ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ĐÀ NẴNG

TIỂU LUẬN MÔN BẤT ĐẲNG THỨC

BẤT ĐẲNG THỨC AM-GM

GV HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
GS.TSKH NGUYỄN VĂN MẬU

HỌ VÀ TÊN HỌC VIÊN:
PHÙNG THỊ HOÀNG CÚC
LỚP K32.TCS.ĐN
CHUYÊN NGÀNH PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP

ĐÀ NẴNG – 2016


MỤC LỤC

MỤC LỤC
PHẦN MỞ ĐẦU ....................................................................................................... 2
1. Lý do chọn đề tài .............................................................................................. 2
2. Phương pháp nghiên cứu: ............................................................................... 2
1. Bất đẳng thức AM-GM và các hệ quả ............................................................. 3
1.1 Giới thiệu bất đẳng thức AM-GM ............................................................. 3
1.2 Các hệ quả ....................................................................................................... 3
2. Một số kỹ thuật áp dụng bất đẳng thức AM-GM ........................................... 6
2.1 Đánh giá từ trung bình cộng sang trung bình nhân ................................... 6
2.2 Đánh giá từ trung bình nhân sang trung bình cộng ................................... 9
2.3 Kỹ thuật đổi biến kết hợp chọn điểm rơi ................................................... 10

KẾT LUẬN ............................................................................................................. 13

1


MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Trong cuộc sống hiện nay, nhiều bài toán đã được đặt ra và để giải quyết
chúng ta phải đưa về giải một bất đẳng thức nào đó nhằm đáp ứng nhu cầu của bản
thân và xã hội.
Bên cạnh đó, chương trình ở các bậc học THCS và THPT luôn có các bài toán
liên quan đến bất đẳng thức trong các kỳ thi. Để giải được các bài toán này đòi hỏi
sự thông minh, tư duy nhạy bén, vận dụng các kiến thức và phương pháp đã học.
Đề tài này sẽ nghiên cứu một cách tổng quan về bất đẳng thức AM-GM và
một số kỹ thuật áp dụng bất đẳng thức AM-GM
2. Phương pháp nghiên cứu:
Đọc sách, nghiên cứu tài liệu để từ đó tổng hợp, chọn lọc những kiến thức có
liên quan để thực hiện đề tài.
3. Cấu trúc đề tài
Nội dung đề tài bao gồm:
Chương I: Giới thiệu bất đẳng thức AM-GM và các hệ quả
Chương II: Một số kỹ thuật áp dụng bất đẳng thức AM-GM

2


Bất đẳng thức AM-GM và các hệ quả

1.


Giới thiệu bất đẳng thức AM-GM

1.1

Với n số không âm a1 , a2 , a3 ,..., an ta có:
a1  a2  a3  ...  an n
 a1a2 a3 ...an
n

Dấu “=” xảy ra  a1  a2  a3  ...  an .
1.2 Các hệ quả
Ta có một số bất đẳng thức rất quen thuộc và là hệ quả của bất đẳng thức AM-GM
như sau:
1.2.1 Hệ quả 1
a  b  2ab  a  b
2

2

2

2

 a  b


2

2


 2ab

Dấu “=” xảy ra  a = b.
Chứng minh
Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có

 ab 

a 2  b 2  2 a 2b 2  2

2

 2 ab  2ab


a 2  b 2
a  b
Dấu “=” xảy ra  

ab

ab  0
ab  0

Từ a 2  b2  2ab  2  a 2  b2   a 2  b2  2ab   a  b 
Do đó ta có: a  b
2

2


 a  b


2

2

2

Dấu “=” xảy ra  a  b
Mặt khác, cũng từ a 2  b2  2ab  a 2  b2  2ab  4ab   a  b   4ab
2

3


Nên

 a  b
2

2

 2ab . Dấu “=” xảy ra  a  b

1.2.2 Hệ quả 2
a  b  c  ab  bc  ca  a  b  c
2

2


2

2

2

2

a  b  c

3

2

 ab  bc  ca

Dấu “=” xảy ra  a = b = c.
Chứng minh
Theo hệ quả 1 trên thì
a 2  b 2  2ab
 2 2
2
2
2
2
2
2
b  c  2bc  a  b  b  c  c  a  2ab  2bc  2ca
c 2  a 2  2ca



 2  a 2  b 2  c 2   2  ab  bc  ca   a 2  b 2  c 2  ab  bc  ca

a  b

Dấu “=” xảy ra  b  c  a  b  c
c  a


Mà a2  b2  c2  ab  bc  ca  2  a 2  b2  c 2   2  ab  bc  ca 
 3 a  b  c
2

2

2

  a  b  c

2

 a b c
2

2

2

 a  b  c



2

3

Dấu “=” xảy ra  a  b  c .
Lại có
a 2  b 2  c 2  ab  bc  ca   a  b  c   3  ab  bc  ca 
2

 a  b  c

3

2

 ab  bc  ca

1.2.3 Hệ quả 3
Cho

a b
  2, ab>0 . Dấu “=” xảy ra  a = b.
b a

4


1

a

hay a   2 (a > 0). Dấu “=” xảy ra  a = 1.
Chứng minh
a b
b a

Vì ab > 0 nên a, b cùng dấu  ,  0
Áp dụng bất đẳng thức AM-GM:
a b
a b
 2  2
b a
b a
a b
ab  0
ab  0
 

