BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

KHOA TOÁN

Dương Thị Trang

PHÉP NGHỊCH ĐẢO VÀ ỨNG DỤNG

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Hà Nội – Năm 2016


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

KHOA TOÁN

Dương Thị Trang

PHÉP NGHỊCH ĐẢO VÀ ỨNG DỤNG

Chuyên ngành: Hình học

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
GS.TSKH. Nguyễn Năng Tâm

Hà Nội – Năm 2016

Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Dương Thị Trang

Lời cảm ơn

Khóa luận tốt nghiệp của em được hoàn thành với sự giúp đỡ chỉ bảo
của các thầy cô trong tổ Hình học, trong Khoa Toán của trường ĐHSP
Hà Nội 2.
Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đối với thầy giáo Nguyễn Năng
Tâm, người đã tận tình hướng dẫn em trong suốt thời gian qua để em
hoàn thành được khóa luận này.
Do trình độ và thời gian nghiên cứu còn hạn chế nên những vấn đề mà
em trình bày trong khóa luận sẽ không tránh khỏi những thiếu sót.Em
kính mong nhận được sự chỉ bảo và đóng góp ý kiến của các thầy giáo,
cô giáo, các bạn sinh viên để khóa luận của em được hoàn thiện hơn.
Em xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, ngày 04 tháng 05 năm 2016
Sinh viên
Dương Thị Trang

i


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Dương Thị Trang


Lời cam đoan

Khóa luận tốt nghiệp này là kết quả của quá trình học tập, nghiên cứu
của em dưới sự chỉ bảo, dìu dắt của các thầy cô giáo, đặc biệt là sự
hướng dẫn nhiệt tình của thầy Nguyễn Năng Tâm.
Vì vậy, khóa luận tốt nghiệp với đề tài:”PHÉP NGHỊCH ĐẢO VÀ
ỨNG DỤNG” không có sự trùng lặp với các khóa luận khác.
Nếu sai em xin hoàn toàn chịu trách nhiệm.
Hà Nội, ngày 04 tháng 05 năm 2015
Sinh viên
Dương Thị Trang

ii


Mục lục

Lời Mở Đầu

1

1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

4

1.1

Không gian Ơclit E n . . . . . . . . . . . . . . . . . . .


4

1.2

Các khái niệm về phép biến hình . . . . . . . . . . . .

5

1.2.1

Định nghĩa phép biến hình. . . . . . . . . . . .

5

1.2.2

Định lí . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.2.3

Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

2 PHÉP NGHỊCH ĐẢO
2.1

2.2


2.3

7

Không gian bảo giác . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

2.1.1

Phép nghịch đảo . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

Các tính chất. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

2.2.1

Tính chất 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

2.2.2

Tính chất 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8


2.2.3

Tính chất 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

2.2.4

Tính chất 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

2.2.5

Tính chất 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

Các định lí . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

iii


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Dương Thị Trang


2.3.1

Định lí 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

2.3.2

Định lí 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

2.3.3

Định lí 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13

2.3.4

Định lí 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13

2.3.5

Định lí 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

14


2.3.6

Định lí 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

16

2.3.7

Định lí 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

17

2.3.8

Định lí 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

18

2.3.9

Định lí 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

19

2.3.10 Định lí 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

19

3 MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA PHÉP NGHỊCH ĐẢO. 21
3.1


3.2

3.3

3.4

Phép nghịch đảo trong bài toán chứng minh. . . . . . .

21

3.1.1

Bài toán chứng minh. . . . . . . . . . . . . . . .

21

3.1.2

Phương pháp chung. . . . . . . . . . . . . . . .

22

3.1.3

Các ví dụ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

22

Phép nghịch đảo trong bài toán dựng hình. . . . . . . .


27

3.2.1

Bài toán dựng hình. . . . . . . . . . . . . . . .

27

3.2.2

Phương pháp chung. . . . . . . . . . . . . . . .

27

3.2.3

Các ví dụ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

28

Phép nghịch đảo trong bài toán quỹ tích. . . . . . . . .

36

3.3.1

Bài toán quỹ tích. . . . . . . . . . . . . . . . . .

36


3.3.2

Phương pháp chung. . . . . . . . . . . . . . . .

36

3.3.3

Các ví dụ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

36

Phép nghịch đảo trong bài toán tính toán. . . . . . . .

