Ứng dụng của đạo hàm



CHUYÊN ĐỀ:

ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM

I)

Mở đầu

Chúng ta đều biết công thức tính và những quy tắc tính đạo hàm của hàm
của những hàm số cơ bản như hàm đa thức, hàm phân thức, hàm lượng
giác. Tuy nhiên, chúng ta cũng đặt ra câu hỏi: “Vậy tính đạo hảm để phục vụ
điều gì? Phải chăng đạo hàm không có ý nghĩa gì khác ngoài việc xét tình
đồng biến nghịch biến thôi sao?”
Chắc chắn không phải vậy. Đạo hàm là một công cụ mạnh, có rất
nhiều ý nghĩa và công dụng, không chỉ trong Toán học mà còn phục vụ
nhiều ngành khác như Vật lý, Hóa học, Sinh học, Thiên văn học, Tin học,…
Để giúp các bạn cảm thấy thêm về vẻ đẹp của toán học nói chung và
đạo hàm nói riêng, trong chuyên đề này, tôi sẽ giới thiệu một số ứng dụng
của đạo hàm trong giải phương trình, hệ phương trình, bất đẳng thức, và cực
trị. Các bài toán đưa ra sẽ tăng dần về độ khó và mực độ vận dụng.Trong tập

“Có chí thì nên”


Ứng dụng của đạo hàm

chuyên đề này, tôi sẽ đưa ra lời giải, nêu nhận xét hướng tiếp cận và phương
pháp trong mỗi bài toán.
Sau đây, tôi sẽ nhắc lại một số qui tắc và công thức tính đạo hàm cơ
bản.

II) Một số qui tắc và công thức tính đạo hàm
1) Bảng đạo hàm các hàm số cơ bản
Hàm số

Đạo hàm

Hàm số

Đạo hàm

yc

0

y  tan x

1
cos 2 x

yx

1

y  cot x


1
sin 2 x

y  xn

n. x n 1

y  ex

ex

1
x2

y  ln x

a x .ln a

y  ax

1
x

y  log a x

ln a
x

y


1
x

y x

1
2 x

y  sinx

cos x

y  cos x

 sinx

2) Đạo hàm của hàm hợp
Ta xét hàm số hợp y  f  u  x   . Ta tính đạo hàm của hàm số đã cho theo
x như sau:

y '( x )  f '(u).u '( x )

“Có chí thì nên”


Ứng dụng của đạo hàm




3) Các phép toán tính đạo hàm
Cho hai hàm số y  u( x), y  v( x)
Khi đó:
(u  v)'  u ' v '

(u  v)'  u ' v '

(uv ) '  u ' v  uv '
(ku)'  k.u '

 u  u ' v  uv '
 ' 
v2
v

Như vậy, ta đã ôn lại một số công thức tính đạo hàm cơ bản. Sau đây, tôi
xin trình bày một số ứng dụng của đạo hàm.

“Có chí thì nên”


Ứng dụng của đạo hàm



III) ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM TRONG GIẢI
PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH
Nhắc lại: Việc ứng dụng đạo hàm trong giải phương trình, hệ phương trình
chủ yếu nằm trong việc xét tình đơn điệu của hàm số để chỉ ra một nghiệm duy
nhất hoặc đưa phương trình về cùng cấu trúc hàm và đạo hàm hàm đặc trưng.

Sau đây là một số ví dụ cụ thể.
1) Một số bài toán
Bài toán 1: Bài toán mở đầu:
Giải phương trình: 4 x  1  4 x 2  1  1
Giải: Điều kiện: x 

1
2

1
Xét f ( x)  4 x  1  4 x 2  1 xác đinh trên  ;   ta thấy
2

f '( x ) 



4
4x
1


 0x   ;  
2
4x 1
2

4x 1

Do đó f ( x ) đồng biến trên TXĐ nên nếu phương trình có nghiệm, đó là nghiệm

duy nhất.
Nhận thấy phương trình có một nghiệm x 

1
1
nên phương trình có nghiệm x 
2
2

.
Nhận xét: Đây là một bài toán cơ bản. Nhận thấy phương trình đã cho là một
hàm theo x , ta liền nghĩ đến ý tưởng xét đạo hàm f ( x ) để khảo sát tính đơn
điệu, từ đó chỉ ra một nghiệm và khẳng định đó là nghiệm duy nhất.
Sau đây là một bài khái quát hơn:

“Có chí thì nên”


Ứng dụng của đạo hàm



Bài toán 2: Giải phương trình:

x  1   x2  4 x  5

Giải: TXĐ: 1;  
Ta xét: f ( x )  x  1  f '( x ) 

1

 0, x  1;   nên f ( x ) đồng biến trên
2 x 1

TXĐ.
Lại có g ( x)   x 3  4 x  5  g '( x)  3x 2  3  0x 

nên g ( x) nghịch biến trên

TXĐ.
Do đó phương trình f ( x)  g ( x) nếu có nghiệm thì chỉ có một nghiệm duy nhất,
dễ thấy đó là x  1 .
Nhận xét: Bài toán này đã được khái quát hơn so với bài toán đầu tiên, ý tưởng
đạo hàm để xét tính đơn điệu đã được sử dụng ở cả hai vế. Tuy nhiên, những
bài thuộc dạng này không nhiều và đơn giản.
Sau đây tôi sẽ giới thiệu một số bài toán sử dụng phương pháp đưa hai vế về
cùng cấu trúc hàm rồi dùng đạo hàm để giải.

Bài toán 3: x 2  2 x  2 2 x  1
1
Hướng dẫn: Tập xác đinh:  ;  
2



Ta biến đổi để hai vế của phương trình về cùng một cấu trúc hàm. Tuy
vậy, do vế phải là một biểu thức chứa căn, ta không thể phân tách được, nên ta
dự đoán sẽ thêm bớt để vế phải trở thành một hàm bậc hai theo biến 2 x  1 .
Thật vậy:
Phương trình tương đương:


“Có chí thì nên”


Ứng dụng của đạo hàm



( x  1) 2  2 x  1  2 x  1  2 2 x  1
 ( x  1) 2  2( x  1)  (2 x  1)  2 2 x  1

Nhận thấy phương trình đã được đưa về dạng có cùng cấu trúc hàm, giờ
ta xét hàm đặc trưng: Xét hàm: f (t )  t 2  2t , t 
f '(t )  2t  2  0, t 

1
, dễ thấy:
2

1
. Do đó theo tính chất, ta thu được: x  1  2 x  1 . Đến
2

đây, phương trình đã được đưa về dạng cơ bản. Bạn đọc tự giải nốt.
Nhận xét: Đây là một bài toán cơ bản của phương pháp đưa hai vế về cùng cấu
trúc hàm.
Để làm rõ hơn, ta sẽ tìm hiểu một bài toán hệ phương trình cao cấp hơn:

Bài toán 4 (ĐH A- 2013): Giải hệ phương trình:
 x  1  4 x  1  y 4  2  y
 2

2
 x  2 x( y  1)  y  6 y  1  0

Hướng dẫn: Ta biến đổi phương trình (1) một chút:
x 1 2  4 x 1 

y4  2  4 y4

Nhận thấy phương trình (1) đã được đưa về dạng hai vế có cùng cấu trúc hàm.
Xét hàm đặc trưng: f (t )  t  2  4 t trên TXĐ  0;   . Dễ thấy
f '(t ) 

1
1
 4  0x  TXĐ. Do vậy ta được: x  1  y 4 thay vào phương
2 t2 2 t

trình (2), biến đổi ta thu được:
y ( y 7  2 y 4  y  4)  0

y  0
 7
4
y  2y  y  4  0

“Có chí thì nên”


Ứng dụng của đạo hàm




Xét hàm g ( y )  y 7  2 y 4  y  4 , dễ thấy g '( y )  7 y 6  8 y 3  1  0y  0 nên phương
trình g ( y )  0 có nghiệm duy nhất y  1  x  2 .
Nhận xét: Bài toán này đã được nâng cấp lên từ một bước thành hai bước dùng
đạo hàm, ta cần phải kết hợp khéo léo cả hai phương pháp mới có thể đưa ra
lời giải đúng. Tuy nhiên, việc xét dấu của đạo hàm ở bài toán vẫn vẫn khá dễ
dàng.
Sau đây là mốt số bài toán ở cấp độ cao hơn mà ta cần khôn khéo trong việc xử
lí điều kiện:

 x 3 y  y 4  28
Bài toán 5: Giải hệ phương trình:  2
2
3
 x y  2 xy  y  18 2

Nhận thấy ở phương trình (1) và (2) đều có thể phân tích được thành nhân tử,
mặc dù phương trình (2) hệ số tự do là số vô tỷ, nhưng ta cũng thử biến đổi cả
hai phương trình để thực hiện phương pháp thế:
 y ( x 3  y 3 )  28
PT tương đương: 
2
 y ( x  y )  18 2

