BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

KHOA TOÁN

Vũ Thị Luyến

TẬP GIỚI HẠN, TẬP BẤT BIẾN
VÀ TẬP HÚT TOÀN CỤC
CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 1

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Hà Nội – Năm 2016


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

KHOA TOÁN

Vũ Thị Luyến

TẬP GIỚI HẠN, TẬP BẤT BIẾN
VÀ TẬP HÚT TOÀN CỤC
CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 1
Chuyên ngành: Toán giải tích

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

TS. Trần Văn Bằng

Hà Nội – Năm 2016


Lời cảm ơn

Em xin chân thành cảm ơn TS. Trần Văn Bằng đã tận tình hướng
dẫn, giúp đỡ em trong suốt thời gian thực hiện khóa luận.
Em xin chân thành cảm ơn các Thầy, các Cô trong tổ giải tích - khoa
Toán, trường Đại học sư phạm Hà Nội 2 đã tạo mọi điều kiện giúp đỡ em
hoàn thành khóa luận này.
Em xin chân thành cảm ơn gia đình và bạn bè đã tạo mọi điều kiện
thuận lợi cho em trong quá trình thực hiện khóa luận.
Em xin chân thành cảm ơn.
Hà Nội, tháng 05 năm 2016
Sinh viên
Vũ Thị Luyến

i


Lời cam đoan

Em xin cam đoan, dưới sự hướng dẫn của TS. Trần Văn Bằng, khóa
luận "Tập giới hạn, tập bất biến và tập hút toàn cục của hệ phương
trình vi phân cấp 1" được hoàn thành không trùng với bất kỳ đề tài
nào khác.
Trong quá trình hoàn thành khóa luận, em đã thừa kế những thành tựu
của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn.

Hà Nội, tháng 05 năm 2016
Sinh viên
Vũ Thị Luyến

ii


Mục lục
Lời mở đầu

iii

1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
1.1 Tập hợp trong Rn

1

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.2 Hệ phương trình vi phân cấp 1

1

. . . . . . . . . . . . . .

2

1.3 Nửa nhóm liên tục. Hệ động lực . . . . . . . . . . . . . .

5


1.4 Lí thuyết ổn định . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.4.1

Khái niệm ổn định theo nghĩa Lyapunov . . . . .

5

1.4.2

Tính ổn định của hệ tuyến tính . . . . . . . . . .

7

1.4.3

Tính ổn định của hệ phi tuyến: Phương pháp tuyến
tính hóa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.4.4

9

Tính ổn định của hệ phi tuyến: Phương pháp hàm
Lyapunov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10


2 TẬP GIỚI HẠN, TẬP BẤT BIẾN VÀ TẬP HÚT TOÀN
CỤC CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 1

13

2.1 Tập giới hạn, tập bất biến . . . . . . . . . . . . . . . . .

13

2.1.1

Một số khái niệm . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13

2.1.2

Nguyên lí bất biến LaSalle . . . . . . . . . . . . .

18

i


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Vũ Thị Luyến

2.2 Tập hút toàn cục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .


22

2.2.1

Các khái niệm cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . .

22

2.2.2

Sự tồn tại của tập hút toàn cục . . . . . . . . . .

23

2.2.3

Cấu trúc của tập hút toàn cục . . . . . . . . . . .

28

2.2.4

Xác định dáng điệu tiệm cận của tập hút toàn cục

29

2.3 Ví dụ áp dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

34


Tài liệu tham khảo

38

ii


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Vũ Thị Luyến

Lời mở đầu
Các phương trình đạo hàm riêng và phương trình vi phân phi tuyến
xuất hiện rất nhiều trong các quá trình của vật lí, hóa học và sinh học.
Việc nghiên cứu những phương trình này có ý nghĩa rất quan trọng trong
khoa học và công nghệ. Chính vì vậy, nó đang thu hút sự quan tâm của
nhiều nhà khoa học trên thế giới. Các vấn đề lí thuyết đặt ra là nghiên
cứu tính đặt đúng của bài toán và các tính chất định tính của nghiệm,
chẳng hạn dáng điệu tiệm cận của nghiệm...
Sau khi nghiên cứu tính đặt đúng của bài toán, việc nghiên cứu dáng
điệu nghiệm khi thời gian t → ∞ rất quan trọng vì nó cho phép ta hiểu