42

iv


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Dương Thị Trang

3.4.1

Bài toán tính toán. . . . . . . . . . . . . . . . .

42


3.4.2

Phương pháp chung. . . . . . . . . . . . . . . .

43

3.4.3

Các ví dụ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

43

Kết Luận

48

Tài Liệu Tham Khảo

49

v


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Dương Thị Trang

LỜI MỞ ĐẦU
1.Lí do chọn đề tài.
Hình học là môn học hấp dẫn thu hút nhiều học sinh yêu toán.

Việc giải các bài tập, tìm ra nhiều cách giải trong đó có nhiều cách
giải hay, độc đáo sẽ phát huy tính sáng tạo, niềm say mê đối với môn
hình học. Với mỗi bài tập có thể có nhiều phương pháp giải: phương
pháp tổng hợp, phương pháp vectơ, phép biến hình.
Trong chương trình toán phổ thông học sinh được học các phép
biến hình: đối xứng trục, đối xứng tâm, phép quay, phép vị tự. Trong
nhiều trường hợp phép biến hình là công cụ hữu hiệu để giải hợp lí và
ngắn gọn các bài toán của hình học phẳng như bài toán chứng minh,
bài toán quỹ tích, bài toán dựng hình, bài toán tính toán.
Phép nghịch đảo là một trong các phép biến hình không được dạy
trong chương trình phổ thông mà chỉ được đề cập cho học sinh các
lớp chuyên. Do phép nghịch đảo có một số tính chất đặc biệt như khả
năng biến đường tròn thành đường thẳng và ngược lại nên nó có nhiều
ứng dụng trong việc giải một số lớp bài toán hình học. Sử dụng phép
nghịch đảo có thể giúp chúng ta tìm được lời giải hay, ngắn gọn của
bài toán hình học.
Yêu thích hình học, yêu thích phép biến hình đặc biệt là phép
nghịch đảo nên em đã chọn đề tài:”Phép nghịch đảo và ứng dụng” để
thực hiện khóa luận tốt nghiệp Đại học.

1


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Dương Thị Trang

2. Mục đích, nhiệm vụ nghiên cứu.
- Nghiên cứu các kiến thức cơ bản của phép nghịch đảo và ứng
dụng của nó trong việc giải bài toán quỹ tích.

- Xây dựng hệ thống ví dụ minh họa và bài tập tự luyện thể hiện
việc sử dụng phương pháp biến hình vào giải bài toán quỹ tích.

3. Đối tượng, phạm vi nghiên cứu.
- Đối tượng nghiên cứu: phép nghịch đảo.
- Phạm vi nghiên cứu: ứng dụng của phép nghịch đảo trong việc
giải các bài toán chứng minh, quỹ tích, dựng hình, bài toán tính toán.

4. Phương pháp nghiên cứu.
Nghiên cứu sách giáo trình, bài giảng chuyên đề, các tài liệu tham
khảo có liên quan.

5. Cấu trúc khóa luận.
Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo, khóa luận gồm
3 chương:
Chương 1: Kiến thức chuẩn bị
Chương 2: Phép nghịch đảo
Chương 3: Một số ứng dụng của phép nghịch đảo
Trong xuốt quá trình nghiên cứu em đã nhận được sự giúp đỡ tận
tình của thầy giáo Nguyễn Năng Tâm, các thầy cô trong tổ Hình học
em đã hoàn thành khóa luận này. Một lần nữa em xin bày tỏ lòng biết

2


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Dương Thị Trang

ơn sâu sắc tới các thầy, các cô.

Em rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến quý báu của các thầy
cô và các bạn sinh viên để đề tài này được hoàn thiện hơn.
Em xin chân thành cảm ơn!

3


Chương 1
KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
Trong chương này, chúng ta trình bày một số kiến thức để chuẩn bị
cho chương sau.Những kiến thức này chủ yếu lấy từ tài liệu Hình học
afin và hình học Ơclit của Văn Như Cương-Tạ Mân và Các phép biến
hình trong mặt phẳng của Nguyễn Mộng Hy.

