➤➵✐ ❤ä❝ t❤➳✐ ♥❣✉②➟♥
❚r➢ê♥❣ ➤➵✐ ❤ä❝ s➢ ♣❤➵♠

◆❣✉②Ô♥ ❚❤Þ P❤➢➡♥❣

q✉❛♥ ❤Ö sè ❦❤✉②Õt ❝❤♦ ➤➢ê♥❣ ❝♦♥❣ ❝❤Ø♥❤ ❤×♥❤
❦Õt ❤î♣ ✈í✐ ❝➳❝ s✐➟✉ ♠➷t

▲✉❐♥ ✈➝♥ t❤➵❝ sü t♦➳♥ ❤ä❝

❚❤➳✐ ♥❣✉②➟♥ ✲ ✷✵✶✵

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên ✶




▼ô❝ ❧ô❝
▼ô❝ ❧ô❝

✶

▼ë ➤➬✉

✷

❈❤➢➡♥❣ ✶

▼ét sè ❦✐Õ♥ t❤ø❝ ❝➡ së tr♦♥❣ ❧ý t❤✉②Õt ♣❤➞♥ ❜è ❣✐➳ trÞ ❝❤♦

❤➭♠ ♣❤➞♥ ❤×♥❤

✺

✶✳✶

❈➠♥❣ t❤ø❝ P♦✐ss♦♥ ✲ ❏❡♥s❡♥

✶✳✷

❈➳❝ ❤➭♠ ◆❡✈❛♥❧✐♥♥❛

✶✳✸

➜Þ♥❤ ❧ý ❝➡ ❜➯♥ t❤ø ♥❤✃t

✶✳✹

➜Þ♥❤ ❧ý ❝➡ ❜➯♥ t❤ø ❤❛✐

✶✳✺

◗✉❛♥ ❤Ö sè ❦❤✉②Õt

❈❤➢➡♥❣ ✷

✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✺

✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✻

✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✾


✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✵

✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✵

◗✉❛♥ ❤Ö sè ❦❤✉②Õt ❝❤♦ ➤➢ê♥❣ ❝♦♥❣ ❝❤Ø♥❤ ❤×♥❤ ❦Õt ❤î♣

✈í✐ ❝➳❝ s✐➟✉ ♠➷t

✶✺

✷✳✶

▼ét sè ❦✐Õ♥ t❤ø❝ ❝➡ ❜➯♥

✷✳✷

◗✉❛♥ ❤Ö sè ❦❤✉②Õt ❝❤♦ ➤➢ê♥❣ ❝♦♥❣ ❝❤Ø♥❤ ❤×♥❤ ✈➭♦

✷✳✸

◗✉❛♥ ❤Ö sè ❦❤✉②Õt ❝❤♦ ➤➢ê♥❣ ❝♦♥❣ ❝❤Ø♥❤ ❤×♥❤ ✈➭♦ ➤❛ t➵♣

t✉②Õ♥ tÝ♥❤

✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✺

Pn (C)