và dự đoán xu thế phát triển của hệ trong tương lai. Về mặt toán học,

điều này làm nảy sinh một hướng nghiên cứu mới được phát triển mạnh
mẽ trong hai thập kỉ gần đây là lí thuyết các hệ động lực vô hạn chiều.
Một trong những khái niệm được xây dựng là tập giới hạn, tập bất biến
và tập hút toàn cục. Dưới sự định hướng của thầy hướng dẫn, tôi chọn
đề tài "Tập giới hạn, tập bất biến và tập hút toàn cục của hệ

phương trình vi phân cấp 1" để làm khóa luận tốt nghiệp.
Khóa luận gồm hai chương:
Chương 1 "Kiến thức chuẩn bị" trình bày một số khái niệm và kết
quả cần thiết cho nghiên cứu trong chương 2.
Chương 2 "Tập giới hạn, tập bất biến và tập hút toàn cục của hệ
phương trình vi phân cấp 1" thảo luận nội dung của khóa luận.

iii


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Vũ Thị Luyến

Hà Nội, tháng 05 năm 2016
Sinh viên

Vũ Thị Luyến

iv


Chương 1
KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
1.1

Tập hợp trong Rn

Định nghĩa 1.1. Cho không gian metric M = (X, d), tập A ⊂ X. Tập


A được gọi là tập mở trong không gian M nếu mọi điểm thuộc A đều là

điểm trong của A, hay nói cách khác, nếu điểm x ∈ A, thì tồn tại một

lân cận của x bao hàm trong A.

Định nghĩa 1.2. Tập A được gọi là tập đóng trong không gian M, nếu
mọi điểm không thuộc A đều là điểm ngoài của A, hay nói cách khác,
nếu điểm x ∈
/ A thì tồn tại một lân cận của x không chứa điểm nào
thuộc tập A.

Định nghĩa 1.3. Cho không gian metric M = (X, d). Tập K ⊂ X gọi
là tập compact trong không gian M, nếu mọi dãy vô hạn các phần tử

thuộc K đều chứa dãy con hội tụ tới phần tử thuộc tập K.
Định nghĩa 1.4. Không gian M được gọi là không gian compact, nếu
tập X là tập compact trong M.
1


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Vũ Thị Luyến

Định nghĩa 1.5. Cho hàm f : Rn −→ Rn
i) Hàm f được gọi là liên tục Lipschitz trên tập U ⊂ Rn nếu tồn tại
k > 0 sao cho với mọi x, y ∈ U ta có f (x) − f (y) ≤ k x − y .

ii) Hàm f được gọi là liên tục Lipschitz địa phương nếu với mọi x0 ∈


Rn , tồn tại lân cận U = U (x0) của x0 sao cho f liên tục Lipschitz
trên U .

1.2

Hệ phương trình vi phân cấp 1

Định nghĩa 1.6. Hệ n phương trình vi phân cấp 1 dạng chuẩn tắc là
hệ phương trình có dạng:

Trong đó:


dx1



= f1(t, x1, x2, ..., xn)


dt




 dx2 = f2(t, x1, x2, ..., xn)
dt




...






 dxn = fn (t, x1, x2, ..., xn)
dt

(1.1)

• t là biến số độc lập;
• x1 = x1(t), x2 = x2(t),. . . ,xn = xn (t) là các hàm phải tìm;
• Các hàm fi (i = 1, n) xác định trong miền G của không gian n + 1
chiều Rn+1.

Định nghĩa 1.7. Hệ n hàm khả vi x1 = ϕ1 (t), x2 = ϕ2(t),. . . ,xn = ϕn (t)
xác định trên khoảng (a, b) được gọi là nghiệm của hệ (1.1) nếu với mọi
2


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Vũ Thị Luyến

t ∈ (a, b), điểm (t, ϕ1(t), ϕ2(t), . . . , ϕn(t)) ∈ G và khi thay chúng vào hệ
(1.1) thì ta được n đồng nhất thức theo t trên (a, b).
Cho hệ phương trình vi phân (1.1)