1.1

Không gian Ơclit E n

Không gian Ơclit là không gian afin liên kết với không gian vectơ
Ơclit hữu hạn chiều.
Không gian Ơclit gọi là n -chiều nếu không gian vectơ Ơclit liên
kết với nó có chiều bằng n.
Không gian Ơclit n -chiều thường được kí hiệu là E n ,không gian
→
−
vectơ Ơclit n -chiều liên kết với nó được kí hiệu là E n .
Ví dụ:
- Mỗi không gian vectơ Ơclit hữu hạn chiều với cấu trúc afin chính
tắc là một không gian Ơclit , chẳng hạn như Rn .
- Các không gian afin thực n-chiều đều có thể trở thành không gian

4


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Dương Thị Trang

Ơlit n-chiều bằng cách trang bị một tích vô hướng cho không gian
vectơ liên kết với không gian afin đã cho.
−
Khoảng cách giữa hai điểm p,q thuộc E n là →
pq .
Mục tiêu afin trong E n là họ (O−
,→
e1 , ..., −
,→
en ), O ∈ E n là gốc tọa độ,
→
−
−
(→
e , ..., −
,→
e ) là một cơ sở của E n .
1

n

Điểm p ∈ E n có tọa độ (x1 , ..., xn ) đối với mục tiêu đó có nghĩa là
n

→
−
−
op =
xi →
ei hay còn viết [p] = (x1 , ..., xn ) . Các hàm số x1 , ..., xn trên
i=1
−
E n đó gọi là các 
hàm tọa độ. Khi cơ sở (→
e1 , ...−
,→
en ) là hệ trực chuẩn,
 0 nếu i = j
→
−
→
−
tức ei . ej = δij =
(i, j = 1,2,3,...,n)
 1 nếu i = j
thì ta được hệ tọa độ Descartes vuông góc. Khi đó nếu p có tọa độ
n

(x1 , ..., xn ) , q có tọa độ (y1 , ..., yn ) thì khoảng cách p, q là:

(yi − xi )2

i=1


.
Sau khi chọn một hệ tọa độ Đề các vuông góc trong E n thì có thể
đồng nhất E n với Rn với công thức khoảng cách vừa viết.

1.2
1.2.1

Các khái niệm về phép biến hình
Định nghĩa phép biến hình.

Mỗi song ánh f : E n → E n được gọi là phép biến hình của không gian
En .
Như vậy, cho một phép biến hình f : E n → E n là cho một quy tắc
để với bất kì điểm M ∈ E n , ta tìm được một điểm M’= f (M ) hoàn
toàn xác định thỏa mãn hai điều kiện sau đây:
- Nếu M, N là hai điểm phân biệt của E n thì f (M ) , f (N ) là hai
5


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Dương Thị Trang

điểm phân biệt của E n .
- Với mỗi điểm M’∈ E n bao giờ cũng có một điểm M ∈ E n sao cho
f (M ) =M’.
Điểm f (M ) được gọi là ảnh của điểm M qua phép biến hình f .
Ngược lại, điểm M được gọi là tạo ảnh của điểm f (M ) qua phép biến
hình f nói trên .
Người ta nói, phép biến hình f biến điểm M thành điểm f (M ) và

ta có: f (M ) = M .
Điểm M được gọi là điểm bất động của phép biến hình f nếu
f (M ) = M .
Phép biến hình f được gọi là phép đồng nhất nếu mọi điểm M ∈ E n
đều là điểm bất động của f , kí hiệu là: e.
1.2.2

Định lí

Tập hợp tất cả các phép biến hình của E n với phép nhân ánh xạ lập
thành một nhóm gọi là nhóm các phép biến hình cuả E n .
1.2.3

Định nghĩa

Phép biến hình f : E n → E n mà f ◦ f = idE n được gọi là phép biến
hình đối hợp.
Ví dụ: phép đối xứng tâm (phép đối xứng tâm O trong E n là phép
−−→
−−→
biến hình biến điểm M thành điếm M’ sao cho OM = −OM .

6


Chương 2
PHÉP NGHỊCH ĐẢO
Chương này trình bày một số nội dung về phép nghịch đảo. Những
kiến thức này chủ yếu được tham khảo từ tài liệu Các phép biến hình
trong mặt phẳng của Nguyễn Mộng Hy.


