Bài tập phương pháp số trong tính toán kết cấu
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (337.78 KB, 19 trang )
Đề bài: Nhóm 2: STT-19:
Cho sơ đồ như hình vẽ:
P
M
g1
1
g2
3
2
g4
α
g3
5
4
¨
¶
¾
Cho biết:
tb = 8 mm
= 0.008 m
tw = 6 mm
= 0.006 m
bt = 180 mm
= 0.18 m
d = 200 mm
= 0.2
E = 2 x 106 kg/cm2
= 20.000.000.000 kg/m2
a = 360 + (STT)×20 = 360 + (19)×20 = 740 cm = 7.4
m
m
b= 300 + (STT)×20 = 300 + (19)x20 = 680 cm = 6.8 m
M = 4000 + (STT)×200 = 4000 + (19)×200 = 7800
kg.m
P = 5000 + (STT)×200 = 5000 + (19)×200 = 8800
kg
g1 = 800 + (STT)×100 = 800 + (19)×100 = 2700
kg/m
g2 = 1000 + (STT)×100 = 1000 + (19)×100 = 2900
kg/m
g3 = 1200 + (STT)×100 = 1200 + (19)×100 = 3100
kg/m
g4 = 1500 + (STT)×100 = 1500 + (19)×100 = 3400
kg/m
Yêu cầu:
Trang 1
Xác định nội lực và chuyển vị trong kết cấu và So sánh kết quả tìm được với kết quả
bằng phần mềm phân tích kết cấu.
BÀI LÀM:
1. Xác định nội lực và chuyển vị trong kết cấu :
Xét tiết diện:
tb
bt
d
tb
D
tw
bt
MÆt c¾t ngang tiÕt diÖn
Tính diện tích mặt cắt ngang và mômen quán tính của tiết diện:
Ftd = 2 × bt × tb + D × tw = 2 × 0,18 × 0,008 + (0, 2 − 2 × 0.008) × 0,006
= 0,00288 + 0, 001104 = 0,003984m 2
2
tw × D3
bt × tb3
d tb
J=
+ 2 × bt tb × − ÷ + 2 ×
12
12
2 2
2
0,006 × 0,1843
0,18 × 0, 0083
0, 2 0,008
=
+ 2 × 0,18 × 0,008 ×
−
+
2
×
÷
12
2
12
2
= 0.0000296722 m 4
Thông số thính toán:
Xác định góc: α
Ta có : tag α =
b 6,8
=
= 0,919 ⇒ α = 42034 '50 '' = 0, 7432( rad )
a 7, 4
Chiều dài cạnh:
a24 = a25 = a 2 + b 2 = 7, 42 + 6,82 = 10,05 m
cos α 24 =
a
7, 4
=
= 0,7363
a25 10,05
Trang 2
cos α 25 = −
a
7, 4
=−
= −0,7363
a25
10,05
sin α 24 = sin α 25 = −
b
6,8
=−
= −0.6766
a24
10, 05
a. Xác định chuyển vị trong hệ kết cấu bằng phương pháp phần tử hữu hạn:
Chọn hệ trục tọa độ chung (OXY) như hình vẽ:
M
g1
1
3
2
α
g3
g2
g4
4
5
O
X
Chọn hệ trục tọa độ địa phương oxy của phần tử như hình vẽ:
y
qy
O
qx
a
z
x
Xét phần tử trong hệ tọa độ địa phương (oxy) ta có:
Ma trận độ cứng :
k
[ K e ] = k11
21
k12
k22
Trong đó:
Trang 3
EF
a
k11 = 0
0
0
12 EJ
a3
6 EJ
a2
EF
0
a
6 EJ
; k22 = 0
a2
4 EJ
0
a
− EF
a
k12 = 0
0
0
−12 EJ
a3
−6 EJ
a2
−6 EJ
a2
4 EJ
a
0
0
