BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

KHOA TOÁN

Nguyễn Thị Xuân

PHÂN LOẠI
ĐA TẠP KHẢ VI MỘT CHIỀU

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Hà Nội – Năm 2016


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

KHOA TOÁN

Nguyễn Thị Xuân

PHÂN LOẠI
ĐA TẠP KHẢ VI MỘT CHIỀU

Chuyên ngành: Hình Học

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
TS. Nguyễn Tất Thắng

Hà Nội – Năm 2016


Lời cảm ơn

Để hoàn thành khóa luận này, trước hết em xin được bày tỏ lòng cảm ơn
sâu sắc đến các thầy cô giáo trong khoa Toán trường Đại học Sư phạm
Hà Nội 2 đã tạo điều kiện giúp đỡ và đóng góp ý kiến cho em trong suốt
thời gian học tập và nghiên cứu tại trường. Đặc biệt em xin chân thành
cảm ơn thầy giáo TS. Nguyễn Tất Thắng đã trực tiếp hướng dẫn và chỉ
bảo tận tình để em có thể hoàn thành khóa luận tốt nghiệp này.
Do lần đầu tiên làm quen với công tác nghiên cứu nên không thể tránh
khỏi những thiếu sót. Em rất mong nhận được sự giúp đỡ, đóng góp ý kiến
của các thầy cô và các bạn sinh viên để khóa luận của em được hoàn thiện
hơn. Một lần nữa em xin chân thành cảm ơn.
Hà Nội, ngày 03 tháng 05 năm 2016
Sinh viên
Nguyễn Thị Xuân

i


Lời cam đoan

Khóa luận của em được hoàn thành dưới sự hướng dẫn của thầy giáo TS.
Nguyễn Tất Thắng cùng với sự cố gắng của bản thân. Trong quá trình
nghiên cứu em có tham khảo các kết quả nghiên cứu của các nhà hoa học
với sự trân trọng và biết ơn.
Em xin khẳng định nội dung của đề tài này không có sự trùng lặp với các

đề tài khác. Nếu sai em xin chịu hoàn toàn trách nhiệm.
Hà Nội, ngày 03 tháng 05 năm 2016
Sinh viên
Nguyễn Thị Xuân

ii


Mục lục

Lời mở đầu

iv

1 Kiến thức chuẩn bị

1

1.1

Cấu trúc tuyến tính của Rn . . . . . . . . . . . . . . . .

1

1.2

Chuẩn trên Rn

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .


2

1.3

Khoảng cách trên Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

1.4

Sự tương đương của các chuẩn trên Rn . . . . . . . . . .

3

1.5

Sự hội tụ của dãy trong Rn

. . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.6

Hình cầu mở, hình cầu đóng, lân cận . . . . . . . . . . .

4

1.7


Tập đóng, tập mở . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.8

Các điểm đặc biệt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.9

Tập compact . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.10 Tập liên thông trong Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

2 Đa tạp khả vi
Phân loại đa tạp khả vi 1-chiều

10

2.1

Ánh xạ trơn và đa tạp trơn . . . . . . . . . . . . . . . .

10


2.2

Không gian tiếp xúc và ánh xạ vi phân . . . . . . . . . .

13

2.3

Phân loại đa tạp khả vi một chiều . . . . . . . . . . . . .

22

i


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Nguyễn Thị Xuân

3 Đường cong trong R3
3.1

3.2

3.3

3.4

3.5


26

Đường cong trong R3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

26

3.1.1

Cung tham số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

26

3.1.2

Cung trong R3

. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

27

3.1.3

Cung chính quy . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

28

3.1.4

Cung định hướng . . . . . . . . . . . . . . . . . .


28

3.1.5

Tiếp tuyến, pháp tuyến và pháp diện của cung . .

29

Độ dài cung và tham số hóa tự nhiên của một cung chính
quy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

30

3.2.1

Độ dài cung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

30

3.2.2

Tham số hóa tự nhiên của một cung . . . . . . .

33

Cung song chính quy. Mặt phẳng mật tiếp tại điểm song
chính quy của cung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

34


3.3.1

Cung song chính quy . . . . . . . . . . . . . . . .

