

A. ¡

D.Một kết quả khác

Phần 3: BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH MỘT ẨN
2.1. Giải và biện luận bất phương trình bậc nhất một ẩn (3 câu)
Câu 46. Chọn kết quả đúng khi giải và biện luận bất phương trình mx + 1 > x + m 2 (*) :
A. Nếu m>1 thì tập nghiệm của (*) là S = ( m + 1; +∞ )
B. Nếu m<1 thì tập nghiệm của (*) là S = ( m + 1; +∞ )
C. Nếu m=1 thì tập nghiệm của (*) là S = ¡
D. Nếu m>1 thì tập nghiệm của (*) là S = ( −∞; m + 1)
Câu 47. Chọn kết quả sai khi giải và biện luận bất phương trình 2mx ≥ x + 4m − 3 (**) :
A.Nếu m >

 4m − 3

1
; +∞ ÷
thì tập nghiệm của (**) là S = 
2
 2m − 1


B. Nếu m <

4m − 3 


1
thì tập nghiệm của (**) là S =  −∞;
2m − 1 
2


C. Nếu m =

1
thì tập nghiệm của (**) là S = ¡
2

D. Nếu m =

1
thì tập nghiệm của (**) là S = ∅
2

Câu 48. Chọn kết quả đúng khi giải và biện luận bất phương trình mx + 6 > 2x + 3m
A.Nếu m=2 thì tập nghiệm S = ¡
B.Nếu m=2 thì tập nghiệm S = ∅
C.Nếu m >2 thì tập nghiệm S = ( −∞;3)
D. Nếu m <2 thì tập nghiệm S = ( 3; +∞ )

2.2. Tập nghiệm của các bất phương trình bậc nhất một ẩn (4 câu)
Câu 49. Bất phương trình
4

A.  −∞; − ÷

5


Câu 50. Bất phương trình
A. ( 5; +∞ )

x+2
− x + 1 > x + 3 có tập nghiệm là:
3
4

B.  −∞; ÷
5


 4

C.  − ; +∞ ÷
5



D.Một kết quả khác

C. ( −∞; −5]

D. ( −5; +∞ )

C. x > 2 − 1


D. x > 1 − 2

3x + 5
x+2
−1 ≤
+ x có tập nghiệm là:
2
3
B. ( −∞;5 )

Câu 51. Nghiệm của bất phương trình (1 − 2)x < 3 − 2 2 là:
A. x < 1 − 2

B. x < 1 + 2

Câu 52. Nghiệm của bất phương trình (x + 3) 2 ≥ (x − 3) 2 + 2 là:

0976 66 33 99 – 0913 04 06 89
Trang 5/17


3
6

A. x ≥

3
6

B. x >


3
6

C. x ≤

D. ¡

2.3. Tập nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất một ẩn (4 câu)
5x − 2 > 4x + 5
Câu 53. Tập nghiệm của hệ bất phương trình 
là:
5x − 4 < x + 2
B. ( 2;7 )

A. ∅

C. (−∞; 2) ∪ ( 7; +∞ )

D. ( 7; +∞ )

C. ( −∞; 4]

D. ( −3; 4]

 7 5
C.  − ; 
 44 4 

D. ∅


C. x > 2

D.

 2x + 1 > 3x + 4
Câu 54. Tập nghiệm của hệ bất phương trình 
là:
5x + 3 ≥ 8x − 9
B. ( −∞; −3)

A. ∅

 5x + 2
 3 ≥ 4 − x
Câu 55. Nghiệm của hệ bất phương trình 
là:
 6 − 5x < 3x + 1
 13
A. x ≥

5
4

7
44

B. x > −



 x − 1 ≤ 2x − 3

Câu 56. Nghiệm của hệ bất phương trình 3x < x + 5
là:
 5 − 3x

≤ x −3
 2
A. x <

5
2

B. x ≥

11
5

11
5
≤x<
5
2

2.4. Tìm tham số để bất phương trình có nghiêm, vô nghiệm (2 câu)
Câu 57. Điều kiện của m để bất phương trình (m 2 − m)x ≥ 1 − m có nghiệm là:
B. m ≠ 0

A. m ≠ 1


m ≠ 0
C. 
m ≠ 1

D. ∀m ∈ ¡

C. m<0

D. m ≠ 0

Câu 58. Bất phương trình mx > 3 vô nghiệm khi:
A. m=0

B. m>0

2.5. Tìm tham số để hệ bất phương trình có nghiệm, vô nghiệm (4 câu) chia đều cho 2 mục
3x − 2 > −4x + 5
Câu 59. Hệ bất phương trình 
có nghiệm khi:
3x + m + 2 < 0
A. m < −5