12 EJ
a3
−6 EJ
a2
0
6 EJ
T
2 ; k 21 = k12
a
2 EJ
a
Lực nút tương đương trong phần tử:
Fe1
;
F
e2
{ Fe } =
{ Fe1}
a
qx 2
a
= q y ;
2
a2
q y
12
{ Fe 2 }
a
qx 2
a
= q y
2
a2
− q y
12
Ta có phương trình phần tử hữu hạn có dạng tổng quát như sau:
[ K s ] × { U s } = { Fs }
(1)
Xác định ma trận độ cứng [Ks] , ta có:
12
K11
12T
K12
K
=
[ s] 0
0
0
12
K12
0
0
12
K 22
+ K1123 + K1124 + K1125
K1223
K1224
K1223T
23
K 22
0
K1224T
0
24
K 22
K1225T
0
0
0
25
K12
0
0
25
K 22
Xác định vectơ lực tương đương trong hệ tọa độ chung { Fs } và vectơ chuyển vị
{Us} :
Trang 4
{U s}
u1
u2
= u3
u4
u
5
F1
F
2
; { Fs } = F3
F
4
F5
Áp đặt điều kiện biên với các nút 1,3,4,5 là ngàm ta có chuyển vị “=0” (1) trở thành:
12
K11
12T
K12
⇔ 0
0
0
12
K11
12T
K12
⇔ 0
0
0
12
K12
0
0
12
K 22
+ K1123 + K1124 + K1125
K1223
K1224
K1223T
23
K 22
0
K1224T
0
24
K 22
K1225T
0
0
12
K12
0
0
12
K 22
+ K1123 + K1124 + K1125
K1223
K1224
K1223T
23
K 22
0
K1224T
0
24
K 22
K1225T
0
0
0 u1
F1
K1225 u2 F2
0 × u3 = F3
0 u4 F4
u
F5
25
5
K 22
0 0
F1
K1225 u F2
2
0 × 0 = F3
0 0 F4
F5
25
0
K 22
Bỏ qua các hàng và cột tương ứng với các chuyển vị bằng không ta được ma trận độ
cứng của các phần tử như sau:
{ }
12
⇔ K 22
+ K1123 + K1124 + K1125 × u2 = { F2 }
(2)
Xác định ma trận độ cứng thành phần:
Do thanh 12, 23 trùng với trục OX => α=0 => Cosα = 1 & Sinα =0 nên khi nhân trái
12
và nhân phải của K 22
; K1123 với T11 thì bằng chính nó:
Trang 5
cos α
T11 = T11 = − sin α
0
12
23
EF
a
12
12
K 22 = K 22 = 0
0
K1123 = K1123
EF
a
= 0
0
sin α
cos α
0
0
12EJ
a3
6EJ
− 2
a
0
12EJ
a3
6EJ
a2
0 1 0 0
T
T
0 = 0 1 0 = T1112 = T1123
1 0 0 1
0
0
0
10,767,567.57
6EJ
− 2 =
0
17,573.80
−65,023.07
a
0
−65,023.07 320,780.45
4EJ
a
0
0
0
10,767,567.57
6EJ
=
0
17,573.80 65,023.07
2
a
0
65,023.07 320,780.45
4EJ
a
T
K1124 = T1124 × K1124 × T1124
Để tránh nhầm lẫn ta xác định T1124 như hình vẽ:
Trang 6
sin ®
®
®
Y
P
M
g1
y
g2
0.7363 cos
α
1
g3
-0.6766
O
cosα
T1124 = − sin α
0
sin α
cosα
0
2
3
g4
5
X
4
x
0 0.7363 −0.6766 0
0 = 0.6766
0.7363 0
1 0
0
1
0.7363 0.6766 0
T1124 = −0.6766 0.7363 0
0
0
1
T
K1124
EF
a24
= 0
0
→K
24
11
0
12EJ
a243
6EJ
a24 2
0
7,928, 456.33
0
0
6EJ
=
0
