www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
Thủ thuật lượng giác

Nguyễn Tiến Chinh

Phần 1: Lý thuyết + biến đổi lượng giác

01

Bài 1 : Chọn đáp án đúng khi rút gọn các biểu thức sau
Ví dụ mẫu: Rút gọn

sin4 x  sin 2 x  cos 4 x
1
Calc: x  60  P    cos120  cos 2x
tan 2 x  1
2

Ví dụ 2: P 
Nhập

ai

Nhập

H
oc

sin 4 x  sin 2 x  cos 4 x
tan 2 x  1

uO
nT
hi
D

P

cos3 x  cos3x sin 3 x  sin 3 x

cosx
sin x

cos3 x  cos3 x sin 3 x  sin 3x

Calc: x  60  P  3; Calc : x  15  P  3...
cosx
sin x

2 sinx  3

là

iL

1

Ta

Ví dụ 3 .Tập xác định của hàm số y 


ie

Vậy P = 3




B. D  R\  2 k ; k  z
 6


s/




A. D  R\  2 k ; k  z
 3


/g

1
2 sin x  3

om

Nhập Mode 7 f x 

ro


up



5

2

C. D  R\  2 k ,  2 k ; k  z D. D  R\  2 k ,  2 k ; k  z
 6

 3

6
3

ce

bo

ok

.c

Start : 0 ; End 180 ; Step 15 ta có bảng

0

- 0.577


15

- 0.822

30

- 1.366

.fa

………………………

w
w
w

f x 

x

……………………

60

ERR0R

120

ERR0R


Vậy đáp án là D
Ví dụ Hàm số y  4 sin x  cos 2x có bao nhiêu cực trị thuộc  0; 2 

15 – Phó Đức Chính - Đà Nẵng hoặc 12/5 Nguyễn Thị Minh Khai Tel : 0905.558.918

www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01


www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
Thủ thuật lượng giác

Nguyễn Tiến Chinh

Có y'  4cosx  2sin 2x
f  x   4cos x  2sin2x

và

Start : 0; End : 180 ; Step : 15

Start : 180; End : 360 ; Step : 15

01

f  x   4cos x  2sin2x

Nhập Mode7

H

oc

Thấy đổi dấu 2 lần tại x  90  x  270 nên hàm số có 2 cực trị
Ví dụ : tìm Max – Min hàm số





ai


trên đoạn  0; 
 2

uO
nT
hi
D

1. y  2 cos 2x  4 sin x

Có y'  2 2 sin 2 x  4cosx

Nhập Mode 7 f x  2 2 sin 2 x  4cosx Start : 0 ; End :90 ; Step 15 ta có
f  x

ie

x

4

iL

0

s/

30

2.4494

Ta

15

60

-0.443

75

-0.378

90

0

om




2 cos 2x  4 sin x Calc : x = 0

ok

Nhập f x 



;x 
4
2

0

.c

Vậy nghiệm là x 

/g

ro

up

45

1.0146


bo

 f 0  2 ;Calc : x  45  f 45  2 2 ;Calc : x  90  f  x  4  2



2 cos 2x  4 sin x để tìm Max , Min nhưng

sẽ phải khảo sát table nhiều lần vì kho thể lấy bước nhẩy quá
lớn do đó sẽ lâu hơn cách trên

Ví dụ giải các phương trình

w

w

w

.fa

ce

Chú ý : Có thể nhập Mode 7 f x 

15 – Phó Đức Chính - Đà Nẵng hoặc 12/5 Nguyễn Thị Minh Khai Tel : 0905.558.918

www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01



www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
Thủ thuật lượng giác

Bài 1.