✶✽


✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✸✹

❑Õt ❧✉❐♥

✹✵

❚➭✐ ❧✐Ö✉ t❤❛♠ ❦❤➯♦

✹✶

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên ✷




▼ë ➤➬✉
❇➭✐ t♦➳♥ ♥❣❤✐➟♥ ❝ø✉ q✉❛♥ ❤Ö sè ❦❤✉②Õt ❝❤♦ ❝➳❝ ❤➭♠ ✈➭ ➳♥❤ ①➵ ❝❤Ø♥❤

❤×♥❤ ❧➭ ♠ét ❜➭✐ t♦➳♥ q✉❛♥ trä♥❣✱ ❝ã ♠ét ❧Þ❝❤ sö ❧➞✉ ❞➭✐ ✈➭ t❤✉ ❤ót ➤➢î❝ sù

q✉❛♥ t➞♠ ♥❣❤✐➟♥ ❝ø✉ ❝ñ❛ ♥❤✐Ò✉ ♥❤➭ t♦➳♥ ❤ä❝ tr➟♥ t❤Õ ❣✐í✐✳ ❚r♦♥❣ ❧ý t❤✉②Õt

◆❡✈❛♥❧✐♥♥❛ ❝❤♦ ❝➳❝ ❤➭♠ ♣❤➞♥ ❤×♥❤✱ t❛ ➤➲ ❜✐Õt ♠ét ❦Õt q✉➯ ♥æ✐ t✐Õ♥❣✿ ❚æ♥❣

sè ❦❤✉②Õt ❝ñ❛ ♠ét ❤➭♠ ♣❤➞♥ ❤×♥❤ ♣❤ø❝ t➵✐ t✃t ❝➯ ❝➳❝ ➤✐Ó♠ ❧✉➠♥ ♥❤á ❤➡♥

❤♦➷❝ ❜➺♥❣

2


✳ ◆➝♠ ✶✾✸✸✱ ❍✳ ❈❛rt❛♥ ✭❬✸❪✮ ♠ë ré♥❣ ❦Õt q✉➯ tr➟♥ ❝❤♦ ➳♥❤ ①➵

❝❤Ø♥❤ ❤×♥❤ ♣❤ø❝✱ ↕♥❣ ➤➲ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤✿

q

δf (Hj )

n + 1,

j=1
tr♦♥❣ ➤ã

tÝ♥❤ ✈➭

f : C −→ Pn (C) ❧➭ ♠ét ➳♥❤ ①➵ ❝❤Ø♥❤ ❤×♥❤ ❦❤➠♥❣ s✉② ❜✐Õ♥ t✉②Õ♥

H1 , . . . , Hq

❧➭ ❝➳❝ s✐➟✉ ♣❤➻♥❣ tr♦♥❣

Pn (C)

ë ✈Þ trÝ tæ♥❣ q✉➳t✳ ❱Ò

s❛✉✱ r✃t ♥❤✐Ò✉ ♥❤➭ t♦➳♥ ❤ä❝ ➤➲ ①❡♠ ①Ðt ✈✃♥ ➤Ò t➢➡♥❣ tù ❝❤♦ tr➢ê♥❣ ❤î♣ ❝➳❝

s✐➟✉ ♠➷t ❦❤➠♥❣ t✉②Õ♥ tÝ♥❤✿ ❊r❡♠❡♥❦♦ ✈➭ ❙♦❞✐♥ ✭❬✼❪✮✱ ❨✳✲ ❚✳ ❙✐✉ ✭❬✶✹❪✮✱ ❆✳


❇✐❛♥❝♦❢✐♦r❡ ✭❬✷❪✮✱ ❘✉ ✭❬✶✵❪✱❬✶✶❪✮ ✈➭ ♥❤✐Ò✉ ♥❤➭ t♦➳♥ ❤ä❝ ❦❤➳❝✳

❈➳❝ ❦Õt q✉➯ ♥❣❤✐➟♥ ❝ø✉ ✈Ò sè ❦❤✉②Õt ❝ñ❛ ➳♥❤ ①➵ ❝❤Ø♥❤ ❤×♥❤ ❣➽♥ ❧✐Ò♥ ✈í✐

❤❛✐ ❣✐➯ t❤✉②Õt q✉❛♥ trä♥❣ ❝ñ❛ P✳ ●r✐❢❢✐t❤s ✭①❡♠ ❬✹❪✱ ❬✶✵❪✮ ➤➷t r❛ ✈➭♦ ♥➝♠

✶✾✼✷ ✈➭ ❇✳ ❙❤✐❢❢♠❛♥ ✭①❡♠ ❬✶✸❪✱ ❬✶✵❪✮ ✈➭♦ ♥➝♠ ✶✾✼✾✳ ❱í✐ ♠ét ➳♥❤ ①➵ ❝❤Ø♥❤

❤×♥❤ ❦❤➠♥❣ s✉② ❜✐Õ♥ ➤➵✐ sè

❝➳❝ s✐➟✉ ♠➷t ❜❐❝

f : C −→ Pn (C)

d

✱ ë ✈Þ trÝ tæ♥❣ q✉➳t tr♦♥❣

q

δf (Dj )
j=1

✈➭ ♠ét ❤ä

D = {D1 , . . . , Dq }

Pn (C)

✱ P✳ ●r✐❢❢✐t❤s ➤➷t r❛


n+1
.
d

❚r♦♥❣ ✭❬✶✸❪✮✱ ❇✳ ❙❤✐❢❢♠❛♥ ❝❤♦ r➺♥❣ ➤ã ❧➭ ❣✐➯ t❤✉②Õt ❦❤ã✱ ➠♥❣ ❝❤♦ r➺♥❣

q

δf (Dj )

n + 1.