B. m > −5

C. m ≠ −5

D. m ≤ −5

C. m > −1


D. m ≥ −1

7
3

D. m ≥ −

x − 2 ≤ 0
Câu 60. Hệ bất phương trình 
có nghiệm khi:
m + x > 1
A. m < −1

B. m ≤ −1

 2x + 7 < 8x − 1
Câu 61. Hệ bất phương trình 
vô nghiệm khi:
 −2x + m + 5 ≥ 0
A. m < −

7
3

B. m ≤ −

7
3

C. m > −


7
3

(x − 3) 2 ≥ x 2 + 7x + 1
Câu 62. Hệ bất phương trình 
vô nghiệm khi:
 2m − 5x ≤ 8
A. m >

72
13

B. m ≥

72
13

C. m <

72
13

2.6. Câu hỏi khác (không có)
Phần 4: DẤU CỦA NHỊ THỨC BẬC NHẤT
0976 66 33 99 – 0913 04 06 89
Trang 6/17

D. m ≤


72
13


TỰ LUẬN BỔ SUNG KIẾN THỨC
2.1 Xét dấu của các biểu thức (4 câu)
Câu 63. Lập bảng xét dấu của các biểu thức :
1) f (x) = 3x − 5

2) f (x) = −5x − 6

Câu 64. Lập bảng xét dấu của các biểu thức :
1) ( − x − 1) ( 3x + 4 )

2 

2)  1 −
÷( 9 − 2x )
 3x − 4 

3)

4 − 3x
2x + 1

4) 1 −

2−x
3x − 2


Câu 65. Lập bảng xét dấu của các biểu thức :
1) x(x − 2)(x + 1)

2) (−2x + 1)(4x − 3)(x − 3)

3) ( 2 − x)(x − 1)x

4)

(1 − x)
x2 − 4

3) (x + 2)3 (x − 3) 2

4)

x −1
(2 − x) x 4

1
1
1
+
−
x −1 x + 2 x − 2

Câu 66. Lập bảng xét dấu của các biểu thức :
1) x(x − 2) 2 (3 − x)

2)


x(x − 3) 2
(x − 5)(1 − x)

2.2. Phân thích các đa thức thành nhân tử rồi xét dấu (3 câu)
Câu 67. Lập bảng xét dấu của các biểu thức :
1)

1
4
+
2x − 5 8 − 3x

2) 4x 2 − 1

3)

−4
3
−
3x + 1 2 − x

4)

3)

−4x + 1
+3
3x + 1


4) x −

Câu 68. Lập bảng xét dấu của các biểu thức :
1) x 2 − 3x + 2

2) −3x 2 + 2x + 1

1
x

Câu 69. Lập bảng xét dấu của các biểu thức :
1)

x 2 − 3x + 1
−1
x2 − 4

2) 2 +

3− x
x2 + x − 2

3) (x + 3) x 2 − 4x − 12

4) (x − 2)(x + 1) + x 2 − 2

TRẮC NGHIỆM
2.3 Mối quan hệ giữa tập nghiệm và các bất phương trình tích (4 câu)
Câu 70. Nghiệm của bất phương trình (− 2x + 2)(x + 1)(2x − 3) > 0 là
3


A. (−∞; −1) ∪  2; ÷
2


(

)

3

B. −1; 2 ∪  ; +∞ ÷
2


(

3
C. (−∞; )
2

3

D.  −1; ÷∪
2


C. ( −1;1)

D. ( −1;1) ∪ ( 1; +∞ )


C. [ −2; +∞ )

D. { −2} ∪ [ 1; +∞ )

C. ( −∞; 2]

D. ∅

2; +∞

Câu 71. Nghiệm của bất phương trình (x + 1)(x − 1) 2 > 0 là
A. ( −1; +∞ )

B. ( −∞; −1) ∪ ( 1; +∞ )

Câu 72. Nghiệm của bất phương trình ( x − 1) ( x + 2 ) ≥ 0 là
2

A. x ≥ 1

B. ( −∞; −2 ) ∪ ( 1; +∞ )

Câu 73. Tập nghiệm của bất phương trình − ( 2 − x ) ≥ 0 là:
2

A. { 2}

B. [ 2; +∞ )


2.4. Mối quan hệ giữa tập nghiệm và các bất phương trình chứa ẩn ở mẫu (3 câu)
Câu 74. Tập nghiệm của bất phương trình
1

A.  −7; ÷∪ ( 2; +∞ )
2


1 
B. ( −∞; −7 ] ∪  ; 2 ÷
2 

Câu 75. Tập nghiệm của bất phương trình
A. ( −1; 2 ) ∪ [ 3; +∞ )

3
5
≤
là:
x − 2 2x − 1
1 
D. ( −∞; −7 ] ∪  ; 2 
2 

C. ( −1; 2] ∪ [ 3; +∞ )

D. ( −∞; −1) ∪ [ 2;3]

(3 − x)(x − 2)
≤ 0 là

x +1

B. [ −1; 2] ∪ [ 3; +∞ )

Câu 76. Tập nghiệm của bất phương trình

1 
C. ( −∞; −7 ) ∪  ; 2 ÷
2 

3
5
≥
là
1 − x 2x + 1

0976 66 33 99 – 0913 04 06 89
Trang 7/17

)