7, 015.83 35, 254.09
2
a24
0
35, 254.09 236,199.48
4EJ
a24
4,301,741.84 −3,946,505.15 23,853.51
= −3,946,505.15
3,633,533.90 25,958.24
23,853.51
25,958.24
236,199.48
T
K1125 = T1125 × K1125 × T1125
Tương tự ta xác định T1125 như hình vẽ:
Trang 7
sin ®
Y
®
®
P
g1
M
g2
cos
-0.7363
α
1
g3
-0.6766
3
2
g4
y
O
5
4
X
x
Z
cosα
T = − sin α
0
25
11
sin α
cosα
0
0 −0.7363 −0.6766 0
0 = 0.6766 −0.7363 0
1 0
0
1
−0.7363 0.6766 0
T = −0.6766 −0.7363 0
0
0
1
25 T
11
K1125
EF
a25
= 0
0
→ K1125
0
12EJ
a253
6EJ
a25 2
0
7,928, 456.33
0
0
6EJ
=
0
7,015.83 35, 254.09
2
a25
0
35, 254.09 236,199.48
4EJ
a25
23,853.51
4,301,741.84 3,946,505.15
= 3,946,505.15 3,633,533.90 −25,958.24
23,853.51
−25,958.24
236,199.48
0
47,707.03
30,138,618.82
12
→ K 22
+ K1123 + K1124 + K1125 =
0
7,302, 215.40
0
(3)
47,707.03
0
1,113,959.86
u21 F
21
12
23
24
25
Từ phương trình (2),(3) ⇒ K 22 + K11 + K11 + K11 × u22 = F22
F
u23
23
(4)
Trang 8
Xác định Vectơ lực nút tương đương của PTHH:
{F }
S
F21
= F22
F
23
Vì chỉ có nút 2 có chuyển vị nên ta tách nút 2 như sau:
a
-(g3sin2α+g3cos2α+g4sin2α+g4cos2α)x 25 −
2
P-(g1+g2)x a
2
2
0
2
a252
a
M+(g1-g2)x
+(g3cosα - g4cosα)x
12
12
0
F21
a 25
a
2
2
2
2
{ FS } = F22 = -(g3 *sin α + g3*cos α +g 4 *sin α + g 4 *cos α )* 2 - P - (g1 +g 2 )* 2
F
23
a 225
a2
M + (g1 -g 2 )*
+ (g 3 *cosα - g 4 *cosα )*
12
12
0
= −62.181, 29
( 5)
5.028,13
Từ (3),(4) và (5) ta tính được hệ phương trình sau:
0
47,707.03 u21
0
30,138,618.82
⇒
0
7,302, 215.40
0
×
u
=
−
62.181,
29
22
5.028,13
47,707.03
0
1,113,959.86
u23
30,138,618.82 u21 + 47,707.03 u23 =
0
⇔
7,302, 215.40 u22
= −62.181, 29
5.028,13
47,707.03 u21 + 1,113,959.86 u23 =
Trang 9
u21 −0.00000714538
Giải hệ ta được nghiệm (chuyển vị nút (2)) ⇒ u22 = −0.00851540032
0.00451404976
u23
*So sánh với phần mềm SAP 2000:
Chuyển vị nút 2 trong hệ tọa độ chung
Tính
toán
-7,14538E-06
-0,0085154023
0.00451404976
Theo
phần
mềm
SAP
-7,151E-06
-0,00852
0,00455
Sai số
0,079 %
0,059 %
0,79 %
b. Xác định nội lực cho kết cấu:
{ }
{
} { }
12
12
12
12
Nội lực thanh 1-2: Se = K e × U e + So
F1
Với : So12 = là các lực do tải trọng tương đương phân bố ở đầu trái và đầu phải
F2
của phần tử.