34

3.3.2

Mặt phẳng mật tiếp, mặt phẳng trực đạc . . . . .

34

Độ cong của cung chính quy . . . . . . . . . . . . . . . .

35

3.4.1

Khái niệm độ cong . . . . . . . . . . . . . . . . .

35

3.4.2

Công thức tính độ cong của cung trong R3 . . . .

35

3.4.3


Cung thẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

36

Mục tiêu Frénet và độ xoắn của cung song chính quy trong
R3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

37

3.5.1

Mục tiêu Frénet . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

37

3.5.2

Độ xoắn và công thức Frénet của cung song chính
quy định hướng . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

ii

38


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

3.5.3
3.6


Nguyễn Thị Xuân

Cung phẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

39

Định lý cơ bản của lý thuyết đường trong R3 . . . . . . .

40

Tài liệu tham khảo

46

iii


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Nguyễn Thị Xuân

Lời mở đầu
1. Lý do chọn đề tài.
Hình học vi phân là môn học yêu thích của em. Các đa tạp khả vi là
đối tượng nghiên cứu chính trong chủ đề này. Một trong những bài toán
cơ bản là phân loại các đa tạp khả vi. Đây là vấn đề khó và lời giải khá
là thú vị. Vì vậy em đã chọn đề tài "Phân loại đa tạp khả vi một chiều"
làm khóa luận tốt nghiệp.


2. Mục đích nghiên cứu.
Tìm hiều sâu hơn về cấu trúc của các đa tạp khả vi.
Phân loại đa tạp khả vi một chiều.
Tìm hiểu đường cong trong R3 .

3. Đối tượng nghiên cứu.
Đa tạp khả vi trong Rn và chủ yếu là các đa tạp khả vi 1-chiều.

4. Nhiệm vụ nghiên cứu.
Phân loại đa tạp khả vi 1-chiều và nghiên cứu đường cong trong R3 .
5. Phương pháp nghiên cứu.
Đọc hiểu lý thuyết về đa tạp khả vi. Sử dụng lý thuyết cơ bản của
hình học vi phân để chứng minh sự đồng phôi của các đa tạp trơn.

6. Cấu trúc luận văn.
Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo khóa luận bao gồm
iv


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Nguyễn Thị Xuân

3 chương:
Chương 1: "Kiến thức chuẩn bị” trình bày lại một số kiến thức về cấu
trúc của không gian Rn và tôpô của Rn .
Chương 2. "Đa tạp khả vi và phân loại đa tạp khả vi 1-chiều" trình
bày về đa tạp khả vi (cấp vô hạn) và định lý chủ yếu của chương này là
Phân loại đa tạp khả vi một chiều.
Chương 3. "Đường cong trong R3 " trình bày một số lý thuyết về

đường cong trong R3 và chứng minh định lý cơ bản của lý thuyết đường
trong R3 .

v


Chương 1
Kiến thức chuẩn bị
Trong chương này, chúng ta trình bày lại một số kiến thức về cấu trúc
của không gian Rn và tôpô của Rn .

1.1

Cấu trúc tuyến tính của Rn

Kí hiệu
Rn = {x = (x1 , ..., xn ) : xi ∈ R, i = 1, ..., n} .
Đưa vào trong Rn phép toán cộng hai phần tử và nhân một phần tử với
một vô hướng được định nghĩa như sau: Nếu x = (x1 , ..., xn ) ,
y = (y1 , ..., yn ) ∈ Rn thì
x + y = (x1 + y1 , ..., xn + yn ) ,
λx = (λx1 , ..., λxn ) ,
trong đó λ ∈ R. Dễ thấy Rn với hai phép toán trên trở thành một
không gian vectơ thực n-chiều với cơ sở chính tắc là e1 = (1, 0, ..., 0),
e2 = (0, 1, 0, ...0), ..., en = (0, ..., 0, 1).
1


