ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
---------------------------------

§µO Anh tuÊn

NGHIỆM PHÂN HÌNH CỦA PHƯƠNG TRÌNH HÀM VỚI HỆ
SỐ KHÁC HẰNG VÀ PHÂN TÍCH HỮU TỶ CỦA HÀM
PHÂN HÌNH PHỨC

Chuyên ngành: Giải tích
Mã số: 60.46.01

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: GS-TSKH Hà Huy Khoái

Thái Nguyên- Năm 2011

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




1

LỜI NÓI ĐẦU
Trong những năm gần đây, lý thuyết phân phối giá trị của Nevanlinna là
một trong những hướng nghiên cứu cơ bản của giải tích phức và vẫn đang thu
hút được sự quan tâm rộng rãi của các nhà toán học trên khắp thế giới. Sự
phân tích nghiệm phân hình cuả phương trình hàm là một trong những vấn đề

quan trọng của giải tích phức, có nhiều ứng dụng trong lý thuyết hệ động lực.
Mục đích của luận văn là trình bày cơ sở lý thuyết Nevanlinna và áp dụng
tìm nghiệm phân hình của phương trình hàm với hệ số khác hằng và sự phân
tích hữu tỷ của hàm phân hình phức.
Sau quá trình nghiên cứu, tôi đã hoàn thành luận văn với đề tài: “ Nghiệm
phân hình của phương trình hàm với hệ số khác hằng và phân tích hữu tỷ
của hàm phân hình phức”. Luận văn gồm phần mở đầu, hai chương nội
dung, phần kết luận và danh mục tài liệu tham khảo.
Chương I: Trình bày định nghĩa các hàm đặc trưng, hai định lý cơ bản
của Nevanlinna,...
Chương II: Nghiệm phân hình của phương trình hàm với hệ số khác hằng
và phân tích hữu tỷ của hàm phân hình.
Ngoài kiến thức cơ sở, luận văn được trình bày dựa theo hai bài báo sau :
1/ P. Li and C.-C. Yang, Meromorphic solutions of functional
equations with nonconstant coefficients. Proc. Japan Acard., 82,
ser. A (2006).
2/ Alain Escassut and E. Mayerhofer, Rational Decomposition of
Complex Meromorphic Function. Complex Variables, Vol.49,
No. 14,15 November 2004, pp. 991-996
Kết quả này có được là nhờ sự hướng dẫn tận tình của GS. TSKH Hà Huy
Khoái. Thầy không chỉ tận tình hướng dẫn mà còn động viên tôi trong suốt
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




2

quá trình nghiên cứu và hoàn thành luận văn. Nhân dịp này em xin gửi lời
cảm ơn sâu sắc tới thầy!

Đồng thời, em cũng xin chân thành cảm ơn các thầy cô trong hội đồng bảo
vệ luận văn thạc sỹ đã tạo điều kiện thuận lợi để em vững tin hơn trong việc
chuẩn bị bảo vệ luận văn của mình.
Xin chân thành cảm ơn Đại học Thái Nguyên, Trường Đại học Sư phạm ĐHTN, Khoa Sau đại học của trường Đại học Sư phạm, khoa Toán cùng các
thầy cô giáo đã tạo điều kiện tốt nhất cho em học tập cũng như nghiên cứu và
hoàn thành luận văn của mình.
Xin cảm ơn các anh, chị, các bạn học viên lớp cao học Toán-K17 Đại học
Sư phạm Thái Nguyên đã giúp đỡ, chia sẻ kinh nghiệm cùng tôi trong suốt
thời gian viết luận văn.
Tôi xin chân thành cảm ơn gia đình và bạn bè đã cổ vũ, động viên tôi trong
quá trình làm luận văn.
Mặc dù đã rất cố gắng nhưng chắc chắn luận văn sẽ không tránh khỏi
những thiếu sót, vì vậy rất mong được sự đóng góp ý kiến của thầy, cô giáo,
các bạn đồng nghiệp, các bạn học viên để luận văn được hoàn chỉnh hơn.
Thái Nguyên, tháng 8 năm 2011

