1

MỤC LỤC

Mục lục

1

Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

1 Tính lồi đa thức và bổ đề Kallin

4

1.1. Tính lồi đa thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.2. Bổ đề Kallin về hợp thành hai tập lồi đa thức . . . . . . . . . 18
2 Tính chất lồi đa thức địa phương của hợp hai không
gian tập hoàn toàn thực trong Cn

23

2.1. Tính chất lồi đa thức địa phương của hợp hai không gian con
hoàn toàn thực cực đại trong Cn . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.2. Một số ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
Kết luận

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

Tài liệu tham khảo

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39


2

MỞ ĐẦU

Tính lồi đa thức, lồi hữu tỷ của các tập compact trong Cn gắn liền với
Định lý Oka-Weil về xấp xỉ hàm chỉnh hình bởi các đa thức và các hàm
hữu tỷ. Trong Đại số đều, một trong những cấu trúc quan trọng là không
gian các ideal cực đại của nó. Bao lồi đa thức của tập compact K trong
Cn đồng nhất với không gian các ideal cực đại của đại số đều các đa thức
trên K . Bao lồi hữu tỷ của tập compact K đồng nhất với không gian các
ideal cực đại của đại số đều các hàm hữu tỷ cực điểm ngoài K .
Nghiên cứu tính chất lồi đa thức, tính chất lồi đa thức địa phương của
các tập compact trong Cn là bài toán có nhiều ý nghĩa trong lĩnh vực Giải
tích phức và Đại số đều. Đặc biệt bài toán nghiên cứu tính chất lồi đa
thức địa phương của hợp các đồ thị hoàn toàn thực, hoàn toàn thực có
kỳ dị có liên hệ mật thiết với bài toán cơ bản là xấp xỉ địa phương hàm
phức liên tục bởi các đa thức (xem [10]). Tính chất lồi đa thức và bao lồi
đa thức của hợp hai không gian con hoàn toàn thực cực đại (chiều thực
bằng n) trong Cn tại gốc được nghiên cứu thấu đáo bởi Weinstock ([15]).
Tuy nhiên, các kết quả của Weinstock chưa thể cho biết thông tin về tính
lồi đa thức địa phương trong trường hợp các không gian con hoàn toàn
thực (chiều thực bé hơn n) hoặc hợp của nhiều hơn hai không gian con.
Vấn đề trên gần đây được quan tâm nghiên cứu của một số nhà toán học

như Gorai, Bharali, Nguyễn Quang Diệu, ...
Trong khuôn khổ một luận văn thạc sĩ, với mục đích nghiên cứu tính
lồi đa thức địa phương của hợp các không gian con hoàn toàn thực trong
Cn và dựa trên công bố của Weinstock, chúng tôi lựa chọn đề tài nghiên


3

cứu: Tính lồi đa thức địa phương của hợp các không gian con hoàn
toàn thực cực đại trong Cn .
Nội dung của luận văn trình bày một số kết quả về cơ sở về bao lồi đa
thức, tính lồi đa thức địa phương của hợp các không gian con hoàn toàn
thực cực đại trong Cn . Các nội dung đó được trình bày trong 2 chương
của luận văn:
Chương 1. Tính lồi đa thức và bổ đề Kallin
Nội dung của chương này là trình bày khái niệm và các kết quả căn
bản về bao lồi đa thức, tính lồi đa thức của tập compact trong Cn và bổ
đề Kallin về tính lồi đa thức của hợp thành hai tập lồi đa thức. Đây là bổ
đề kỹ thuật được dùng xuyên suốt trong chương sau.
Chương 2. Tính chất lồi đa thức địa phương của hợp hai đồ thị hoàn
toàn thực tại điểm giao của chúng.
Nội dung của chương này trình bày chi tiết và có hệ thống về tính lồi
đa thức địa phương của hợp các không gian con hoàn toàn thực cực đại
trong Cn và đưa ra một vài ví dụ áp dụng.
Luận văn được hoàn thành tại Trường Đại học Vinh. Nhân dịp này, tác
giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến TS. Kiều Phương Chi đã hướng dẫn
tận tình nghiêm túc tác giả trong suốt quá trình hoàn thành luận văn. Tác
giả xin được gửi lời cảm ơn các thầy, cô giáo trong bộ môn Giải tích, Khoa
Toán học đã nhiệt tình giảng dạy và giúp đỡ tác giả trong quãng thời gian
học tập. Mặc dù đã có nhiều cố gắng, nhưng luận văn không tránh khỏi

những hạn chế, thiếu sót. Chúng tôi rất mong nhận được những ý kiến
đóng góp của các thầy, cô giáo và bạn bè để luận văn được hoàn thiện
hơn.
Vinh, tháng 10 năm 2013
Tác giả


4

CHƯƠNG 1
TÍNH LỒI ĐA THỨC VÀ BỔ ĐỀ KALLIN

Chương này trình bày một số kết quả cơ bản của bao lồi đa thức, tính
lồi đa thức và bổ đề Kallin về tính lồi đa thức của hợp thành hai tập lồi
đa thức. Chúng ta sẽ thấy lớp tập lồi đa thức thực sự rộng hơn lớp tập lồi
thông thường trong Cn . Hơn nữa, lớp tập này đặc biệt có ý nghĩa trong
giải tích phức và đại số đều.
1.1. Tính lồi đa thức

Trong mục này, chúng tôi giới thiệu một số kiến thức chuẩn bị chủ yếu
liên quan tới đại số Banach và đại số đều cần dùng về sau và mở đầu về
lý thuyết lồi đa thức.
1.1.1 Định nghĩa. a) Một đại số phức A là một không gian vectơ trên
trường C cùng với một phép nhân thỏa mãn các điều kiện:
1)x(yz) = (xy)z, ∀x, y, z ∈ A;
2)x(y + z) = xy + xz, (x + y)z = xz + yz, ∀x, y, z ∈ A;
3)(αx)y = x(αy) = α(xy), ∀x, y ∈ A, ∀α ∈ C.
b) Một đại số phức A được gọi là một đại số Banach nếu A thỏa mãn
các điều kiện:
1)A là không gian Banach với chuẩn . nào đó cho trước;

2) xy ≤ x . y , ∀x, y ∈ A.
Đại số A được gọi là có đơn vị nếu ∃e ∈ A sao cho ex = xe = e, ∀x ∈ A
và e = 1.