Khóa luận tốt nghiệp Đại học


1.2

Nguyễn Thị Xuân

Chuẩn trên Rn

Định nghĩa 1.1. Chuẩn trên Rn là một hàm ϕ : Rn → R thỏa mãn các
điều kiện sau: Với mọi x, y ∈ Rn và với mọi λ ∈ R,
1. ϕ (x) ≥ 0 và ϕ (x) = 0 ⇔ x = 0,
2. ϕ (λx) = |λ| ϕ (x),
3. ϕ (x + y) ≤ ϕ (x) + ϕ (y).
Ví dụ 1.2.1. Hàm trị tuyệt đối |.| là một chuẩn trên R.
Ví dụ 1.2.2. Hàm . : Rn → R cho bởi
n

x2i ,

x =
i=1

với x = (x1 , x2 , ..., xn ) ∈ Rn , là một chuẩn trên Rn . Chuẩn này được gọi
là chuẩn Euclide của Rn .

1.3

Khoảng cách trên Rn

Định nghĩa 1.2. Hàm ρ : Rn × Rn → R được gọi là khoảng cách (hay
mêtric) trên Rn nếu nó thỏa mãn các điều kiện sau: Với mọi x, y, z ∈ Rn ,
1. ρ (x, y) ≥ 0 và ρ (x, y) = 0 ⇔ x = y,

2. ρ (x, y) = ρ (y, x) (tính đối xứng),
3. ρ (x, z) ≤ ρ (x, y) + ρ (y, z) (bất đẳng thức tam giác).

2


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Nguyễn Thị Xuân

Định nghĩa 1.3. Giả sử ϕ : Rn → R là một chuẩn trên Rn . Khi đó dễ
kiểm tra hàm
ρ (x, y) = ϕ (x − y) ,
với mọi x, y ∈ Rn , xác định một khoảng cách trên Rn . Khoảng cách này
được gọi là khoảng cách sinh bởi chuẩn ϕ.

1.4

Sự tương đương của các chuẩn trên Rn

Định nghĩa 1.4. Hai chuẩn ϕ và ψ trên Rn được gọi là tương đương và
viết ϕ ∼ ψ nếu tồn tại các số dương C1 , C2 sao cho
C1 ψ (x) ≤ ϕ (x) ≤ C2 ψ (x) , ∀x ∈ Rn .
Nhận xét 1.1. Quan hệ ∼ là quan hệ tương đương.
Ta phát biểu định lý sau trong [4].
Định lý 1.1. Hai chuẩn bất kỳ trên Rn là tương đương.
Chứng minh. Xem [4].
Vì mọi chuẩn trên Rn là tương đương nên từ đây về sau ta sẽ sử dụng
kí hiệu . để chỉ cho một chuẩn tùy ý trên Rn .


3


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

1.5

Nguyễn Thị Xuân

Sự hội tụ của dãy trong Rn

Định nghĩa 1.5. Điểm a ∈ Rn được gọi là giới hạn của dãy xk ⊂ Rn
nếu với mọi ε > 0 tồn tại k (ε) sao cho ∀k > k (ε) ta có
xk − a < ε.
Khi đó ta nói dãy xk hội tụ đến a và viết lim xk = a hay xk → a khi
k→∞

k → ∞.
Ta có các nhận xét sau: Dãy xk = xk1 , ..., xkn , k = 1, 2, ... hội tụ đến
a = (a1 , ..., an ) khi và chỉ khi dãy xki ⊂ R hội tụ đến ai , i = 1, 2, ....
Như vậy sự hội tụ trong Rn là sự hội tụ theo tọa độ.

1.6

Hình cầu mở, hình cầu đóng, lân cận

Định nghĩa 1.6. Giả sử x0 ∈ Rn và r > 0.
1. Tập hợp
B x0 , r = x ∈ Rn : x − x0 < r
được gọi là hình cầu mở tâm x0 , bán kính r trong Rn .

2. Tập hợp
¯ x0 , r = x ∈ Rn : x − x0 ≤ r
B
được gọi là hình cầu đóng tâm x0 , bán kính r trong Rn .
Định nghĩa 1.7. Cho x0 ∈ Rn . Tập con U ⊂ Rn được gọi là một lân
cận của x0 nếu tồn tại r > 0 sao cho B x0 , r ⊂ U .
4


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Nguyễn Thị Xuân

Ta có các nhận xét
1. Nếu U là một lân cận của x0 thì mọi tập con của Rn chứa U đều là
lân cận của x0 .
2. Giao của hữu hạn và hợp của một họ tùy ý các lân cận của x0 cũng
là lân cận của x0 .
3. Với mọi lân cận U đều tồn tại lân cận V ⊂ U của x0 sao cho V là
lân cận của mọi y ∈ V .