Bài toán Cauchy
Yêu cầu tìm nghiệm x1 = x1(t), x2 = x2(t), ..., xn = xn(t) thỏa mãn
điều kiện ban đầu x1(t0 ) = x01, x2(t0 ) = x02, ..., xn(t0) = x0n, trong đó
t0 , x01, x02, ..., x0n là các giá trị cho trước tùy ý.
Định lý 1.1. (Định lý tồn tại và duy nhất nghiệm )
Giả sử
1. Các hàm f1, f2, ..., fn liên tục trong miền
G = |t − t0 |

a; x1 − x01

b; x2 − x02

b; ...; xn − x0n

b

và do đó giới nội : |fi(t, x1, x2, ..., xn)| ≤ M(i = 1, 2, ..., n);
2. Các hàm f1, f2, ..., fn thỏa mãn điều kiện Lipschitz theo x1 , x2, ..., xn
trong miền G với cùng hằng số Lipschitz L > 0.
Khi đó tồn tại duy nhất một nghiệm
x(t) = (x1(t), x2(t), ..., xn(t))
của hệ (1.1) thỏa mãn điều kiện ban đầu
x1(t0 ) = x01, x2(t0) = x02, ..., xn(t0 ) = x0n.
Nghiệm này xác định trong khoảng đóng
[t0 − h, t0 + h] với h = min a,
3

b
M


.


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Kí hiệu

x (t)
 1

x(t) =  ...

xn (t)



Vũ Thị Luyến







˙
=
, x(t)








x˙ 1(t)
f (t, x)

 1

.. 
..
. , f (t, x) = 
.


x˙ n (t)
fn (t, x)





,


hệ (1.1) có thể được viết dưới dạng vectơ: x(t)
˙
= f (t, x(t)).


Đặc biệt f (t, x(t)) = A(t)x(t)+g(t), ta có hệ phương trình vi phân tuyến
tính không thuần nhất
x˙ = A(t)x + g(t)

(1.2)

và hệ phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất tương ứng (khi g = 0)
x˙ = A(t)x.

(1.3)

Kí hiệu: x(·, t0, x0) là nghiệm của (1.3) thỏa mãn điều kiện ban đầu
x(t0) = x0.
Dưới đây là định lí mô tả cấu trúc nghiệm của hệ phương trình vi phân
tuyến tính thuần nhất (1.3).
Định lý 1.2. Tập hợp các nghiệm của hệ (1.3) lập thành một không
gian vectơ n chiều V . Hơn nữa, với mỗi t0 cố định thuộc I, ánh xạ
x0 → x(·, t0, x0) là một đẳng cấu từ Kn lên V .
Định lí sau đây mô tả cấu trúc nghiệm của hệ không thuần nhất (1.2).
Định lý 1.3. Tập hợp các nghiệm của hệ không thuần nhất (1.2) lập
thành một không gian con afin v + V của C 1(I, Kn), ở đó v là một
nghiệm bất kì của (1.2) và V là không gian nghiệm của hệ thuần nhất
tương ứng (1.3). Nói cách khác, nghiệm tổng quát của hệ không thuần
4


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Vũ Thị Luyến


nhất (1.2) bằng nghiệm tổng quát của hệ thuần nhất tương ứng (1.3) cộng
với một nghiệm riêng của hệ (1.2).

1.3

Nửa nhóm liên tục. Hệ động lực

Định nghĩa 1.8. Hệ động lực là một cặp (X, S(t)) gồm một không gian
Banach X và một họ các ánh xạ S(t), t ≥ 0, từ X vào X thỏa mãn:
1. S(0) = I, với I là toán tử đồng nhất;
2. S(t+s) = S(t)S(s), S(t)S(s) có nghĩa là S(t)◦S(s) với mọi t, s ≥ 0;
3. Với mọi t ≥ 0,

S(t) ∈ C(X, X);

4. Với mọi u ∈ X, t → S(t)u thuộc C((0, +∞), X).
Họ các ánh xạ S(t), t ≥ 0 gọi là một nửa nhóm liên tục trên X. Khi

đó, X gọi là không gian pha (hay không gian trạng thái). Nếu t ∈ R thì

S(t)t∈R được gọi là nhóm các toán tử.

1.4
1.4.1

Lí thuyết ổn định
Khái niệm ổn định theo nghĩa Lyapunov

Xét hệ phương trình vi phân
x˙ = f (t, x),


t ≥ 0,

(1.4)

trong đó x(t) ∈ Rn là vectơ trạng thái của hệ, f : R+ × Rn → Rn là hàm

vectơ cho trước. Giả thiết f (t, x) là hàm thỏa mãn các điều kiện sao cho
5


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Vũ Thị Luyến

nghiệm của hệ (1.4) với điều kiện ban đầu x(t0) = x0, t0 ≥ 0, luôn tồn

tại.

