Gv : Lương Văn Huy - LTĐH Thanh Trì - HN - 0969141404 - Face : Lương Văn Huy
CHUYÊN ĐỀ TÍCH PHÂN

1. Bảng đạo hàm các hàm số sơ cấp cơ bản:
1/ c '  0 (c là hằng số)
2/ x m '  mx m1

 

4/ cos x '   sin x

 

5/  tan x  ' 

3/ sin x  '  cos x

1
cos2 x

6/ cot x  '  

 

7/ a x '  a x ln a

9/ ln x  ' 

8/ e x '  e x

1

sin 2 x

1
x

2.
a.Bảng công thức tích phân bất định :

1  dx  x  c
dx
 ln x  c
x

3 

4  e dx  e
x

5 

x

c

n 1

2  x dx  nx 1  c n  1
n

3 ' 


4 ' 

dx
1
 ln ax  b  c
ax  b a
1
e axb dx  eax b  c a  0
a

ax
a dx 
c
ln a
x

1

6  sin xdx   cos x  c

6 '  sin ax  b dx   a cos ax  b  c

7   cos xdx  sin x  c

7 '  cos ax  b dx  a sin ax  b  c

1

dx

dx
 tan x  c
9 
  cot x  c

2
cos x
sin 2 x
10  tan xdx   ln cos x  c 10 '  cot xdx  ln sin x  c

8 

11 

12 
13 
14 

dx
1
x 1
 ln
c
x 1 2 x  1
2

dx
2

x k


11' 

dx
1
x a

ln
c
2
2a
xa
x a
2

 ln x  x 2  k  c

x
1
x 2  1  ln x  x2  1  c
2
2
x
k
x2  kdx 
x2  k  ln x  x 2  k  c
2
2

x 2  1dx 


b. Tính chất nguyên hàm :


f

'

( x) dx  f ( x )  C

1




Gv : Lương Văn Huy - LTĐH Thanh Trì - HN - 0969141404 - Face : Lương Văn Huy
 [ f ( x)  g ( x)]dx   f ( x)dx   g ( x)dx



 k.f(x)dx

( k  0) .

 k  f ( x ) dx

c. Phương pháp nguyên hàm đổi biến : Tính I   f (u ( x )).u ' ( x )dx
 Đặt biến t  u ( x)  dt  u ' ( x) dx
 Khi đó I   f (t )dt  F (t )  C
 Thay t = u(x) vào F(t)

d. Phương pháp nguyên hàm từng phần : Tính I   f ( x ).g ( x ) dx
u  f ( x)  du  f ' ( x ) dx
 Đặt : 
 dv  g ( x) dx  v  G ( x)

 Khi đó : I   f ( x ).g ( x )dx  u.v   vdu
 Tính :  vdu
 Kết luận
2. Tích phân :
b

a. Định nghĩa:

 f ( x)dx  F ( x)

b
a

 F (b)  F ( a ) ; với F  x  là một nguyên hàm của f  x  .

a

b. Tính chất:
a





b


f ( x) dx  0 ;





a

a

a

b

b

( k  )

b

f ( x) dx    f ( x) dx ; 
b

b

  f ( x)  g ( x) dx   f ( x)dx   g ( x)dx
a

a


b

 kf ( x)dx  k  f ( x)dx
a

a

b

; 

a


a

c

b

f ( x ) dx   f ( x )dx   f ( x) dx
a

c

(a  c  b)
b

c. Phương pháp tích phân đổi biến số: Tính I 


 f u( x) u '( x)dx .
a

 Đặt u  u ( x )  du  u '( x )dx
 Đổi cận: x  a  u  u (a ) ; x  b  u  u (b)
u (b)

 Thay vào I ta được I 



u (b)

f (u ) du  F (u ) u ( a )  F [u (b)]  F [u (a )]

u(a)
b

d. Phương pháp tích phân từng phần: Tính I   f ( x ) g ( x )dx
a

u  f ( x)  du  f ' ( x) dx
 Đặt : 
 dv  g ( x) dx  v  G ( x)
b

b
b


 Khi đó : I   f ( x ) g ( x )dx  uv a   vdu
a

a

2


Gv : Lương Văn Huy - LTĐH Thanh Trì - HN - 0969141404 - Face : Lương Văn Huy
b

 Tính :  vdu
a

 Kết luận
3. Ứng dụng tích phân :
a. Công thức tính diện tích :



Cho hàm số y  f ( x) liên tục trên đoạn  a; b  . Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số
b

y  f ( x) , trục hoành và hai đường thẳng x  a , x  b là:

S   f ( x ) dx .
a




Cho hai hàm số y  f ( x) và y  g ( x ) liên tục trên đoạn  a; b . Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị
b

các hàm số y  f ( x) , y  g ( x ) và hai đường thẳng x  a , x  b là:

S   f ( x )  g ( x ) dx .
a

b. Công thức tính thể tích :



Cho hàm số y  f ( x) liên tục trên đoạn  a; b . Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y  f ( x) , trục
Ox ( y  0 ) và hai đường thẳng x  a , x  b quay xung quanh trục Ox tạo thành một khối tròn xoay có thể
b
2

tích là: V     f ( x )  dx .
a

I-Phương pháp biến số phụ :
Cho hàm số f (x) liên tục trên đoạn a; b có nguyên hàm là F (x) .
Giả sử u (x) là hàm số có đạo hàm và liên tục trên đoạn  ,   và có miền giá trị là a; b thì ta có :

 f u( x).u ' ( x)dx  F ( x)u ( x)  C
BÀI TẬP
Tính các tích phân sau :
1

a) I1  

0

1

xdx
e x dx
b)
I

2
0 e x  1
x2  1

e

c) I 3  
1

1  ln x dx
x

Bài làm :
3


Gv : Lương Văn Huy - LTĐH Thanh Trì - HN - 0969141404 - Face : Lương Văn Huy
dt
a) Đặt t  x 2  1  dt  2 xdx  xdx 
2
x  0  t  1

