ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
——————————-

ĐỖ THỊ THU GIANG

VỀ LỚP MÔĐUN
ĐỐI COHEN - MACAULAY DÃY

Chuyên ngành: ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ
Mã số: 60.46.05

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: TS. NGUYỄN THỊ DUNG

THÁI NGUYÊN - NĂM 2011

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




1

Mục lục
Lời cảm ơn

2

Mở đầu

3

1

Môđun Artin
1.1 Môđun Artin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Biểu diễn thứ cấp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Chiều Noether và hệ tham số . . . . . . . . . . . . .
1.4 Môđun đối đồng điều địa phương và môđun đồng điều
phương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5 Dãy đối chính quy và môđun đối Cohen-Macaulay . .

7
. . . 8
. . . 9
. . . 11
địa
. . . 13
. . . 16

2

Môđun Cohen-Macaulay dãy
18
2.1 Môđun Cohen-Macaulay . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.2 Môđun Cohen-Macaulay dãy . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

3


Môđun đối Cohen-Macaulay dãy
28
3.1 Lọc chiều cho môđun Artin . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3.2 Môđun đối Cohen-Macaulay dãy . . . . . . . . . . . . . . . 35
3.3 Đặc trưng của môđun đối Cohen-Macaulay dãy . . . . . . . 38

Kết luận
47
Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




2

Lời cảm ơn

Luận văn này được hoàn thành trong khóa 17 đào tạo thạc sĩ của
trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên, dưới sự hướng dẫn của
TS. Nguyễn Thị Dung, Trường Đại học Nông Lâm Thái Nguyên. Tôi xin
bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới cô hướng dẫn, người đã tận tình chỉ
bảo, dạy dỗ tôi cả về kiến thức lẫn tinh thần làm việc nghiêm túc và đã
dành nhiều thời gian, công sức giúp đỡ tôi hoàn thành luận văn.
Tôi cũng xin bày tỏ lòng cảm ơn sâu sắc tới các thầy cô giáo của trường
Đại học Thái Nguyên, Viện Toán học, những người đã tận tình giảng dạy
và khích lệ, động viên tôi vượt qua được những lúc khó khăn trong học
tập.
Tôi xin trân trọng cảm ơn Ban lãnh đạo trường Đại học Sư phạm - Đại

học Thái Nguyên, khoa Sau đại học, sở GD - ĐT và trường THPT Cao
Bình tỉnh Cao Bằng đã tạo mọi điều kiện thuận lợi, giúp đỡ tôi trong suốt
thời gian tôi học tập.
Cuối cùng, tôi xin cảm ơn bạn bè, người thân đã động viên, ủng hộ
tôi cả về vật chất và tinh thần để tôi có thể hoàn thành tốt khóa học của
mình.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




3

Mở đầu
Cho (R, m) là vành giao hoán, địa phương, Noether với iđêan cực đại
duy nhất m; M là R-môđun hữu hạn sinh với chiều Krull dim M = d.
Trong phạm trù các môđun Noether, lớp môđun Cohen-Macaulay đóng
vai trò trung tâm và cấu trúc của chúng đã được biết đến một cách khá
trọn vẹn thông qua nhiều lý thuyết quan trọng của Đại số giao hoán: Phân
tích nguyên sơ, đối đồng điều địa phương,....
Đã có nhiều hướng mở rộng lớp môđun Cohen-Macaulay để cho ta
những lớp môđun mới, chứa thực sự và vẫn còn có nhiều tính chất tương tự
lớp môđun Cohen-Macaulay. Trước tiên phải kể đến lớp môđun Buchsbaum
và lớp môđun Cohen-Macaulay suy rộng do các nhà toán học W. Vogel và
J. Stuckrad, Nguyễn Tự Cường, P. Schenzel và Ngô Việt Trung phát hiện
vào những năm 1970, khi trả lời giả thuyết của D. A. Buchsbaum.
Một trong những hướng mở rộng khác của lớp môđun Cohen-Macaulay
là lớp môđun Cohen-Macaulay dãy lần đầu tiên được đưa ra bởi R. P.
Stanley [18] cho các môđun phân bậc hữu hạn sinh, sau đó được P. Schenzel

[15], Nguyễn Tự Cường và Lê Thanh Nhàn [6] định nghĩa cho trường hợp
vành địa phương. Lớp các môđun Cohen-Macaulay dãy cũng chứa thực sự
lớp các môđun Cohen-Macaulay và cấu trúc của chúng đã được biết đến
bởi [6], [15], [18],... thông qua dãy, đầy đủ theo tô pô m-adic, địa phương
hóa, đối đồng điều địa phương,... và hiện nay, lớp môđun này vẫn đang
được quan tâm nghiên cứu.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