Giả sử x(t) là một nghiệm của (1.4) xác định trên khoảng [t0 , +∞).
Định nghĩa 1.9. Nghiệm x(t) gọi là ổn định trên khoảng [t0 , +∞)
nếu với mỗi số ε > 0, tồn tại δ > 0 sao cho mọi nghiệm y(t) với
y(t0) − x(t0) < δ sẽ tồn tại trên cả khoảng [t0 , +∞) và thỏa mãn:
y(t) − x(t) < ε, với mọi t ≥ t0 .
Định nghĩa 1.10. Nghiệm x(t) gọi là ổn định tiệm cận trên khoảng
[t0 , +∞) nếu nó ổn định và tồn tại β ≥ 0 sao cho mọi nghiệm y(t) với
y(t0) − x(t0) < β sẽ thỏa mãn:
lim

t→+∞


y(t) − x(t) = 0.

Định nghĩa 1.11. Nếu các số δ, β trong các định nghĩa trên không phụ
thuộc vào thời điểm ban đầu t0 thì ta có các khái niệm ổn định đều và
ổn định tiệm cận đều.
Ví dụ 1.4.1. Cho phương trình
x˙ = −3x.

(1.5)

1, Trên nửa khoảng [t0 , +∞), t0 > 0, nghiệm x = 0 ổn định.
Thật vậy, mọi nghiệm của (1.5) là y = C.e−3t, với C là hằng số.
Ta có
C.e−3t < C.e−3t0 < ε

6


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Vũ Thị Luyến

Thật vậy ∀ε > 0, ∃δ = ε sao cho với mọi nghiệm y thỏa mãn

|y(t0 ) − 0| = C.e−3t0 < δ = ε thì

|y(t) − 0| = C.e−3t < C.e−3t0 < ε, ∀t > t0 .
Suy ra x = 0 là ổn định.
2, x = 0 ổn định tiệm cận vì

+ x = 0 ổn định;
+ Với mọi nghiệm y(t) của (1.5) ta có
lim |y(t) − 0| = lim C.e−3t = 0.

t→∞

t→∞

3, Vì δ = ε không phụ thuộc t0 nên x = 0 ổn định tiệm cận đều.
1.4.2

Tính ổn định của hệ tuyến tính

Xét hệ phương trình vi phân tuyến tính
x˙ = A(t)x,

(1.6)

trong đó A(t) là hàm giá trị ma trận liên tục trên [t0, +∞).
Định lý 1.4. Các khẳng định sau là đúng:
• Nghiệm bất kì của (1.6) ổn định (tương ứng ổn định tiệm cận) khi
và chỉ khi nghiệm 0 ổn định (tương ứng ổn định tiệm cận).
• Nghiệm 0 của (1.6) ổn định khi và chỉ khi ma trận cơ bản X(t) bất
kì đều bị chặn trên khoảng [t0 , +∞).
7


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Vũ Thị Luyến


• Nghiệm 0 của (1.6) ổn định tiệm cận khi và chỉ khi đối với ma trận
cơ bản X(t) bất kì thì
lim X(t) = 0.

t→+∞

Xét hệ vi phân tuyến tính có hệ số hằng
x˙ = Ax.

(1.7)

Ta có đặc trưng đại số sau đây về tính ổn định, thông qua tập phổ σ(A)
gồm tất cả các giá trị riêng của ma trận A.
Định lý 1.5. Giả sử
Re σ(A) := max { Re λ : λ là giá trị riêng của A } .
Khi đó
• Nếu Re σ(A) < 0 thì hệ (1.6) là ổn định tiệm cận;
• Nếu Re σ(A) > 0 thì hệ (1.6) là không ổn định;
• Nếu Re σ(A) = 0 thì hệ (1.6) là không ổn định tiệm cận và nó là
ổn định khi và chỉ khi tất cả các giá trị riêng có phần thực bằng 0
là nửa đơn, tức là các ô Jordan tương ứng có cỡ 1 × 1.
Dưới đây ta xét ví dụ xét tính ổn định của hệ tuyến tính thông qua
ma trận cơ bản.
Ví dụ 1.4.2.
x˙ = Ax,
8