5

Đại số A được gọi là đại số giao hoán nếu xy = yx, ∀x, y ∈ A.
Phần tử đơn vị nếu có là duy nhất. Phép nhân trong A là liên tục, liên
tục trái, liên tục phải.
1.1.2 Định nghĩa. Không gian con B của A, chứa đơn vị của A và
đóng kín với ba phép toán trong A là một đại số con của A.
1.1.3 Ví dụ. 1) Đại số C với phép nhân hai số phức và chuẩn Euclide
thông thường là đại số Banach giao hoán có đơn vị là phần tử 1.
2) Cho E là không gian Banach và B(E) ={Toán tử tuyến tính bị chặn
từ E vào E }, Trên B(E) xác định phép nhân trong
(f g)(x) = (f ◦ g)(x) = f (g(x)), ∀f, g ∈ B(E), ∀x ∈ E

và chuẩn
f = sup |f (x)| , ∀f ∈ B(E).
x∈E

Khi đó, B(E) là đại số Banach không giao hoán có đơn vị là ánh xạ đồng
nhất trên E .
3) Cho X là không gian tôpô compact và C(X) là không gian Banach
các hàm phức liên tục với chuẩn hội tụ đều f = sup |f (x)| , ∀f ∈ C(X).
x∈X

Khi đó, C(X) là đại số Banach giao hoán có đơn vị là hàm đồng nhất bằng
1 trên X , với phép nhân theo điểm, tức là

(f g)(x) = f (x)g(x), ∀x ∈ X.

4) Cho K là tập compact trong Cn . Ký hiệu P (K), R(K) và A(K)
theo thứ tự là tập hợp các hàm f ∈ C(K) được xấp xỉ đều trên K bởi các
đa thức, các hàm hữu tỷ cực điểm ngoài K và các hàm chỉnh hình trên
phần trong của K và liên tục trên K . Khi đó, với các phép toán cảm sinh
từ C(K) thì P (K), R(K) và A(K) là các đại số Banach con của C(K).
Hơn nữa, ta luôn có bao hàm thức
P (K) ⊂ R(K) ⊂ A(K) ⊂ C(K).


6

1.1.4 Định nghĩa. Cho A là một đại số Banach. Phiếm hàm tuyến tính
ϕ : A → C được gọi là một đồng cấu phức nếu ϕ(xy) = ϕ(x)ϕ(y) với mọi
x, y ∈ A.

Người ta chứng minh được, mỗi đồng cầu phức ϕ là liên tục, ϕ(e) = 1
và ϕ = 1. Hơn nữa ϕ(x) = 0 với mọi phần tử khả nghịch x.
Kí hiệu không gian các đồng cấu phức là ∆A . Như vậy, ∆A là một tập
con của hình cầu đơn vị trong không gian đối ngẫu A∗ .
Ký hiệu G(A) là nhóm các phần tử khả nghịch của A. Khi đó, ánh xạ
a ∈ G(A) → G(A) là đồng phôi.

1.1.5 Định nghĩa. Giả sử f ∈ A với A là một đại số Banach. Đặt:
σ(f ) = {λ ∈ C : (λe − f ) không khả nghịch} và S(f ) = {λ ∈ C : (λe − f )

khả nghịch} = C\σ(f ). Khi đó σ(f ) được gọi là phổ của f, S(f ) được gọi
là dải thức của f.
Ta luôn có, với mọi x ∈ A thì σ(x) compact và khác rỗng. Cũng từ

tính chất này, Gelfand-Mazur chứng minh được nếu mọi phần tử khác 0
trong đại số Banach A là khả nghịch thì A đẳng cấu, đẳng cự với A.
1.1.6 Định nghĩa. Cho A là đại số Banach giao hoán.
1) Không gian tuyến tính con J của A là một ideal nếu
JA = {xa : x ∈ J, a ∈ A} ⊂ J.

2) Ideal J của A được gọi là ideal cực đại nếu mỗi ideal I của A và
J ⊂I⊂A

thì J = I hoặc I = A.
Với mỗi ϕ ∈ ∆A ta đều có ker ϕ là ideal cực đại của A. Ký hiệu, MA là
tập hợp các ideal cực đại của A. Sau đây là kết quả đặc biệt quan trọng
trong lý thuyết đại số Banach.


7

1.1.7 Định lý. ([4], [5]) Tồn tại song ánh giữa ∆A và MA .
1.1.8 Nhận xét. Từ định lý trên ta có thể đồng nhất ∆A với MA . Vì
∆A chứa trong hình cầu đơn vị đóng của không gian đối ngẫu A∗ . Trên A

chúng ta xét tôpô yếu hay còn gọi là tôpô yếu sao thì MA là không gian
compact bởi định lý Banach-Alaoglu, hơn nữa không gian MA là không
gian Hausdorff.
1.1.9 Định nghĩa. Cho A là một đại số Banach, f ∈ A. Ta xác định
ánh xạ fˆ : MA → C cho bởi công thức fˆ (Φ) = Φ(f ), ∀Φ ∈ MA . Ta gọi
fˆ là phép biến đổi Gelfand của f và đặt Aˆ = {fˆ : f ∈ A}.
1.1.10 Định lý. ([5]) Cho X là không gian tôpô Hausdorff compact.
Khi đó MC(X) đồng phôi với X .
Chứng minh. Với mỗi x ∈ X , ta xác định hàm ϕx từ C(X) vào C được

cho bởi công thức ϕx (f ) = f (x), ∀f ∈ C(X). Khi đó ϕx là một đồng cấu
phức trên C(X). Thật vậy, ϕx (αf + βg) = (αf + βg) (x) = (αf )(x) +
(βg)(x) = αf (x) + βg(x) = αϕx (f ) + βϕx (g), ∀f, g ∈ C(X), ∀α, β ∈ C.

Ngoài ra ϕx (f g) = (f g)(x) = f (x)g(x) = ϕx (f )ϕx (g), ∀f, g ∈ C(X) và
ϕx (I) = I(x) = 1 = 0, với I là ánh xạ liên tục từ X vào C được cho bởi
I(t) = 1, ∀t ∈ X .

Tiếp theo ta chỉ ra rằng với mỗi ϕ ∈ MC(X) thì tồn tại duy nhất x ∈ X
sao cho ϕ = ϕx . Giả sử ngược lại ϕ = ϕx , với ∀x ∈ X . Khi đó với mỗi
x ∈ X tồn tại g ∈ C(X) sao cho ϕ(g) = ϕx (g) = g(x). Đặt fx = g − ϕ(g).