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




3

CHƢƠNG I
HAI ĐỊNH LÝ CƠ BẢN CỦA NEVANLINNA
1.1. Hàm phân hình
Định nghĩa 1.1. Điểm a được gọi là điểm bất thường cô lập của hàm f ( z )
nếu hàm f ( z ) chỉnh hình trong một lân cận nào đó của a, trừ ra tại chính
điểm đó.
Điểm bất thường cô lập z  a của hàm f ( z ) được gọi là

a) điểm bất thường khử được nếu tồn tại giới hạn hữu hạn của f ( z ) khi z
dần đến a.
b) cực điểm của f ( z ) nếu lim f ( z )   .
z a

c) điểm bất thường cốt yếu nếu không tồn tại lim f ( z ) .
z a

Hàm f ( z ) chỉnh hình trong toàn mặt phẳng phức  được gọi là hàm
nguyên.
Như vậy, hàm nguyên là hàm không có các điểm bất thường hữu hạn.
Hàm f ( z ) được gọi là hàm phân hình trong miền D   nếu nó là hàm
chỉnh hình trong D, trừ ra tại một số điểm bất thường là cực điểm.
Nếu D   thì ta nói f ( z ) phân hình trên  , hay đơn giản, f ( z ) là hàm
phân hình.
Nhận xét. Nếu f ( z ) là hàm phân hình trên D thì trong lân cận của mỗi điểm
z  D, f ( z ) có thể biểu diễn được dưới dạng thương của hai hàm chỉnh hình.

Với các phép toán cộng và nhân các hàm số thông thường trên lớp các
hàm nguyên và phân hình, tập hợp các hàm nguyên sẽ tạo thành một vành và
gọi là vành các hàm nguyên, kí hiệu là A ( ) . Tập hợp các hàm phân hình
trên  sẽ tạo thành một trường và gọi là trường các hàm phân hình, kí hiệu
là M ( ) .
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




4


Định nghĩa 1.2. Điểm z0 gọi là cực điểm cấp m>0 của hàm f ( z ) nếu trong
lân cận của z0 , thì hàm f ( z ) 

1
h( z ) , trong đó h( z ) là hàm chỉnh
( z  z0 ) m

hình trong lân cận của z0 và h( z0 )  0 .
Tính chất 1.1. Nếu f ( z ) là hàm phân hình trên D thì f ( z ) cũng là hàm
phân hình trên D. Hàm f ( z ) và f ( z ) cũng có các cực điểm tại những điểm
như nhau. Đồng thời, nếu z0 là cực điểm cấp m>0 của hàm f ( z ) thì z0 là
cực điểm cấp m+1 của hàm f ( z ) .
Nhận xét. Hàm f ( z ) không có quá đếm được các cực điểm trên D.
Tính chất 1.2. Cho hàm f ( z ) chỉnh hình trong  , điều kiện cần và đủ để
f ( z ) không có các điểm bất thường khác ngoài cực điểm là f ( z ) là hàm

hữu tỷ.
1.2. Công thức Poisson – Jensen
Định lý 1.1. Giả sử f ( z ) là hàm phân hình trong hình tròn  z  R ,
0 R,

có

các

không

a (  1,2,..., M ) ; các cực

điểm


điểm

b (  1,2,..., N ) trong hình tròn đó (mỗi không điểm hoặc cực điểm được tính
một số lần bằng bội của nó).
Khi đó, nếu z  rei ;(0  r  R), f ( z)  0,  ; ta có :

1
log f ( z ) 
2

2

i
 log f (Re )
0

M

R ( z  a )

 1

R 2  a z

  log

R2  r 2
d
R 2  2 Rrcos(   )  r 2

N

  log
 1

R( z  b )
.
R 2  b z

Hệ quả 1.1. Trong những giả thiết của Định lý, đồng thời nếu f  z   0,  ,
ta có :

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




5

1
log f (0) 
2

2

M

a

 1


R

f (Re ) d   log

 log

i

0

N


 1

b
.
R

Khi f  0   0 hoặc  công thức trên thay đổi chút ít.
Thật vậy, nếu f  0   0 hoặc f  0   hàm f ( z ) có khai triển tại lân cận
z  0 dạng :

f  z   C z   ...(  ) .