Nguyễn Tiến Chinh

Giải phương trình:

cos 3x  4 cos 2x  3 cos x  4  0

 , x  0;14

H
oc

01

Lời giải
Bước 1: Nhập vào Casio
Mode7 , máy hiện thị

ai

nhap
f x  
 f  x  cos3 x  4 cos 2 x  3 cos x  4

uO
nT

hi
D

Start : x  0
End : x  180
Step : 15

Ta có kết quả
Làm tương tự

x  90 


2

ie

nhap
f x  
 f  x  cos3 x  4 cos 2 x  3 cos x  4

iL

Start : x  180
End : x  360

3
2

s/


x  270 

Ta

Step : 15

bo

ok

.c

om

/g

ro

up

Ta có kết quả
Hết nghiệm , biểu diễn nhanh trên vòng tròn lượng giác ta có

Hai nghiệm đối xứng nhau qua gốc tọa độ
Do đó chỉ nhận nghiệm

x



 k ,k  Z
2

 0 ; 14 nên ta làm tiếp


Cho 0  x    k,k  Z  14  0  0.5  k  14  4.46
2

Start : 3

tim.duoc
Nhập mode7, f x  0.5  x;cho : End : 3 
k  0 ; 1; 2 ; 3

Step : 1
 3 5 7 
Vậy phương trình có 4 nghiệm x   ; ; ; 
 2 2 2 2 

như sau

w

w

w

.fa


ce

Bước 2: Do bài chỉ yêu cầu tìm trên

15 – Phó Đức Chính - Đà Nẵng hoặc 12/5 Nguyễn Thị Minh Khai Tel : 0905.558.918

www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01


www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
Thủ thuật lượng giác

Nguyễn Tiến Chinh

Giải phương trình: 2 cos x  12 sin x  cos x   sin 2x  sin x 

Bài 2.

nhap
f x  
 f  x  2 cos x  12 sin x  cosx  sin 2 x  sin x

H
oc

01

Start : x  0
End : x  180
Step : 15


ai


3
; x  135 
3
4

nhap
f x  
 f  x  2 cos x  12 sin x  cosx  sin 2 x  sin x

Start : x  180
End : x  360
Step : 15


x  300   ; x  315  
3
4

iL
Ta
s/

up

Các nghiệm là




 x    k 2

3



 x    k

4

ie

Ta có kết quả
Kết hợp trên đường tròn ta có

uO
nT
hi
D

Ta có kết quả
Lần 2

x  60 

ro

Chú ý: các điểm đứng một mình k 2

Có 2 điểm đối xứng
 k


k
2

om

/g

4 điểm cách đều nhau

Tổng quát : nếu có n điểm cách đều ta

2 k
n

.c

Giải phương trình: cos 3x  cos 2x  cos x  1  0



ok

Bài 3.




Hướng dẫn giải

bo

f x  cos3x  cos2 x  cosx  1

ce

Start : x  0
End : x  180

Kết quả

x  0  k 2 ; x  120 

2
,x  180  
3

w

w

w

.fa

Step : 15

15 – Phó Đức Chính - Đà Nẵng hoặc 12/5 Nguyễn Thị Minh Khai Tel : 0905.558.918


www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01


www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
Thủ thuật lượng giác

Nguyễn Tiến Chinh

f x  cos3x  cos2 x  cosx  1

01

Lần 2

Start : x  0
End : x  180
Step : 15

H
oc

2
; x  360  2  0 ,
3

 x  k


 x   2   k 2


3

Giải phương trình: sin x  cos x  1  sin 2x  cos 2x  0

ro

Start : x  0
End : x  180

up

Hướng dẫn giải

f x  sin x  cosx  1  sin 2 x  cos 2 x

cho

x  120 

2
3
,x  135 
3
4

/g

Step : 15




s/

Bài 4.