1  2 

A.  −∞; − ÷∪  ;1÷
2  11 


 1 2
B.  − ;  ∪ ( 1; +∞ )

 2 11 

1  2 

C.  −∞; − ÷∪  ;1÷
2   11 


D.Một kết quả khác

2.5. Mối quan hệ giữa tập nghiệm và các phương trình, bất phương trình chứa dấu GTTĐ (5 câu)
Câu 77. Tập nghiệm của bất phương trình 2x − 1 < 3x + 5 là
 −4 1   1

A.  ; ÷∪  ; +∞ ÷
 5 2 2


 4

B.  − ; +∞ ÷
 5


C. ( −6; +∞ )

1

D.  ; +∞ ÷
2



1 
C. ( −∞; −7 ) ∪  ;3 ÷
2 

D. ( −7; +∞ )

2

C.  −∞; − 
5


 −2 
D.  ; 2 
5 

C. [ −1;3]

D.Một kết quả khác

C. { ∅}

D. Một kết quả khác

Câu 78. Tập nghiệm của bất phương trình 2x − 1 + x − 3 < 5 là
A. ( −7;3)

1 1 


B.  −7; ÷∪  ;3 ÷
2 2 


Câu 79. Tập nghiệm của bất phương trình 5x − 4 ≥ 6 là
A. [ 2; +∞ )

2

B.  −∞; −  ∪ [ 2; +∞ )
5


Câu 80. Nghiệm của phương trình x + 1 + 3 − x = 4 là:
A. { −1;3}

B. { −1}

Câu 81. Nghiệm của phương trình x − 1 = x − 3 là:
A. { 2}

B. ∅

2.6. Mối quan hệ giữa nghiệm, nghiệm nguyên của hệ bất phương trình gồm những bậc nhất, tích bậc
nhất, bậc hai có thể phân tích được nhân tử (5 câu)
5

6x + 7 > 4x + 7
Câu 82. Hệ bất phương trình 

có nghiệm nguyên là:
 8x + 3 < 2x + 25
 2
A. { 4;5;6;7;8;9;10;11}

B. { 3; 4;5; 6;7;8;9;10;11;12}

C. { 5;6;7;8;9;10}

D. { 4;5;6;7;8;9;10}

1

15x − 2 > 2x + 3
Câu 83. Hệ bất phương trình 
có nghiệm nguyên là:
 2(x − 4) < 3x − 14

2
A. { 0;1; 2}

B. { 1; 2}

C. { 2}

D. { 1}

C. { 1}

D. { 2}


C. ∅

D. { 0}

C. { −2; −1;0}

D. { −4; 2;3}

C.Không tồn tại m

D.Một kết quả khác

 2x > 1
Câu 84. Hệ bất phương trình 
có nghiệm nguyên là:
(x + 1)(2 − x) ≤ 0
A. { 0;1; 2}

B. { 1; 2}

x + 1 > 0
Câu 85. Hệ bất phương trình  2
có nghiệm nguyên là:
 x − 3x + 2 < 0
A. ( 1; 2 )

B. { 1; 2}

(x − 1)(x + 3) > 0

Câu 86. Hệ bất phương trình 
có nghiệm nguyên là:
(x + 5)(x − 4) < 0
A. { −4; −3; 2;3}

B. { 2;3}

2.7 Câu hỏi khác (1 câu)
Câu 87. Bất phương trình mx + 4 > 2x + m 2 vô nghiệm khi
A. m = 0
B. m = 2

Phần 5: BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN
2.1. Mối quan hệ giữa miền nghiệm và các bất phương trình, hệ bất phương trình (3 câu)
0976 66 33 99 – 0913 04 06 89
Trang 8/17


Câu 88. Điểm nào không thuộc miền nghiệm của bất phương trình 3x + y ≤ 0 ?
A. O ( 0.0 )

C. N ( 1; −1)

B. M(−1;1)

D. P(1; −3)

Câu 89. Cặp điểm M,N nào sau đây thuộc miền nghiệm của bất phương trình 3x + y − 2 > 0 ?
A. M(1; −1), N(1;1)


C. M(1; −2), N(0;1)

B. M(2;1), N(1; 0)

D. M(2;1), N( −1;5)

3x − y + 3 > 0

Câu 90. Điểm nào sau đây thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình  −2x + 3y − 6 < 0
 2x + y + 4 > 0