1.7

Tập đóng, tập mở

Định nghĩa 1.8. Tập D ⊂ Rn được gọi là mở nếu D là lân cận của mọi
điểm của nó.
Kí hiệu họ tất cả các tập mở của Rn là τ . Khi đó
1. ∅, Rn ∈ τ ,
m


2. Di ∈ τ, i = 1, 2, ..., m ⇒

Di ∈ τ ,
i=1

3. Di ∈ τ, i ∈ I ⇒

Di ∈ τ .
i∈I

Không gian Rn khi đó trở thành một không gian tôpô với họ tập mở
τ.
Định nghĩa 1.9. Tập M ⊂ Rn được gọi là đóng nếu phần bù của nó là
mở.
Kí hiệu họ tất cả các tập đóng trong Rn là ζ. Khi đó
5


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Nguyễn Thị Xuân

1. ∅, Rn ∈ ζ,
2. Di ∈ ζ, i ∈ I ⇒

Di ∈ ζ,
i∈I
m


3. Di ∈ ζ, i = 1, 2, ..., m ⇒

Di ∈ ζ.
i=1

Mệnh đề 1.1. Cho A ⊂ Rn . Hai khẳng định sau là tương đương
1. A là đóng.
2. Nếu xk ⊂ A hội tụ đến x thì x ∈ A.

1.8

Các điểm đặc biệt

Định nghĩa 1.10. Cho A ⊂ Rn .
1. x được gọi là điểm trong của A nếu A là lân cận của x.
Tập tất cả các điểm trong của A được gọi là phần trong của A. Kí
hiệu Int (A) hay Ao .
2. x được gọi là điểm tụ của A nếu mọi lân cận U của x chứa ít nhất
một điểm của A khác x.
Tập tất cả các điểm tụ của A được gọi là tập dẫn xuất của A và
viết là A .
3. x được gọi là điểm cô lập của A nếu tồn tại lân cận U của x thỏa
mãn
U ∩ A = {x} .
4. x hoặc là điểm tụ hoặc là điểm cô lập của A sẽ được gọi là điểm
dính của A.
6


Khóa luận tốt nghiệp Đại học


Nguyễn Thị Xuân

Tập tất cả các điểm dính của A được gọi là bao đóng của A và kí
¯
hiệu là A.
5. x được gọi là điểm biên của A nếu U ∩ A = ∅ và U \A = ∅ với mọi
lân cận U của x.
Tập tất cả các điểm biên của A được gọi là biên A và kí hiệu là ∂A.

1.9

Tập compact

Định nghĩa 1.11. Tập A ⊂ Rn được gọi là tập compact nếu mọi dãy
trong a đều chứa một dãy con hội tụ đến một phần tử thuộc A.
Định lý 1.2. (Haussdorf) Tập A ⊂ Rn là compact khi và chỉ khi nó
đóng và bị chặn.
Định nghĩa 1.12. Giả sử A ⊂ Rn . Họ các tập (Ui )i∈I được gọi là một
phủ mở của A nếu
1. Ui là mở trong Rn , ∀i ∈ I,
2. A ⊂

Ui .
i∈I

Bổ đề 1.1. Trong Rn , mọi tập bị chặn có thể phủ bởi hữu hạn hình cầu
có bán kính nhỏ tùy ý.
Định lý 1.3. (Định lý Heine-Borel). Tập A ⊂ Rn là compact khi và chỉ
khi mọi phủ mở của A đều chứa một phủ con hữu hạn.