Ta đánh giá được điều kiện x  y  0 . Từ phương trình (2), ta rút x ra, được:
3
 3 4 8



34 8
x
 y thay vào phương trình (1): y 
 y   y 3   28

y
 y





Đặt t  y  0 thì ta thu được t 9  3  3 4 8  t 3   28t  0 , dễ dàng chứng minh được
3

hàm f (t ) đồng biến trên  0;   mà ta nhận thấy cặp số ( x, y)  (2 2; 2) thỏa
mãn phương trình nên nó là nghiệm duy nhất.

“Có chí thì nên”


Ứng dụng của đạo hàm



Sau 5 ví dụ đi từ mức độ cơ bản đến vận dụng cao, có lẽ các bạn đã phần
nào nắm được một số đường lối để giải quyết mốt số phương trình hệ phương
trình bằng công cụ đạo hàm. Sau đây, tôi xin đưa ra một số bài tập vận dụng để
các bạn có thể tham khảo thêm


2) Một số bài tập vận dụng
Bài toán 6: Giải phương trình: x 

13 4
2 x  4 x 2  24 x  4
2

Bài toán 7: Giải phương trình: 2 x 2  6 x  1  4 x  5
Bài toán 8: Giải phương trình: (1  cos x)(2  4cos x )  3.4cos x (Gợi ý: Sử dụng định lý
Roolle)
Bài toán 9: Giải phương trình:




sin  .sin 2 x   cos  cos2 2 x   2sin x.sin 3x  cos 4 2 x  cos 4 x
2

2


Bài toán 10: Tìm m để phương trình:

x  9  x   x 2  9 x  m có nghiệm.

(Gợi ý: Sử dụng bảng biến thiên)
Bài toán 11: Tìm m để phương trình: x  2 x 2  1  m có nghiệm.
Bài toán 12: Tìm m để phương trình: 2 x 2  2 x  1  2 x 2  2 x  1  m có nghiệm.
Bài toán 13: Tìm m để phương trình: 3 x  1  m x  1  4 x 2  1 có nghiệm.
 x 3  3x 2  9 x  12  y 3  3 y 2  9 y

Bài toán 14: Giải hệ phương trình:  2 2
1
x  y x y 


2

“Có chí thì nên”


Ứng dụng của đạo hàm



Bài toán 15: Giải hệ phương trình:
 x  1  x  3  x  5 
 2
2
 x  y  x  y  80

y 1  y  3  y  5



3
2

 y  10 y  14 y  52  ( x  1) 3 3x  1  6 x  26
Bài toán 16: Giải hệ phương trình: 
2

2

3x  8 y  10 x  7

 x  y  2  3 x2  x  4
Bài toán 17*: Giải hệ phương trình: 

2
3
3
3

3 y ( y  3)  11( y  4)  2 13  x  3x  0

Bài toán 18*: Giải hệ phương trình:







3 x  x  x 2  3 y  y 2  3  0


2
 2 x  3  2  y 4  3  y  x  2  2x  y  3  0









Bài toán 19*: Giải hệ phương trình:





3(3x  2)  y  2 x  5 3 x 2  5  x 2  2 3 y  2 x  5


2
2
3 2
4
4
3

 y  4. y  7 y  10  x  1. x  2 x  3. x 2 x  4

Để làm hết số bài tập tự luyện này, bạn cần phải đọc thật kỹ các ví dụ và lý
thuyết rồi mới có nền tảng để giải. Trong khuôn khổ chuyên đề, tôi không thể
nêu ra hết lời giải ở đây được, hy vọng sẽ được cùng các bạn trao đổi vào một
dịp khác. Tiếp theo, tôi xin giới thiệu Một số ứng dụng của đạo hàm trong việc
tìm cực trị của hàm số.