4

Trong phạm trù các môđun Artin, lớp môđun đóng vai trò quan trọng
tương tự như lớp môđun Cohen-Macaulay đã được nhiều nhà toán học
nghiên cứu và gọi là môđun đối Cohen-Macaulay. Cấu trúc của lớp môđun
này đã được biết đến thông qua dãy đối chính quy, đồng điều địa phương,
(xem [3], [4], [6], [19],...).
Tương tự như các ý tưởng mở rộng lớp môđun Cohen-Macaulay trong
phạm trù các môđun Noether, hai lớp môđun đối Cohen-Macaulay suy
rộng và đối Buchsbaum đã được đưa ra và chúng chứa thực sự lớp môđun
đối Cohen-Macaulay và có những đặc trưng, tính chất tương tự như lớp
môđun Cohen-Macaulay suy rộng và Buchsbaum đã quen biết trong phạm
trù các môđun Noether. Tiếp theo đó, thông qua lý thuyết chiều Noether,
lọc chiều cho môđun Artin đã được xây dựng, từ đó dẫn đến việc đưa ra
lớp môđun đối Cohen-Macaulay dãy như là một sự mở rộng khác của lớp
môđun đối Cohen-Macaulay (xem [7]).
Mục đích của luận văn là trình bày lại một số nghiên cứu về hai lớp
môđun Cohen-Macaulay dãy và môđun đối Cohen-Macaulay dãy trong

hai bài báo "On pseudo Cohen-Macaulay and pseudo generalized CohenMacaulay modules" của N. T. Cuong and L. T. Nhan [6] và "On sequentially
co-Cohen-Macaulay modules" của N. T. Dung [7].
Ngoài phần mở đầu và kết luận, luận văn được chia làm 3 chương.
Để tiện theo dõi, chương 1 dành để tóm tắt lại những kết quả chung
nhất về môđun Artin được sử dụng trong các chương tiếp theo: Phương
pháp nghiên cứu môđun Artin, biểu diễn thứ cấp, chiều Noether, hệ tham
số, số bội, đồng điều địa phương cho môđun Artin, dãy đối chính quy và
môđun đối Cohen-Macaulay.
Toàn bộ nội dung chính của luận văn nằm trong chương 2 và chương 3.
Chương 2 trình bày lại một phần trong bài báo [6]. Đó là một số kết quả

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




5

về lớp môđun được gọi là Cohen-Macaulay dãy có tính chất là tồn tại một
lọc 0 = N0 ⊂ N1 ⊂ . . . ⊂ Nt = M các môđun con của M sao cho
(a) Mỗi thương Ni /Ni−1 là Cohen-Macaulay.
(b) dim(N1 /N0 ) < dim(N2 /N1 ) < . . . < dim(Nt /Nt−1 ).
Lớp môđun này có quan hệ chặt chẽ với các lớp môđun Cohen-Macaulay,
Buchsbaum, Cohen-Macaulay suy rộng, giả Cohen-Macaulay,... đã được
nghiên cứu trước đây. Cấu trúc của lớp môđun này được đặc trưng qua
địa phương hóa, đầy đủ theo tô pô m-adic, đặc biệt chúng được đặc trưng
qua đối đồng điều địa phương như sau.
Định lý 2.2.9. Cho 0 = M0 ⊂ M1 ⊂ . . . ⊂ Mt = M là một lọc chiều của

M và dim Mi = di với mọi i = 1, . . . , t. Giả sử R là vành có phức đối

ngẫu. Khi đó các khẳng định sau là tương đương:
(i) M là Cohen-Macaulay dãy.
(ii) Với mọi j = 0, 1, . . . , d các môđun K j (M ) hoặc bằng không hoặc là
Cohen-Macaulay chiều j.
(iii) Với mọi j = 0, 1, . . . , d − 1 các môđun K j (M ) hoặc bằng không
hoặc là Cohen-Macaulay chiều j.
Chương 3 dành để trình bày lại các kết quả về một mở rộng của lớp
môđun đối Cohen-Macaulay: R-môđun Artin A được gọi là đối CohenMacaulay dãy nếu A có một lọc các môđun con

