- Trang chủ >>
- Đề thi >>
- Đề thi lớp 11
ITOT 2016đề mẫu A toán quốc tế
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (188.52 KB, 2 trang )
CU�C THI TOÁN QU�C T� GI�A CÁC THÀNH PH� L�N TH� 37
Kh�i Trung h�c Ph� thông c�p đ� A, Mùa thu 2015.
Hà N�i, ngày 25/10/2015
(K�t qu� đư�c tính b�ng t�ng đi�m c�a ba bài có đi�m cao nh�t, đi�m c�a bài có nhi�u ý b�ng
t�ng đi�m c�a các ý thành ph�n.)
đi�m đ� bài
1.
M�t c�p s� nhân g�m 37 s� nguyên dương. Bi�t r�ng, s� h�ng đ�u và s� h�ng
cu�i c�a c�p s� nguyên t� cùng nhau. Ch�ng minh r�ng s� h�ng th� 19 c�a c�p
s� là lũy th�a b�c 18 c�a m�t s� nguyên dương.
2.
M�t b�ng k� ô vuông kích thư�c 10 × 10 đư�c chia b�i 80 đo�n th�ng đ� dài đơn
v� thành 20 đa giác v�i di�n tích b�ng nhau (các đo�n th�ng n�m trên đư�ng k�
và không n�m trên c�nh ngoài c�a b�ng vuông). Ch�ng minh r�ng t�t c� 20 đa
giác là b�ng nhau.
3.
Cho m�t đa th�c khác h�ng s� v�i các h� s� là các s� nguyên có giá tr� tuy�t đ�i
không vư�t quá 2015. Ch�ng minh r�ng các nghi�m dương c�a đa th�c đ�u l�n
hơn 1/2016.
4.
Cho t� giác n�i ti�p ABCD v�i K và N là trung đi�m c�a các đư�ng chéo AC
và BD. Các đư�ng kéo dài c�a các c�p c�nh đ�i c�t nhau t�i hai đi�m P và Q.
Ch�ng minh r�ng ∠P KQ + ∠P N Q = 180◦ .
3
6
6
7
5.
2
6
Trên b�ng đen cho trư�c m�t s� s� th�c phân bi�t. Peter mu�n vi�t m�t bi�u
th�c có t�p giá tr� là t�p các s� trên b�ng. Peter có th� s� d�ng các s� th�c b�t
kỳ kèm theo d�u ngo�c và các phép toán +, −, ×. Peter cũng có th� s� d�ng
phép toán đ�c bi�t ± đ� kí hi�u phép + ho�c −. Ví d�, bi�u th�c 5 ± 1 có t�p
giá tr� là {4, 6}, và bi�u th�c (2 ± 0,5) ± 0,5 có t�p giá tr� là {1, 2, 3}. H�i Peter
có th� vi�t đư�c bi�u th�c đó hay không n�u:
a) các s� trên b�ng là 1, 2, 4;
b) các s� trên b�ng là 100 s� th�c phân bi�t b�t kỳ?
6.
6
6
a)
b)
7.
12
Basil có m�t qu� dưa h�u là m�t hình c�u đư�ng kính 20cm. S� d�ng m�t con
dao dài, Basil th�c hi�n ba nhát c�t đôi m�t vuông góc v�i nhau. Bi�t r�ng m�i
nhát c�t có đ� sâu h (nhát c�t t�o ra m�t cung tròn v�i đ� cao h trên m�t ph�ng
c�t). H�i có ph�i qu� dưa h�u luôn đư�c chia thành ít nh�t hai ph�n r�i nhau
n�u
h = 17 cm;
h = 18 cm?
Có N b�n h�c sinh đ�ng x�p thành m�t hàng th�ng. Bi�t r�ng, trong s� đó không
có hai b�n nào có cùng chi�u cao. Ta đư�c phép th�c hi�n m�t s� l�n chuy�n ch�
c�a các b�n h�c sinh như sau. M�i l�n chuy�n ch�, trư�c h�t các b�n h�c sinh
đư�c chia thành các nhóm v�i chi�u cao tăng d�n t� trái qua ph�i (m�t nhóm có
th� g�m m�t b�n) sao cho s� nhóm là ít nh�t. Sau đó, th� t� c�a các b�n trong
m�i nhóm đư�c đ�o ngư�c, có nghĩa là trong m�i nhóm, các b�n s� đ�ng theo
chi�u cao gi�m d�n t� trái qua ph�i. Ch�ng minh r�ng sau N − 1 l�n chuy�n ch�
như v�y, các b�n h�c sinh s� đ�ng theo chi�u cao gi�m d�n t� trái qua ph�i.
INTERNATIONAL MATHEMATICS TOURNAMENT OF TOWNS
Senior A-Level Paper, Fall 2015.
Hanoi, 25/10/2015
(The result is computed from the three problems with the highest scores, the scores for the
individual parts of a single problem are summed up.)
points
problems
1.
A geometrical progression consists of 37 positive integers. The first and the last
terms are relatively prime numbers. Prove that the 19th term of the progression
is the 18th power of a positive integer.
2.
A 10 × 10 grid square is split by 80 unit grid segments (lying inside the square)
into 20 polygons of equal area. Prove that all these polygons are congruent.
3.
Each coefficient of a non-constant polynomial is an integer of absolute value not
exceeding 2015. Prove that every positive root of this polynomial is greater than
1/2016.
4.
Suppose that a quadrilateral ABCD is cyclic. Let extensions of the opposite
sides intersect at points P and Q, and let K and N be the midpoints of the
diagonals. Prove that ∠P KQ + ∠P N Q = 180◦ .
5.
Several distinct real numbers are written on a blackboard. Peter wants to make
an expression such that its values are exactly these numbers. To make such an
expression, he may use any real numbers, brackets, and usual signs +, − and
×. He may also use a special sign ±: computing the values of the resulting
expression, he chooses values + or − for every ± in all possible combinations.
For instance, the expression 5 ± 1 results in {4, 6}, and (2 ± 0.5) ± 0.5 results in
{1, 2, 3}. Can Pete construct such an expression:
if the numbers on the blackboard are 1, 2, 4;
for any collection of 100 distinct real numbers on a blackboard?
3
6
6
7
2
6
a)
b)
6.
6
6
a)
b)
7.
12
Basil has a watermelon in a shape of a ball with diameter 20 cm. Using a long
knife, Basil makes three pairwise perpendicular cuts, each cut is of depth h (a
cut produces a circular segment with height h in the plane of the cut) . Does it
necessarily follow that the watermelon is divided into two or more pieces if
h = 17 cm;
h = 18 cm?
N children, no two of the same height, stand in a line in some order. The following
two-step procedure is applied repeatedly: firstly, the line is split into the least
possible number of groups so that in each group all children are arranged from the
left to the right in ascending order of the height (a group may consist of a single
child). Secondly, the order of children in each group is changed to the opposite
one (so now in each group the children stand in descending order). Prove that
after N − 1 rearrangements the children in the line will stand in descending order
from the left to the right.