Khi đó fx (x) = 0 và fx liên tục. Theo tính chất liên tục nên tồn tại
lân cận Ux của sao cho fx = 0 trên Ux . Suy ra |fx |2 > 0, trên Ux . Vì
ϕ(fx ) = ϕ(g − ϕ(g)) = ϕ(g) − ϕ(g) = 0 nên
ϕ(|fx |2 ) = ϕ(fx fx ) = ϕ(fx )ϕ(fx ) = 0

Mặt khác, vì họ {Ux }x∈X là phủ mở của và X compact nên tồn tại
phủ con hữu hạn phủ X . Suy ra tồn tại x1 , x2 , ..., xn ∈ X sao cho


8
n

X =

Uxi . Đặt u = |fx1 |2 + |fx2 |2 + ... + |fxn |2 . Ta có u > 0 trên nên

i=1


khả nghịch. Suy ra ϕ(u) = 0 với mọi ϕ ∈ MC(X) . Tuy nhiên ϕ(u) =
ϕ(|fx1 |2 + ... + |fxn |2 ) = ϕ(|fx1 |2 ) + ... + ϕ(|fxn |2 ) = 0. Ta gặp mâu

thuẫn. Vậy ϕ = ϕx .
Để kết thúc chứng minh ta thiết lập một ánh xạ ψ từ X vào MC(X)
được cho bởi công thức ψ(x) = ϕx với mọi x ∈ X . Dễ dàng chứng minh
ψ là song ánh. Hơn nữa ψ liên tục. Thật vậy, giả sử {xα }α∈I ⊂ X sao

cho xα → x ∈ X . Khi đó với mọi f ∈ C(X) ta có f (xα ) → f (x) hay
ϕxα (f ) → ϕx (f ) với mọi f ∈ C(X). Suy ra ϕxα → ϕx trong MC(X) hay
ψ(xα ) → ψ(x). Mặt khác, vì X và MC(X) là các không gian compact nên
ψ −1 cũng liên tục. Vậy ψ là ánh xạ đồng phôi từ X vào MC(X) .

1.1.11 Định nghĩa. ([5]) Cho X là một không gian Haudorff compact.
Một đại số con đóng của C(X), chứa các hằng, tách các điểm của X thì
được gọi là một đại số đều trên X .
1.1.12 Ví dụ. 1) Cho X ⊂ Cn . Khi đó P (X), R(X), A(X) là các đại
số đều trên X. Hơn nữa, P (X) ⊂ R(X) ⊂ A(X).
2) Cho A là một đại số Banach thì không gian các phép biến đổi Gelfand
A là một đại số đều trên MA .

1.1.13 Định nghĩa. ([5])Cho A là một đại số đều trên không gian mêtric
compact X và MA là không gian các ideal cực đại của A. Độ đo biểu diễn
của φ ∈ MA là một độ đo dương µ trên X sao cho
φ(f ) =

f dµ, f ∈ A.

Định lý sau chỉ ra sự tồn tại độ đo biểu diễn trên các đại số đều.
1.1.14 Định lý. ([5], [14]) Cho A là một đại số đều trên không gian

mêtric compact X . Khi đó với mỗi x ∈ MA , tồn tại một độ đo dương,


9

Borel, chính quy trên X biểu diễn x. Hơn nữa, độ đo biểu diễn có thể
chọn là độ đo Jensen.
Nếu A là đại số đều P (K), trong đó K là tập compact của Cn thì
ˆ . Do đó, với mỗi x ∈ K
ˆ tồn tại độ đo dương, Borel, chính quy
MP (K) = K
trên K sao cho
f dµ, ∀f ∈ P (K).

f (x) =

ˆ R tồn tại độ đo dương, Borel, chính quy trên K
Tương tự, với mỗi x ∈ K

sao cho
f dµ, ∀f ∈ R(K).

f (x) =

Chúng ta đến với một khái niệm quan trọng sau.
1.1.15 Định nghĩa. ([4]) Đa tạp thực M trong Cn được gọi là hoàn
toàn thực tại điểm a ∈ M nếu không gian vectơ tiếp xúc TM (a) của M
tại a không chứa các đường thẳng phức, tức là TM (a) ∩ iTM (a) = {0}. Đa
tạp M được gọi là hoàn toàn thực nếu nó hoàn toàn thực tại mọi điểm
thuộc nó.

1.1.16 Ví dụ. 1) Rn là hoàn toàn thực tại mọi điểm của nó.
2) Giả sử f1 , f2 , ..., fk là các hàm lớp C 1 trên một tập mở U ⊆ C. Nếu
k
i=1

∂fi
(a) = 0
∂z

với a ∈ U thì M = { z, f1 (z), ..., fk (z) : z ∈ U } hoàn toàn thực tại
a, f1 (a), ..., fk (a) .

1.1.17 Định nghĩa. Cho X là một tập con compact của C n .
1) Bao lồi đa thức của X ký hiệu là X và được xác định như sau:
X = {z ∈ Cn : |p(z)| ≤ p

X,

với mọi đa thức p trên Cn },

trong đó
p

X

= max{|p(x)| : x ∈ X}.


10


Nếu X = X thì ta nói X là lồi đa thức.
ˆ R và được xác định như sau
2) Bao lồi hữu tỷ của X ký hiệu là X
ˆ R = {z ∈ Cn : |g(z)| ≤ g
X

X,

với mọi hàm hữu tỷ g có cực điểm ngoài X}.

ˆ R thì ta nói X là lồi hữu tỷ.
Nếu X = X

1.1.18 Định nghĩa. Cho X là một tập con của Cn và z ∈ X . Tập X
được gọi là lồi đa thức địa phương (tương ứng lồi hữu tỷ địa phương)
tại z nếu tồn tại hình cầu đóng B(z, r) sao cho X ∩ B(z, r) là lồi đa thức
(tương ứng là lồi hữu tỷ).
1.1.19 Nhận xét. 1) X ⊂ XR ⊂ X và XR , X compact trong Cn .
2) Giao một họ các tập lồi đa thức (tương ứng lồi hữu tỷ) là lồi đa thức
(tương ứng lồi hữu tỷ).
ˆ thì với mọi M > 0 tồn tại đa thức p sao cho p(z) > M
3) Nếu z ∈
/X
trong khi p

X

M.