j=1

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên ✸




tết ủ ợ qết tết

ủ P rts ế ột ề ở

ụ t ủ ớ tệ trì ủ ề q ệ số

ết ờ ỉ ì

ờ ỉ ì


f : C Pn (C)

f : C X

tr ó

ủ P

X

ột t tế

Pn (C)

tí tr

ớ ụ t s t ở ị trí tổ qt

ố ụ

ồ ở ộ ết ụ

t ệ t



trì ột số ế tứ sở tr ý tết

ố trị ì


tứ Psss







ị

ý





ủ



ổ

ề

ề

q

ệ


số

q

ệ

số

ết tr trờ ợ ì

r









trì



ột

số

ết


q

ết ờ ỉ ì tr trờ ợ



f : C X

tr ó

X

ột t tế tí

k

ề

f : C Pn (C)
kn

ề

ết

ợ ớ s t ở ị trí tổ qt






ợ



t

ớ

ệ ủ r P

sự

ớ



t

tì





tr

tỏ ò ết s s

ố ớ ề ữ ú ỡ ù ữ ề ệ t ợ t


t tr sốt q trì tự ệ

tr trọ ọ ủ ệ

rờ ọ ọ t







P





ệ



ọ



t

tì






trề tụ ế tứ ú ỡ t tr q trì ọ t

t rờ ỹ tt ệ

ồ ệ ù ộ ộ

S húa bi Trung tõm Hc liu - i hc Thỏi Nguyờn




❑❤♦❛

❤ä❝

❝➡

❜➯♥

➤➲

q✉❛♥

t➞♠✱


t➵♦

➤✐Ò✉

❦✐Ö♥

t❤✉❐♥

❧î✐

❝❤♦

t➳❝

❣✐➯

t❤ù❝

❤✐Ö♥ ❦Õ ❤♦➵❝❤ ❤ä❝ t❐♣ ❝ñ❛ ♠×♥❤✳

❳✐♥ ❝➯♠ ➡♥ ♥❣➢ê✐ t❤➞♥✱ ❜➵♥ ❜❒ ➤➲ ❝æ ✈ò ➤é♥❣ ✈✐➟♥ t➳❝ ❣✐➯ tr♦♥❣ s✉èt

q✉➳ tr×♥❤ ❤ä❝ t❐♣ ✈➭ ❤♦➭♥ t❤➭♥❤ ❧✉❐♥ ✈➝♥✳

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên ✺






ột số ế tứ sở tr ý tết
ố trị ì
r ú t trì ột số ế tứ tr ý

tết ố trị ì ột số ế

tứ ị



tứ Psss



z0 D
ì

f (z)

sử





ỉ

ì




ợ ọ ể ộ

h(z)

k

ị

ủ

f

tr

ề

D C

f

ể

ế tồ t ột ỉ

trệt t tr ột ó ủ

ó




z0

tr

ể ễ ợ ớ

f (z) = (z z0 )k .h(z),
ĩ



D

f (z0 ) = f (z0 ) = ... = f (k1) (z0 ) = 0
f (z)

ợ ọ ì tr



D

f (k) (z0 ) = 0

ế

trừ r ột số ể t tờ ự ể

ì


ó

f =

f1
f2

tr ó

ó ể ố ứ

f (z)

ế

z0

ể ộ

z0
k

f1 , f2



f (z)

ỉ ì tr


sử

f

ột

ỉ ì

ợ ọ ể ộ

ủ

S húa bi Trung tõm Hc liu - i hc Thỏi Nguyờn

f1 (z) z0


k

ủ

ợ ọ ự ể ộ



k


ủ


f (z)

ế

z0

ể ộ

ủ ì

k

ỏ t s

ị ý

f

k

ủ

z0

t ể

f (z)
(z z0 )k


f2 (z)



ì tr ì trò

f

sử

z0

ũ ể ộ

f

ể ộ



f (z) 0

{|z| R} 0 < R < +

ể ủ

ự ể ủ

số


ỉ ì t

tứ Pss s

à = 1, ..., M

ordz0 f

ý ệ

ột

sử

b = 1, ..., N

tr ì trò ó

ó

aà


ớ

z = rei (0 r < R), f (z) = 0, + t ó
2

1
log |f (z)| =

2

R2 r 2
d
log |f (Re )| 2
R 2Rr cos( ) + r2
i

0
M

R(z aà )
+
log

2a z
R
à
à=1


log
=1

R(z b )
.
R2 b z






sử

tr

N

ó

f (z)

ì tr ĩ

0 < R



r < R



ớ

DR = {z C : |z| < R}

ỗ




số

tự



x



ý

ệ

log+ x = max{0, log x}



ị ĩ



2

1
mf (r, ) =
2

log+ |f (rei )|d
0


ợ ọ ỉ

ủ

f



ý ệ

2

1
1 (r, ) =
mf (r, a) = m f a
2

log+

1
f (rei ) a

d,

0

S húa bi Trung tõm Hc liu - i hc Thỏi Nguyờn





❤➭♠

mf (r, a)