A. M(−1; 0)

B. M(0; 2)

D. M(−1; −4)

C. M(0;0)

2.2. Ứng dụng mối quan hệ giữa miền nghiệm vào bài toán kinh tế (2 câu)
Câu 91. Người ta dự định dùng hai loại nguyên liệu để chiết xuất ít nhất 140kg chất A và 9kg chất B. Từ mỗi tấn nguyên liệu loại I
giá 4 triệu đồng có thể chiết xuất được 20kg chất A và 0.6kg chất B. Từ mỗi tấn nguyên liệu loại II giá 3 triệu đồng có thể
chiết xuất được 10kg chất A và 1,5kg chất B. Hỏi phải dùng bao nhiêu tấn nguyên liệu mỗi loại để chi phí mua nguyên liệu là
ít nhất, biết rằng cơ sở cung cấp nguyên liệu chỉ có thể cung cấp không quá 10 tấn nguyên liệu loại I và không quá ( tấn
nguyên liệu loại II ?
A.4 tấn nguyên liệu loại I và 6 tấn nguyên liệu loại II
B. 5 tấn nguyên liệu loại I và 4 tấn nguyên liệu loại II
C. 6 tấn nguyên liệu loại I và 2 tấn nguyên liệu loại II

D. 6,5 tấn nguyên liệu loại I và 1 tấn nguyên liệu loại II


Câu 92. Một phân xưởng có hai máy đặc chủng M1 , M 2 sản xuất hai loại sản phẩm kí hiệu là I và II. Một tấn sản phẩm loại I lãi 2
triệu đồng, Một tấn sản phẩm loại II lãi 1,6 triệu đồng. Muốn sản xuất 1 tấn sản phẩm loại I cần dùng máy M1 trong 3 giờ và
máy M 2 trong 1 giờ. Muốn sản xuất 1 tấn sản phẩm loại II cần dùng máy M1 trong 1 giờ và máy M 2 trong 1 giờ. Một máy
không thể dùng để sản xuất cả hai loại sản phẩm. Máy M1 làm việc không quá 6 giờ trong 1 ngày, máy M 2 một ngày làm việc
không quá 4 giờ. Hãy đặt kế hoạch sản xuất sao cho tổng số tiền lãi là cao nhất.
A. 1 tấn nguyên liệu loại I và 3 tấn nguyên liệu loại II
B. 4 tấn nguyên liệu loại I và 1 tấn nguyên liệu loại II
C. 3 tấn nguyên liệu loại I và 1 tấn nguyên liệu loại II

D. 2 tấn nguyên liệu loại I và 2 tấn nguyên liệu loại II

2.3. Câu hỏi khác
Phần 6: DẤU CỦA TAM THỨC BẬC HAI
2.1. Mối quan hệ giữa dấu của tam thức bậc hai, biểu thức có yếu tố bậc hai và các nghiệm của tam thức
bậc hai (5 câu)
Câu 93. Cho tam thức f (x) = x 2 − 3x + 2. Chọn đáp án đúng:
A.Dương với mọi x ∈ ¡

B.Âm với mọi x ∈ ¡

D.Âm với mọi x ∈ ( 1; 2 )

C.Dương với mọi x > 1

Câu 94. Tam thức bậc hai f (x) = x 2 + (1 − 3)x − 8 − 5 3 :
A. Dương với mọi x ∈ ¡

(


C.Âm với mọi x ∈ −2 − 3;1 + 2 3

B. Âm với mọi x ∈ ¡

)

D.Âm với mọi x ∈ ( −∞;1)

Câu 95. Tam thức bậc hai f (x) = (1 − 2)x 2 + (5 − 4 2)x − 3 2 + 6 :

(

B.Dương với mọi x ∈ −3; 2

A. Dương với mọi x ∈ ¡

(

C.Dương với mọi x ∈ −4; 2

)

)

D. Âm với mọi x ∈ ¡

Câu 96. Biểu thức f (x) = (x − 2) x
A.Âm với mọi x ∈ ( 0; 2 )

B.Dương với mọi x ∈ ( 0; +∞ )


C. Dương với mọi x ∈ ¡

D. Âm với mọi x ∈ ¡

Câu 97. Biểu thức f (x) =

x−2
:
1− x

A.Dương với mọi x > 2

B.Dương với mọi x < 1

C.Dương với mọi x ∈ ( 1; 2 )

0976 66 33 99 – 0913 04 06 89
Trang 9/17

D.Âm với mọi x ∈ (1; 2)


2.2. Tìm Điều kiện tham số để biểu thức luôn dương, luôn âm (4 câu)
2
Câu 98. Tam thức bậc hai f (x) = x − mx + 1 luôn dương khi:

A. m ∈ ( −2; 2 )

B. m ∈ ( −∞; −2 ) ∪ ( 2; +∞ )


C. m < 2

D. ∀m ∈ ¡

C. m > 0

D. m ∈ ∅

C. m ≤ 0

D. m ≠ 0

C. m > 0

D. m ∈ ( 0;1) ∪ ( 1; +∞ )

2
Câu 99. Tam thức f (x) = mx + 2(m − 2)x + m − 4 luôn dương khi:

B. m ≥ 0

A.Với mọi m ∈ ¡

Câu 100. Tam thức f (x) = − x 2 + 2mx − m 2 luôn âm khi:
B. m ∈ ∅

A. Với mọi m ∈ ¡

Câu 101. Tam thức f (x) = mx − (m + 1)x + 1 luôn âm khi:

2

A. m ∈ ∅

B. m < 0

2.3. Câu hỏi khác (1 câu)
Câu 102. Tam thức f (x) = mx 2 + mx + 1 luôn dương khi:
A. m ∈ ( −∞; 0 ) ∪ ( 4; +∞ )

B. m ∈ [ 0; 4 )

D. m ∈ ( 0; 4 )

C. m > 4

Phần 7: BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
2.1. Mối quan hệ giữa tập nghiệm và bất phương trình bậc hai (4 câu)
Câu 103. Tập nghiệm của bất phương trình (3 − 2 2)x 2 − 2(3 2 − 4)x + 6(2 2 − 3) ≤ 0 là:
A.  − 2;3 2 

B. ( −∞;1]

C. [ −1; +∞ )

D.  −1;3 2 

Câu 104. Tập nghiệm của bất phương trình (2 + 7)x 2 − 3x − 14 − 4 7 ≥ 0 là:
A. ¡


B. ( −∞; −2] ∪  7; +∞

)

(

C.  −2 2;5 

D. −∞; − 7  ∪ [ 1; +∞ )

C. ( −∞; 2 )

D. { 2}

Câu 105. Tập nghiệm của bất phương trình x 2 − 4x + 4 ≤ 0 là:
A. ∅

B. ( −∞; 2]

Câu 106. Tập nghiệm của bất phương trình (2 − 5)x 2 + (15 − 7 5)x + 25 − 10 5 ≥ 0 là:
A. ¡

C. [ −5;1]

B. ( −∞;1)

D.  −5; 5 

2.2. Mối quan hệ giữa tập nghiệm và bất phương trình tích, bất phương trình chứa ẩn ở mẫu thức và có
chứa nhân tử bậc hai (4 câu)

Câu 107. Tập nghiệm của bất phương trình (x − 1)(x 2 − 3x + 2) < 0 là:
A. ( −∞; 2 )

B. ( 2; +∞ )

C. ( −∞;1) ∪ ( 1; 2 )

D. ( 1; 2 )

Câu 108. Tập nghiệm của bất phương trình (x + 3)(x 2 + 4x + 3) ≥ 0 là:
A. ¡

B. [ −1; +∞ )

Câu 109. Tập nghiệm của bất phương trình
A. ( −∞;1) ∪ ( 1; +∞ )

A. ( −∞; −3] ∪ ( −1; 2 )

D. { −3} ∪ [ −1; +∞ )

C. [ 1; +∞ )

D. ¡

C. [ −3; −1) ∪ ( 2; +∞ )

D. ( −∞; −1)

x2 − x +1

≥ 0 là:
x −1

B. ( 1; +∞ )

Câu 110. Tập nghiệm của bất phương trình

C. [ −3; −1]

x +3
≤ 0 là:
x −x−2
2

B. ( −∞; −3) ∪ ( −1; 2 )

2.3. Mối quan hệ giữa tập nghiệm và tập xác định của hàm số (2 câu)
Câu 111. Tập xác định của hàm số f (x) = x 2 − 2 2x + 1 là:

(

A. −∞; − 2 − 1 ∪  − 2 + 1; +∞
C.  2 − 1; 2 + 1

)

(
D. ( −∞;

)

2 − 1) ∪ ( 2 + 1; +∞ )

B. −∞; 2 − 1 ∪  2 + 1; +∞

0976 66 33 99 – 0913 04 06 89
Trang 10/17


Câu 112. Tập xác định của hàm số f (x) =

−1
là:
x 2 − 6x + 5

B. [ 1;5]

A. ( 1;5 )

C. ( −∞;1) ∪ ( 5; +∞ )

D. ¡

2.4. Mối quan hệ giữa tập nghiệm và hệ bất phương trình bậc hai (3 câu)
2
3x − 7x + 2 > 0
Câu 113. Hệ bất phương trình 
có tập nghiệm là:
2
 −2x + x + 3 > 0


 1
A.  −1; ÷
3


3

B.  −1; ÷
2


1 
C.  ; 2 ÷
3 

1

D.  −∞; ÷∪ ( 2; +∞ )
3


C. ( 1; +∞ )

D. ∅

C. ( 1; +∞ )

D. ( −∞;1)

5x 2 + 1 > 6x

Câu 114. Hệ bất phương trình  2
có tập nghiệm là:
 x + 4x + 20 < 0
1

A.  −∞; ÷∪ ( 1; +∞ )
5


1 
B.  ;1÷
5 

 x 2 − x + 2 > 0
Câu 115. Hệ bất phương trình  2
có tập nghiệm là:
 2x + 2x + 3 > 0
A. ∅