Đổi cận : 
x  1  t  2
2

2

xdx 1 2 dt 1
1
Vậy : I1   2
   ln t  ln 2
21 t 2
2
1 x 1
1

b) Đặt t  e x  1  dt  e x dx
x  1  t  e 1
Đổi cận : 
2
x  2  t  e  1
1

e x dx
Vậy : I 2   x

e 1
0

e2 1




e1

e 2 1

dt
 ln t
 ln(e  1)
t
e1

c) Đặt t  1  ln x  tdt 

1
dx
x

x  1  t  1
Đổi cận : 
x  e  t  2
e

I3  
1

2

2


1  ln x dx
2 3
2
  t dt  t 2  ( 2 2  1)
x
3 1 3
1

1.Tích phân lượng giác :


Dạng 1 : I   sin mx. cos nxdx


Cách làm: biến đổi tích sang tổng .


Dạng 2 : I   sin m x. cos n x.dx


Cách làm :
Nếu m, n chẵn . Đặt t  tan x
Nếu m chẵn n lẻ . Đặt t  sin x (trường hợp còn lại thì ngược lại)

dx
Dạng 3 : I  
a. sin x  b. cos x  c

Cách làm :
2t


sin x 

x

1 t2
Đặt : t  tan
 
2
2
cos x  1  t

1 t2

a. sin x  b. cos x
Dạng 4 : I  
.dx
c. sin x  d . cos x

Cách làm :
a. sin x  b. cos x
B(c. cos x  d . sin x )
Đặt :
 A
c. sin x  d . cos x
c. sin x  d . cos x
4


Gv : Lương Văn Huy - LTĐH Thanh Trì - HN - 0969141404 - Face : Lương Văn Huy

Sau đó dùng đồng nhất thức .

a. sin x  b. cos x  m
Dạng 5: I  
.dx
c. sin x  d . cos x  n

Cách làm :
a. sin x  b. cos x  m
B(c. cos x  d . sin x )
C
Đặt :
 A

c. sin x  d . cos x  n
c. sin x  d . cos x  n c. sin x  d . cos x  n
Sau đó dùng đồng nhất thức.
BÀI TẬP
1.Tính tích phân :

2


2

cos xdx
(sin x  1) 4
0



4

b) I 2   cos 5 xdx

a) I1  

c) I 3   tan 6 xdx

0

0

Bài làm :
a) Đặt : t  sin x  1  dt  cos xdx
x  0  t  1

Đổi cận : 

 x  2  t  2

2

2

cos xdx
dt
1
Vậy : I 1  
 4  3
4

3t
0 (sin x  1)
1 t
b) Đặt : t  sin x  dt  cos xdx

2


1

7
24

x  0  t  0

Đổi cận : 

 x  2  t  1

2

1





2

1






I 2   cos 5 xdx   1  t 2 dt   1  t 4  2t 2 dt
0

Vậy :

0

0

1

1

 t5 2

8
    t 3  t  
5 3
 0 15
0

c) Đặt : t  tan x  dt  (tan 2 x  1) dx
x  0  t  0

Đổi cận : 


 x  4  t  1

4

1

1

t 6 dt
1 

  t 4  t 2  1  2
dt
2
t 1
0 t 1
0

I 3   tan 6 xdx  

Vậy :

0

5

3

1



4

t

t
13 
    t    du  
15 4
5 3
0 0

5


Gv : Lương Văn Huy - LTĐH Thanh Trì - HN - 0969141404 - Face : Lương Văn Huy

2.Tính các tích phân sau :

2

a) I1  
0


3

sin x. cos x
2


2

2

b) I 2 

dx

2

a .sin x  b . cos x

cos x



2  cos 2 x

0

dx

Bài làm :
a) Đặt : t  a 2 .sin 2 x  b 2 . cos 2 x  dt  2(b 2  a 2 ) sin x. cos xdx

x  0  t  a 2

Đổi cận : 


2
x   t  b

2
Nếu a  b

2

Vậy :

sin x. cos x

1
dx 
2
2 b  a2
a 2 . sin x  b 2 . cos x

I1  



0



1
t
2
b  a2


b

2


a2

ab
2

b a

2



b2



a2

dt
t

1
ab

Nếu a  b


2

I1 
Vậy :


2

sin x. cos x



2

2

2

2

a . sin x  b . cos x

0

sin x. cos xdx
a
0

dx  






2
1 2
1
1

sin
2
xdx


cos
2
x


2a 0
4a
2a
0

b) Đặt : t  sin x  dt  cos xdx
x  0  t  0

Đổi cận : 


3
x   t 
3
2


3

Vậy : I 2  
0

cos x
2  cos 2 x

3
2

dx 


0

dt
3  2t 2



1
2


3
2


0

dt
3 2
t
2

3
3
cos u  dt  
sin udu
2
2


t  0  u  2
Đổi cận : 
t  3  u  

2
4

Đặt : t 

6



Gv : Lương Văn Huy - LTĐH Thanh Trì - HN - 0969141404 - Face : Lương Văn Huy
3

3
sin udu
1 2
dt
1 2 2
I2 



2 0 3 2
2 3
t
1  cos 2 u
4
2
2



Vậy :




2



4

1



 du 
2
4

1
2

u




4 2


4

3.Tính các tích phân sau :

2


2


sin x  7 cos x  6
dx
4 sin x  3 cos x  5
0

1
a) I 1  
dx
4 sin x  3 cos x  5
0

b) I 2  

Bài làm :

x
x 
2dt

 dt   tan 2  1dx  dx  2
2
2 
t 1

x  0  t  0

Đổi cận : 

 x  2  t  1

2
1
1
dt
1 t2
I1  
dt

2

2
2t
1 t
0
0 t  1
4
3
5
Vậy :
1 t2
1 t 2
a) Đặt : t  tan

1

1
1

t2 0 6
sin x  7 cos x  6

4 cos x  3 sin x
C
b)Đặt :
 A B

4 sin x  3 cos x  5
4 sin x  3 cos x  5 4 sin x  3 cos x  5
Dùng đồng nhất thức ta được: A  1 , B  1 , C  1