➜➷t

➤➢î❝ ❣ä✐ ❧➭ ❤➭♠ ①✃♣ ①Ø

nf (r, ∞)

✭t➢➡♥❣

ø♥❣

nf (r, ∞)

✮

✭t➢➡♥❣ ø♥❣✱ ❦❤➠♥❣ tÝ♥❤ ❜é✐✮ ❝ñ❛ ❤➭♠

f

❝ñ❛

f

❧➭


t➵✐ ❣✐➳ trÞ

sè

❝➳❝

tr♦♥❣ ➤Ü❛

a ∈ C.

❝ù❝

➤✐Ó♠

tÝ♥❤

❝➯

Dr = {|z| ≤ r}

✳ ❑ý ❤✐Ö✉

1 (r, ∞),
nf (r, a) = n f −a
1 (r, ∞).
nf (r, a) = n f −a

➜Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ ✶✳✸

✭❬✶✷❪✮✳ ❍➭♠


r

Nf (r, ∞) = nf (0, ∞) log r +

nf (t, ∞) − nf (0, ∞)

dt
t

0
➤➢î❝ ❣ä✐ ❧➭ ❤➭♠ ➤Õ♠ tÝ♥❤ ❝➯ ❜é✐ ❝ñ❛

f

✱ ❤➭♠

r

N f (r, ∞) = nf (0, ∞) log r +

nf (t, ∞) − nf (0, ∞)

dt
t

0
➤➢î❝ ❣ä✐ ❧➭ ❤➭♠ ➤Õ♠ ❦❤➠♥❣ tÝ♥❤ ❜é✐ ❝ñ❛

f


✳

❑ý ❤✐Ö✉

1 (r, ∞),
Nf (r, a) = N f −a
1 (r, ∞).
N f (r, a) = N f −a
❑❤✐ ➤ã

Nf (r, 0) = (ord+
0 f ) log r +

(ord+
z f ) log
z∈Dr ,z=0

➜Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ ✶✳✹

r
.
z

✭❬✶✷❪✮✳ ❍➭♠

Tf (r) = mf (r, ∞) + Nf (r, ∞)
➤➢î❝ ❣ä✐ ❧➭ ❤➭♠ ➤➷❝ tr➢♥❣ ❝ñ❛

f


✳

❑ý ❤✐Ö✉

1 (r, ∞)
Tf (r, a) = T f −a
❤➭♠

Tf (r, a)

➤➢î❝ ❣ä✐ ❧➭ ❤➭♠ ➤➷❝ tr➢♥❣ ❝ñ❛

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên ✽

f

t➵✐

❜é✐

a∈C

✳




◆❤❐♥ ①Ðt ✶✳✺✳


mf (r, a)

❝♦✐

❤î♣

f

❑❤✐

f ∼a

t❤×

mf (r, a)

❧➭ ❤➭♠ ➤♦ t❐♣ ❤î♣

♥❤❐♥ ❣✐➳ trÞ

a

f

♥❤❐♥ ❣✐➳ trÞ ❝➭♥❣ ❧í♥✱ ❞♦ ➤ã ❝ã t❤Ó

♥❤❐♥ ❣✐➳ trÞ ❣➬♥

✳ ❳Ðt ✈Ò ♠➷t ♥➭♦ ➤ã✱ ❤➭♠


a

✳ ❍➭♠

Tf (r)

Nf (r, a)

➤♦ t❐♣

➤è✐ ✈í✐ ❧ý t❤✉②Õt ❤➭♠

♣❤➞♥ ❤×♥❤ ❝ã ✈❛✐ trß ♥❤➢ ❜❐❝ ❝ñ❛ ➤❛ t❤ø❝ tr♦♥❣ ❧ý t❤✉②Õt ➤❛ t❤ø❝✳ ❚õ ➤Þ♥❤

♥❣❤Ü❛ ❤➭♠ ➤➷❝ tr➢♥❣ t❛ ❝ã

Tf (r, a) ≥ Nf (r, a) + O(1),
tr♦♥❣ ➤ã

O(1)

❧➭ ➤➵✐ ❧➢î♥❣ ❜Þ ❝❤➷♥ ❦❤✐

r −→ ∞

✳ ❑❤✐ ➤ã ❝➠♥❣ t❤ø❝ P♦✐ss♦♥

✲ ❏❡♥s❡♥ ✭✶✳✶✮ ➤➢î❝ ✈✐Õt ❧➵✐ ♥❤➢ s❛✉

Tf (r) = Tf (r, a) + log |f (0)|.