B. ¡

2.5. Tìm tham số để phương trình có nghiệm đúng với mọi x (3 câu)
Câu 116. Bất phương trình m(m − 1)x 2 + 2(m − 1)x + 1 ≥ 0 có nghiệm đúng ∀x ∈ ¡ khi:
A. m > 1

B. m < 1

C. m ≥ 1

D. ∀m ∈ ¡


Câu 117. Bất phương trình (m − 4)x − (m − 6)x + m − 5 ≤ 0 có nghiệm đúng ∀x ∈ ¡ khi:
2

A. m ≤ 4 −

2 3
3

B. m > 4

C. m < 4 −

2 3
3

D. m ≤ −4 −

2
3

2
2
Câu 118. Bất phương trình (m − 1)x + 2(m + 1)x + 3 > 0 có nghiệm đúng ∀x ∈ ¡ khi:

B. ( −∞; −1] ∪ ( 2; +∞ )

A. m ∈ ( −∞; −1) ∪ ( 2; +∞ )

C. [ −1; 2 )


D. ( −∞; −1] ∪ [ 2; +∞ )

2.6. Tìm tham số để bất phương trình vô nghiệm (3 câu)
Câu 119. Bất phương trình (m + 1)x 2 − 2(m − 1)x + 3m − 3 ≥ 0 vô nghiệm khi:
A. m ≤ −2

B. m ≥ −2

C. m < 2

D. m < −2

Câu 120. Bất phương trình (m − 2)x + 2(m + 1)x + 2m > 0 vô nghiệm khi:
2

(

B. m ∈ −∞;3 − 10  ∪ 3 + 10; +∞

A. m ≤ 3 − 10
C. m < 3 − 10

)

D. m ≥ 3 + 10

Câu 121. Bất phương trình x + 6x + m + 7 ≤ 0 vô nghiệm khi:
2


A. m < 2

B. m > 2

C. m ≥ 2

D. m > 29

2.7. Tìm tham số để bất phương trình có nghiệm (2 câu)
2
Câu 122. Với giá trị nào của m thì bất phương trình mx + (2m − 1)x + m + 1 < 0 có nghiệm

A. m = 1

B. m = 3

C. m = 0

D. m = 0, 25

C. m > 20

D. m < 20

Câu 123. Bất phương trình 5x 2 − x + m ≤ 0 có nghiệm khi:
A. m >

1
20


B. m ≤

1
20

2.8. Tìm tham số để hệ bất phương trình có nghiệm, vô nghiệm (3 câu)
 x 2 + 2x − 15 < 0
Câu 124. Hệ bất phương trình 
có nghiệm khi:
(m + 1)x ≥ 3
A. m > 0

8

B. m ∈  −∞; − ÷∪ ( 0; +∞ )
5


C. m >

−8
5

0976 66 33 99 – 0913 04 06 89
Trang 11/17

 8 
D. m ∈  − ;0 ÷
 5 



 x 2 + 7x − 8 < 0
Câu 125. Hệ bất phương trình 
vô nghiệm khi:
x − m > 0
A. m < −8

B. m > 1

C. m ≥ 1

D. m ∈ ( −8;1)

C. −2 < m < −1

D. m ∈ ∅

 x 2 − 5x + 2 < 0
C.  2
 x + 8x + 1 ≤ 0

 x − 1 ≤ 2
D. 
 2x + 1 ≤ 3

 x 2 − 6x + 8 < 0
Câu 126. Hệ bất phương trình 
có nghiệm khi
(m + 2)x ≥ 2
A. m > −


3
2

B. m > −1

2.9. Câu hỏi khác (1 câu)
Câu 127. Hệ bất phương trình nào sau vô nghiệm:
 x 2 − 2x ≤ 0
A. 
 2x + 1 < 3x + 2

x 2 − 4 > 0

B.  1
1
<

 x + 2 x +1

Phần 8: MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ BẬC HAI
2.1. Mối quan hệ giữa tập nghiệm và phương trình chứa dấu GTTĐ (3 câu)
2
Câu 128. Phương trình x − 8x + 15 = x − 3 có tập nghiệm là:

A. { 3; 6}

B. { 2; 4}

C. { 3; 4;6}


D. { 3;5}

2
2
Câu 129. Tổng các nghiệm của phương trình x − 5x + 5 = −2x + 10x − 11 là:

A. 5

B. 6

4
3

C. −3

D.