2

Vậy :

I2  
0


2

sin x  7 cos x  6
4 cos x  3 sin x
1


dx   1 

dx
4 sin x  3 cos x  5

4 sin x  3 cos x  5 4 sin x  3 cos x  5 
0


 x  ln 4 sin x  3 cos x  5  02  I1 


9 1
 ln 
2
8 6

4.Bạn đọc tự làm :

2

a) I1  

6

3

cos x
dx
sin 2x


2

b) I 2   cos3 x. sin xdx

0


2

dx
0 sin x  2

c) I 3  

7


Gv : Lương Văn Huy - LTĐH Thanh Trì - HN - 0969141404 - Face : Lương Văn Huy

2

c) I 3  
0


2

3


2

4 sin x
1

sin x  cos x  1
dx d) I 5  
dx d) I 6  
dx
cos x  1
sin
x

2
cos
x

3
sin
x

2
cos
x

3
0
0

2-Tính nguyên hàm,tích phân các hàm hữu tỷ

dx
1
1


.
 C với a, n   C  N  0,1 ta có :
n
n  1  x  a n1
x  a 
dx
Nếu n  1 , a  R ta có : I  
 ln x  C
xa
 ,  , a, b, c  R
x  
Dạng 2 : I   2
dx trong đó : 
n
2
ax  bx  c
  b  4ac  0
Dạng 1 : I  





* Giai đoạn 1 :   0 ,làm xuất hiện ở tử thức đạo hàm của tam thức ax 2  bx  c , sai khác một số :
2a
 2ax  b    b

2ax  b
  2a
dx


I
dx 
dx  
 b 
n
n
n


2a
2a ax 2  bx  c
2a  
 ax 2  bx  c
ax 2  bx  c
* Giai đoạn 2 :



Tính I  












n

dx

dt
 4a   
.
n dx  

2
    2a 2 ax  b 1  t 2
ax  bx  c
t









n



* Giai đoạn 3 :
1
Tính I  

dt có thể tính bằng hai phương pháp , truy hồi hoặc đặt t  tan 
n
2
t 1
P x
Dạng 3 : I   m dx
Qn  x 





Pm  x  am x m  ......  a1 x  a0
Ta có :

Qn  x  bn x n  ......  b1 x  b0

Nếu : degP   degQ  thì ta thực hiện phép chia

Pm  x 
R x
R x 
trong đó phân số r
có
 Am  n  x   r
Qn  x 
Qn  x 
Qn x 

degR   degQ 

Nếu : degP   degQ  ta có các qui tắc sau :
Pm  x 
A1
An 1
An
 ...... 
*Qt 1:
n 
n 1 
x  a   x  a 
x  a 
x  a n
n
P x 
Ai
Vdụ 1a : n m

i
i
i 1  x  ai 

x

a


i
i 1

Vdụ 1b :


*Qt 2':

Pm x 
A
B
C
D




2
( x  a )( x  b)( x  c)
x  a x  b x  c x  c 2
Pm x 

ax

2

 bx  c



A1 x  B1
An 1 x  Bn1
An x  Bn
 ...... 


2
n

1
ax  bx  c
ax 2  bx  c
ax 2  bx  c

 
n











n

với   0
8


Gv : Lương Văn Huy - LTĐH Thanh Trì - HN - 0969141404 - Face : Lương Văn Huy
m
n

Pt x 
Ai
Ai x  B1


*Qt 3:


n
i
m
2
x    ax  bx  c i 1 x    k 1 ax2  bx  c i









Pt x 
A
Bx  C


2
( x   ) ax  bx  c
x 

ax2  bx  c
Pt x 
B1 x  C1
B2 x  C 2
A
Vdụ 2 :



2
2
2
x    ax  bx  c   x    ax  bx  c  ax 2  bx  c 2
Vdụ 1 :









BÀI TẬP
1.Tính các tích phân sau :
1
dx
a) I 1   2
0 x  3x  2


1

b) I 2  
0

dx

x

2

 3x  2



2

Bài làm :
1

1

1

dx
dx
1 
 1
a) I 1   2


 

dx
x  1x  2 0  x  1 x  2 
0 x  3x  2
0
1
4
 ln x  1  ln x  2  0  ln
3
1
1


dx
1
1
2
b) I 2  
dx




2
0  x  12 x  22 x  1x  2dx
2
0 x  3x  2






1

1
1


 

 2ln x  1  ln x  2   OK
 x 1 x  2
0

2.Tính các tích phân sau :
1
dx
a) I1   4
x  3x 2  3
0

1

b) I 2  
0

4x  2
dx
x  1 x  2 






2

Bài làm :

dx
1
x
 arctan  C với a  0
2
x a
a
a
1
1
1
dx
dx
1  1
1 
I1   4
 2
  2
 2
dx
2

2
x  3 x  3 0 x  1x  3 2 0  x  1 x  3 
0

a)* Bạn đọc dễ dàng chứng minh được I 0  

2

1

1
1
x 

  arctan x 
arctan
  92 3
2
3
30 2





4x  2
A
Bx  C x 2  A  B   x2 B  C   2C  A




x  2  x 2  1 x  2 x 2  1
x  2  x 2  1
A B  0
 A  2


Do đó ta có hệ : 2 B  C  4   B  2
2C  A  0
C  0


b) Đặt :









9


Gv : Lương Văn Huy - LTĐH Thanh Trì - HN - 0969141404 - Face : Lương Văn Huy
1
4x  2
2
2x 