2.1

Không gian bảo giác

Không gian E n bổ sung phần tử ∞ ( điểm vô cực) gọi là không gian
bảo giác B n .
Quy ước: Trong không gian B n mọi đường thẳng, mặt phẳng đều
đi qua {∞} .
2.1.1

Phép nghịch đảo

.
Trong không gian bảo giác B n cho điểm O cố định và số thực k = 0
.Phép biến hình của B n cho ứng mỗi điểm M với điểm M’ được xác
định như sau:
+, Nếu M ≡ O thì M ≡ ∞
7


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Dương Thị Trang

+, Nếu M ≡ ∞ thì M ≡ O
−−→ −−→
+, Nếu M ∈
/ {O, ∞} ⇒ M nằm trên OM và OM .OM = k được
gọi là phép nghịch đảo cực O, phương tích k.

Kí hiệu: NOk hoặc N (O, k) .

2.2
2.2.1

Các tính chất.
Tính chất 1

NOk là phép biến đổi đối hợp.
Thật vậy, với ∀M ta có:
NOk (M ) = M ⇔ OM .OM = k ⇔ OM .OM = k ⇔ NOk (M ) = M
hay (NOk ◦ NOk )(M ) = NOk (NOk (M )) = NOk (M ) = M.
2.2.2

Tính chất 2

Nếu NOk (M ) = M thì O, M, M’ thẳng hàng.
Hiển nhiên theo định nghĩa.
2.2.3

Tính chất 3

Nếu M, O, N không thẳng hàng và NOk (M ) = M , NOk (N ) = N thì
M, N, M’, N’ cùng thuộc một đường tròn.

8


Khóa luận tốt nghiệp Đại học


Dương Thị Trang

Hình 1
Thật vậy, vì NOk (M ) = M , NOk (N ) = N nên ta có OM .OM =
ON .ON = k.
⇒ bốn điểm M, N, M’, N’ cùng thuộc một đường tròn.
2.2.4

Tính chất 4

- Nếu phương tích nghịch đảo k < 0 thì phép nghịch đảo không có
điểm bất động.
- Nếu phương tích nghịch đảo k>0 thì phép nghịch đảo có tập các
√
điểm bất động là siêu cầu tâm O , bán kính k (gọi là siêu cầu nghịch
đảo).
Thật vậy:
Điểm M bất động qua phép nghịch đảo NOk ⇔ NOk (M ) = M ⇔
OM 2 = k
+, Nếu k < 0 thì không có điểm bất động nào.
√
+, Nếu k > 0 thì M ∈ O, k

9


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

2.2.5


Dương Thị Trang

Tính chất 5

Mọi siêu cầu có tính chất phương tích của cực nghịch đảo đối với nó
bằng phương tích nghịch đảo là siêu cầu kép.
Thật vậy:
Xét phép nghịch đảo NOk .
Giả sử (C) là siêu cầu thỏa mãn tính chất: phương tích của cực nghịch
đảo đối với nó bằng phương tích nghịch đảo. Nghĩa là PO/(C) = k Với
M bất kì trên (C) ta có NOk (M ) = M ⇔ OM .OM = k = PO/(C)
Suy ra M ∈ (C) .Vậy (C) là siêu cầu kép.
Chú ý: Mọi phép nghịch đảo NOk đều có thể phân tích thành tích của
phép nghịch đảo NO−k và phép đối xứng tâm O.

2.3
2.3.1

Các định lí
Định lí 1

Cho phép nghịch đảo NOk , k > 0 của không gian B n . Hai điểm M, M’
tương ứng với nhau qua phép nghịch đảo NOk khi và chỉ khi qua M và
M’ có n siêu cầu trực giao với siêu cầu nghịch đảo.
Chứng minh:

10


Khóa luận tốt nghiệp Đại học


Dương Thị Trang

Hình 2
Ta chứng minh định lí trong không gian B 2 , trong B 3 tiến hành
tương tự.
[⇒] Giả sử M và M’ tương ứng nhau qua phép nghịch đảo NOk , k > 0
của không gian B 2 . Ta phải chứng minh có hai đường tròn (C1 ), (C2 )
√
trực giao với siêu cầu nghịch đảo (C) = O, k .
Gọi (C ) là đường tròn bất kì qua M, M’. Ta có PO/(C ) = OM .OM (1) .
Mặt khác: NOk (M ) = M ⇔ OM .OM = k (2) .
√
k
Từ (1) và (2) ta có: PO/(C ) = OM .OM =

2

⇒ (C ) trực giao với (C) .
Do qua M, M’ có vô số đường tròn nên có hai đường tròn (C1 ) , (C2 )
√
trực giao với siêu cầu nghịch đảo (C) = O, k .
[⇐] Giả sử có hai đường tròn qua M, M’ trực giao với siêu cầu nghịch
đảo là (C1 ) , (C2 ) .
Khi đó O nằm trên trục đẳng phương MM’ của (C1 ) , (C2 ), PO/(C1 ) =
√ 2
PO/(C2 ) = OM .OM =
k = k.
Suy ra M, M’ tương ứng nhau qua phép nghịch đảo NOk , k > 0 .