7


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

1.10

Nguyễn Thị Xuân

Tập liên thông trong Rn

Định nghĩa 1.13. Tập E ⊂ Rn được gọi là liên thông nếu không tồn
tại hai tập mở A và B của Rn sao cho
A ∩ B = ∅, A ∩ E = ∅, B ∩ E = ∅, E ⊂ A ∪ B.
Ví dụ 1.10.1. R là tập liên thông.
Mệnh đề 1.2. Tập E ⊂ R là liên thông nếu và chỉ nếu nó có tính chất
x ∈ E, y ∈ E, x < z < y ⇒ z ∈ E.
Chứng minh. Giả sử phản chứng z ∈
/ E. Khi đó ta có A = (−∞, z) và
B = (z, +∞) là hai tập mở không giao nhau trong R. Hơn nữa ta có,
A ∩ E = ∅, B ∩ E = ∅ và E ⊂ A ∪ B. Ta suy ra E không liên thông (mâu
thuẫn với giả thiết E là tập liên thông).
Vậy z ∈ E.
Định nghĩa 1.14. Tập E ∈ R gọi là liên thông đường nếu với mọi điểm
x, y thuộc E tồn tại một đường liên tục trong E nối x và y, tức là tồn
tại một ánh xạ liên tục
f : [0, 1] → E
sao cho f (0) = x, f (1) = y.
Mệnh đề 1.3. Tập E liên thông đường thì liên thông.

Chứng minh. Ta có [0, 1] là tập liên thông, f là ánh xạ liên tục nên
f ([0, 1]) là tập liên thông trong E. Tập liên thông này chứa x và y. Mà
8


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Nguyễn Thị Xuân

ta có hệ quả trong [5] là nếu với hai điểm bất kỳ x và y của một không
gian tôpô E đều tồn tại một tập liên thông chứa x và y thì E là một
không gian liên thông. Do đó, ta có E là liên thông.

9


Chương 2
Đa tạp khả vi
Phân loại đa tạp khả vi 1-chiều
Trong chương này chúng ta trình bày về đa tạp trơn, nhắc lại các khái
niệm của đa tạp trơn, ánh xạ trơn, không gian tiếp xúc, ánh vi phân và
định lý chính trong chương này là "Phân loại đa tạp khả vi 1-chiều".

2.1

Ánh xạ trơn và đa tạp trơn

Kí hiệu Rk là không gian Euclide k-chiều. Với mỗi x ∈ Rk , ta viết
x = (x1 , ..., xk ) trong đó xi ∈ R, i = 1, ..., k.
Định nghĩa 2.1. Cho U ⊂ Rk là một tập mở. Ánh xạ f : U → Rl

được gọi là trơn nếu tất cả các đạo hàm từng phần

∂ n fi
∂xi1 ...∂xin

của fi tại

x = (x1 , ..., xk ) ∈ U tồn tại và liên tục.
Định nghĩa 2.2. Cho X ⊂ Rk , Y ⊂ Rl . Ánh xạ f : X → Y được gọi là
trơn nếu với mọi x ∈ X, tồn tại một tập mở U ⊂ Rk chứa x và một ánh
xạ trơn F : U → Rl trùng với f trên U ∩ X.
10


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Nguyễn Thị Xuân

Tính chất 2.1.1. Cho X ⊂ Rk , Y ⊂ Rl , Z ⊂ Rm . Nếu các ánh xạ
f : X → Y và g : Y → Z là trơn thì g ◦ f : X → Z cũng là trơn.
Chứng minh. Với mọi x ∈ X, do f : X → Y là trơn nên tồn tại tập mở
U ⊂ Rk chứa x và ánh xạ trơn
F : U → Rl
trùng với f trên U ∩ X. Với f (x) ∈ Y . Do g : Y → Z là trơn nên tồn
tại tập mở V ⊂ Rl chứa f (x) và ánh xạ trơn
G : V → Rm
trùng với g trên V ∩ Y . Ta có thể chọn U đủ nhỏ sao cho F (U ) ⊂ V .
Thật vậy, ta thay U bởi U1 = U ∩ F −1 (V ) nếu cần thiết. Khi đó ánh xạ
G ◦ F : U → Rm
là trơn do tính khả vi vô hạn của hợp hai ánh xạ khả vi vô hạn. Hơn

nữa, G ◦ F đồng nhất với g ◦ f trên U ∩ X.
Vậy ta có điều phải chứng minh.
Định nghĩa 2.3. Cho X ⊂ Rk , Y ⊂ Rl . Ánh xạ f : X → Y được gọi là
một vi phôi nếu f là đồng phôi và cả f , f −1 là trơn. Khi đó ta nói X vi
phôi với Y qua ánh xạ f hoặc f ánh xạ X vi phôi với Y .
Định nghĩa 2.4. Tập con M ⊂ Rk được gọi là một đa tạp trơn m-chiều
nếu với mỗi x ∈ M có một lân cận W ∩ M vi phôi với một tập mở
U ⊂ Rm .
11