C. 3

D. 4

2
Câu 130. Số nghiệm của phương trình x − 2x − 3 = 2x + 2 là:

B. 2

A.1

2.2. Mối quan hệ giữa tập nghiệm và bất phương trình chứa dấu GTTĐ (3 câu)

2
Câu 131. Tập nghiệm của bất phương trình x − x + 3x − 2 > 0 là:

(

)

(
D. ( −1 +

A. −∞; 2 − 2 ∪ ( 1; +∞ )

) (
3; +∞ )

B. −∞; 2 − 2 ∪ −1 + 3; +∞

C. ( −∞;1) ∪ ( 2; +∞ )

)

2
Câu 132. Tập nghiệm của bất phương trình − x + x − 1 ≤ 2x + 5 là:

A. ( −1; 4 )

B. ( −∞; −1) ∪ ( 4; +∞ )

C. [ 4; +∞ )


D. [ −1; 4]

C. ( −∞;1] ∪ [ 2; +∞ )

1

D.  −3; − 
2


2
2
Câu 133. Tập nghiệm của bất phương trình x − x ≤ x − 1 là:

 1

A.  − ; +∞ ÷
 2


B. [ 2; +∞ )

2.3. Mối quan hệ giữa tập nghiệm và phương trình chứa căn, phương trình chứa căn ở mẫu
*Dạng 1: f (x) = g(x) (3 câu)
Câu 134. Nghiệm của phương trình
A. x =

3
4


Câu 135. Nghiệm của phương trình
A. x = 3
Câu 136. Nghiệm của phương trình
A. x = 11

x 2 + 10x − 5 = 2(x − 1) là:
B. x = 3 − 6

C. x = 3 + 6

D. x = 3 + 6 và x = 2

C. x = 2 3

D. x = 4 3

C. x = 22

D. x = 18

x 2 − 4 = 2(x − 3) là:
B. x =

4 3
3

4x 2 + 101x + 64 = 2(x + 10) là:
B. x = 16

0976 66 33 99 – 0913 04 06 89

Trang 12/17


*Dạng 2: f (x) = g(x) (2 câu)
Câu 137. Nghiệm của phương trình

x 2 + 2x + 4 = x 2 − x + 1 là

A. x = 1

B. x = 2

Câu 138. Nghiệm của phương trình

D. x = ∅

C. x = −1

−2x 2 + x − 4 = x 2 − 4x − 2 là
B. x =

A. x = 1

2
3

C. x = 1 và x =

2
3


D. ∅

*Dạng 3: f (x) ± g(x) = h(x) (3 câu)
Câu 139. Nghiệm của phương trình

x + 3 = 2x − 8 + 7 − x là:

A. x = 11 − 61

B. x = 11 + 61

Câu 140. Nghiệm của phương trình

x + 2 = 5 − 2x + 3 − x là:

A. x = 2

B. x = −

Câu 141 Nghiệm của phương trình
A. x = 0 và x = −

D. x = 5, x = 6

C. x = 11 ± 61

3
2


C. x = 2 và x = −

3
2

D.Kết quả khác

x + 4 − 1 − x − 1 − 2x = 0 là:.

7
2

B. x = 0

C. x = −

7
2

D.Kết quả khác

*Dạng 4: af (x) + b f (x) + c = 0 (3 câu)
Câu 142. Nghiệm của phương trình 3x − 3 3x − 1 = 5 là:
A. x = 5

C. x =

B. x = 4

2

3

D. x =

17
3

Câu 143. Tổng các nghiệm của phương trình x 2 − 4x + 2 = 2 x 2 − 4x + 5 là:
B. −4

A. 4
Câu 144. Nghiệm của phương trình

C. 4 2

D. 2 + 2 2

C. x = 5 và x = −3

D. x = 4

(4 + x)(6 − x) = x 2 − 2x − 12 là:

A. x = 5

B. x = 3

*Dạng 5: f (x) + g(x) + f (x).g(x) = h(x) (2 câu)
Câu 145. Nghiệm của phương trình


3x − 2 + x − 1 = 4x − 9 + 2 3x 2 − 5x + 2 là:

A. x = 17

C. x = 2 và x = 17

B. x = 2

D.Một kết quả khác

Câu 146. Nghiệm của phương trình 3 x + 2 − 6 2 − x + 4 4 − x 2 = 10 − 3x là:
A. x = −

6
5

C. x =

B. x = 2

6
5

D. x =

12
7

*Dạng 6: Phương trình chứa ẩn ở mẫu (2 câu)
Câu 147. Nghiệm của phương trình


4
x+ x +x
2

−

1
x− x +x

B. x = −1 và x =

A. x = −1

Câu 148. Tổng các nghiệm của phương trình
A. 0

B.