“Có chí thì nên”





Ứng dụng của đạo hàm



IV) MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM
TRONG TÌM CỰC TRỊ HÀM SỐ
Để tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của một hàm số trong một miền ta thường
xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm.
Nhắc lại: Cho hàm số f ( x ) xác định trên miền D thì:
+) m  max f ( x)  m  f ( x)x  D
+) M  max f ( x)  m  f ( x)x  D
Trong khuôn khổ chuyên đề, tôi không thể lập chi tiết tất cả các bảng biến thiên
được, do vậy, xin phép chỉ được nêu kết quả của bảng biến thiên!
1) Một số bài toán
Bài toán 1: Bài toán mở đầu:
Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số: f ( x)  x 4  x2
Giải: Điều kiện: 2  x  2
Ta có f '( x ) 

4  2 x2
4  x2

 f '( x )  0  x  2

Lập bảng biến thiên:


“Có chí thì nên”


Ứng dụng của đạo hàm



Từ bảng biến thiên, ta tìm được
Maxf ( x )  2  x  2
Minf ( x )  2  x   2

Nhận xét: Để tìm cực trị của hàm số, ta làm theo 3 bước:
Bước 1: Tìm miền xác định của hàm số.
Bước 2: Tính đạo hàm của hàm của hàm số và giải phương trình f '( x)  0 .
Bước 3: Lập bảng biến thiên.
Sau đây ta sẽ đến với một ví dụ cao cấp hơn:

Bài toán 2: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số: y  x  1  3x2  6 x  9
Giải: Miền xác định:  1;3
Ta có: y '  1 

6  6x
2 3x 2  6 x  9



3x 2  6 x  9  3  3x
3x 2  6 x  9

nên: y '  0  3x 2  6 x  9  3x  3  x  2

Lập bảng biến thiên:

Dựa vào BBT ta thu được Maxy  6 khi x  2 và Miny  0 khi x  1 .

“Có chí thì nên”


Ứng dụng của đạo hàm



Nhận xét: Ở bài toán này, việc giải phương trình tìm nghiệm của hàm đạo hàm
đã khó khăn hơn. Tuy nhiên việc xử lí điều kiện vẫn khá đơn giản. Sau đây ta sẽ
cùng tìm hiểu một hàm khó hơn là hàm lượng giác.

Bài toán 3: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số: y  5cos x  cos5 x với


x
4
4

Giải: Xét y '  5sin x  sin 5x
k

 x  2
 y '  0  5sin x  sin 5 x  0  
(k  )
 x    k


5 3

Mà





x
nên x  , x  0, x  .
4
4
5
6

Dựa vào bảng biến thiên, ta tìm được Maxy  3 3 khi x 


6

và Miny  4 khi

x  0.

Bài toán 4: Gọi x1 , x2 là hai nghiệm của phương trình: x 2  ax 

1
 0,  a  0 
a2


Tìm a để A  x14  x24 min .
Nhận xét: Đề bài cho phương trình bậc hai và hai nghiệm, gợi ta nhớ đến định
lý Viete.
 x1  x2  a
Giải: Theo định lý Viete ta có: 
1
 x1 x2  a 2

“Có chí thì nên”


Ứng dụng của đạo hàm



Vậy A  x14  x24  ( x12  x22 )2  2 x12 x22  ( x1  x2 )  2 x1x2   2 x12 x22  A  a 4  4 
 A'  0  a4  4 

2
a4

2
 0  a  8 2
a4
1
2

Lập bảng biến thiên, ta tìm được min A   a   8 2 .
Sau lớp bài hàm một biến, ta sẽ xét sang lớp bài hàm nhiều biến, mà điển
hình là những bài bất đẳng thức và cực trị hay, khó trong đề tuyển sinh ĐHCĐ. Thực chất của việc tìm cực trị hàm nhiều biến là ta thực hiện những đánh

giá trung gian để có thể đưa về hàm một biến rồi tính đạo hàm.

Bài toán 5: (ĐH khối B-2007): Cho các số thực không âm a , b, c có tổng là 1 .
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A  3 a 2b2  3 ab  2
Hướng dẫn: Đặt

 ab  x

nên

 ab  x 

(  a )2
3



a

2

1
 1
 x  0; 
3
 3

Ta đánh giá biểu thức đã cho để có thể chuyển về hàm một biến:
A  3 a 2b 2  3 ab   3 ab  2


a

2

 3x  2 1  2 x

5
1
Xét hàm số f ( x )  3x  2 1  2 x , x  0;   f '( x )  0  3x  2 1  2 x  0  x 
 3

18

Lập bảng biến thiên, ta tìm được A  f ( x)  f (0)  2 .
Dấu bằng xảy ra khi chẳng hạn x  y  0, z  1 .
Nhận xét: Đây là một bài toán khá hay, đòi hỏi phải biến đổi khéo léo. Ta phải
qua đánh giá trung gian để có thể chuyển về lớp hàm một biến.