(1.8)



Khóa luận tốt nghiệp Đại học



trong đó A = 

1 0
0 2

Vũ Thị Luyến



. Dễ thấy


x1 = 

t

e

0





 , x2 = 


0
2t

e




là các nghiệm độc lập tuyến tính của (1.8) nên


X(t) = 

t

e

0
2t

0 e




là một ma trận cơ bản của (1.8).
√
√
Ta có X(t) = e2t + e4t + 0 + 0 = et e2t + 1 không bị chặn trên

[0, +∞).
Vậy nghiệm x = 0 không là nghiệm ổn định của hệ đã cho.
1.4.3

Tính ổn định của hệ phi tuyến: Phương pháp tuyến tính
hóa

Xét phương trình vi phân ôtônôm
x˙ = f (x).

(1.9)

Giả sử f ∈ C 1(D) , ở đó D ⊂ Rn là một tập mở chứa gốc tọa độ 0 và

0 là một điểm tới hạn của f , tức là f (0) = 0.

Phương trình x˙ = Ax, ở đó A là ma trận Jacobi Df (0), gọi là phương
trình tuyến tính hóa tại điểm 0. Và quá trình chuyển phương trình phi
tuyến (1.9) thành phương trình tuyến tính x˙ = Df (0)x gọi là quá trình
9


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Vũ Thị Luyến

tuyến tính hóa. Ta có nguyên lí sau.
Định lý 1.6. (Nguyên lí tuyến tính hóa) Điểm cân bằng x = 0 của
phương trình phi tuyến (1.9) là ổn định tiệm cận nếu Reσ(Df (0)) < 0
và nó là không ổn định nếu

Reσ(Df (0)) > 0.
Như vậy, bằng phương pháp tuyến tính hóa, việc xác định tính ổn
định của một điểm cân bằng là khá dễ dàng. Tuy nhiên, trong nhiều
trường hợp, chẳng hạn khi Reσ(Df (0)) > 0, việc xét này khá là phức
tạp. Trong mục tiếp theo, ta sẽ nghiên cứu một phương pháp khác có
tên phương pháp Lyapunov, để xét tính ổn định của một điểm cân bằng.
1.4.4

Tính ổn định của hệ phi tuyến: Phương pháp hàm Lyapunov

Ta xét hệ vi phân ôtônôm
x˙ = f (x),

(1.10)

trong đó f là hàm liên tục trên tập mở D ⊂ Rn chứa 0 và f (0) = 0.
Ta có thêm khái niệm ổn định.

Định nghĩa 1.12. Nghiệm 0 của hệ (1.10) gọi là ổn định mũ nếu tồn
tại các hằng số dương β, γ, c sao cho với mọi nghiệm x(t) của (1.10):
x(0) < β kéo theo x(t) < ce−γt với t > 0,
Ta có mệnh đề.
10


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Vũ Thị Luyến

Mệnh đề 1.1. Giả sử f là hàm liên tục Lipschitz địa phương. Khi đó,

nếu nghiệm x = 0 của (1.10) là ổn định mũ thì ổn định tiệm cận trên
[t0, +∞), ∀t0 > 0.
Định nghĩa 1.13. Cho hàm giá trị thực V ∈ C 1(D), ta định nghĩa
V˙ := (gradV (x), f (x)) = f1(x)Vx1 (x) + ... + fn (x)Vxn (x).
Dễ thấy nếu x(t) là một nghiệm của (1.9) thì
d
V (x(t)) = V˙ (x(t)),
dt
do đó V˙ thường được gọi là đạo hàm của V dọc theo quỹ đạo.
Từ đó có thể dùng công thức này để nhận thông tin về dáng điệu của
V dọc theo quỹ đạo mà không cần biết trước nghiệm.
Định nghĩa 1.14. Một hàm Lyapunov đối với hệ (1.9) là hàm V ∈

C 1(D) thỏa mãn

V (0) = 0, V (x) > 0 với x = 0, và V˙ ≤ 0 trong D.
Định lý 1.7. (Định lí ổn định Lyapunov) Giả sử f ∈ C(D) với f (0) = 0
và tồn tại một hàm V đối với hệ (1.10). Khi đó
a, Nếu V˙ ≤ 0 trong D thì nghiệm 0 của hệ (1.10) ổn định;
b, Nếu V˙ < 0 trong D\{0} thì nghiệm 0 của hệ (1.10) ổn định tiệm cận;
c, Nếu V˙ ≤ −αV và V (x) ≥ b x