Ta

iL

ie

Vậy

uO
nT
hi
D

ai

Kết quả

x  240  

om

Lần 2

f x  sin x  cosx  1  sin 2 x  cos 2 x


ok

cho

x  240  


2
,x  315  
3
4

.fa

ce

bo

Step : 15

.c

Start : x  180
End : x  360

w

w


w

Kết quả



 x    k

4

2

 x    k 2
3


1. P  sin4 x  sin2 x cos2 x

15 – Phó Đức Chính - Đà Nẵng hoặc 12/5 Nguyễn Thị Minh Khai Tel : 0905.558.918

www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01


www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
Thủ thuật lượng giác

Nguyễn Tiến Chinh

Nhập P  sin4 x  sin2 x cos2 x  sin2 x rồi Calc : x  60  P  0 ; Calc : x  45; P  0... vậy


A.sin2 x

B.cos2 x

C.cos2 x

01

đáp án là A
D.sin 2 x

H
oc

2. P  sin4 x  cos4 x  cos2 x

ai

Nhập P  sin4 x  cos4 x  cos2 x - đáp án

uO
nT
hi
D

Ví dụ sin 4 x  cos4 x  cos2 x  sin2 x : Calc : x  60  P  0 ;Calc : x  15  P  0 … vậy đáp
án là A

A.sin2 x


B.cos2 x

C.cos2 x

D.sin 2 x

3. P  sin2 xtan x  cos2 x.cot x  2 sin x cos x
B.

2
tan x

C.

2
cos2 x

4. P  cos4 x  sin4 x  2 sin2 x
C.3

5. P  cos4 x 2 cos2 x  3  sin4 x 2 sin2 x  3
B. 2

up

A.1

Ta

B.2


s/

A.1

D.

ie

2
sin 2 x

iL

A.

2
cot x

D.4

C.1

D.2

C.1

D. 1.5

C. 2


D.2

C.3

D.2

C.cosx

D.

ro

6. P  sin6 x  cos6 x  2 sin 4 x  cos4 x  sin2 x
B.  0.5

.c

1
2

1

B.

2

ok

A.


1
1

1  cosx 1  cosx

om

7. P  sinx

/g

A.0

3
2

.fa

ce

A.

bo

8. P  sin4 x  4 cos2 x  cos4 x  4 sin2 x

w

w


w

9. P 

2
2

B.

2 sin 2 x  2 cos2 x  1

cosx  sinx  cos3x  sin 3 x

A.sinx

B.

=

2 3
3

1
sin x

1
cosx

15 – Phó Đức Chính - Đà Nẵng hoặc 12/5 Nguyễn Thị Minh Khai Tel : 0905.558.918


www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01


www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
Thủ thuật lượng giác

Nguyễn Tiến Chinh



10. P  1  sin x  1  sin x 0  x  

4 

B.cot 2 x

C.cos2 x

B.8 cos x

C.8 sin 2 x

ai
iL

C.5

D.6


Ta

B.4



2 1

B. 2





2 1

s/

2 1
sin x
với 0  x  90 0 vậy P  cot x 
2
1  cosx

up

15. Cho sin x 

D.8 sin x


ie

cos3 x  cos3x sin 3 x  sin 3 x

cosx
sin x

A.3



D.sin 2 x

sin2 3x cos2 3 x

sin 2 x
cos2 x

A.8 cos 2 x

A. 2

D.2 sin x

uO
nT
hi
D

A.tan2x


14. P 

C.cos2 x

sin 4 x  sin 2 x  cos 4 x
tan 2 x  1

12. P 

13. P 

B.2 cos x

H
oc

A.sin 2 x

01

1  cosx  cos2 x  cos3x
2cos2 x  cosx  1

11. P 

C.




2 1

D. 2 1  2



10

;

1

3

/g

3

B. 

10

om

A.

ro

16. Cho cot x  3 vậy cosx  ?; sinx  ? theo thứ tự


10

;

1
10

C.

1
10

;

3
10

D. 

1
10

;

3
10

.c

17. Biết tan x  2 cot x  3 vậy tan x  ?;cot x ? theo thứ tự

B. -1; -1 hoặc 2; 0.5

ok

A. -1 ; -1 hoặc 4; -0.5

D. 1;1 hoặc 2; 0.5

bo

C. 1; 1 hoặc 4; 0.5

Câu 18. Biết sin x  cosx  m vậy

ce

1. Sinx cos x ?

w

w

w

.fa

A.

m
2


m2
2

C.

m2  1
2

D.

1  m2
2

B. m2  2

C.