“Có chí thì nên”


Ứng dụng của đạo hàm



Bài toán 6: Cho a, b là hai số thực thỏa mãn 2(a 2  b2 )  ab  (a  b)(ab  2) . Tìm
 a 3 b3 
 a 2 b2 



9
 2  2
3
3 
a 
b a 
b

GTNN: P  4 

Hướng dẫn: Xử lí điều kiện:
2(a 2  b2 )  ab  (a  b)(ab  2)  a 2b  ab2  2(a  b)
a b
1 1
 a     1  ( a  b)  2   
b a
a b
a b 5
1 1
a b
Theo BĐT AM-GM ta có: (a  b)  2     2 2    2     .

a

a
b

b
a


Đặt t   , t 

b

b

a



b

a

2

5
thì P  4t 3  9t 2  12t  18  f (t ) nên f '(t )  0  t  1, t  2 .
2

Lập bảng biến thiên, ta tìm được MinP 

23
khi (a, b)  (1, 2);(2,1) .
4

a
1
Bài toán 7: Cho a , b, c là các số thực trên đoạn  ;3 . Tìm GTLN: P  


3 

ab

Nhận xét: Đây là một bài toán khó cần những đánh giá hay và phải chia trường
hợp để giải. Ngoài ra cần phải dùng đến một kĩ thuật gọi là hằng số biến thiên,
coi những biến số là một hằng số. Kĩ thuật này có thể được sử dụng trong khá
nhiều bài toán.
Sau đây tôi xin trình bày lời giải:
Hướng dẫn: Coi P là một hàm theo biến a thì:
P '( a ) 

b
c
(b  c )( a 2  bc )


( a  b) 2 ( c  a ) 2 ( a  b) 2 ( a  c ) 2

W.L.O.G giả sử a  b  c  b  c  0, a 2  bc  0  P '(a )  0
 P( a )  P(3) 

3
b
c


 f ( c)
b3 bc c3


“Có chí thì nên”


Ứng dụng của đạo hàm



Coi P(3) là một hàm theo c thì f '(c) 

b
3
(b  3)(3b  c 2 )


0
(b  c ) 2 ( c  3) 2 (b  c ) 2 (c  3) 2

1
3
3b
1
Do đó f (c)  f   

  g ( b)
 3  3  b 3b  1 10

8
5

Tương tự ta suy ra được g (b)  g (1)  .

Vậy P(a, b, c) 

8
1
khi (a, b, c)   3,1,  và các hoán vị.
5
3


Vậy là chúng ta vừa đi qua khá nhiều bài tập vận dụng, từ mức độ cơ bản
đến mức độ khó. Sau đây, tôi xin đưa ra thêm một số bài tập tương tự để bạn
đọc có thể giải.

2) Một số bài tập tương tự
2.1) Lớp hàm một biến
9
4

Bài toán 8: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số y  x 6  3x 4  x 2 
trên đoạn

1;1 .

Bài toán 9: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số

f ( x) 

s inx+1
sin x  s inx  1 .


Bài toán 10: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất nếu có của hàm số
Bài toán 11: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất nếu có của hàm số
f ( x) 

1
4

x
x  2 1.
2

Bài toán 12: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số
f ( x )  1  x 2  2 3 (1  x 2 )2

.
“Có chí thì nên”

2

f ( x) 

x 1
x2  1 .


Ứng dụng của đạo hàm



3

Bài toán 13: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số f ( x) | x  3x | với

2  x  1 .
2
Bài toán 14: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số f ( x )  x . 2 | x | .

4
2
2
Bài toán 15*: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số f ( x)  x  6ax  a

2  x  1 .

2.2) Lớp bài nghiệm của phương trình
Bài toán 16: Gọi x1 , x2 là 2 nghiệm của phương trình:

12 x 2  6mx  m 2  4 

12
0
m2

3
3
Tìm m để A  x1  x2 đạt giá trị lớn nhất và nhỏ nhất.

 x1  x2  a
 2
2
2

x1 , x2
Bài toán 17: Giải sử
là nghiệm của phương trình:  x1  x2  6  a

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức F  x1 x2  2( x1  x2 ) .