0 = B0 ⊂ B1 ⊂ . . . ⊂ Bt−1 ⊂ Bt = A
sao cho Bi /Bi−1 là môđun đối Cohen-Macaulay, với mọi i = 1, . . . , t và

N-dim A/Bt−1 < N-dim A/Bt−2 < . . . < N-dim A/B0 = d.
Lớp môđun này chứa thực sự lớp môđun đối Cohen-Macaulay và cũng
có nhiều tính chất tương tự lớp môđun Cohen-Macaulay dãy. Nội dung
chương này nằm trong bài báo [7], trong đó đưa ra các khái niệm lọc chiều
cho môđun Artin, môđun đối Cohen-Macaulay dãy và một số đặc trưng,

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




6

tính chất của chúng. Hơn nữa, với cấu trúc đặc biệt của môđun Artin, ta
có thể thấy rằng A là R-môđun đối Cohen-Macaulay dãy khi và chỉ khi

A là R-môđun đối Cohen-Macaulay dãy, trong khi đó lại không có tính
chất tương tự như vậy đối với môđun Cohen-Macaulay dãy (xem [15, Ví

dụ 6.1]). Một trong những kết quả chính của Chương 3 là đặc trưng đồng
điều của môđun đối Cohen-Macaulay dãy như sau.
Định lý 3.3.3. Các mệnh đề sau là tương đương:
(i) A là môđun đối Cohen-Macaulay dãy.
(ii) Với mọi j = 0, 1, . . . , d, môđun Hjm (A) hoặc bằng 0 hoặc là Rmôđun Cohen-Macaulay chiều j.
(iii) Với mọi j = 0, 1, . . . , d − 1, môđun Hjm (A) hoặc bằng 0 hoặc là

R-môđun Cohen-Macaulay chiều j.
Ta đã biết rằng nếu x là một phần tử chính quy của M thì M là môđun
Cohen-Macaulay nếu và chỉ nếu M/xM cũng là môđun Cohen-Macaulay.
P. Schenzel [15] đã chứng minh một kết quả tương tự cho môđun CohenMacaulay dãy. Tuy nhiên, đã có phản ví dụ chỉ ra rằng điều trên là không
đúng (Chú ý 3.3.10). Vì vậy, ở đây lại đặt ra vấn đề là tìm điều kiện cho
phần tử tham số x để có thể đặc trưng được tính đối Cohen-Macaulay dãy
khi chia cho phần tử tham số. Các kết quả thu được như sau.
Định lý 3.3.5. Cho x ∈ m. Giả sử rằng x ∈
/ p với mọi p ∈ Att A \ {m}.
Khi đó A là môđun đối Cohen-Macaulay dãy nếu và chỉ nếu hai điều kiện
sau thoả mãn

d

(a) x ∈
/ p, với mọi p ∈
i=1

AssR Him (A).

(b) 0 :A x là môđun đối Cohen-Macaulay dãy.
Từ Định lý 3.3.5, ta thu lại được một kết quả cho môđun CohenMacaulay dãy, (Hệ quả 3.3.8), đồng thời chỉ ra rằng Định lý 4.7 của P.
Schenzel trong [15] là không đúng.


Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




7

Chương 1
Môđun Artin

Như chúng ta đã biết, môđun Noether đóng vai trò quan trọng trong
Đại số giao hoán và Hình học đại số mà cấu trúc của chúng đã được biết
rõ thông qua các lý thuyết cơ bản của Đại số giao hoán: phân tích nguyên
sơ, bội, chiều Krull, đối đồng điều địa phương,... . Đã có nhiều tác giả
nghiên cứu về môđun Artin và đưa ra một số lý thuyết - theo một nghĩa
nào đó được xem là tương ứng đối ngẫu với một số lý thuyết quen biết
trong phạm trù các môđun Noether: biểu diễn thứ cấp, bội, chiều Noether,
đồng điều địa phương,... (xem [3], [4], [5], [8], [9], [10], [13], [14], [19],...).
Mục đích của chương này là hệ thống lại một số kết quả về môđun
Artin được dùng trong các chương sau. Trong toàn bộ chương này, ta luôn
ký hiệu R là vành giao hoán, Noether không nhất thiết địa phương (giả
thiết địa phương khi cần sẽ được nêu trong từng trường hợp cụ thể), A là

R-môđun Artin.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên





8

1.1

Môđun Artin

Cho m là một iđêan cực đại của vành R. Nhắc lại rằng môđun con
m-xoắn Γm (A) của A được định nghĩa bởi

(0 :A mn ).