Chứng minh. 1) Vì lớp các hàm hữu tỷ chứa các đa thức và từ định nghĩa

trên ta có ngay bao hàm thức
ˆ R ⊂ X.
ˆ
X⊂X

Ta chứng minh X compact trong Cn . Đầu tiên, ta cần chứng minh
ˆ bị chặn. Thật vậy, lần lượt xét các đa thức pk (z) = zk với mọi z =
X
(z1 , ..., zn ) ∈ Cn , k = 1, 2, ..., n ta có
|pk (z)|k = |zk |

pk

X

:= rk < +∞,

ˆ nằm trong đa đĩa
với mọi z ∈ X . Vì vậy X
D(0, r) = {(z1 , ..., zn ) : |zk |

rk , k = 1, 2..., n}.

ˆ bị chặn. Để chứng minh tính compact của X , ta chỉ ra tính
Do đó X

đóng của nó. Giả sử {xn }n∈I ⊂ X và xn → x ∈ Cn , n → ∞. Với mỗi
n = 1, 2, 3, ... ta có xn ∈ X nên
|f (xn )| ≤ f


X


11

với mọi đa thức f . Mặt khác, vì f liên tục nên f (xn ) → f (x) ∈ C, n → ∞.
Suy ra
|f (x)| ≤ f

X,

với mọi đa thức f . Vì thế x ∈ X , tức là X đóng. Vậy X compact trong
Cn .
Chứng minh tương tự XR compact trong Cn .
2) Giả sử {Xα }α∈I là các họ các tập lồi đa thức trong Cn . Khi đó
ˆ α = Xα . Ta cần chỉ ra
X
Xα =
α∈I

Xα .
α∈I

Thật vậy, rõ ràng
Xα ⊂
α∈I

Nếu z ∈
/


α∈I

Xα .
α∈I

Xα thì tồn tại α ∈ I sao cho z ∈
/ Xα . Khi đó, tồn tại đa

thức p sao cho
|p(z)| > p

Suy ra z ∈
/

α∈I

p

Xα

α∈I

Xα . Ta nhận được
Xα ⊂
α∈I

Xα .
α∈I

Vì vậy

Xα =
α∈I

Xα .
α∈I

ˆ thì tồn tại đa thức q sao cho
3) Nếu z ∈
/X
|q(z)| > q

X.

Lấy C thoả mãn
|q(z)| > C > q

X.

Xα .


12

Đặt p(x) = M

q(x)
. Khi đó p là một đa thức,
C
|p(z)| = M


|q(z)|
C
>M =M
|C|
C

và
p

X

=

M
q
C

X


C
= M.
C

Ta được đa thức cần tìm.
1.1.20 Chú ý. 1) Hợp của hai tập lồi đa thức là không lồi đa thức, ví dụ
minh hoạ chúng ta sẽ đưa ra ở phần sau của luận văn. Nghiên cứu tính lồi
đa thức của hợp hai tập lồi đa thức là bài toán khá phức tạp trong giải
tích phức, nó gắn liền với nhiều bài toán quan trọng của giải tích phức và

đại số đều.
2) Việc xác định bao lồi đa thức của một tập hợp compact nói chung rất
khó khăn trong trường hợp nhiều chiều. Một lớp tập lồi đa thức dễ nhận
biết đó là các tập lồi. Tuy nhiên, bao lồi đa thức của một tập compact
không phải là tập lồi. Ta có bao lồi convK (theo nghĩa thông thường) của
một tập compact K được xác định bởi
convK = {z ∈ Cn : |f (z)|

f

K

: ∀f ∈ F},

trong đó F là tập tất cả các dạng tuyến tính phức trên Cn . Thật vậy,
giả sử z ∈ convK . Khi đó tồn tại z1 , z2 ∈ K và λ ∈ [0, 1] sao cho z =
λz1 + (1 − λ)z2 . Vì vậy, với mọi f ∈ F ta có
|f (z)| = |f λz1 + (1 − λ)z2 | = |λf (z1 ) + (1 − λ)f (z2 )|
λ|f (z1 )| + (1 − λ)|f (z2 )|

λ f

K

+ (1 − λ) f

K

= f

K.

Ngược lại, giả sử z ∈
/ convK . Khi đó, theo định lý Hahn-Banach, tồn tại
một dạng tuyến tính phức f sao cho f (z) = 1 và f |K = 0. Điều này mâu
thuẫn với
|f (z)|

f

K,

∀f ∈ F.


13

Ta được
convK = {z ∈ Cn : |f (z)|

f

K

: ∀f ∈ F},

trong đó F là tập tất cả các dạng tuyến tính phức trên Cn . Từ đó suy ra
convK luôn chứa bao lồi đa thức của K . Do đó mọi tập lồi compact trong
Cn là lồi đa thức.
1.1.21 Định lý. ([5]) Cho X là tập compact của Cn . Không gian các

ˆ , không gian các ideal cực đại của R(X)
ideal cực đại của P (X) là X
ˆR.
là X
Chứng minh. Đầu tiên ta chứng minh MP (X) = X . Giả sử f ∈ P (X).
Suy ra tồn tại dãy các đa thức {fn }n∈N sao cho hội tụ đều về f trên X . Do
{fn }n∈I hội tụ đều về f trên X nên f liên tục và {fn }n∈N là dãy Cauchy,

nghĩa là
fn − fm

X

→ 0,

khi m, n → ∞. Với mỗi m, n vì fn − fm là đa thức nên
fn − fm

ˆ
X

= fn − fm

X.

Do đó,
fn − fm

ˆ
X

→0

ˆ . Do đó
khi m, n → ∞.Vậy {fn } là dãy Cauchy trong đại số Banach P (X)
ˆ tới hàm f˜ là một mở rộng của f .
{fn } hội tụ đều trên X
ˆ xét ánh xạ φz : P (X) → C xác định bởi
Tiếp theo, với mỗi z ∈ X
φz (f ) = f (z). Dễ dàng kiểm tra φz là một đồng cấu phức trên P (X).
ˆ như là một tập con của
Bằng phép đồng nhất z với φz ta có thể xem X
ˆ ⊂ MP (X) .
không gian các idean cực đại MP (X) . Vì vậy X

Ngược lại, với mỗi Φ ∈ MP (X) , ta có
Φ(az1k1 z2k2 ...znkn ) = a[Φ(z1 )]k1 [Φ(z2 )]k2 ...[Φ(zn )]kn .