2.3) Lớp bài tìm điều kiện để đạt cực trị
Bài toán 18: Xác định a để giá trị nhỏ nhất của hàm số
y  x 2  (2a  1) x  a 2  a  1 trên miền  1;2 bằng 1 .
2
2
Bài toán 19: Cho phương trình: x  (a  1) x  a  0 . Tìm a để tổng nghịch đảo

hai nghiệm của phương trình trên là nhỏ nhất.

2.4) Lớp bài cực trị ba biến
Bài toán 20: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số
“Có chí thì nên”


Ứng dụng của đạo hàm



 x2 y 2   x y 
f ( x, y )  3  2  2   8   
x   y x  x, y  0
y

Bài toán 21: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số

 x4 y4 
 x2 y 2   x y 
f ( x, y )   4  4   2  2  2     
x 
x  y x
y
y
với x, y  0 .

Bài toán 22: Cho hai số nguyên dương x, y có tổng là 1 .

Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số:

f ( x, y )  x 2  y 2 

1
1
 2
2
x
y .

2
2
2
2
Bài toán 23: Cho hai số nguyên dương x, y thỏa mãn x  y  x 1  y  y 1  x

Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số:
f ( x, y )  x 2  y 2 


1
1
 2
2
x
y .

2
2
Bài toán 24: Cho hai số x, y thỏa mãn x  xy  y  xy ( x  y ) . Tìm max:

A

1
1
 3
3
x
y .

Bài toán 25: Cho a, b, c  0 thỏa mãn a  b  c  3 . Chứng minh rằng:

a

2

 abc  4

.


2
2
Bài toán 26: Cho hai số x, y thỏa mãn x  y  xy  1 . Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ

nhất:
P

x4  y4  1
x2  y2  1 .

Bài toán 27: Cho hai số dương x, y thỏa mãn xy  x  y  3 . Chứng minh:
3x
3y
xy
3


 x2  y2 
y 1 x 1 x  y
2

“Có chí thì nên”


Ứng dụng của đạo hàm



Bài toán 29*: (ĐH Khối A 2009) Cho ba số dương x, y, z thỏa mãn

x( x  y  z )  3 yz .

Chứng minh rằng:

( x  y )3  ( x  z )3  3 ( x  y )  5( y  z )3

2.4) Lớp bài lượng giác
Bài toán 30: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số
  
;
y  sinx+cosx+tanx+cotx trên đoạn  6 3  .

Bài toán 31: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số:
y

3cos4 x  4sin 2 x
3cos4 x  2 cos 2 x .

Bài toán 32: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số
1
y  2(1  sin 2 x cos 4 x )  (cos 4 x  cos8 x )
2
.
8
4
Bài toán 33: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số: y  sin x  cos x

Bài toán 34: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số:
y  cos 2 x 


1
1
 cos x 
4
2
cos x
cos x
.

Bài toán 35: Cho tam giác ABC thỏa mãn A  B  C . Tìm giá trị nhỏ nhất:
f ( x) 

x  sin A

x  sin C

x  sin B
1
x  sin C
.

“Có chí thì nên”


Ứng dụng của đạo hàm



V) Kết thúc
Đạo hàm là một công cụ hữu ích, nó còn có nhiều ứng dụng trong lĩnh

vực Hình học, Vật lý, Hóa học,...Trong chuyên đề này, với khoảng 50 bài
toán, tôi đã trình bài với các bạn hai ứng dụng cơ bản nhất của đạo hàm
trong đại số là trong phương trình, hệ phương trình và trong cực trị, bất đẳng
thức.
Hy vọng chuyên đề nhỏ này sẽ giúp bạn cảm thấy học đạo hàm nói riêng
và học Toán nói chung thêm phần ý nghĩa.
Chắc chắn tài liệu này chưa hoàn chỉnh, tôi rất mong nhận được sự đóng
góp của bạn đọc tại địa chỉ email.
Xin chân thành cảm ơn!

“Có chí thì nên”


Ứng dụng của đạo hàm



TÀI LIỆU THAM KHẢO:
- diendantoanhoc.net
- artofproblemsolving.com
- toanhocbactrungnam.com
- tailieu247.com
- ebooks012.com

“Có chí thì nên”


Ứng dụng của đạo hàm




“Có chí thì nên”