Vậy : I 2   2
dx    
 2 dx
x  2 x 1
0 x  1 x  2 
0
1
4
  2 ln x  2  ln x 2  1  2 ln 3  ln 2  ln 2  ln 1  ln
0
9
1









3.Bạn đọc tự làm :
3
x 1
a) I1   2
dx
x x  1
2
2


c) I 3  
1

5

b) I 2  
2
2

3

x 1
dx
4 x3  x

d) I 3 

dx
x  2x  3

x

2

4

3

x

dx
 3x 2  2

HD:

x 1
A B
C
1
A
B
  2
b) 2


x 1
x x  1 x x
x  2x  3 x 1 x  3
3

x
A
B
C
D
x 1 1 
x4





c)
 1 
 d) 4
2
3
4 x  x 4  x2 x  12 x  1 
x  3x  2 x  1 x  1 x  2 x  2
a)

2

3-Đẳng thức tích phân :
Muốn chứng minh đẳng thức trong tích phân ta thường dùng cách đổi biến số và nhận xét một số đặc điểm
sau .
* Cận tích phân , chẵn lẻ , tuần hoàn , cận trên + cận dưới, ….
Chúng ta cần phải nhớ những đẳng thức nầy và xem nó như 1 bổ đề áp dụng.
BÀI TẬP
1

1.Chứng minh rằng :

1
n

m

 x 1  x  dx   x 1  x 
m


0

n

dx

0

Bài làm :
1

Xét I   x m 1  x n dx
0

Đặt : t  1  x  dt  dx  dx  dt
x  0  t  1
Đổi cận : 
x  1  t  0
1

0

1

Vậy : I   x m 1  x n dx    1  t m t n dt   1  t m t n dt (đpcm)
0

1

0


2.Chứng minh rằng nếu f (x) là hàm lẻ và liên tục trên đoạn  a, a  thì :

10


Gv : Lương Văn Huy - LTĐH Thanh Trì - HN - 0969141404 - Face : Lương Văn Huy
a

I

 f x dx  0

a

Bài làm :
a

I

a

0

 f ( x)dx   f x dx   f x dx 1

a

a


0

0

Xét

 f x dx

. Đặt t   x  dt  dx  dx   dt

a

 x  a  t  a
Đổi cận : 
x  0  t  0
a

0

V ậy :

a

 f x dx   f  t dt    f t dt

a

0

0


Thế vào (1) ta được : I  0 (đpcm)
Tương tự bạn đọc có thể chứng minh : Nếu f (x) là hàm chẳn và liên tục trên đoạn  a, a  thì
a

I

a

 f x dx  2 f x dx

a

0

3.Cho a  0 và f  x  là hàm chẵn , liên tục và xác định trên R .


Chứng minh rằng :



f x 
 a x  1 dx  0 f x dx

Bài làm :





0

f x
f x
f x
dx   x
dx   x
dx
x
1
a 1
a 1

0

 a



0

Xét

1

f x
dx . Đặt t   x  dt  dx  dx  dt
x
1


 a



 x    t  
Đổi cận : 
x  0  t  0
0

 t
f x 
f  t 
a f t 
Vậy :  x dx   t
dt   t
a 1
a 1
a 1

0
0


0





f x 

a x f x
f x 
Thế vào (1) ta được :  x
dx   x
dx   x
dx   f x dx (đpcm)
a 1
a 1
a 1


0
0

4.Cho hàm số f x  liên tục trên 0,1 . Chứng minh rằng :



0 x. f sin x dx  2 0 f sin x dx

Bài làm :
11


Gv : Lương Văn Huy - LTĐH Thanh Trì - HN - 0969141404 - Face : Lương Văn Huy


Xét

 x. f sin x dx .


Đặt t    x 

dt  dx  dx   dt

0

x  0  t  
Đổi cận : 
x    t  0


Vậy :





 x. f sin x dx     t . f sin  t dt     t . f sin t dt
0

0

0





   f sin t dt   t . f sin t dt

0

0





 2  x. f sin x dx    f sin x dx
0

0









 x. f sin x dx  2  f sin x dx
0

0

Từ bài toán trên , bạn đọc có thể mở rộng bài toán sau .
Nếu hàm số f  x  liên tục trên a, b và f a  b  x   f  x  . Thì ta luôn có :



b

 x. f x dx 
a

ab
f  x dx
2 0

5.Cho hàm số f x  liên tục,xác định , tuần hoàn trên R và có chu kì T .
aT

Chứng minh rằng :

T

 f x dx   f x dx
a

0

Bài làm :
a T

T

a T

T


0

a T

 f x dx   f x dx   f x dx  f x dx   f x dx   f x dx
a

a

Vậy ta cần chứng minh

T

a

a

a T

0

T

 f x dx   f x dx
0

T

a


Xét

 f x dx . Đặt

t  xT

 dt  dx

0

x  0  t  T
Đổi cận : 
x  a  t  a  T
aT

Vậy :



T
a T

Hay :

a T

f t  T dt 

 f t dt


T
T

 f x dx   f x dx (đpcm)
a

0

Từ bài toán trên , ta có hệ quả sau :

12


Gv : Lương Văn Huy - LTĐH Thanh Trì - HN - 0969141404 - Face : Lương Văn Huy
Nếu hàm số f  x  liên tục,xác định , tuần hoàn trên R và có chu kì T , thì ta luôn có :
T
2