Dấu “=” xảy ra   b a   2 2  
ab
a

b
a

b





ab  0

Nếu coi

a
b
1
1
là a thì là (a > 0). Như vậy ta có: a   2 .
b
a
a
a

1

a  0
a 
Dấu “=” xảy ra  
 a  1.
a  2
a 1


a  0

1.2.4 Hệ quả 4
1 1 1
1

n2
     
a1 a2 a3
an a1  a2  a3  ...  an

hay
1 1 1
1
       n 2
an 
 a1 a2 a3

 a1  a2  a3  ...  an  

 a1, a2 , a3 ,..., an  0
Dấu “=” xảy ra  a1  a2  a3  ...  an .
Chứng minh
Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có

5


a1  a2  a3  ...  an  n n a1a2 a3 ...an

1 1 1
1
1 1 1
1
       n n   
an

a1 a2 a3
an
 a1 a2 a3
1 1 1
1
  a1  a2  a3  ...  an          n 2
an 
 a1 a2 a3

Chia cả hai vế của bất đẳng thức vừa chứng minh cho a1  a2  a3  ...  an  0 ta có
1 1 1
1
n2
      
a1 a2 a3
an a1  a2  a3  ...  an
a1  a2  a3  ...  an

Dấu “=” xảy ra   1 1 1
1  a1  a2  a3  ...  an





a a
a3
an
2
 1


2. Một số kỹ thuật áp dụng bất đẳng thức AM-GM
2.1 Đánh giá từ trung bình cộng sang trung bình nhân
Bài toán 1. Chứng minh rằng:  a2  b2 b2  c2  c2  a2   8a 2b2c2 a, b, c  0
Giải
Áp dụng bất đẳng thức AM-GM cho 2 số không âm ta có
a 2  b 2  2ab  0
 2
2
b  c  2bc  0 
c 2  a 2  2ca  0


a

2

 b2 b2  c2  c2  a2   8a2b2c2 ,a, b, c  0
Bài toán 2

Chứng minh rằng:





8

a  b  64ab(a  b)2 , a, b  0
Giải

Ta có



a b

 
8







2 4

a  b    a  b   2 ab 


4

6


Áp dụng bất đẳng thức AM-GM cho 2 số không âm

Bài toán 3
a, b, c, d  0


. Cho:  1
1
1
1
1  a  1  b  1  c  1  d  3


CMR : abcd 

1
81

Giải
Từ giả thuyết suy ra

1
1  
1  
1 
b
c
d
bcd
 1 

 33
  1 
  1 
=
1 a  1 b   1 c   1 d  1 b 1 c 1 d

1 b  1 c  1 d 

Tương tự ta có
 1
bcd
3 3

1  b 1  c  1  d
1  a

cda
 1
1  b  3 3 1  c 1  d 1  a
 
 


dca
 1
1  c  3 3 1  d 1  c 1  a
  


abc
 1 3 3
1  d
1  a  1  b 1  c 























 abcd 

0
0


0

1

1  a  1  b  1  c  1  d 


 81

abcd
1  a  1  b  1  c  1  d 

0

1
, a, b, c, d  0 ( điều phải chứng minh)
81
Qua đó ta có
Bài toán tổng quát 1

 x1 , x2 , x3 ,............., xn  0

Cho:  1
1
1
1
1  x  1  x  1  x  ...  1  x  n  1
n
1
2
3


Chứng minh rằng x1 x2 x3...........xn 

1


 n  1

n

7


Bài toán 4.

 a, b, c  0
Cho 
. Chứng minh rằng
a

b

c

1


 1  1  1 
  1  1  1  8 (1)
 a  b  c 

Giải
Ta có

VT (1) 


1 a 1 b 1 c b  c c  a a  b
2 bc 2 ca 2 ab
.
.

.
.

.
.
 8 (đpcm)
a
b
c
a
b
c
a
b
c
Từ đó ta có
Bài toán tổng quát 2

 x1 , x2 , x3 ,..............., xn  0

 x1  x2  x3  ........  xn  1

Cho: 
1


Chứng minh rằng 


 x1

 1

1


 x2

 1

1

 x3



1



 xn

1 ........ 