Suy ra
Φ(p(z1 , z2 , ..., zn )) = p(Φ(z1 ), Φ(z2 ), ..., Φ(zn )),


14

với mọi đa thức p và với mọi (z1 , z2 , ..., zn ) ∈ Cn . Từ đó suy ra Φ = Φz với
z = (Φ(z1 ), Φ(z2 ), ..., Φ(zn )) ∈ Cn . Vì |Φ(f )| ≤ f

X,

với mọi f ∈ P (X)

suy ra
|Φ(p)| = |p(Φ(z1 ), Φ(z2 ), ..., Φ(zn ))| ≤ p

X

ˆ và Φ = Φz .
với mọi đa thức p. Ta được z = (Φ(z1 ), Φ(z2 ), ..., Φ(zn )) ∈ X
ˆ nếu ta đồng nhất z với
Do đó MP (X) có thể xem như là tập con của X
ˆ . Ta thu được X
ˆ = MP (X) . Chứng minh tương
Φz . Vì vậy MP (X) ⊂ X
ˆ R = MR(X) .
tự ta được X

1.1.22 Nhận xét. Từ chứng minh của định lý trên, ta thấy rằng bao
lồi đa thức của tập compact X là tập lớn nhất chứa X sao cho với mọi
f ∈ P (X) ta có thể mở rộng thành f ∈ P (X) và bảo toàn chuẩn, nghĩa

là f

X

= f
X

.

1.1.23 Hệ quả. Nếu P (X) = C(X) (tương ứng R(X) = C(X)) thì X

lồi đa thức (tương ứng lồi hữu tỷ).
ˆ nên từ P (X) = C(X) suy
Chứng minh. Vì MC(X) = X và MP (X) = X
ˆ . Vì vậy X lồi đa thức. Tương tự R(X) = C(X) thì X là lồi
ra X = X

hữu tỷ.
1.1.24 Nhận xét. Tính lồi đa thức của X không phải là điều kiện đủ
để P (X) = C(X). Chẳng hạn, xét X = {z ∈ C : |z|

1}. Khi đó,

vì X là tập lồi nên nó lồi đa thức. Tuy nhiên P (X) = C(X), bởi vì
f (z) = z ∈ C(X) nhưng f ∈
/ C(X), thậm chí f không chỉnh hình trên X .

Để P (X) = C(X) nói chung cần rất nhiều điều kiện hình học phức tạp
của tập X .
Định lý sau là đặc trưng tôpô của tập lồi đa thức trong mặt phẳng
phức, nó còn gọi là đặc trưng Oka-Stolzenberg của bao lồi đa thức.


15

1.1.25 Định lý. ([14]) Nếu X là tập compact của mặt phẳng phức C
ˆ bằng X hợp với các thành phần liên thông bị chặn của C \ X .
thì X
Nói cách khác, X là lồi đa thức trong C nếu và chỉ nếu C\X là liên
thông.
1.1.26 Nhận xét. 1) Định lý trên cho ta một điều kiện tôpô để một tập

trong mặt phẳng phức C là lồi đa thức. Trong trường hợp nhiều chiều,
cho đến nay người ta chưa thể tìm được đặc trưng tôpô cho tính lồi đa
thức như trên.
2) Cho X1 = {z ∈ C : |z| = 1, z

0} và

X2 = {z ∈ C : |z| = 1, z

trong đó

0},

là toán tử lấy phần ảo trong C. Ta có X1 , X2 là lồi đa thức. Tuy

nhiên X1 ∪ X2 = {z ∈ C : |z| = 1} không lồi đa thức, bởi vì C \ (X1 ∪ X2 )
không liên thông.
Sau đây là định lý xấp xỉ của Mergelyan.
1.1.27 Định lý. (Mergelyan-[5]) Nếu K là một tập lồi đa thức của
mặt phẳng phức C thì A(K) = P (K).
Định lý sau là một kết quả đặc sắc về tính lồi đa thức địa phương của
đa tạp hoàn toàn thực.
1.1.28 Định lý. (Wermer-H¨ormander [4]) Nếu M là đa tạp trơn lớp
C 1 , hoàn toàn thực tại a ∈ M thì M lồi đa thức địa phương tại a. Hơn

nữa, tồn tại lân cận compact B của a trong M sao cho mọi hàm liên
tục trên B được xấp xỉ đều trên B bởi các đa thức.
Ta nhắc lại rằng, tập mở D ⊂ Cn được gọi là miền lồi chỉnh hình nếu
với mọi tập compact K ⊂ D thì tập
˜ D = {z ∈ D : |f (z)|

K

f

K,

∀f ∈ H(D)}


16

là tập compact của D, trong đó H(D) là đại số các hàm chỉnh hình trong
một lân cận của D. Tập compact K ⊂ Cn được gọi là lồi chỉnh hình nếu
nó là giao của tất cả các miền lồi chỉnh hình chứa K . Rõ ràng mọi tập
compact K lồi đa thức là lồi chỉnh hình. Kết quả sau là của O’Farrell,
Preskenis và Walsh.
1.1.29 Định lý. ([4]) Cho K là một tập compact lồi chỉnh hình và
K0 là tập compact của K sao cho K \ K0 là hoàn toàn thực trong Cn ,

lớp C 1 (được chứa trong một đa tạp hoàn hoàn thực, lớp C 1 ). Khi đó,
hàm f liên tục trên K thuộc vào H(K) nếu và chỉ nếu tồn tại hàm
g ∈ H(K) sao cho f = g trên K0 .

Ta nhận được hệ quả có nhiều ứng dụng sau.
1.1.30 Hệ quả. Cho K là tập lồi đa thức của Cn và K0 là một tập
con compact của K sao cho K \ K0 là hoàn toàn thực của Cn , lớp C 1 .
Nếu P (K0 ) = C(K0 ) thì P (K) = C(K).
Chứng minh. Từ Định lý 1.1.29 suy ra, nếu µ là một độ đo trên K sao
cho
f dµ = 0, ∀f ∈ H(K)

(1.1)

thì µ có giá ở trên K0 . Bây giờ, cho µ là độ đo tuỳ ý trên K sao cho
f dµ = 0, ∀f ∈ P (K).

(1.2)

Ta cần chứng minh µ = 0. Thật vậy, từ giả thiết K lồi đa thức, áp dụng
định lý Oka-Weil ta được P (K) = H(K). Do đó, từ (1.1) , (1.2) suy ra µ
có giá trên K0 . Bây giờ, giả sử φ là một hàm tuỳ ý liên tục trên K . Khi
đó φ ∈ C(K0 ) = P (K0 ), tức là tồn tại dãy các đa thức Pn hội tụ đến φ
trên K0 . Khi đó, vì µ có giá trên K0 nên
φdµ =
K

φdµ = lim
K0

n→∞ K
0

Pn dµ = 0.