R f  z 
Xét hàm   z  
.
z

Ta thấy     0,  , đồng thời khi   Rei ,     f   .
Từ đó ta có :
2

 log f  Re

1
log C 
2

i

M

a

 1

R

 d   log

0

N

  log
v 1

bv

 log R .
R

Nhận xét. Giả sử f ( z ) là hàm phân hình trong một miền G nào đó. Ta gọi
cấp của hàm f ( z ) tại điểm z0  G , kí hiệu ord z0 f , là số nguyên m sao cho
hàm f  z  

g  z

 z  z0 

m

chỉnh hình và khác không tại z0 .

Ví dụ 1.1.
(1)

z0 là 0 điểm cấp k của f  z   ord z0 f  k  k  0  .

(2)

z0 là cực điểm cấp k của f  z   ord z0 f  k .

(3)

Tại z0 hàm f ( z ) chỉnh hình, khác 0  ord z0 f  0 .

Công thức Poison – Jensen có thể viết dưới dạng :


1
log f  z  
2

2

 log f  Re
0

i



R2  z

2

Rei  z

d   ord f  log
2

R( z   )
,
R2   z

trong đó tổng lấy theo mọi  trong hình tròn    R .

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên





6

1.3. Hàm đặc trƣng – Định lý cơ bản thứ nhất
Định nghĩa 1.3. Giả sử x là số thực dương, ta định nghĩa :

log  x  max 0;log x .
Ta có : log x  log  x  log 

1
,
x

vì x>1 : log x  0  log  x  log x

1
1
log  0  log   0 .
x
x

0  x  1: log x  0  log x  0
1
1
1
log  0  log   log   log x .
x
x

x
Như vậy, ta có

1
2

2

1
0 log f  Re  d  2

Đặt m  R, f  

i

1
2

2

2

1
0 log f  Re  d  2


i

2


 log
0



1
d .
f  Rei 


 log f  Re  d .


i

0

Giả sử f có các cực điểm b (  1, N ) (mỗi cực điểm được tính một số lần
bằng bậc của nó), và các không điểm a (  1, M ) trong

 z  R; n(t , f )

là

số cực điểm của f trong  z  t .
N

R

R

dt
Đặt N  R, f    log
  n(t , f ) .
b 0
t
 1
R
 1 M
 1  dt
R
  n  t,  .
Như vậy, N  R,    log
a 0  f  t
 f   1

Khi đó công thức Poisson – Jensen viết dưới dạng :

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




7

 1
 1
log f  0   m  R, f   m  R,   N  R, f   N  R, 
 f 
 f 
 1

 1
 m  R, f   N  R, f   m  R,   N  R,   log f  0  .
 f 
 f 
Đặt T  R, f   m  R, f   N  R, f  ,

(1.1)

 1
Thì T  R, f   T  R,   log f  0  .
 f 

(1.2)

T  R, f  được gọi là hàm đặc trưng Nevanlinna của f.
Tính chất 1.3 (Tính chất hàm đặc trƣng). Giả sử f1  z  ,..., fl  z  là các hàm
phân hình, ta có các bất đẳng thức sau đây

 l
 l
(1) m  r ,  f k  z     m  r , f k   log l .
 k 1
 k 1

 l
 l
(2) m  r ,  f k  z     m  r , f k  .
 k 1
 k 1
(3)


 l
 l
N  r,  fk    N  r, fk  .
 k 1  k 1

(4)

 l
 l
N  r,  fk    N  r, fk  .
 k 1  k 1

(5)

 l
 l
T  r ,  f k   T  r , f k   log l .
 k 1  k 1

(6)

 l
 l
T  r ,  f k   T  r , f k  .
 k 1  k 1

Đặc biệt với mọi hàm phân hình f ( z ) và với mọi a  C ta có :
T  r , f   T  r , f  a   log  a  log 2 .


Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

(1.3)




8

Định lý 1.2. (Định lý cơ bản thứ nhất)
Giả sử f ( z ) là hàm phân hình trong hình tròn

 z  R, R  0, a là số

phức tuỳ ý. Khi đó ta có :



1 
1 
m  R,
 N  R,

  T  R, f   log f  0   a    a, R  ,
f

a
f

a





trong đó   a, R   log  a  log 2 .
Nhận xét.
Từ định nghĩa các hàm Nevanlinna ta thấy rõ ý nghĩa của Định lý cơ


1 
bản thứ nhất. Hàm đếm N  R,
 được cho bởi công thức :
f

a



1  M
R
N  R,
  log
,

a
 f  a   1

trong đó a là các nghiệm của phương trình f  z   a trong hình tròn z  R .



1  1
Hàm xấp xỉ m  R,

 f  a  2

2


 log
0

1

f  R ei  a 

d .

Như vậy, nếu f nhận càng nhiều giá trị gần a (tức là f  R ei  a  nhỏ)
thì hàm m càng lớn. Như vậy có thể nói tổng trong vế trái của Định lý cơ bản
thứ nhất là hàm “đo độ lớn của tập hợp nghiệm phương trình f  z   a ” và
“độ lớn tập hợp tại đó f  z  nhận giá trị gần bằng a”. Trong khi đó vế phải
của đẳng thức trong Định lý cơ bản thứ nhất có thể xem là không phụ thuộc a.
Vì thế Định lý cơ bản thứ nhất cho thấy rằng hàm phân hình f  z  nhận
mỗi giá trị a (và giá trị gần a) một số lần như nhau.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên





9

1.4. Định lý 1.4. (Định lý cơ bản thứ hai)
Giả sử r là một số dương, f ( z ) là hàm phân hình trong  ; a1, a2 ,...aq
là các số phức phân biệt. Khi đó ta có:
q

(q  1)T  r , f    N (r , av ) N  r ,    N1 (r )  S (r ) ,
v 1

q

hoặc

(q  1)T  r , f   N (r , f )   N (r ,
v 1

1
)  S (r ) .
f  av

trong đó:

 1
N1 (r )  N  r , '   2 N  r , f   N  r , f '  .
 f 

S (r )  log(T  r, f   log r ) .
N (r , f )   log


r
; tổng lấy theo mọi cực điểm b của hàm
b

1
, b  r ; đồng thời mỗi cực điểm chỉ được tính một lần.
f a
1.5. Số khuyết
Định nghĩa 1.4. Giả sử f ( z ) là hàm phân hình trong  , a 
Ta đặt:

 (a )   (a, f )  lim
với N (r , f )   log

m( r , a )
N (r , a)
 1  lim
.
T  r; f 
T  r; f 

r
1
; tổng lấy theo mọi cực điểm b của hàm
, b r;
b
f a

đồng thời mỗi cực điểm chỉ được tính một lần.
(a)  (a, f )  1  lim


 (a)   (a, f )  lim

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

N (r , a)
.
T  r; f 

N (r , a )  N (r , a )
.
T  r; f 



data error !!! can't not
read....


data error !!! can't not
read....


data error !!! can't not
read....


data error !!! can't not
read....



data error !!! can't not
read....



data error !!! can't not
read....


data error !!! can't not
read....


data error !!! can't not
read....


data error !!! can't not
read....


data error !!! can't not
read....


data error !!! can't not
read....

data error !!! can't not

read....


data error !!! can't not
read....

data error !!! can't not
read....


data error !!! can't not
read....

data error !!! can't not
read....