- Trang chủ >>
- Sư phạm >>
- Sư phạm vật lý
VLTK NHÓM 1tuần 9
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (79.18 KB, 2 trang )
BÀI TẬP VẬT LÝ THỐNG KÊ NHÓM 1 TUẦN 9
ĐỀ: Chứng minh định lý Virian ( sự phân bố đều thế năng theo các bậc tự do):
∂H
=θ
∂qk
qk
Giải
Xét một hệ f bậc tự do, Haminton có dạng:
H ( p, q ) = Eđ ( p ) + U t ( q )
(1)
Mặt khác, ta có:
f
f
•
•
•
H ( p , q ) = ∑ pk qk − L p , q = ∑ p k qk − ( U t ( q ) − E đ ( p ) )
k =1
k =1
(2)
Đồng nhất 2 vế phương trình (1) và (2)
f
•
Eđ ( p ) + U t ( q ) = ∑ p k q k + Eđ ( p ) − U t ( q )
k =1
f
•
⇔ 2U t ( q ) = ∑ p k qk
k =1
1 f •
⇔ U t ( q ) = ∑ p k qk
2 k =1
•
Theo phương trình chính tắc Haminton:
⇔ Ut ( q) = −
pk = −
∂H
∂qk
1 f
∂H
qk
∑
2 k =1 ∂qk
Vậy thế năng trung bình:
⇔ Ut ( q) = −
Gọi
qk
1 f
∂H
qk
∑
2 k =1 ∂qk
∂H
∂qk là thế năng trung bình của dao động tử điều hòa.
ψ −H
θ
Áp dụng phân bố chính tắc Gibbs: ω ( X ) = e
qk
ψ −H
θ
∂H
∂H
= ∫ qk
.e
∂qk X ∂qk
dX
thể tích pha
ψ −H
ψ −H
θ
∂
∂ ψ − H
.e θ =
.e
∂
q
∂
q
θ
k
k
Mà
ψ −H
ψ −H
∂H θ
∂
⇔
.e
= −θ
.e θ
∂qk
∂qk
∂ ψ −θ H
∂H
qk
= −θ ∫ ... ∫ qk
e
∂qk
2 f .lop
∂qk
= −θ
[
∂ ψ θ−H
...
q
e
k
∫
∫
∫
∂
q
( 2 f −1) lop
k
=−
dX = dq1... dq f dp1... dp f
ψ −H
θ
1 ∂H
.e
θ ∂qk
dq1... dq f dp1... dp f
dqk ] dq1... dq f dp1... dp f
Gọi
I k = ∫ qk
ψ −H
θ
∂
e
∂qk
dqk
Đặt: u = qk → du = dqk
ψ −H
θ
∂
e
∂qk
dv =
⇒ I k = qk e
ψ −H
θ
+∞
−∞
ψ −H
θ
dqk → v = e
+∞ ψ − H
θ
− ∫e
dqk
−∞
+
−
⇒ qk → ∞ thì hàm phân bố xác suất e
+∞ ψ − H
θ
⇔ Ik = − ∫ e
−
H
θ
→0
dqk
−∞
Vậy:
∂ ψ θ−H
∂H
qk
= −θ ∫ ... ∫ qk
e
∂qk
2 f .lop
∂qk
ψ −H
θ
∫∫∫e
ψ −H
dq1... dq f dp1... dp f = θ ∫ .. ∫ e θ dX
X
dX = 1
Theo điều kiện chuẩn hóa
Thế năng trung bình của một bậc tự do thứ k.
X
qk
∂H
=θ
∂qk
(3)
Ta có: Lực suy rộng
−
Vì
⇔
Ak = −
∂H
∂qk
1 f
∂H 1 f
q
∑ k = ∑ qk Ak
2 k =1 ∂qk 2 k =1
1 f
∂H
1 f
1
1
qk
= − ∑ qk Ak = θ ⇔ U k = θ
∑
2 k =1 ∂qk
2 k =1
2
2
Hệ thức (3) được gọi là định lý Virian.
Kết luận: Ứng với một bậc tự do thì thế năng trung bình của chúng phân bố đều như nhau.