11


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

2.3.2

Dương Thị Trang

Định lí 2

Cho phép nghịch đảo N (O, k) với k > 0.Nếu có hai siêu cầu trực giao
với siêu cầu nghịch đảo với tâm O và cắt nhau tại M,M’ thì hai điểm
này là hai điểm tương ứng của phép nghịch đảo N (O, k) đã cho.
Chứng minh:

Hình 3
Ta chứng minh trong B 2 .Các không gian khác chứng minh tương
tự.
Giả sử hai đường tròn (C1 ) , (C2 ) trực giao với đường tròn nghịch
đảo (O) và chúng cắt nhau ở M và M’.
Trục đẳng phương MM’ của hai đường tròn (C1 ) và (C2 ) đi qua
tâm O của đường tròn nghịch đảo và điểm O nằm ngoài đoạn MM’ vì
O phải nằm ngoài hai đường tròn (C1 ) và (C2 ) . Đường tròn (O) trực
giao với (C1 ) và (C2 ) nên ta có:
√
k
P(O)/(C1 ) = P(O)/(C2 ) =

2


Do đó OM .OM = k là điều phải chứng minh.
12


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

2.3.3

Dương Thị Trang

Định lí 3

Tích của hai phép nghịch đảo cùng cực O là N (O, k) và N (O, k )
k
.
là phép vị tự tâm O,tỉ số
k
Chứng minh.
Xét điểm M ∈ E n bất kì.
Gọi M = N (M ) , M = N (M ). Khi đó ta có: OM .OM = k, OM .OM =
k
−−−→ k −−→
⇒ OM = OM hay M = V
k

O,

k
k


(M ) .

Do M bất kì trong không gian E n ⇒ N ◦ N = V
2.3.4

O,

k
k

Định lí 4

Nếu A’, B’ thứ tự là ảnh của A, B qua phép nghịch đảo N (O, k) thì
ta có:
AB
.
OA.OB
Chứng minh:

A B = |k| .

+, Nếu A, B, O thẳng hàng, ta có:

Hình 4
k
k
, OB =
OA
OB

k
k
⇒ A B = OB − OA =
−
OB OA
OA − OB
BA
= k.
=k
OA.OB
OA.OB
AB
⇒ A B = |k| .
.
OA.OB
OA =

13


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Dương Thị Trang

+, Nếu A, B, O không thẳng hàng.

Hình 5
Khi đó ta có: ABB’A’ là tứ giác nội tiếp ⇒ OAB ∼ OB A
AB
OA

⇒
=
AB
OB
OA .AB
OA.OA .AB
⇒AB =
=
OB
OA.OB
AB
= |k| .
.
OA.OB
Nếu qua phép nghịch đảo N (O, k), siêu cầu (C1 ) = (O1 , R1 ) biến
thành siêu cầu (C2 ) = (O2 , R2 ) thì:
R1
R1
R2 = |k| .
2
2 = |k| .
PO/(C1 )
OO1 − R1
Chứng minh: Gọi AB là đường kính của (C1 ) mà O ∈ AB và A’,
B’ thứ tự là ảnh của A, B qua N (O, k)
AB
⇒ (C2 ) = (A B ) và A B = |k| .
OA.OB
R1
⇒ R2 = |k| .

= |k| . P R1
| O/(C1 ) |
(OO1 + R) |OO1 − R|
2.3.5

Định lí 5

Phép nghịch đảo bảo tồn góc giữa hai đường cong nhưng làm ngược
hướng của hình.
Chứng minh:
Để chứng minh định lí 2.3.5 ta chứng minh bổ đề sau đây:
14


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Dương Thị Trang

Bổ đề: Trong không gian B n phép nghịch đảo NOk biến đường cong
(C) thành đường cong (C ) .Nếu A, A’ là hai điểm tương ứng trên
(C), (C ) và tại đó có các tiếp tuyến thì các tiếp tuyến này đối xứng
nhau qua đường trung trực của AA’.
Chứng minh bổ đề.