1  2m2  m4
2

D.

1  m4  2m2
2

B.

2. Sin4 x  cos4 x  ?


A. m4

15 – Phó Đức Chính - Đà Nẵng hoặc 12/5 Nguyễn Thị Minh Khai Tel : 0905.558.918

www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01


www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
Thủ thuật lượng giác

Nguyễn Tiến Chinh

3. tan2 x  cot 2 x  ?
B.

4  2 m4
m4

C.

2 m4  2 m2  1

m

2

 1

2


D.

01

4  2 m2
m2

H
oc

A.

2 m4  2m2  1
2

 1

2

ai

m

A.

3
,khi : k  2n
2

B. 


uO
nT
hi
D



19. Biểu thức A  cos  k bằng :
 6

3
,khi : k  2n  1
2

C. cả A và B đều

1
2 sinx  3

là



B. D  R\  2 k ; k  z
 6



2


D. D  R\  2 k ,  2 k ; k  z
 3

3

ro

1
có tập xác định là
4  5 cos x  2 sin2 x

/g

21. y 

up



5

C. D  R\  2 k ,  2 k ; k  z
 6

6

s/

Ta




A. D  R\  2 k ; k  z
 3


iL

20. Tập xác định của hàm số y 

ie

đúng

 

B. D  R\  2 k ; k  z
 4


 

C. D  R\  2 k ; k  z
 6


 

D. D  R\  2 k ; k  z

 3


ok

.c

om

 5

A. D  R\  2 k ; k  z
 6


bo

22. Tập xác định của hàm số
1

cot x  3

ce

a. y 




B. D  R\  k ; k ; k  z

 6





C. D  R\  k ;  k ; k  z
 3

2

 2


D. D  R\  k ;  k ; k  z
 3

2

w

w

w

.fa





A. D  R\  k ; k  z
 6


b. y  tan 2 x  cot 2 x

15 – Phó Đức Chính - Đà Nẵng hoặc 12/5 Nguyễn Thị Minh Khai Tel : 0905.558.918

www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01


www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01

 k

A. D  R\ ; k  z
 4


 k

B . D  R\ ; k  z
 2


C. D  R\ k ; k  z

 k

D. D  R\  k ; k  z

 4


01

Nguyễn Tiến Chinh

H
oc

Thủ thuật lượng giác



B. D  R\  k ; k  z
 6



 5
C. D  R\  k ; k  z
 6


D. Kết quả khác

uO
nT
hi
D


 k

A. D  R\ 
; k  z
 6

2

d. y  tan2 x  1

B. D  R\ k; k  z

C. D  R

D. Kết quả khác

Ta

iL

ie



A. D  R\  k ; k  z
 2


s/


1  cosx
sin2 x

up

e. y 

ai



c. y  cot 2 x  
3


B. D  R
D. D  R\  k 2 ; k  z

om

/g

C. D  R\ k; k  z

ro



A. D  R\  k 2 ; k  z

 2


.c

23. Chu kỳ của hàm số

bo

ok

1. y  cos2x

B. 2

C. 

D.


2

B. 

C.


2

D.



4

B. 

C.

2
3

D.


3

ce

A. 4

w

w

w

.fa

x
x

2. y  cot  4tan
2
2

A. 4
3. y  sin 2 x  3cos3x
A. 2

15 – Phó Đức Chính - Đà Nẵng hoặc 12/5 Nguyễn Thị Minh Khai Tel : 0905.558.918

www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01


www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
Thủ thuật lượng giác

Nguyễn Tiến Chinh

24. Max – Min

A. 1;1

B. 1;2

C. 0 ;2

D. 0 ;1

B. 2 ; 0


C. 3 ; -1

D. 2; -3

B. 6 ; 1

C. 4; -2

B. 2 ; -3

C. 3; -5

01

1. y  sin x 1 có GTLN – GTNN theo thứ thự là

A. 5 ;1

uO
nT
hi
D

A. 5; 2

ai

  7 
3. y  2 sin x  4 ; x   ; 
 6 6 


D. 2; -2

  5 
4. y  4 cos 2 x  1; x   ; 
 12 8 

B.