T

 f x dx   f x dx
0



T
2

6.Bạn đọc tự làm :
1


1

a) I1   x1  x  dx
6



0

e) I 5 

x 2 sin x







x. sin x
dx
9  4 cos 2 x


2

1 2x




1

0

c) I 3  



b) I 2   sin 2 x. cos x ln x  x 2  1 dx
x. sin x
dx
1  cos 2 x
0

d) I 4  

1

x 2  sin x
dx
1 x2
1

f) I 6  

dx

2
2






g) I 7   ln sin x  1  sin 2 x dx

2009 

h) I 8 

0



1  cos 2 x dx

0

II-TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN
Cho hai hàm số u và v có đạo hàm liên tục trên đoạn a, b , thì ta có :
b

b
b

 udv  uv   vdu
a

a


a

Trong lúc tính tính tích phân từng phần ta có những ưu tiên sau :
*ưu tiên1: Nếu có hàm ln hay logarit thì phải đặt u  ln x hay u  log a x .
*ưu tiên 2 : Đặt u  ?? mà có thể hạ bậc.
Nhớ “ NHẤT LỐC, NHÌ ĐA, TAM LƯỢNG, TỨ MŨ".
BÀI TẬP

1.ính các tích phân sau :

2

1

a) I1   x.e x dx
0

e

b) I 2   x 2 . cos xdx

c) I 3   ln xdx

0

1

Bài làm :
u  x  du  dx

a) Đặt : 
x
x
dv  e dx  v  e
1

1

1

1

Vậy : I1   x.e x dx  x.e x   e x dx  e  e x  e  e  1  1
0

0

0

0

u  x 2  du  2 xdx
b) Đặt : 
dv  cos xdx  v  sin x

13


Gv : Lương Văn Huy - LTĐH Thanh Trì - HN - 0969141404 - Face : Lương Văn Huy
1



2


2
0

Vậy : I1   x.e x dx   x. cos x  2  x. sin xdx 
0


2

2

0


2  x. sin xdx
4
0

1


2

Ta đi tính tích phân


 x. sin xdx
0

u  x  du  dx
Đặt : 
dv  sin xdx  v   cos x

2

Vậy :


2


2
0





 x. sin xdx   x. cos x   cos xdx   x. cos x 02  sin 02  1
0

0

1

Thế vào (1) ta được : I1   x.e x dx 

0

 2 8
4

1

u  ln x  du  dx
c) Đặt : 
x
dv  dx  v  x
e

e
e

e

e

Vậy : I 3   ln xdx  x. ln x 1   dx  x. ln x 1  x 0  1
1

1

2.Tính các tích phân sau :

4



x

a) I1   e . sin xdx
0

x
b) I 2  
dx
cos2 x
0

e

c) I 3   cos ln x dx
1

Bài làm :
u  e x  du  e x dx
a) Đặt : 
dv  sin xdx  v   cos x






Vậy : I1   e x . sin xdx   e x . cos x   e x . cos xdx  e  1  J
0

0


1

0

x

x

u  e  du  e dx
Đặt : 
dv  cos xdx  v  sin x






Vậy : J   e x . cos xdx  e x . sin x   e x . sin xdx   I
0

0

0

Thế vào (1) ta được : 2 I1  e  1 

I1 

e  1

2

u  x  du  dx

b) Đặt : 
1
dv  cos 2 x dx  v  tan x

4

Vậy : I 2  
0


4
0


4


x


2
4 
dx

x
.

tan
x

tan
xdx


ln

cos
x

 ln
2

0
cos x
4
4
2
0

14


Gv : Lương Văn Huy - LTĐH Thanh Trì - HN - 0969141404 - Face : Lương Văn Huy
1

u  cosln x   du   sin ln x dx
c) Đặt : 

x
dv  dx  v  x
e

e

e





Vậy : I 3   cosln x dx  x. cosln x  1   sin ln x dx   e  1  J
1

1

1

u  sin ln x   du  cosln x dx
Đặt : 
x
dv  dx  v  x
e

e

e

Vậy : I 3   sin ln x dx  x. sin ln x  1   cosln x dx  0  I 3

1

1





Thế vào (1) ta được : 2 I 3   e  1



I3  

e  1
2

3.Bạn đọc tự làm :
e

ln 2

a) I1 

b) I 2   1  ln x 2 dx

x
 x.e dx

1


0

2

1 
 1
c) I 3    2 
dx
ln x ln x 
e

3

1





d) I 4   ln x  1  x 2 dx
0

e

e) I 5   sin x. lntan x dx

4

f) I 6   cos2 ln x dx

1


4


2

1  sin x x
e dx
1  cos x
0

g) I  7   x 2 cos 2 x

h) I  7  

0

II* - KỸ THUẬT TÍNH NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN THEO SƠ ĐỒ.

( x  a ) cos 3 x 1
 sin 3 x  2017 thì tổng S= ab +c bằng
b
c
C. S = 3
D.S = 10.

Câu 1: Một nguyên hàm  ( x  2)sin 3 xdx  
A. S = 14

Giải
Sơ đồ giải
Đạo hàm

Nguyên hàm

x-2

(+)

1

(-)

0

B. S = 15

sin3x



cos 3x
3



sin 3 x
9
15



Gv : Lương Văn Huy - LTĐH Thanh Trì - HN - 0969141404 - Face : Lương Văn Huy
a  2
cos 3 x sin 3 x

Theo sơ đồ ta có I   ( x  2)

 C  b  3  S  ab  c  15( B)
3
9
c  9


Câu 2 : Biết

2 x

 x e dx  ( x

A.6

2

 mx  n)e x  C. Giá trị mn là
B.4

Giải
Ta có sơ đồ
Đạo hàm


C.0

D.-4

Nguyên Hàm

x2

(+)

ex

2x

(-)

ex

2

(+)

ex

0

ex

I  x 2e x  2 xe x  2e x  C  ( x 2  2 x  2)e x  ( x 2  mx  n)e x  C


Vây

 m  2

 mn   4( D)
n  2
1

15 a
a
 4 x 
Câu 3 : Biết I = I   x.ln 
dx   ln  c, Với a,b,c  N * và là phân số tối giản, khẳng định nào
2 b
b
 4 x 
0
sau đây đúng.
A. a + b = 2c.
B. a + b = 3c.
C. a + b = c.
D. a + b = 4c.
Giải
Ta có sơ đồ

Đạo hàm
4 x
ln
4 x

8
2
x  16

(+)
(-)

Nguyên Hàm
x

x 2  16
( kỹ thuật thêm bớt trong từng phần)
2

a  3
 x 2  16 4  x
1
15 3

Vậy ta có I  
ln
 4 x    ln  4  b  5  a  b  2c (C )
4 x
2 5
 2
0
c  4

Với hàm logarit ta đạo hàm đến khi nào mà tích của cột trái và cột phải tính được nguyên hàm thì dừng.
2

b
a
b
Câu 4 : Biết I   ( x 2  x) ln xdx  ln 2  với a , b, c * và tối giản. Tính S = ab + c
c
3
c
1
A.806.
B.559.
C.1445.
C.1994
Giải.