1   n  1

n



Bài toán 5
Chứng minh rằng
3 1


a bc 
1 

3 


 
 2
 





3  3

 1 a  1 b  1 c   1 abc  8 abc a, b, c  0
 


3

Giải



3

a  b  c   1  a   1  b
Ta có: 1 
 
3  
3











3

  1  c  





1 a  1 b 1 c 





 



(1)

Ta có: 1 a 1 b 1 c  1 ab  bc  ca  a  b  c  abc 






 

1 33 a2b2c2  33 abc  abc  1  3 abc





3


(2)

8




Ta có: 1 abc
3



3

3



  2 1.3 abc   8



abc

(3)

Dấu “ = ” (1) xảy ra  1+a = 1+b = 1+c  a = b = c
Dấu “ = ” (2) xảy ra  ab = bc = ca và a = b = c  a = b= c
Dấu “ = ” (3) xảy ra 


3

abc =1  abc = 1

Từ đó ta có
Bài toán tổng quát 3
Cho x1, x2, x3,..., xn  0. CMR:
x  x  ....  x 

2
n
1  1


n



n 1
 2
n  3
 1  x 1  x ...... 1  x  1  n x x .....x   2n x x ......x
1
2
n
1 2
n
1 2
n







 



2.2 Đánh giá từ trung bình nhân sang trung bình cộng
Bài toán 6
Chứng minh rằng

ab  cd 

 a  c  b  d 

a, b, c, d  0 (1)

Giải
(1) 

ab

 a  c  b  d 

cd
 1 Theo BĐT Côsi ta có:
 a  c  b  d 


1 a
b  1 c
b  1 ac bd  1
VT  




 1 1  1(đpcm)
 
2  a  c b  c  2  a  c b  d  2  a  c b  c  2
Bài toán 7
Chứng minh rằng

a  c  0
(1)
c  a  c   c b  c   ab  
b

c

0



Giải
Ta có (1) tương đương với

c b  c 

c a  c

1
ab
ab

9


Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có

c b  c  1  c  a  c   1  c b  c   1  a b 
c a  c

  

  
  1(đpcm)
ab
ab
2  b
a  2  a
b  2  a b 




Bài toán 8
Chứng minh rằng


1  3 abc  3 1  a  1  b  1  c  a, b, c  0 (1)
Giải

Ta có biến đổi (1) tương đương
3

1.1.1  3 abc  3 1  a  1  b  1  c   3

1.1.1
abc
3
1
1 a  1 b  1 c  1 a  1 b  1 c 

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có
3

1.1.1
1 1
1
1 
(2)
 


1 a  1 b  1 c  3 1 a 1 b 1 c 

3

abc

1 a
b
c 
(3)
 


1 a  1 b  1 c  3 1 a 1 b 1 c 
Cộng (2) và (3) vế theo vế ta có

1 1
1
1  1 a
b
c  1  a  1 b  1 c  1 1
VT  


 





 .3  1

3 1  a 1  b 1  c  3 1  a 1  b 1  c  3 1  a 1  b 1  c  3
Dấu “ = ” xảy ra  a = b = c > 0.
Từ đó ta có
Bài toán tổng quát

CMR:
n

a1a2 .......an  n bb
.......bn  n  a1  b1  a2  b2  ........ an  bn 
1 2



 ai , bi  0 i  1, n



2.3 Kỹ thuật đổi biến kết hợp chọn điểm rơi
Bài toán 9

10


a, b, c  0
1
1
1
3
.Chứng minh rằng P  3
 3
 3

a b  c  b c  a  c  a  b  2
 abc  1


Cho 

Giải
Đặt x 

1
1
1
, y  , z   xyz  1 .
a
b
c

Bài toán trở thành chứng minh:

x3 yz y 3 zx z 3 xy 3
x2
y2
z2
3


 



yz zx x y 2
y z z x x y 2
Để giải được tiếp tục nhận xét điểm rơi ở bài này là x  y  z  1

P

Từ đó ta giải được như sau:

x2
yz

x
yz
4
y2
zx

y
zx
4
z2
x y

z
x y
4
Cộng vế theo vế ta được: P 

x yz 3
 dấu bằng xảy ra  x  y  z  1
2
2
Bài toán 10


Cho x  0, y  0, z  0, xyz  1. Tìm GTNN của biểu thức:

P

x2  y  z 
y y  2z z



y2  z  x
z z  2x x



z2  x  y 
x x  2y y

Giải
Ta có

11


x2  y  z   2x x
y2  z  x  2 y y
z2  x  y   2z z
4c  a  2b

x
x



9
a  x x  2 y y


4a  b  2c

Đặt  b  y y  2 z z suy ra  y y 
9


 c  z z  2 x x
4b  c  2a

z z 
9

Do đó

2 c a b a b c  2
P   4           6   4.3  3  6   2
9 b c a b c a  9
Vậy MinP  2  x  y  z  1.

12


KẾT LUẬN
Tiểu luận đã trình bày nội dung về bất đẳng thức AM-GM và một số kỹ thuật

áp dụng bất đẳng thức AM-GM . Dù đã hết sức cố gắng nhưng tiểu luận không
tránh khỏi nhiều sót. Em hy vọng qua bài tiểu luận này sẽ nhận được nhiều ý kiến
đóng góp về phương pháp giải các bài toán ứng dụng bất đẳng thức AM-GM để tiểu
luận hoàn chỉnh hơn.
Em xin chân thành ơn thầy GS.TSKH Nguyễn Văn Mậu đã nhiệt tình giảng dạy và
mang đến cho em nhiều kiến thức bổ ích để hoàn thành tiểu luận này.

13


TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1] Nguyễn Văn Mậu, 2006, Bất đẳng thức định lý và áp dụng, NXB Giáo dục.

14