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Nguyễn Thị Xuân

Định nghĩa 2.5. Ánh xạ g : U → Rk được gọi là tham số hóa của lân
cận W ∩ M của x nếu g ánh xạ U vi phôi với W ∩ M . Ánh xạ ngược
g −1 : W ∩ M → U được gọi là một hệ tọa độ của W ∩ M .
Ví dụ 2.1.1. Đường tròn đơn vị S 1 gồm những điểm (x, y) ∈ R2 thỏa
mãn x2 + y 2 = 1 là đa tạp khả vi 1-chiều. Thật vậy, ta chọn
W = {(x, y) : x > 0} ⊂ R2 .
Ta có W ∩ S1 = (x, y) : x =

1 − y 2 , y ∈ (−1, 1) .

Bây giờ, ta sẽ chứng minh f : W ∩ S1 → R1 là vi phôi.
• Ta xây dựng ánh xạ f1 : (−1, 1) → W ∩ S1 , y →

1 − y2, y .


Xét ánh xạ f1 −1 ta có
f1 −1 : W ∩ S1 → (−1, 1) ,

1 − y2, y → y

là ánh xạ chiếu nên nó là song ánh. Hơn nữa, ta có f1 , f1 −1 khả vi.
Do đó f1 là vi phôi.
• Ta xây dựng ánh xạ f2 : R1 → (−1, 1).
Xét ánh xạ ngược f2−1 : (−1, 1) → R1 . Ta có f2−1 = h ◦ g trong đó
g : (−1, 1) →

h:

Π Π
Π
− ,
, x → g (x) = x = t,
2 2
2

Π Π
− ,
2 2

→ R1 , t → h (t) = tan t,

mà g, h là vi phôi nên f2 là vi phôi.
Vậy f = f2 ◦ f1 là vi phôi.
12



Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Nguyễn Thị Xuân

Tổng quát, hình cầu S n−1 ⊂ Rn gồm tất cả các điểm (x1 , ..., xn ) thỏa
n

xi = 1 là đa tạp khả vi có số chiều là n − 1. Chứng minh là

mãn
i=1

tương tự đối với Ví dụ 2.1.1. Đặc biệt, S 0 ⊂ R1 là đa tạp khả vi chứa 2
điểm.
Ví dụ 2.1.2. Tập hợp M gồm tất cả các (x, y) ∈ R2 với y = sin x là đa
tạp khả vi 1-chiều. (Chứng minh tương tự ví dụ trên).

2.2

Không gian tiếp xúc và ánh xạ vi phân

Định nghĩa 2.6. Cho U ⊂ Rk là tập mở. Không gian tiếp xúc của tập
U tại điểm x ∈ U được định nghĩa là không gian vectơ Rk . Kí hiệu là
Tx U .
Định nghĩa 2.7. Cho U ⊂ Rk , V ⊂ Rl là các tập mở và f : U → V là
ánh xạ trơn bất kỳ. Với x ∈ U , ánh xạ
dfx : Rk → Rl
cho bởi công thức
f (x + th) − f (x)

,
t→0
t

dfx (h) = lim

với h ∈ Rk , được gọi là ánh xạ vi phân của f tại x.
Khi đó ánh xạ vi phân dfx là ánh xạ tuyến tính và dfx có ma trận
biểu diễn đối với cơ sở chính tắc của Rk và cơ sở chính tắc của Rl là
∂fi
∂xj

