- Trang chủ >>
- Đề thi >>
- Đề thi lớp 11
huong giai de thi hoc sinh gioi tinh binh dinh tham khao
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (121.84 KB, 2 trang )
HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN LỚP 11 TỈNH BÌNH ĐỊNH
( Khóa ngày 18 - 3 – 2017)
Lê Quang Dũng – Trường THPT số 2 Phù Cát
Bài 1 : (6 điểm)
2
a) Giải phương trình : tan x +
b) Chứng minh rằng :
1
π
= 2sin 2 ( x + ) + 1
2
sin x
4
Cn1 + Cn2 + L + Cnn ≤ n(2n − 1)
Hướng dẫn giải
a) Điều kiện : sin x ≠ 0
1
1
π
+ 2 = 2sin 2 ( x + ) + 2
Biến đổi :
2
cos x sin x
4
π
(t + 1)t 2 2t 2
2
t
+
1
=
2sin
(
x
+
),
−
1
≤
t
≤
1
Đặt
, phương trình :
+
= 1 t 3 + 3t 2 − 4 = 0 t=1
4
4
4
π
π
2
Khi đó : sin ( x + ) = 1 x = + kπ , k ∈ Z
4
4
b) Ta có
Cn1 + Cn2 + L + Cnn ≤ n Cn1 + Cn2 + L + Cnn ( Cauchy –Schwarz)
1
2
n
n
0
n
Mà Cn + Cn + L + Cn = 2 − Cn = 2 − 1 nên
Cn1 + Cn2 + L + Cnn ≤ n(2n − 1)
x1 = 1
,n∈ N*
Bài 2 : ( 3 điểm ) Cho dãy số : {xn } xác định bởi
(2 xn + 1) 2
+ xn
xn +1 =
2
n
2 xi + 1
u
=
Đặt n ∑
, Tính lim un
i =1 2 xi +1 + 1
Hướng dẫn giải
n
n
n
2 xi + 1
2 xi + 1
1
=∑
=∑
Ta có : un = ∑
i =1 2 xi +1 + 1
i =1 (2 xi + 1) + 2 xi + 1
i =1 (2 xi + 1) + 1
(2 xn + 1) 2
2
+ xn 2 xn +1 + 1 = (2 xn + 1) + (2 xn + 1) , Đặt vn = 2 xn + 1 , ta có
2
v1 = 3
n ∈ N * , Giả sử a = lim vn ≥ 3 là hữu hạn => a = a 2 + a => a = 0 vô lý nên
2
vn +1 = vn + vn
1
1
1 1
1
= −
lim vn = +∞ ,Khi đó : un = −
=> lim un =
v 1 vn +1 3 vn +1
3
xn +1 =
Bài 3 : ( 4 điểm ) Từ tập hợp các số tự nhiên có 5 chữ số khác 0 , lấy ngẫu nhiên một số . Tính
xác suất để số tự nhiên được lấy ra được tạo bởi đúng 3 chữ số khác nhau .
Giải :
Số có 5 chữ số : n(Ω) = 95 ,Gọi A là biến cố “ số được chọn có đúng 3 chữ số khác nhau”:
C 3 .5!
C 3 .5! 1120
,Xác suất cần tìm là : p ( A) = 84 =
n( A) = 9 8
2!
9 .2! 2187
Bài 4 : Cho tam giác ABC , có ba góc nhọn ,(AB
tròn ngoại tiếp tam giác APD với CA, AB , Chứng minh rằng :
a) Các đường thẳng AD,BM,CN đồng quy .
2
2
2
b) cos A + cos B + cos C = 1 −
S ∆DEF
S∆ABC
Hướng dẫn giải
MA cot C
=
A
a) Ta có : DB=ADcotB , DC=ADcotC=> MC
cot
2
NA cot C
A
=
A
MC = PM.cotC; MA = PM.cot => NB
cot
2
2
A
A
cot
NA
NA = PN.cot ; NB = PN.cotB =>
2
=
2
NB cot B
DA MC NA
.
.
= 1 ( xe-va)
Khi đó :
DC MA NB
S
S
SVAEF
= cos 2 A , VCDF = cos 2 B , VCDE = cos 2 A
SVABC
SVABC
SVABC
S
S
S
cos 2 A + cos 2 B + cos 2 C = VAEF + VCDE = 1 − ∆DEF
SVABC SVABC
SVABC
b) Ta có :
Bài 5 : Cho hình chóp SABCD , có đáy ABCD là hình bình hành , M là trung điểm SC , (P)
4 SB ' SD ' 3
+
≤
chứa AM cắt SB,SD lần lượt tại B’,D’ khác C , Chứng minh rằng : ≤
3 SB SD 2
Giải :
SI 2
=
Gọi O là giao điểm của AC,DB và I là giao điểm của AM, SO :Khi đó :
SO 3
S ∆SB ' D ' 1 SB ' SD '
=
+
Xét tam giác SBD :
÷,
S ∆SBD 3 SB SD
2
1
4 SB ' SD ' 3
S∆SBD ≤ S ∆SB ' D ' ≤ S ∆SBD => ≤
+
≤
3
2
3 SB SD 2