→{ S
12
e
}
12
K11
= 12
K 21
12
12
u1
K11
K12
F1
12
× + ↔ { Se } = 12
12
K 22
F2
u2
K 21
12
0
K12
F1
×
+
12
K 22 u2
F2
Trong đó: u1 là chuyển vị tại đầu trái của phần tử trong hệ tọa độ địa phương
u2 là chuyển vị tại đầu phải của phần tử trong hệ tọa độ địa phương
{F }
1
a
qx 2 0
a
a
= q y = − g1
2
2
2
a
a2
q y − g1
12
12
;
a
qx 2 0
a
a
F2 = q y = − g1
2
2
2
a
a2
−q y g1
12
12
{ }
Trang 10
↔{ S
12
e
}
EF
a
0
0
=
EF
−
a
0
0
10,767,567.57
0
0
=
−10,767,567.57
0
0
0
0
12EJ
a3
6EJ
a2
6EJ
a2
4EJ
a
0
0
−
12EJ
a3
6EJ
a2
−
EF
a
0
12EJ
a3
6EJ
− 2
a
−
0
0
EF
a
0
6EJ
0
a2
2EJ
0
a
12EJ
a3
6EJ
− 2
a
−
0
ga
6EJ
− 1
0
2
a 2
2EJ 0 g1a 2
−
0
12
a
× u + 0
0 21
u
g
a
22
1
−
6EJ u
23
2
− 2
a
g1a 2
4EJ
12
a
0
0
0
−10,767,567.57
17,573.80
65,023.07
0
65, 023.07
320, 780.45
0
0
0
10,767,567.57
−17,573.80
65,023.07
−65, 023.07
160,390.23
0
0
−17,573.80
65, 023.07
−65,023.07
160,390.23
×
0
0
17,573.80 −65, 023.07
−65,023.07
320, 780.45
0
0
0
0
77
0
−9,990
−9,547
12,321
13,599
0
12
×
+
↔ { Se } =
−0.00000714538 0
− 77
−0.00851540032 −9,990
−10, 433
0.00451404976 −12,321
−10,319
*So sánh với phần mềm SAP 2000:
Thanh 1-2
Tính toán
Theo phần
mềm SAP
Sai số
Đánh giá KQ
<2%
NT
-77
QT
-10,433
MT
13,599
NP
77
QP
-9,547
MP
-10,319
-77
-10,429.47
13,581.97
77
-9,550.53
-10,329.88
0.00%
0.035%
0.123%
0.00%
0.039%
0.103%
Đạt
Đạt
Đạt
Đạt
Đạt
Đạt
{ }
{
} { }
23
23
23
23
Nội lực thanh 2-3: Se = K e × U e + So
→{ S
23
e
}
K1123
= 23
K 21
K1123
K1223 u2
F2
23
×
+ ↔ { Se } = 23
23
u
K 22
F3
3
K 21
K1223 u2
F2
×
+
23
K 22 0
F3
Trang 11
↔{ S
23
e
}
EF
a
0
0
=
EF
−
a
0
0
10,767,567.57
0
0
=
−10, 767,567.57
0
0
0
0
12EJ
a3
6EJ
a2
6EJ
a2
4EJ
a
0
0
−
12EJ
a3
6EJ
a2
6EJ
a2
2EJ
a
−
−
EF
a
0
ga
6EJ
− 2
u
2
21
2
a
u
2EJ 22
g a2
− 2
a u23 12
× 0 + 0
0
0
g
a
2
−
6EJ
2
− 2 0
a
g2a2
4EJ
12
a
0
0
12EJ
a3
6EJ
− 2
a
−
0
0
EF
a
0
12EJ
a3
6EJ
− 2
a
0
0
−10, 767,567.57 0
0
0
−17,573.80 65,023.07
65,023.07
320,780.45 0
−65,023.07 160,390.23
×
0
0
10,767,567.57
0
0
−17,573.80 −65, 023.07 0
17,573.80
−65, 023.07
65,023.07 160,390.23 0
−65, 023.07 320,780.45