(x) cấp l × k gồm các phần tử là đạo hàm cấp một các hàm thành

phần của f tại x.
13


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Nguyễn Thị Xuân

Sau đây là hai tính chất cơ bản của ánh xạ vi phân của ánh xạ trơn
giữa các tập mở:
Tính chất 2.2.1. (Quy tắc dây xích) Cho U ⊂ Rk , V ⊂ Rl , W ⊂ Rm .
Nếu f : U → V và g : V → W là các ánh xạ trơn, với f (x) = y thì
d(g ◦ f )x = dgy ◦ dfx .
Theo cách khác, với mỗi tam giác giao hoán của các ánh xạ trơn giữa

các tập mở của Rk , Rl , Rm ; tương ứng với một tam giác giao hoán của

các ánh xạ tuyến tính

Chứng minh. Do f và g là trơn nên g ◦ f : U → W là trơn. Gọi ma trận
của các ánh xạ tuyến tính dfx , dgy , d (g ◦ f )x lần lượt là
∂fi (x)
∂xj

,
l×k

∂gi (y)
∂yj

,
m×l

14

∂(g ◦ f )i (x)
∂xj

.
m×k


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Nguyễn Thị Xuân

Hơn nữa, ta có

(g ◦ f )i (x) = gi (f (x)) .
Từ đây và theo công thức đạo hàm của hàm hợp, ta suy ra
∂(g ◦ f )i (x)
=
∂xj

l

j=1

l

∂gi (f (x)) ∂fj (x)
.
=
∂fj (x)
∂xj

j=1

∂gi (y) ∂fj (x)
.
.
∂yj
∂xj

Nghĩa là
∂(g ◦ f )i (x)
∂xj


=
m×k

∂gi (y)
∂yj

.
m×l

∂fi (x)
∂xj

.
l×k

Do đó d(g ◦ f )x = dgy ◦ dfx .
Tính chất 2.2.2. Nếu I là ánh xạ đồng nhất của U thì dIx là ánh xạ
đồng nhất của Rk . Tổng quát hơn, nếu U ⊂ U , U và U là các tập mở,
i : U → U là phép nhúng thì dix là ánh xạ đồng nhất của Rk .
Chứng minh. Thật vậy, ta có
(x + th) − x
i (x + th) − i (x)
= lim
= lim h = h.
t→0
t→0
t→0
t
t


dix (h) = lim

Hệ quả 2.1. Nếu L : Rk → Rl là một ánh xạ tuyến tính thì dLx = L.
Chứng minh. Do L là ánh xạ tuyến tính nên
L (x + th) − L (x)
(L (x) + tL (h)) − L (x)
= lim
t→0
t→0
t
t

dLx (h) = lim

= lim L (h) = L (h) .
t→0

15


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Nguyễn Thị Xuân

Mệnh đề 2.1. Nếu f : U → V là một vi phôi giữa các tập mở U ⊂ Rk
và V ⊂ Rl thì k = l và ánh xạ tuyến tính
dfx : Rk → Rl
là không suy biến.
Chứng minh. Ta có f −1 ◦f là ánh xạ đồng nhất của U . Do đó d(f −1 )y ◦dfx
là ánh xạ đồng nhất của Rl . Tương tự, dfx ◦ d f −1


y

là ánh xạ đồng nhất

của Rk . Do đó dfx có nghịch đảo hai phía nên ta suy ra k = l.
Định lý 2.1. (Định lý hàm ngược) Cho f : U → Rk là ánh xạ trơn với
U mở trong Rk . Nếu ánh xạ vi phân dfx : Rk → Rk là không suy biến
thì f ánh xạ tập mở bất kì U ⊂ U đủ nhỏ chứa x vi phôi lên một tập
mở f (U ).
Chứng minh. Xem trong [4].
Định nghĩa 2.8. Cho đa tạp trơn M ⊂ Rk . Với x ∈ M , chọn một tham
số hóa
g : U → Rk
của lân cận g (U ) ⊂ M của x, trong đó U ⊂ Rm là tập mở. Ta có ánh
xạ vi phân của g tại u = g −1 (x) là
dgu : Rm → Rk .
Khi đó không gian tiếp xúc của đa tạp M tại x được định nghĩa là
Im dgu . Kí hiệu là Tx M .
16