16


Gv : Lương Văn Huy - LTĐH Thanh Trì - HN - 0969141404 - Face : Lương Văn Huy
Ta có sơ đồ
Đạo hàm
lnx
1
x

Nguyên Hàm
x2  x
x3 x 2
(-)

3 2

a  14
  x3 x 2 
 x3 x 2   2 14
55 
Ta có I      ln x       ln 2   b  55  S  ab  c  806 ( A)
36 
 9 4  1 3
 3 2 
c  36
(+)


2

a  be
Chọn đáp án đúng
c
B. c  a  b  9
C. c  a  b  12

Câu 5: Cho I   e 2 x .sin 3 xdx 
0

A. c  a  b  8

D. c  a  b  7 .

Giải .
Ta có sơ đồ
Đạo hàm

sin 3x

(+)

Nguyên Hàm
e2 x

3cos 3x

(-)

e2x
2

9sin 3x

(+)

e2x
4




 e2x

3e2 x
92
Vậy I  
sin 3 x 

cos 3 x  2   e 2 x .sin 3 xdx
3
40
 2
 0 

I

a  3


4  e2 x
3e2 x
3  2e

I 
sin 3 x 
cos 3 x  2 
 b  2  ( A)
13  2
4
13
0
c  13

Với dạng bài có hai hàm tuần hoàn, ta đạo hàm ( hoặc nguyên hàm) đến khi nào hàm lượng giác quay về
ban đầu thì dừng

RÈN LUYỆN
Bài 1.Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:

1.  x. sin xdx
2.  x cos xdx
5.
9.

 x sin 2 xdx
 x ln xdx

6.

 x cos 2 xdx
10.  ln xdx
2

2

 ( x  5) sin xdx
7.  x.e dx
ln xdx
11. 
x
3.

x

4  ( x 2  2 x  3) cos xdx
8.

 ln xdx
12.  e dx

x

17


Gv : Lương Văn Huy - LTĐH Thanh Trì - HN - 0969141404 - Face : Lương Văn Huy
x

13.

 cos

dx

2

x
x
17.  e . cos xdx

 x lg xdx

21.

2

14.

 xtg


18.

 x e dx
 2 x ln(1  x)dx

3

22.

xdx

x2

x dx

16.

 ln(x

2

20.

2
x

15.

 sin


19.

 x ln(1  x )dx
ln(1  x )
 x dx

23.

2

24.

2

 1)dx

x

xdx

2

cos 2 xdx

Bài 2 . Tính các tích phân sau
1)

 x.e

3x


2)

dx

 ( x  1) cos xdx

e

6)

 x ln xdx

 (1  x

2

 1).e x .dx

10)

1

7)

 4 x. ln x.dx

0



3

1
2

ln(1  x)
1 x2 dx

ln x
1 ( x  1)2 dx

x  sin x
dx
cos2 x
0


1

22)  (x  1)2 e2x dx
0

e

1

26)

8)


 x. ln(3  x

11)

2
 xtg xdx
0

2

).dx

0


2

x

2

. cos x.dx

12)

 (x

0

2


 2 x). sin x.dx

0

2

1

14)  x cos xdx
18)

0


2

2

17)  x ln2 xdx

 x.sin 2 xdx
1


2

e

4)


1

0

ln x
13)  5 dx
x
1

25)

). ln x.dx

 x. cos x.dx

2

21)

2



 (x

 (2  x) sin 3xdx
3

1


2


2

0

e

1

9)

3)

0

0

5)


6


2

1


x

15)  e sin xdx
0

6)

 sin
0


4



19)  x sin x cos2 xdx
0

e

23)  (x ln x)2 dx
1

1

27)  ( x  2)e 2 x dx
0

xdx


20)  x(2 cos2 x  1)dx
0


2

24)  cos x.ln(1  cos x)dx
0

1

28)  x ln(1  x 2 )dx
0

e

e

29) 
1

ln x
x


2

30)  ( x  cos 3 x) sin xdx

dx


0

2

31)  (2 x  7) ln( x  1)dx
0

3

32)  ln( x 2  x )dx
2

III-Tích phân hàm trị tuyệt đối, min , max :
b

Muốn tính I   f x  dx ta đi xét dấu f  x  trên đoạn a, b , khử trị tuyệt đối
a
b

Muốn tính I   max f  x , g x dx ta đi xét dấu f  x   g  x  trên đoạn a, b
a
b

Muốn tính I   min f x , g  x dx ta đi xét dấu f  x   g  x  trên đoạn a, b
a

Hoặc ta đưa dấu giá trị tuyệt đối ra ngoài ( áp dụng cho từng khoảng nghiệm)

1.Tính các tích phân sau :