2

=

16
9

3
là:
x
C. x ∈ ∅


x
x
x
x
−
=
−
là:
x −3 x −5 x −4 x −6

9
2

C. 18

2.4. Mối quan hệ giữa tập nghiệm và bất phương trình chứa căn
*Dạng 1: f (x) > g(x); f (x) ≥ g(x) (4 câu)
Câu 149. Tập nghiệm của bất phương trình

(
C. ( −1 −

) (

A. −∞; −1 − 3 ∪ −1 + 3; +∞
3; −1 + 3

)


)

2x 2 − 1 > 1 − x là:
B. ( −∞;1) ∪ ( 3; +∞ )
D. ∅
0976 66 33 99 – 0913 04 06 89

Trang 13/17

D. x = −1 và x =

D. 9

9
16


Câu 150. Tập nghiệm của bất phương trình
A. [ −100; 2]

2(x − 2)(x − 5) > x − 3 là:

B. ( −∞;1]

(

C. ( −∞; 2] ∪ [ 6; +∞ )

D. ( −∞; 2] ∪ 4 + 5; +∞


Câu 151. Tập nghiệm của bất phương trình (2 + 7)x 2 + 3x − 14 − 4 7 ≥ 0 là:
A. ¡

(

B. −∞; − 7  ∪ [ 2; +∞ )

Câu 152. Tập nghiệm của bất phương trình
A. ( −∞; −2 ]

(

C.  −2 2;5 

D. −∞; − 7  ∪ [ 1; +∞ )

1

C. ( −∞; −2] ∪  ; +∞ ÷
2



D. ∅

C. [ 2; +∞ )

D.Kết quả khác

C. [ 5;14 )


D. ( 5;14 )

x 2 − 5x − 14 ≥ 2x − 1 là:

1 
B.  ; 2 
2 

*Dạng 2: f (x) < g(x); f (x) ≤ g(x) (4 câu)
Câu 153. Tập nghiệm của bất phương trình
 7
A.  2; ÷
 3

B. [ 2;3)

Câu 154. Tập nghiệm của bất phương trình
A. ¡

x 2 + x − 6 < x − 1 là:

x 2 − 3x − 10 < x − 2 là:

B. [ 2;14 )

Câu 156. Tập nghiệm của bất phương trình (3 − 2 2)x 2 − 2(3 2 − 4)x + 6(2 2 − 3) ≤ 0 là:
A.  − 2;3 2 

B. ( −∞;1]


Câu 157. Tập nghiệm của bất phương trình
A. [ −2;5]

C. [ −1; +∞ )

D.  −1;3 2 

(x + 4)(6 − x) ≤ 2(x + 1) là:

 109 − 3 
; 6
B. 
5



C. [ 1; 6]

D. [ 0;7 ]

*Dạng 3: Bất phương trình quy về bậc hai
+Đặt ẩn phụ thuần túy (3 câu)
Câu 158. Tập nghiệm của bất phương trình
A. ( −∞; 4 ) ∪ ( 7; +∞ )

B. ( 3; 7 )

Câu 159. Tập nghiệm của bất phương trình
A. [ −4; −3] ∪ [ 0;1]


(x − 3)(8 − x) + 26 > − x 2 + 11x là:
D. [ 3; 4 )

C. ( 4;8 )

x(x + 3) ≤ 6 − x 2 − 3x là:

B. [ −4;1]

C. [ −3;1]

D. ∅

Câu 160. Tập nghiệm của bất phương trình 6 (x − 2)(x − 32) ≤ x 2 − 34x + 48 là:
A. ( −∞; 2] ∪ [ 34; +∞ )

B. ( −∞;0] ∪ [ 34; +∞ )

C. [ 0;34]

D. ( −∞;34 ]

1 
C.  ; 4 ÷
2 

D. ( 0; 4 )

C. ¡


D. ∅

+Chia rồi đặt ẩn phụ (2 câu)
Câu 161. Tập nghiệm của bất phương trình 2x + 5 x > 11 +
1 
A.  ; 2 ÷∪ ( 4; +∞ )
2 

14
là:
x−2

B. ( 0; +∞ )

Câu 162. Tập nghiệm của bất phương trình 2 x 3 + 1 ≥ x 2 + 2 là:
A. { 0; 2}

B. [ 0; 2]

*Dạng 4: Phân miền điều kiện để giải bất phương trình (2 câu)
Câu 163. Tập nghiệm của bất phương trình ( x − 3 ) x 2 − 4 ≤ x 2 − 9 là:
A. ( −∞; −5] ∪ [ 3; +∞ )

B. ( −∞; −13] ∪ [ 3; +∞ )

Câu 164. Tập nghiệm của bất phương trình
A.  −1 − 2 13; −5 ∪ 1; −1 + 2 13 

13 


C.  −∞; −  ∪ [ 3; +∞ )
6


51 − 2x − x 2
< 1 là:
1− x

B.  −1 − 2 13; −5 ∪ 1; −1 + 2 13 
0976 66 33 99 – 0913 04 06 89

Trang 14/17

) (

D. [ 3; +∞ )

)


C. ( −1;1)

D.  −1 − 2 13; −1 + 2 13 

2.5. Câu hỏi khác
Câu 165. Tập nghiệm của bất phương trình
A. [ 1; +∞ )

B. [ 1;5]


x + 2 x −1 + x − 2 x −1 ≥

3
là
2

C. ∅

0976 66 33 99 – 0913 04 06 89
Trang 15/17

 15 
D. 1; 
 4