❚✐Õ♣ t❤❡♦✱ t❛ ♥❣❤✐➟♥ ❝ø✉ ♠ét sè tÝ♥❤ ❝❤✃t ➤➡♥ ❣✐➯♥ ❝ñ❛ ❝➳❝ ❤➭♠ ◆❡✈❛♥✲

❧✐♥♥❛✳ ❉Ô t❤✃②✱ ♥Õ✉

a1 , ..., ap

❧➭ ❝➳❝ sè ♣❤ø❝ t❤×

p

log

+

p

µ=1
✈➭

µ=1

p

log

+

●✐➯ sö

p


log+ |aµ | + log p.

aµ ≤
µ=1

f1 (z), ..., fp (z)

log+ |aµ |

aµ ≤

µ=1

❧➭ ❝➳❝ ❤➭♠ ♣❤➞♥ ❤×♥❤✳ ➜➷t

p

f (z) =

fµ (z),
µ=1
p

g(z) =

fµ (z).
µ=1

➳♣


❞ô♥❣ ❤❛✐ ❜✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ tr➟♥ ❝❤♦

p

❤➭♠ ♣❤➞♥ ❤×♥❤✱ t❛ t❤✉ ➤➢î❝ ♠ét sè

tÝ♥❤ ❝❤✃t s❛✉ ➤➞② ❝ñ❛ ❝➳❝ ❤➭♠ ◆❡✈❛♥❧✐♥♥❛✿

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên ✾




p

mf (r, ∞) ≤

mfµ (r, ∞) + log p.
µ=1
p

mg (r, ∞) ≤

mfµ (r, ∞).
µ=1
p

Nf (r, ∞) ≤


Nfµ (r, ∞).
µ=1
p

Ng (r, ∞) ≤

Nfµ (r, ∞).
µ=1
p

Tf (r, ∞) ≤

Tfµ (r, ∞) + log p.
µ=1
p

Tg (r, ∞) ≤

Tfµ (r, ∞).
µ=1

✶✳✸

➜Þ♥❤ ❧ý ❝➡ ❜➯♥ t❤ø ♥❤✃t

➜Þ♥❤ ❧ý ✶✳✻

✭❬✶✷❪✮✳

❈❤♦


f ≡ 0

{|z| ≤ R}✱ 0 < R ≤ ∞✱ a

❧➭ ♠ét ❤➭♠ ♣❤➞♥ ❤×♥❤ tr♦♥❣ ❤×♥❤ trß♥

❧➭ sè ♣❤ø❝ t✉ú ý✳ ❑❤✐ ➤ã✱ ✈í✐ ♠ç✐

0 ≤ r < R✱

t❛ ❝ã

(i) Tf (r) = mf (r, 0) + Nf (r, 0) + log |cf |.

✭✶✳✷✮

(ii) ❱í✐ ♠ç✐ sè ♣❤ø❝ a ∈ C✱
+
1 || + log
|a| + log 2,
|Tf (r) − mf (r, a) − Nf (r, a)| ≤ | log |c f −a
tr♦♥❣ ➤ã

cf

❧➭ ❤Ö sè ❦❤➳❝

tr♦♥❣ ❧➞♥ ❝❐♥ ❝ñ❛ ➤✐Ó♠


❚❛②❧♦ ❝ñ❛ ❤➭♠

1
f −a

0

♥❤á ♥❤✃t tr♦♥❣ ❦❤❛✐ tr✐Ó♥ ❚❛②❧♦ ❝ñ❛ ❤➭♠

1
0✱ c f −a

❧➭ ❤Ö sè ❦❤➳❝

tr♦♥❣ ❧➞♥ ❝❐♥ ❝ñ❛ ➤✐Ó♠

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên ✶✵

0

f

♥❤á ♥❤✃t tr♦♥❣ ❦❤❛✐ tr✐Ó♥

0✳




data error !!! can't not

read....


data error !!! can't not
read....


data error !!! can't not
read....


data error !!! can't not
read....


data error !!! can't not
read....



data error !!! can't not
read....


data error !!! can't not
read....


data error !!! can't not
read....



data error !!! can't not
read....


data error !!! can't not
read....


data error !!! can't not
read....

data error !!! can't not
read....


data error !!! can't not
read....

data error !!! can't not
read....


data error !!! can't not
read....

data error !!! can't not
read....