Hình 6
Lấy trên (C), (C ) hai điểm tương ứng M, M’ khá gần A và A’ sao
cho khoảng cách OM không bị triệt tiêu khi M dần đến A. Ta có A,
M, M’, A’ cùng thuộc một đường tròn (K) , khi M dần tới A thì M’
dần tới A’ và cát tuyến AM dần đến tiếp tuyến At , cát tuyến A’M’
dần đến tiếp tuyến A’t’, đường tròn (K) dần tới đường tròn (Ko ).

Khi M ≡ A thì At, A t cũng là các tiếp tuyến của đường tròn (Ko ),
do đó chúng đối xứng nhau qua đường trung trực của AA’ .
Chứng minh định lí.

15


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Dương Thị Trang

Hình 7
Giả sử có hai đường cong (C) và (D) cắt nhau ở A , qua NOk biến
thành hai đường cong tương ứng (C ), (D ) cắt nhau tại A = NOk (A).
Theo bổ đề trên thì các tiếp tuyến At và A’t’ đối xứng nhau qua đường
trung trực của AA’ , các tiếp tuyến Au và A’u’ cũng đối xứng nhau
qua đường trung trực của AA’. Theo tính chất phép đối xứng trục ta
có:
(At, Au) = − (A t , A u )
Do đó phép nghịch đảo bảo toàn góc giữa hai đường cong và làm
ngược hướng của hình.
2.3.6

Định lí 6

Phép nghịch đảo biến siêu phẳng đi qua cực nghịch đảo thành chính
nó.
Chứng minh:
Giả sử siêu phẳng (α) đi qua cực nghịch đảo O của phép nghịch đảo
NOk .Nếu A là điểm bất kì khác O và thuộc siêu phẳng, A = NOk (A)⇒

16


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Dương Thị Trang

A,O,A’ thẳng hàng ⇒ A ∈ (α)
2.3.7

Định lí 7

Phép nghịch đảo biến siêu phẳng không đi qua cực nghịch đảo thành
siêu cầu đi qua cực nghịch đảo, biến siêu cầu đi qua cực nghịch đảo
thành siêu phẳng không đi qua cực nghịch đảo.
Chứng minh:

Hình 8
Giả sử phép nghịch đảo N (O, k) trong E 3 , (α) là mặt phẳng
không đi qua O, H là hình chiếu của O lên (α) , H = N (H) , ∀M ∈
(α) , M = N (M ) khi đó tứ giác MHH’M’ nội tiếp. Do đó OM H =
90◦ ⇒ M ∈ (OH ) ( mặt cầu đường kính OH’ )
Ngược lại, nếu lấy điểm Q ∈ (OH ) , Q = N (Q ) , tứ giác HH’Q’Q
nội tiếp . OHQ = 90◦ .Do đó Q ∈ (α).
Tóm lại N [(α)] = (OH ) .
Do tính chất đối hợp của phép nghịch đảo nên phép nghịch đảo
biến mặt cầu đi qua cực nghịch đảo thành mặt phẳng không đi qua
17



Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Dương Thị Trang

cực nghịch đảo.
2.3.8

Định lí 8

Phép nghịch đảo biến siêu cầu không đi qua cực nghịch đảo thành
siêu cầu không đi qua cực nghịch đảo.
Chứng minh:

Hình 9
Giả sử trong E 3 cho phép nghịch đảo N (O, k) và mặt cầu (C )
tâm I không qua O , đường thẳng OI cắt (C ) tại A, B .
Gọi A = N (A) , B = N (B)
∀M ∈ (C ) , M = N (M ) ta có:
Tứ giác MBM’B’ nội tiếp ⇒ B1 = M1
Tứ giác MAM’A’ nội tiếp ⇒ A1 = M2
Do đó M1 + M2 = A1 + B1 = 90◦ ⇒ A M B = 90◦ ⇒ M ∈ (A B )
Ngược lại, lấy P ∈ (A’B’) chứng minh tương tự trên ta có: P =
N (P ) ∈ (C ).
Tóm lại N [(C )] = (A B ).

18