18


Gv : Lương Văn Huy - LTĐH Thanh Trì - HN - 0969141404 - Face : Lương Văn Huy
4

2

b) I1   x 2  2 x  3 dx

a) I1   x  2 dx
1

Bài làm :
x 1
a)
x-2

0

2
-

4

0

+
2


4

4
2
4


x2   x2
Vậy : I1   x  2 dx   2  x dx   x  2 dx  2 x      2 x
2 1  2

2
1
1
2

1 
5

 4  2    2    8  8  2  4  
2 
2



x  0,2 tương tự ta được

b) Lập bảng xét dấu x 2  2 x  3 ,
2


1



2







I1   x 2  2 x  3 dx    x 2  2 x  3 dx   x 2  2 x  3 dx
0

0

1

.
1

2


x3  
x3 
I1  3 x  x 2      3 x  x 2    4
3 0 
3 1


1

Tính I a   x x  a dx với a là tham số :
0

Bài làm :
x
x-a

a
0


-


+

(Từ bảng xét dấu trên ta có thể đánh giá ).
Nếu a  0 .
1

1

I a   x x  a dx  
0

0


1

 x 3 ax 2 
1 a
x  ax dx   
 

2 0 3 2
3





2

Nếu 0  a  1 .
a

1



1








I a   x x  a dx    x  ax dx   x 2  ax dx
0

2

a

0

a

1

 ax 2 x 3   ax 2 x 3 
1 a 2 a3

   
   

3 0  2
3 a 3 2
2
 2
Nếu a  1 .
1

1

1


 x 3 ax 2 
1 a
I a   x x  a dx    x  ax dx    
 

2 0
3 2
3
0
0



2



19


Gv : Lương Văn Huy - LTĐH Thanh Trì - HN - 0969141404 - Face : Lương Văn Huy
2

3

 

2.Tính : a) I1   min 1, x 2 dx
0


Bài làm :
a) Xét hiệu số : 1  x 2



2







b) I 2   max x 2 , x dx
0

x  0,2
1

2

2

x3
4
2
Vậy : I1   min 1, x dx   x dx   dx 
 x1 
3 0

3
0
0
1



2



2

b) Xét hiệu số : x x  1 x  0,3 tương tự như trên ta có .
3

1

1

3

3

x2
x3
55
I 2   max x , x dx   xdx   x dx 



2 0 3 1 6
0
0
1



2



2

Bạn đọc tự làm :
3




2



3
4

a) I1   min x, x 2  3 dx b) I 2   max sin x, cos x dx c) I 3 
0

2


3



 sin x  cos x dx
0

5



d) I 4   max x 2 ,4 x  3 dx d) I  4    x  2 x  1  x  2 x  1 dx


2
1
IV- Nguyên hàm , tích phân của hàm số vô tỷ :
Trong phần nầy ta chỉ nghiên cứu những trường hợp đơn giản của tích phân Abel
Dạng 1:

 R x,



ax 2  bx  c dx ở đây ta đang xét dạng hữu tỷ.

2
a  0
    2 ax  b  

2

ax

bx

c

1






4a      
  0

 Rx,



 S t ,

ax 2  bx  c dx 
t



1  t 2 dt Tới đây , đặt t  tan u .


2 axb


2
a  0
    2ax  b  
Dạng 2: 
 ax 2  bx  c 
1

 
 
4 a      
  0

 Rx,



 S t ,

ax 2  bx  c dx 
t



1  t 2 dt Tới đây , đặt t  sin u .

2 ax b



2

a  0
  2ax  b 
2
Dạng 3: 
 ax  bx  c 
  1

4a    
  0


 R x,



t

Dạng 4 (dạng đặc biệt) :



 S t ,

ax 2  bx  c dx 

t 2  1 dt Tới đây, đặt t 


2 ax  b

1
.
sin u



 x   

dx
2

ax  bx  c





t

1
x  

dt
2

t  t  


Một số cách đặt thường gặp :
20


Gv : Lương Văn Huy - LTĐH Thanh Trì - HN - 0969141404 - Face : Lương Văn Huy


 x dx
 a dx

 S x,

a 2  x 2 dx

đặt x  a. cos t

 S x,

a2

2

đặt x  a. tan t

 S x,

x2

2


đặt x 

0t 



t 
2
2

t   k
2


a
cos t

 ax 2  bx  c  xt  c ; c  0

2
 ax 2  bx  c  t x  x0  ; ax0  bx0  c  0
đặt
S
x
,
ax

bx

c

d
x


 ax 2  bx  c   a .x  t
; a0


ax  b 
ax  b
đặt t  m
; ad  cb  0
 S  x, m cx  d 
cx  d







dx

1.Tính : I  

x

Bài làm :
dx




x

2

 4x  7



3

2



 4x  7



3

dt



t

t x 2


2


3 tan

3

Đặt : t  3 tan u  dt 
Ta có I 





3



2

3 tan u  1 du



2



3


2





u  1 du

1
3

 cos udu

3 3. tan u  1
1
1 t
1
x2
 sin u  C 
C 
C
2
2
3
3 t 1
3 x  4x  7
3 tan u

2.Tính : a) I  


xdx
2

x  x 1

3 tan u

b) I  

dx
2

x x  2x  1

Bài làm :
xdx
xdx
1
3t  1
a) 


dt

2
2
2
x  x 1
1  3 2 t  2 x1 t  1


x  
3
2 4

1
3t  1
3 2
1
I
dt 
t  1  ln t  t 2  1  C

2
2 2 x1 t  1
2
2



t



3

1
1


 ln x   x 2  x  1   C

2
2


1
dt
b)Đặt : x 
 dx   2
t
t
 x2  x  1 

21


Gv : Lương Văn Huy - LTĐH Thanh Trì - HN - 0969141404 - Face : Lương Văn Huy
dx
dt
t 1
I

  arcsin
C
2
2
x x 2  2x 1
1
2



t

1

x
t

1
1
x 1
  arcsin x
 C   arcsin
C
2
2
3.Tìm các nguyên hàm sau
dx
a) I  
1 x  3 1 x
Bài làm :
a)Đặt : t  6 1  x
Vậy : I  