17

Do đó µ là độ đo 0. Ta được P (K) = C(K).
1.1.31 Nhận xét. Chúng ta thường áp dụng hệ quả trên khi K0 là tập
chỉ gồm một điểm. Khi đó, điều kiện P (K0 ) = C(K0 ) là tầm thường.

1.1.32 Định nghĩa. ([5]) Cho X là không gian mêtric compact và A là
một đại số đều trên X . Điểm x ∈ X được gọi là một điểm peak của A
nếu tồn tại f ∈ A sao cho f (x) = 1 và |f (y)| < 1, với mọi y ∈ X \ {x}.
Khi đó, f được gọi là peak tại x.
Bổ đề sau cho ta một kết quả về điểm peak của đại số P (K) với K là
tập compact của mặt phẳng phức.
1.1.33 Bổ đề. ([14]) Nếu K là tập compact, lồi đa thức của mặt phẳng
phức thì mọi điểm biên của K là điểm peak của đại số P (K).
Chứng minh. Không mất tính tổng quát ta có thể giả thiết 0 là điểm biên
của K và K là tập con compact của hình cầu đơn vị mở
B = {z ∈ C : |z| < 1}.

Lấy dãy {zn }∞
n=1 ⊂ C \ K hội tụ về 0. Ký hiệu γn là cung trong mặt cầu
Riemann nối zn với ∞ và γn không có giao với K (vì K là lồi đa thức
nên C \ K là liên thông). Với mỗi z0 ∈ K \ {0} và với mỗi n xét nhánh
θn của log(z − zn ) xác định trên C \ γn sao cho θn (z0 ) hội tụ. Khi đó,

dãy hàm θn hội tụ điểm trên K \ {0} tới một nhánh liên tục của log z .
Ta ký hiệu giới hạn của dãy hàm {θn } là log z . Xác định hàm ϕ như sau:
log z
với z ∈ K \ {0} và ϕ(0) = 1. Khi đó, ϕ là hàm số liên
ϕ(z) =
log z − 1
tục trên K và chỉnh hình trong phần trong của K . Hơn nữa, vì |z| < 1
nên
log z
, ∀z ∈ K \ {0}.
log z − 1
Mặt khác, vì K là lồi đa thức nên theo định lý Mergelyan ta có: ϕ ∈ P (K).

ϕ(0) = 1 > |ϕ(z)| =

Do đó 0 là điểm peak của P (K).


18

1.2. Bổ đề Kallin về hợp thành hai tập lồi đa thức

Định lý sau là bổ đề Kallin về tính lồi đa thức của hợp thành hai tập
lồi đa thức. Nó là bổ đề kỹ thuật được sử dụng xuyên suốt trong chương
sau.
1.2.1 Định lý. (Bổ đề Kallin [10], [14]) Giả sử rằng
1) X1 và X2 là các tập con lồi đa thức của Cn ;
2) Y1 và Y2 là các tập con lồi đa thức của C sao cho 0 là điểm biên
của cả Y1 và Y2 , và Y1 ∩ Y2 = {0};
3) p là một đa thức sao cho p(X1 ) ⊂ Y1 và p(X2 ) ⊂ Y2 ;
4) p−1 (0) ∩ (X1 ∪ X2 ) là lồi đa thức.
Khi đó, X1 ∪ X2 là lồi đa thức.
Chứng minh. Đặt X = X1 ∪ X2 và Y = Y1 ∪ Y2 . Từ điều kiện Y1 ∩ Y2 =
∂Y1 ∩ ∂Y2 = {0} và C \ Y1 , C \ Y2 liên thông suy ra C \ Y liên thông, tức
ˆ và µ là độ đo biểu diễn của x đối
là Y lồi đa thức. Bây giờ, giả sử x ∈ X

với P (X) trên X , tức là µ là độ đo dương trên X sao cho
f (x) =

f dµ, ∀f ∈ P (X).

ˆ ⊂ p(X)

Từ p(X)

suy ra p(x) ∈ Y . Nếu p(x) ∈ Y1 \ {0} thì ta xét hàm
z
với z ∈ Y1 \ {0} và g(z) = 0 nếu z ∈ Y2 .
số g trên Y như sau: g(z) =
p(x)
Khi đó g là hàm liên tục trên Y và chỉnh hình trong phần trong của Y và
g(p(x)) = 1. Theo định lý Mergelyan, g được xấp xỉ đều bởi các đa thức

trên Y , tức là g ∈ P (Y ). Đặt G = g ◦ p. Khi đó, với mọi đa thức P ta có
|P n (x)| = |P n (x)G(x)| =
Pn

X1

P n Gdµ

|G|dµ,

với mọi n ∈ N. Lấy căn bậc n hai vế và cho n → ∞ ta được |P (x)|
ˆ 1 = X1 ⊂ X . Tương tự, nếu p(x) ∈ Y2 \ {0} thì
P X1 . Vì vậy x ∈ X
ˆ 2 = X2 ⊂ X .
x∈X


19

Nếu p(x) = 0 thì từ giả thiết suy ra 0 là điểm peak của đại số P (Y ),

nghĩa là tồn tại h ∈ P (Y ) sao cho h(0) = 1 và |h(y)| < 1 với mọi
y ∈ Y \ {0}. Đặt H = h ◦ p. Khi đó, với mọi đa thức P ta có
P (x) = P (x)H n (x) =

P H n dµ.

Gọi ν là thu hẹp của µ trên p−1 (0) ∩ X. Khi đó, áp dụng định lý Lebesgue
về hội tụ chặn ta có
P (x) = lim

n→∞

P H n dµ =

P dµ =

P dν.

p−1 (0)∩X

Từ đây suy ra
x ∈ (p−1 (0) ∩ X) = p−1 (0) ∩ X ⊂ X.

Định lý được chứng minh.
Sau đây chúng ta trình bày một vài áp dụng đặc biệt. Chúng ta đã biết
hợp hai tập lồi nói chung là không lồi. Đặc biệt, trong Cn hợp của hai
tập lồi, đóng và rời nhau nói chung cũng không lồi. Hệ quả sau cho khẳng
định đúng cho tính lồi đa thức.
1.2.2 Hệ quả. Hợp hai tập lồi, bị chặn, đóng và rời nhau trong Cn
là lồi đa thức.