2  1; 0

B. 3 ; 1

B. 8; 3

om

.c

1
;0
2

B.

ok

A.

1

2

/g

A. 5 ; 1

ro

7. y  5  2 sin x  sin2 x

up

A. 5; -1

s/

6. y  2  2 sin x  cos2 x

C. 3 2  1; 1

Ta

A. 2 ; 0

iL

5. y  3 1  sin x  1

8. y  sinx  cos2 x 


D. 1; -5

ie

A. 3; -1

H
oc

2. y  3 cos 2 x  2

3 3
;
2 4

D. 3 2  1; 1

C. 4 ; 0

D.2 ; 1

C. 7 ; 5

D. 8; 4

C.

1
1
;

2
2

D. 2; 

1
2

bo

9. y  2 sin2 x  4 sin xcos x  5
B. 2 5  1 và

5 C. 2 5  1 và 1 D. 2 5  1 và

5

ce

A. 2 5 1 và 1

.fa

10. y  a.cos4 x  b.sin4 x; 0  a  b

w

w

w


A. b và 0

11. y 

B. a và 0

C. b và

ab
ab

D. b và

ab
ab

3 sinx
2  cosx

A. 1 và  3

B.

3 và 1

C.

3 và  3


D.

2 và -

2

15 – Phó Đức Chính - Đà Nẵng hoặc 12/5 Nguyễn Thị Minh Khai Tel : 0905.558.918

www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01


www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
Thủ thuật lượng giác

13. y 

1

B.

3

3 và 

1
3

C.

1

3

và 0

D.

3 và

2
11

D.

5
1
và
2
2

1

01

3

và 

3

H

oc

1

cosx  2 sin x  3
; x   ; 
2 cos x  sin x  4

A. 3 và 0

B. 1 và -1

14. y  sin

C. 2 và

2x
4x
 cos
1
2
1 x
1  x2

B. 2 và -1

A. 3 và 1

C.


ai

A.

  
cosx
; x   ; 
 2 2 
2  sinx

uO
nT
hi
D

12. y 

Nguyễn Tiến Chinh

17
và 2 sin2 1  sin 1  2 D. 4 và
8

ie

2 sin2 1  sin1 2

iL

15. Tập giá trị


Ta

a. y  tan2x

 k
C. T  R\  
 4
2 

D. Kết quả

B. T  1; 1

C. T   ; 

D. T  R

B. T  2 ; 2

C. T  R\k

D. Kết quả

B. T  2 ; 2

C. T  R

D. T  1; 1


B. T  1; 1

C. T  R

D.

up

B. T  R

s/

A. T  1;1

ro

khác

/g

b. y  tan3x  cot 3x

om

A. T  2; 2

.c

c. y  cot 2x


ok

A. T  R

bo

khác

ce

d. y  sin x  cosx

.fa

A. T   2 ; 2 



w

w

w

e. y  sin x  cosx
A. T   0 ; 1
T   2 ; 2 




15 – Phó Đức Chính - Đà Nẵng hoặc 12/5 Nguyễn Thị Minh Khai Tel : 0905.558.918

www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01


www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
Thủ thuật lượng giác

Nguyễn Tiến Chinh

B. Hàm ko tuần hoàn

C. Hàm số chẵn

D. Hàm không chẵn, không lẻ

26. Hàm số nào sau đây chẵn
C. y  cot x.cosx

B. y  x 2 .sin x

C. y 

x
cosx

B. y  2cos2x

C. y 


x
sin x

27. Hàm số nào sau đây chẵn
A. y  sin x

y  x  sin x

tan x
sinx

D.