β

trong D với α, β, b > 0 thì nghiệm 0

của hệ (1.10) ổn định mũ.
11



Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Vũ Thị Luyến

Định lý 1.8. (Định lí về tính không ổn định) Giả sử V ∈ C 1(D), V (0) =

0và V (xk ) > 0 với một dãy {xk } trong D\{0} mà xk → 0. Nếu V˙ > 0

với x = 0 hoặc V˙ ≥ λV trong D với λ > 0, thì nghiệm 0 của hệ (1.10)

là không ổn định.
Ví dụ 1.4.3. Xét hệ vi phân



x˙ =




y˙ =





z˙ =

−1
1

x − xy 2
2
2
−3
x + 3xz 3
4
−2
x − 2xyz 2
3

(1.11)

3
Chọn hàm V = x2 + y 2 + z 2 . Ta có:
2
+ V (0, 0, 0) = 0;
+ V > 0, ∀(x, y, z) = (0, 0, 0);
+ gradV = (2x, 2y, 3z);
+ Ta có
−1
−1 2
−3
−2
V˙ = 2x( x −
xy ) + 2y( y + 3xz 3) + 3z( z − 2xyz 2 )
2
2
4
3
3 2

2
2
2 2
= −x − x y − y − 2z
2
≤ 0, ∀(x, y, z).
Suy ra V là hàm Lyapunov của hệ (1.11).
Mà V˙ < 0,

∀(x, y, z) = (0, 0, 0).

Vậy nghiệm 0 ổn định tiệm cận.

12


Chương 2
TẬP GIỚI HẠN, TẬP BẤT BIẾN
VÀ TẬP HÚT TOÀN CỤC CỦA
HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN
CẤP 1
2.1
2.1.1

Tập giới hạn, tập bất biến
Một số khái niệm

Xét phương trình vi phân ôtônôm
x˙ = f (x),


(2.1)

trong đó f là hàm Lipschitz địa phương liên tục trên tập mở D ⊂ Rn .
Nghiệm x(t) với điều kiện ban đầu x(0) = x0 kí hiệu là x(t, x0).
Nghiệm này tồn tại trên khoảng cực đại J = (t− , t+), với −∞ ≤ t− <

0 < t+ ≤ +∞ và nảy sinh ra một quỹ đạo γ = x(J). Các tập hợp
13


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Vũ Thị Luyến

γ + = x([0, t+ )) và γ − = x((t−, 0]) được gọi tương ứng là nửa qũy đạo
dương và nửa quỹ đạo âm.
Định nghĩa 2.1. Một điểm a ∈ Rn gọi là một điểm ω-giới hạn của

nghiệm x(t) nếu thỏa mãn t+ = +∞ và tồn tại một dãy tk → +∞ sao

cho lim x(tk ) = a. Tập hợp L+ gồm tất cả các điểm ω-giới hạn của
k→∞

nghiệm x(t) gọi là tập ω-giới hạn của nghiệm đó.
Định nghĩa 2.2. Một điểm a ∈ Rn gọi là một điểm α-giới hạn của
nghiệm x(t) nếu thỏa mãn t− = −∞ và tồn tại một dãy tk = −∞ sao

cho lim x(tk ) = a. Tập hợp L− gồm tất cả các điểm α-giới hạn của
k→∞


nghiệm x(t) gọi là tập α-giới hạn của nghiệm đó.
Ví dụ 2.1.1.


x˙ 1 = x2


x˙ = −x
2
1

với x(0) = (0, 1).
Phương trình đặc trưng là
λ2 + 1 = 0 ⇔ λ = ±i.
Suy ra nghiệm tổng quát của hệ đã cho là


x1(t) = C1. cos t + C2. sin t


x (t) = C . cos t − C . sin t.
2
2
1
14


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Vũ Thị Luyến


Do x(0) = (0, 1), suy ra nghiệm của bài toán đã cho là


x1(t) = sin t
với t ∈ (−∞, +∞) = J.


x (t) = cos t.
2

Quỹ đạo γ = x(J) = {(sin t, cos t) ∈ R2 , t ∈ R} là đường tròn tâm 0,

bán kính 1 trong R2 .