Γm (A) =

n≥0

Khi đó, ta có kết quả sau.
Mệnh đề 1.1.1. [16, Mệnh đề 1.4, Bổ đề 1.6]
(i) Giả sử A là một R-môđun Artin khác không. Khi đó chỉ có hữu hạn
iđêan cực đại m của R sao cho Γm (A) = 0. Nếu các iđêan cực đại phân
biệt đó là m1 , . . . , mr thì

A = Γm1 (A) ⊕ . . . ⊕ Γmr (A) và Supp A = {m1 , . . . , mr }.
(ii) Với mỗi j ∈ {1, . . . , r}, nếu s ∈ R \ mj , thì phép nhân bởi s cho ta
một tự đẳng cấu của Γmj (A). Do đó Γmj (A) có cấu trúc tự nhiên của một

Rmj -môđun và với cấu trúc này, một tập con của Γmj (A) là một R-môđun
con nếu và chỉ nếu nó là Rmj -môđun con. Đặc biệt

Amj ∼

= Γmj (A), với mọi j = 1, . . . , r.
Kí hiệu 1.1.2. Để cho thuận tiện, từ giờ trở đi ta đặt

A = A1 ⊕ . . . ⊕ Ar và JA =

m,
m∈Supp A

trong đó Aj = ∪ (0 :A mnj ) (1
n>0

j

r). Chú ý rằng khi (R, m) là vành

địa phương thì JA = m.
Cho (R, m) là vành địa phương. Nhắc lại rằng đầy đủ theo tô pô m-adic
của R, ký hiệu bởi R, là tập các lớp tương đương của các dãy Cauchy theo
quan hệ tương đương xác định bởi cơ sở lân cận của phần tử 0 là các iđêan

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




9

mt , t = 0, 1, 2, . . .. R được trang bị hai phép toán hai ngôi: phép cộng,
phép nhân các dãy Cauchy và cùng với hai phép toán này, R làm thành
một vành. Mỗi phần tử r ∈ R có thể đồng nhất với lớp tương đương của

dãy Cauchy mà tất cả các phần tử trong dãy đều là r (xem [11]).
Mệnh đề 1.1.3. [16, Bổ đề 1.11, Hệ quả 1.12] Cho A là R-môđun Artin
khác không trên vành địa phương (R, m). Khi đó, A có cấu trúc tự nhiên
của R-môđun, trong đó R là vành đầy đủ theo tôpô m-adic của R và mọi
tập con của A là R-môđun con của A nếu và chỉ nếu nó là R-môđun con
của A. Do đó, A có cấu trúc tự nhiên của R-môđun Artin.
Cho (R, m) là vành địa phương, đầy đủ. Đặt E = E(R/m) là bao nội
xạ của trường thặng dư R/m. Kí hiệu D( ) = HomR ( , E). Khi đó ta có
kết quả sau của E. Matlis (xem [16, Định lý 2.1]).
Mệnh đề 1.1.4. (i) R-môđun E là Artin. Với mỗi f ∈ HomR (E, E), tồn
tại duy nhất af ∈ R : f (x) = af x, ∀x ∈ E.
(ii) Nếu N là R-môđun Noether, thì D(N ) là Artin .
(iii) Nếu A là R-môđun Artin, thì D(A) là Noether.
(iv) Ann M = Ann D(M ), và nếu M là R-môđun sao cho
R (D(M ))

thì

1.2

=

R (M )

< ∞,

R (M ).

Biểu diễn thứ cấp


Khái niệm phân tích đối nguyên sơ cho các môđun Artin được nghiên
cứu bởi D. Kirby và D. G. Northcott. Sau đó I. G. Macdonald [10] đã trình
bày lại khái niệm này một cách tổng quát cho môđun tuỳ ý và ông gọi đó
là biểu diễn thứ cấp để tránh nhầm lẫn với khái niệm đối nguyên sơ đã
định nghĩa cho các môđun Noether. Trong luận văn này, chúng tôi dùng
theo thuật ngữ của I. G. Macdonald [10].

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




data error !!! can't not
read....


data error !!! can't not
read....


data error !!! can't not
read....


data error !!! can't not
read....


data error !!! can't not
read....




data error !!! can't not
read....


data error !!! can't not
read....


data error !!! can't not
read....


data error !!! can't not
read....


data error !!! can't not
read....


data error !!! can't not
read....

data error !!! can't not
read....



data error !!! can't not
read....

data error !!! can't not
read....


data error !!! can't not
read....

data error !!! can't not
read....