0
17,573.80
0
65,023.07
0
−0.00000714538
− 77
−0.00851540032 −10,730
−10,586
0.00451404976 13, 233.67
14,128
23
×
+
↔ { Se } =
0
0
77
−10,730
−10,874
0
0
−13,063
−13, 233.67
*So sánh với phần mềm SAP 2000:
Thanh 2-3
Tính toán
Theo phần
mềm SAP
Sai số
Đánh giá KQ
<2%
NT
-77
QT
-10,586
MT
14,128
NP
77
QP
-10,874
MP
-13,063
-77
-10,585.68
14,132.71
77
-10,874.32
-13,064.77
0.00%
0.004%
0.033%
0.00%
0.004%
0.011%
Đạt
Đạt
Đạt
Đạt
Đạt
Đạt
{ }
{
} { }
24
24
24
24
Nội lực thanh 2-4: Se = K e × U e + S o
Trang 12
→{ S
24
e
↔{ S
}
K1124
= 24
K 21
K1224 u2
F2
×
+
24
K 22 u4
F4
}
K1124
= 24
K 21
K1224 T1124 × u2
F2
×
+
24
K 22 0
F4
24
e
{
24
Mà T11 × u2
}
cos α
= − sin α
0
sin α
cos α
0
0 u21
0 × u22
1
u23
0,7363 −0,6766 0 −0.00000714538 0.005756403
= 0, 6766 0,7363 0 × −0.00851540032 = −0.006274881
0.00451404976 0.00451405
0
0
1
Để tránh nhầm lẫn các tải trọng phân bố đều trên thanh xiên ta phân tích lực phân bố
trên thanh xiên thành 2 thành phần và chọn hệ trục tọa độ địa phương (oxy) của 2 phần tử
thanh “2-4” và Phần tử thanh “2-5” như hình vẽ:
g3sinα
Y
Thanh 2-5
2
y
g4sinα
sα
co g
4 co
sα
Thanh2-4
g3
x
O
x
y
X
Z
Trang 13
a24
g
sin
α
×
4
2
− g cosα × a24
4
2 −11.559,86
−12.579,84
2
a
24
F2 − g 4cosα × 12 21.070,98
=
=
a
F4 g 4 sin α × 24 −11.559,86
2 −12.579,84
a
− g 4cosα × 24 −21.070,98
2
2
a
g 4 cosα × 24
12
→ { Se24 }
EF
a
24
0
0
=
EF
−
a24
0
0
−
EF
a24
0
0
12EJ
a24 3
6EJ
a24 2
0
−
6EJ
a24 2
4EJ
a24
0
−
0
0
EF
a24
0
0
12EJ
a243
0
−
−
12EJ
a24 3
6EJ
a24 2
−
6EJ
a24 2
2EJ
a24
0
12EJ
a243
6EJ
a24 2
6EJ
a24 2
6EJ
a24 2
−11.559,86
−12.579,84
2EJ
a24 T1124 × u2 21.070,98
×
+
=
0 −11.559,86
0
−12.579,84
6EJ
−21.070,98
− 2
a24
4EJ
a24
0
0
0
−7,928, 456.33
0
7,928, 456.33
0
7,015.83
35, 254.09
0
−7,015.83
0
35, 254.09 236,199.48
0
−35, 254.09
=
0
0
7,928, 456.33
0
−7,928, 456.33
0
−7,015.83 −35, 254.09
0
7, 015.83
0
35, 254.09 118,099.74
0
−35, 254.09
0
35, 254.09
118,099.74
×
0
−35, 254.09
236,199.48
0.005756403 −11.559,86
34,079.53
−0.006274881 −12.579,84
−12, 464.73
0.00451405 21.070,98
21,915.