Chứng minh. Giả sử X1 , X2 là các tầp lồi đóng, bị chặn rời nhau trong
Cn . Khi đó, X1 , X2 là lồi đa thức. Hơn nữa, theo định lý Hahn-Banach
tồn tại dạng tuyến phức F sao cho F (X1 ) ∩ F (X2 ) = ∅. áp dụng bổ đề
Kallin ta nhận được X1 ∪ X2 là lồi đa thức.

1.2.3 Nhận xét. 1)Bổ đề Kallin là công cụ chính để chứng minh tính
lồi đa thức của hợp hai tập lồi đa thức trong Cn . Các ứng dụng rộng rãi
của nó ta sẽ tìm hiểu sâu hơn ở chương sau của luận văn.


20

2) Bổ đề Kallin hiển nhiên vẫn đúng nếu p−1 (0) ∩ (X1 ∪ X2 ) = ∅.
3) Điều đặc biệt là sử dụng bổ đề của mình Kallin còn chứng minh
được hợp của ba hình cầu đóng rời nhau là lồi đa thức. Tuy nhiên điều
thú vị là hợp của ba đa đĩa rời nhau có thể không lồi đa thức. Ví dụ như
vậy được xây dựng công phu bởi chính Kallin. Để kết thúc mục này chúng
tôi giới thiệu kết quả của Kallin về tính lồi đa thức của hợp ba hình cầu
rời nhau.
1.2.4 Định lý. [14])Nếu S1 , S2 , S3 là các mặt cầu rời nhau trong C n ,
thì (∪Si ) = ∪Sˆi .
Chứng minh. Với mỗi mặt cầu S = {(z1 , ..., zn ) ∈ Cn : |z1 |2 +...+|zn |2 =
R2 }, bao lồi đa thức Sˆ của nó là hình cầu đóng
B = {(z1 , ..., zn ) ∈ Cn : |z1 |2 + ... + |zn |2

R2 }.

Do đó, từ định kết luận của định lý suy ra hợp thành của ba hình cầu
đóng rời nhau là lồi đa thức. Hơn nữa, vì mỗi hình cầu đóng là tập lồi nên
theo Hệ quả ta có

B2 ∪ B3 = Sˆ2 ∪ Sˆ3 = S2 ∪ S3 ⊂ (B2 ∪ B3 ) = B2 ∪ B3 ,

trong đó Bi là ký hiệu hình cầu đóng cùng tâm và bán kính với các Si .
Suy ra S2 ∪ S3 = B2 ∪ B3 .
Giả sử rằng S1 là hình cầu lớn nhất và các tọa độ được chọn sao cho
S1 có bán kính 1 và tâm của nó tại gốc. Do đó S2 và S3 có bán kính lần

lượt là p2 , p3 , cả hai bán kính không lớn hơn 1. Bằng cách chọn tọa độ
riêng chúng ta có thể giả sử rằng không gian con (đường thẳng phức nối
2 tâm) sinh bởi tâm của S2 , S3 nằm trong không gian
{(z1 , ..., zn ) ∈ Cn : z3 = ... = zn = 0}.

Hơn nữa, tâm của S2 hai toạ độ đầu (z1 , z2 ) có dạng (ζ, 0) với ζ ∈ C.
Bằng cách sử dụng phép quay các mặt phẳng z1 -mặt phẳng và z2 -mặt


21

phẳng (nhân thêm vào các toạ độ eiθ với θ thích hợp ta có thể nhận được
hai toạ độ đầu của tâm của S3 là (α, β) sao cho α, β là các số thực. Các
phép quay trên di chuyển tâm của S2 đến điểm có hai toạ độ đầu là (γ, 0),
γ ∈ C.

Xét đa thức
p(z1 , z2 , ..., zn ) = z12 + z22 .

Ta khẳng định rằng p(S1 ) ∩ p(S2

S3 ) = ∅. Thật vậy, Rõ ràng đa thức p

biến S1 thành đĩa đóng đơn vị. Ta sẽ chỉ ra
(z12 + z22 ) > 1

(1.3)

trên tập
{z ∈ C 2 :| z1 − α |2 + | z2 − β |2 ≤ p23 },

trong đó

là toán tử lấy phần thực trong C. Vì α và β là các số thực,

S1 , S3 rời nhau và p3 ≤ 1 nên
α2 + β 2 > (1 + p3 )2 .

Đặt zj = xj + iyj , j = 1, 2, khi đó | z1 − α |2 + | z2 − β |2 ≤ p23 tương
đương với
(x1 − α)2 + y12 + (x2 − β)2 + y22 ≤ p23 .
1

1

Nếu đặt η = (α2 + β 2 ) 2 − 1 − p3 và = p3 − [(x1 − α)2 + (x2 − β)2 ] 2 ,
thì

(z12 + z22 ) = x21 + x22 − y12 − y22 ≥ x21 x22 + (x1 − α)2 + (x2 − β)2 − p23

≥ (1 + η + )2 + (p3 − )2 − p23
= 1 + 2(1 − p3 ) + 2η + (η + )2 +

phải đường thẳng

2

> 1. Như vậy p(B3 ) nằm phía bên

w = 1 trong mặt phẳng phức

Đối với p(S2 ), ta chỉ ra

(θ(x21 + x22 )) > 1, trên tập

{(z ∈ C 2 :|| z1 − γ |2 + | z2 |2 ≤ p22 },

trong đó θ =| γ |2 γ −2 . Thật vậy, từ | γ |> 1 + p2 và p2 ≤ 1 suy ra nếu
trong (1.3) ta thay z1 , z2 , α, β và p3 bằng z1 | γ | γ −1 , z2 | γ | γ −1 , | γ |, 0


22

và p2 tương ứng thì ta được

(θ(x21 + x22 )) > 1, trên tập

{(z ∈ C 2 :|| z1 − γ |2 + | z2 |2 ≤ p22 }.

Định lý được chứng minh. Như vậy, p(B2 ) nằm phía bên phải đường thẳng
w = 1 trong mặt phẳng phức. Do đó p(S1 ) ∩ p(S2

bổ đề Kallin ta nhận được điều cần chứng minh.