b) I  

dx
x 1 x 1

 t 6  1  x  6t 5 dt  dx


dx
t 5 dt
1



6
 6  t 2  t 1
dt 
3
2

3
t t
t 1 
1 x  1 x
t  6 1 x
t 6 1 x 

 2t 3  3t 2  6t  6 ln t  1  C
 2 1  x  33 1  x  66 1  x  6 ln 6 1  x  1  C

b) I  

1

dx
1 x  x 1
1  2
1

x 1


dx    x  1dx  
dx
2 
2
x
x 1 x 1
2 x


1
1
x 1
x x  
dx
2
2
x
x 1
x 1
dx Đặt : t 
x
x


Xét




Vậy :



x 1
dx  2
x
t

1


x

1
2t
 dx  
dt
2
2
t 1
t 1



2




t 2 dt
 t  12  OK
x 1
x

4.Tìm các nguyên hàm sau :
a) I   x 2 . x 2  9dx

b) I  16 x 2 . x 2  4dx

Bài làm :
a)Đặt :

x2  9  x  t



x

t2  9
2t

 dx 

t2  9
dt
2t 2

22



Gv : Lương Văn Huy - LTĐH Thanh Trì - HN - 0969141404 - Face : Lương Văn Huy
2
2
 t2  9    t2  9  t2  9
1 t 4  81
.
.
I1   
dt   
dt
2 
2
16
t5
 2t   2t
 4t





Vậy :





1  3 162 6561 
1  t4

6561 
  162 ln t  4   C
t


dt




5

16 
t
t 
16  4
4t 



1  x  x2  9
 
16 
4


  162 ln x 
4

x2  4  x  t 


b)Đặt :



x

x2  9 


C
4 
4 x  x2  9 

t2  4
2t

 dx 

t2  4
dt
2t 2



t



t2  4 t2  4 t2  4

.
.
I  16 
2 
2
 2t   2t
 4t

2

dt   

4

6561







2

 16
dt
t5

t4
36 256 

64 

   t 3 
 5 dt     36 ln t  4   C
t
t 
t 

4



 x  x2  4
 

4




4


C
 36 ln x  x  4 
4 
x  x2  4 
64

2






5.Tính các tích phân sau :
1

8

a) I1   x  x 2 dx

b) I 2 

1
2

x

3

dx
dx
1 x

Bài làm :
1

a) I1  
1

2

1

1
2
x  x dx   1  2 x  1 dx
21
2

2

Đặt : 2 x  1  sin t

 dx 

1
cos tdt
2

1

 x  2  t  0
Đổi cận : 
x  1  t  

2







12
12
1 1
2
Vậy : I1   cos 2 tdt   1  cos 2t dt  1  sin 2t 
40
80
8 2
0



 
1  

  0   0  0  

8  2

 16

b) Đặt : t  1  x



 2tdt  dx


23


Gv : Lương Văn Huy - LTĐH Thanh Trì - HN - 0969141404 - Face : Lương Văn Huy
 x  3  t  2
Đổi cận : 
 x  8  t  3
8

3

3

dx
tdt
dt
Vậy : I 2  
dx  2
 2
2
1 t t
1 t 2
3 x 1  x
2
2






3

t 1
 1

  ln
  ln  ln 1  ln 2
t 1 2
 2


6.Bạn đọc tự làm :
dx
a) I1  
x x2  1

b) I 2   4 x  x 2 dx

d) I 4   1  x 2 dx

d) I 5  

1  x2 1
1  x2 1

c) I 3  
dx

d) I 6 


dx

x

2

4



3

1
1  x2  1

dx

V-Bất đẳng thức tích phân : ( Đọc thêm
b

Nếu f  x   0 x a, b    f  x dx  0
a

b

b

Nếu f  x   g  x  x a, b    f  x dx   g x dx
a


a

b

Nếu m  f  x   x a , b   mb  a    f  x dx  M b  a 
a

Trong các trường hợp nầy ta thường dùng khảo sát , Bunhiacopxki, AM-GM
Và các bước chặn sinx,cosx
BÀI TẬP
1.Chứng minh các bất đẳng thức sau :
1
2
1
2
x
1
a)  x1  x dx 
b)   2 dx 
4
5 1 x 1
2
0

1






c)  1  x  1  x dx  2
0

Bài làm:
a)Áp dụng AM-GM ta có :
2

1
 x  1  x 
x1  x   

x  0,1

2
4


1
1
1
1
Vậy :  x1  x dx   dx 
(đpcm)
40
4
0

b) Xét hàm số : f  x  

x

x  1,2
x 1
2

Đạo hàm :
24


Gv : Lương Văn Huy - LTĐH Thanh Trì - HN - 0969141404 - Face : Lương Văn Huy
1  x2
f  x  
2
x2  1





x  1
f  x   0  
 x  1
1

 f 1  2
Ta có : 
 f 2   2

5
2
x

1
 2

x  1,2
5 x 1 2
2
2
2
2
x
1
Vậy :   dx   2
dx   dx
51
x 1
21
1
2

2
x
1
  2
dx 
5 1 x 1
2
Áp dụng Bunhicopxki ta có :
1  x  1  x  12  12 1  x  1  x  2 x  0,1
1




Vậy :



1  x  1  x dx  21  0 

0

1





1  x  1  x dx  2 (đpcm)

0

3

2.Chứng minh rằng :

e  x . sin x

1 x 2  1 dx  12e

Bài làm :


 

x  1, 3



  x  1  e  x 

e  x . sin x
1

2
2
x 1
e x 1



3

Xét

 ex
1

1
2

1
e


3





e  x . sin x
1 x 2  1 dx 

3

 ex
1

1
2

 dx

1

 dx

1






Đặt : x  tan t  dx  tan 2 t  1 dt


 x  1  t  4
Đổi cận : 
x  3  t  

3

3


3

tan t  1dt  dt  
Do đó : 
etan t  1  e 12
2

2


4


4

Từ đó ta được đpcm.
25