98
24
×
+
↔ { Se } =
0
−11.559,86
−57,199.24
−12.579,84
−12, 694.96
0
0
−21.070,98
−20, 759.09
*So sánh với phần mềm SAP 2000:
Thanh 2-4
NT
QT
MT
NP
QP
MP
Trang 14
Tính toán
Theo phần
mềm SAP
Sai số
Đánh giá
KQ <2%
34,079.53
-12,694.96
-20,759.09
-57,199.24
-12,464.73
21,915.98
34,082.80
-12,695.58
-20,759.28
-57,202.82
-12,464.42
21,920.83
0.010%
0.005%
0.001%
0.006%
0.002%
0.022%
Đạt
Đạt
Đạt
Đạt
Đạt
Đạt
Tương tự ta tính nội lực thanh 2-5:
{ }
{
} { }
25
25
25
25
Nội lực thanh 2-5: Se = K e × U e + So
→{ S
25
e
}
K1125
= 25
K 21
K 25
↔ { Se25 } = 1125
K 21
{
25
Mà T11 × u2
}
K1225 u2
F2
×
+
25
K 22 u5
F5
F2
K1225 T1125 × u2
×
+
25
K 22
F5
0
cos α
= − sin α
0
sin α
cos α
0
0 u21
0 × u22
1
u23
−0.7363 −0.6776 0 −0.00000714538 0.005766925
= 0.6776 −0.7363 0 × −0.00851540032 = 0.006265211
0.00451404976 0.00451405
0
0
1
a25
g 3 sin α × 2
g cosα × a25
3
2 −10.539,87
−11.469,86
2
g cosα × a 25
F2 3
−
19211.77
12
=
=
F5 g 3 sin α × a25 −10.539,87
2 −11.469,86
a
g 3cosα × 25 19211.77
2
a2
− g3cosα × 25
12
Trang 15
↔ { Se25 }
EF
a
25
0
0
=
EF
−
a25
0
0
−
EF
a25
0
0
12EJ
a253
6EJ
a25 2
0
−
6EJ
a25 2
4EJ
a25
0
−
0
0
EF
a25
0
0
12EJ
a253
0
−
−
12EJ
a253
6EJ
a25 2
−
6EJ
a25 2
2EJ
a25
0
12EJ
a253
6EJ
a25 2
6EJ
a25 2
6EJ
a25 2
−10.539,87
−11.469,86
2EJ
a25 T1125 × u2 −19211.77
×
+
−10.539,87
0
0
−11.469,86
6EJ
19211.77
− 2
a25
4EJ
a25
0
0
0
−7,928, 456.33
0
7,928, 456.33
0
7,015.83
35, 254.09
0
−7, 015.83
0
35, 254.09
236,199.48
0
−35, 254.09
=
0
0
7,928, 456.33
0
−7,928, 456.33
0
−7,015.83
−35, 254.09
0
7, 015.83
0
35, 254.09 118, 099.74
0
−35, 254.09
35, 254.09
118,099.74
0
−35, 254.09
236,199.48
0
0.005766925 −10.539,87
35,183
0.006265211 −11.469,86
−11, 267
0.00451405 −19211.77
−
17,925
25
×
+
↔ { Se } =
0
−10.539,87
−56, 263
−11.469,86
−11,673
0
0
19211.77
19, 966
*So sánh với phần mềm SAP 2000:
Thanh 2-5
Tính toán
Theo phần
mềm SAP
Sai số
Đánh giá
KQ <2%
NT
35,183
QT
-11,267
35,186.3 -11,267.10
MT
-17,925
NP
-56,263
QP
-11,673
MP
19,966
-17,923.65
-56,266.31
-11,672.83
19,962.74
0.010%
0.003%
0.006%
0.006%
0.001%
0.015%
Đạt
Đạt
Đạt
Đạt
Đạt
Đạt
Các biểu đồ chuyển vị và nội lực:
Trang 16
*Biểu đồ chuyển vị và giá trị chuyển vị tại nút 2 (T, m, oC)
Biểu đồ lực cắt Q (kG, m, oC)
Trang 17
Biểu đồ lực cắt Q (kG, m, oC)
Biểu đồ Moment M (kG, m, oC)
Trang 18
*Biểu đồ lực dọc N (kG, m, oC)
Nhận xét: Kết quả tính toán chuyển vị, nội lực bằng lý thuyết phần tử hữu hạn và kết
quả giải bằng mô hình (sử dụng phần mềm SAP2000) có chênh lệch. Tuy nhiên độ sai số
này nằm trong giới hạn cho phép (<2%). Nên xem như kết quả tính toán bằng hai
phương pháp có kết quả là chính xác.
Trang 19