S3 ) = ∅. áp dụng


23

CHƯƠNG 2
TÍNH CHẤT LỒI ĐA THỨC ĐỊA PHƯƠNG CỦA HỢP HAI
KHÔNG GIAN TẬP HOÀN TOÀN THỰC TRONG CN

Chương này trình bày các nghiên cứu về tính lồi đa thức địa phương
của hợp hai không gian con hoàn toàn thực trong Cn .
2.1. Tính chất lồi đa thức địa phương của hợp hai không gian
con hoàn toàn thực cực đại trong Cn

Mục này nghiên cứu tính chất lồi đa thức địa phương của hợp hai không
gian con hoàn toàn thực cực đại trong Cn .
2.1.1 Định nghĩa. Không gian con N của Cn được gọi là hoàn toàn
thực nếu N không chứa bất kỳ vectơ phức nào, tức là nếu N ∩ iN = {0}.
2.1.2 Ví dụ. 1) Rn là không gian con hoàn toàn thực của Cn . Thật vậy,
với mọi v = (v1 , ..., vn ) ∈ Rn thì iv = (iv1 , ..., ivn ) ∈ Rn khi và chỉ khi
v1 = ... = vn = 0, tức là Rn ∩ iRn = {0}.

2) Xét N = {z, z} : z ∈ C}. Khi đó, N là không gian con hoàn toàn
thực của C2 . Thật vậy, dễ dàng kiểm tra được N là không gian con của C2 .
Giả sử v = (z, z) = (a+ib, a−ib) ∈ N . Khi đó iv = (−b+ia, b+ia) thuộc
N khi và chỉ khi −b = b và a = −a, tức là a = b = 0. Vậy N ∩ iN = {0}.

2.1.3 Nhận xét. 1) Rõ ràng, nếu N là không gian con hoàn toàn thực
của Cn thì N có chiều thực không vượt quá n.

2) Trở lại với N = {z, z} : z ∈ C}. Khi đó, xét phép biến đổi tuyến


24

tính T : C2 → C2 xác định bởi
T (z, w) =

z+w z−w
,
2
2i

với mọi (z, w) ∈ C2 . Khi đó, dễ dàng kiểm tra được T (N ) = R2 . Trong
thực tế, người ta có thể chứng minh kết quả tổng quát hơn là: Nếu N
không gian con hoàn toàn thực và có chiều thực n của Cn thì tồn tại phép
biến đổi tuyến tính từ Cn vào Cn sao cho T (N ) = Rn .
2.1.4 Mệnh đề. Phép biến đổi tuyến tính trong Cn bảo toàn tính
hoàn toàn thực của không gian.
Chứng minh. Giả sử N là không gian con hoàn toàn thực của Cn và
T : Cn → Cn là phép biến đổi tuyến tính. Ta chứng tỏ rằng T (N ) cũng

hoàn toàn thực. Thật vậy, giả sử ngược lại T (N ) không hoàn toàn thực.
Khi đó, tồn tại u ∈ T (N ) sao cho u = 0 và iu ∈ T (N ). Do T là phép biến
đổi tuyến tính (song ánh và tuyến tính) nên tồn tại v ∈ N sao cho v = 0
và T (v) = u. Khi đó T (iv) = iu ∈ T (N ). Do đó iv ∈ N , mâu thuẫn với
N hoàn toàn thực.

2.1.5 Mệnh đề. Nếu K là tập lồi đa thức trong Cn và T : Cn → Cn
là phép biến đổi tuyến tính thì T (K) cũng là tập lồi đa thức.

Chứng minh. Vì T là phép biến đổi tuyến tính nên
T (z) = Az,

trong đó A = [aij ]n×n là ma trận không suy biến và z = (z1 , ..., zn ). Giả
sử T (K) không lồi đa thức. Khi đó, tồn tại w ∈
/ T (K) sao cho
|p(w)|

max |p(v)|
v∈T (K)

với mọi đa thức p trong Cn . Do T là song ánh nên tồn tại z ∈
/ K sao cho
T (z) = w. Vì z ∈
/ K nên tồn tại đa thức p sao cho
|p ◦ T (z)|

max |p ◦ T (u)|.
u∈K


25

Do T là song ánh tuyến tính nên p ◦ T chạy qua mọi đa thức của Cn . Do
ˆ , mâu thuẫn với z ∈
đó z ∈ K
/ K và K lồi đa thức.
Bây giờ, chúng ta xét hai không gian con L, N hoàn toàn thực, có chiều
thực n của Cn và L ∩ N = {0}. Do mỗi không gian con hoàn toàn thực
là lồi đa thức địa phương (theo H¨omander và Wermer), chúng ta xem xét

tính lồi đa thức địa phương của L ∪ N . Nhờ Mệnh đề 2.1.4 tồn tại phép
biến đổi tuyến tính T trong Cn sao cho T (L) = M và T (N ) = Rn . Khi
đó, M, Rn là hoàn toàn thực và M ∩ Rn = {0}. Hơn nữa, Nhờ Mệnh đề
2.1.5 chúng ta có thể quy về xét bài toán cho trường hợp M ∪ Rn .
2.1.6 Nhận xét. Giả sử M là không gian con n chiều thực của C n
với M ∩ Rn = {0}. Giả sử {v1 , v2 , ..., vn } là một cơ sở của M trên R.
Nếu vj = sj + itj với sj , tj ∈ Rn , 1

j

n thì t1 , t2 , ..., tn là một hệ

độc lập tuyến tính do bao tuyến tính của M ∪ Rn với hệ số trên R là
C n . Do đó, tồn tại ma trận A vuông cấp n với các phần tử thực sao cho
Atj = sj , 1

j

n. Vì vậy, M có thể biểu diễn được dạng duy nhất là

M (A), trong đó M (A) = (A + i)Rn . M (A) là hoàn toàn thực nếu và chỉ

nếu i không là giá trị riêng của A.
2.1.7 Định lý. ([15]) Cho λ ∈ R và λ = 0. Nếu lấy An = (aij ) là ma
trận vuông cấp n cho bởi
aij = λ, 1
ai,j+1 = 1, 1

i
i

n;
n − 1;

aij = 0

Khi đó, mỗi tập compact của M (An ) ∪ Rn là lồi đa thức.
Chứng minh. Mỗi tập compact của M (An ) ∪ Rn có dạng K ∪ L, trong
đó K ⊂ Rn và L ⊂ M (An ). Ta chứng minh định lý bằng quy nạp. Giả sử
λ > 0. Với n = 1, ta có M1 = {(λ + i)t : t ∈ R}. Xét đa thức F (z) = z 2 .