D.

iL

ie

28. Hàm số nào sau đây lẻ
1
A. y  sinxcos2x
2

D. y 

ai

B. y  x.cosx


uO
nT
hi
D

A. y  sin 2 x

29. Hàm số nào sau đây lẻ

up

B. y  cot 3x

s/

Ta

y  1  tanx

A. y  tan x

C. y 

sin x  1
cosx

D.

ro


y  sin x  cosx

/g

30. Khẳng định nào sau đây là đúng

om

A. Hàm số y  cosx đồng biến trên  0;

B. Hàm số y  sin x đồng biến trên

.c

 0 ; 



D. Hàm số y  cot x nghịch biến trên

bo

ok

 
C. Hàm số y  tan x nghịch biến trên 0 ; 
 2 

ce


0 ;

w

w

.fa

31. Khẳng định nào sau đây là đúng

w

H
oc

A. Là hàm số lẻ

01

25. Hàm số y  1  sin2 x

  
A. Hàm số y  tan x luôn đồng biến  ; 
 2 2 

D. Hàm số y  tan x là hàm số chẵn





trên D  R\  k
 2


15 – Phó Đức Chính - Đà Nẵng hoặc 12/5 Nguyễn Thị Minh Khai Tel : 0905.558.918

www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01


www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
Thủ thuật lượng giác

Nguyễn Tiến Chinh

C. Hàm số y  tan x có đồ thị đối xứng qua O D. Hàm số y  tan x luôn nghịch biến

01

   
 ; 
 2 2 

H
oc

32. Max – Min

B. 1

2


C. 3

D. 0

uO
nT
hi
D

A.

2. y  3 cos x  1 có giá trị lớn nhất là
A. -2

B. 4

D. ko xác định

1
có giá trị nhỏ nhất là
cosx  1

1
2

B. 1

C.


1
2

D. Không xác

iL

A.

C. 1

ie

3. y 

ai

1. y   2 sinx có giá trị lớn nhất là

A. Không xác định

B. 1

s/

2
1  tan2 x

up


4. Giá trị nhỏ nhất của hàm số y 

Ta

định

C. 2

D. 1,5

A. Có GTLN là 2

om

C. Có giá trị nhỏ nhất là 1

/g

ro

5. Khẳng định nào sau đây là đúng y  sin 2 x  2
B. Có GTLN là 3
D. Có giá trị nhỏ nhất là 0

ok

.c

  
6. Khẳng định nào sau đây là đúng y  sin x trên  ; 

 2 2 

B. Có giá trị nhỏ nhất là -1

C. Giá trị lớn nhất là 1

D. Có giá trị nhỏ nhất là 1

bo

A. Không có giá trị lớn nhất

ce

7. Giá trị nhỏ nhất của y  cosx trên ; là

w

w

w

.fa

A. 

B. 1

C. 0


D. Không có

  
8. Giá trị lớn nhất của y  tan x trên  ;  là
 2 2 

A.


2

B. 0

C.

3

D. Không xác định

15 – Phó Đức Chính - Đà Nẵng hoặc 12/5 Nguyễn Thị Minh Khai Tel : 0905.558.918

www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01


www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
Thủ thuật lượng giác

Nguyễn Tiến Chinh

33. Nhận dạng tam giác


A. Vuông

B. cân

C. đều

01

1. sin A  sin B  sinC  Sin2 A  sin 2 B  sin 2C  0 thì tam giác
D. vuông cân

B. Cân

C. đều

D. vuông cân

3. tan A  tan B  tanC  tan 2 A  tan 2 B  tan 2C  0 thì tam giác
B. Cân

C. Đều

D. Vuông cân

uO
nT
hi
D


A. Vuông

ai

A. Vuông

H
oc

2. cosA  cos B  cosC  cos2 A  cos2 B  cos 2C  0 thì tam giác

4. cot A  cot B  cot C  cot 2 A  cot 2 B  cot 2C  0 thì tam giác
B. Cân C. Đều D. Vuông cân

w

w

w

.fa

ce

bo

ok

.c


om

/g

ro

up

s/

Ta

iL

ie

A. Vuông

15 – Phó Đức Chính - Đà Nẵng hoặc 12/5 Nguyễn Thị Minh Khai Tel : 0905.558.918

www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01