Nửa quỹ đạo dương γ + bằng nửa quỹ đạo âm γ − và cùng bằng quỹ đạo
γ hay γ + = γ − = γ.
Ta có điểm a = (0, 1) là điểm ω-giới hạn. Thật vậy, tồn tại
tk = 0 + k2π → +∞(k → ∞)
x(tk ) = (sin tk , cos tk ) = (0, 1) → (0, 1) = a.
Suy ra a = (0, 1) là điểm ω-giới hạn.
Tương tự ta chỉ ra được mọi điểm thuộc γ đều là điểm ω-giới hạn và
cũng là điểm α-giới hạn nên L+ = L− = γ.
Đưa vào kí hiệu t+ (x0), γ +(x0), L+(x0), ...; với tập A ⊂ D, L+(A) là

kí hiệu hợp của các tập hợp L+ (a) với a ∈ A. Và ta thường dùng các kí

hiệu ω(A) và α(A) để chỉ tập ω-giới hạn và tập α-giới hạn của A.

Định nghĩa 2.3. Một tập M ⊂ D gọi là bất biến dương (tương ứng bất

biến âm, bất biến) đối với phương trình vi phân (2.1) nếu γ +(M) ⊂ M
(tương ứng γ −(M) ⊂ M, γ(M) ⊂ M).
15


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Vũ Thị Luyến

Ví dụ 2.1.2.


x˙ 1 = x2


x˙ = −x
2
1

với x(0) = x0 = (1, 1).
Nghiệm của bài toán là


x1 = cos t + sin t

(2.2)


x = cos t − sin t.
2


Rõ ràng x(t, x0) là ảnh quay điểm x0 một góc t vì


x1 = x01.cos t + x02.sin t


x = −x0.sin t + x0.cos t.
2
1
2

Do đó quỹ đạo γ là đường tròn tâm 0(0, 0), bán kính x0 .
Từ đây suy ra γ(M) = R2 nếu M =

a = [0, +∞) và γ(M) = R
a∈M

nếu M là đường tròn tâm 0.

Kí hiệu: dist (x, A) = inf { x − a : a ∈ A} là khoảng cách giữa điểm

a và tập hợp A.

Định lý 2.1. Giả sử x(t) là một nghiệm của (2.1) trên khoảng tồn tại
cực đại J với 0 ∈ J. Nếu γ + ⊂ K, ở đó K là một tập con compact của
D, thì t+ = +∞ và tập ω-giới hạn L+ ∈ K là tập khác rỗng, compact,
liên thông, bất biến và lim dist(x(t), L+) = 0.
t→+∞


16


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Vũ Thị Luyến

Chứng minh.
• Chứng minh L+ là tập khác rỗng:

Trước tiên dễ thấy x(t) tồn tại với mọi t > 0 do x(t) nằm trong
K trên khoảng tồn tại cực đại về bên phải. Do đó, theo định lí
Bolzano-Weierstrass, mọi dãy dạng x(tk ) đều có một dãy con hội
tụ. Vì vậy, L+ là một tập con khác rỗng của K.

• Chứng minh L+ là compact:

Nếu b là một điểm dính của L+ thì với mọi ε > 0, T > 0, ta lấy
ε
ε
điểm a ∈ L+ với a − b < và t = tk > T sao cho x(t) − a <
2
2
ε ε
+
thì x(t) − b < + = ε. Vì vậy, L là tập compact.
2 2

• Chứng minh L+ là tập liên thông:


Giả sử phản chứng L+ không liên thông, tức là tồn tại hai tập

compact khác rỗng rời nhau K1, K2 sao cho
L+ = K1 ∪ K2 và dist(K1, K2) = 2ρ > 0.
Giả sử di(t) = dist(x(t), Ki) với i = 1, 2.Với mỗi k = 1, 2, ..., tồn tại
các điểm t1k , t2k sao cho
d1(t1k ) = ρ và d2 (t2k ) = ρ.
Do d1 (t) + d2(t) ≥ 2ρ và do hai hàm này là liên tục nên tồn tại điểm
tk nằm giữa t1k và t2k sao cho

d1(tk ) = ρ và d2 (tk ) ≥ ρ.
17