TOÁN THIÊNG

www.saosangsong.com.vn

Chương 10. Phép Nghịch Đảo
Một số bài tập hóc búa trong di sản toán học Nhật thường chứa nhiều đường tròn tiếp xúc với
nhau. Một ví dụ nổi bật là bài tập (sẽ khảo sát bên dưới) do Hotta Jinsuke đề nghị và treo tại đền
Myokendo vào năm 1788. Cách giải truyền thống vô cùng phức tạp và gay góc. Nhưng bài toán
này và những bài tương tự có thể giải một cách dễ dàng hơn bằng một kỹ thuật đơn giản và vô
cùng mạnh mẽ gọi là phép nghịch đảo, do các nhà toán học phương Tây độc lập phát hiện vào
những năm từ 1824 đến 1845, mà các nhà toánhọc Nhật bản chưa biết được. Vài bài toán liên
quan đến đường tròn thoạt nhìn thấy khó khăn sẽ được khắc phục trong bằng cách biến hình
ban đầu qua phép nghịch đảo. Ta sẽ được mối quan hệ mới và đơn giản hơn giữa các đường đã
được nghịch đảo. Sau đó ta sẽ “đảo ngược” tiến trình trở lại bài toán ban đầu để được kết quả
cuối cùng.
Phép nghịch đảo có thể được gọi là “hết sẩy”, và mặc dù các học sinh cấp 3 có thể lãnh
hội không mấy khó khăn, nhưng không hiểu tại sao không được dạy tại Mỹ trừ ra trong những
giáo trình toán học nâng cao chuyên biệt. Vì vậy trong chương này ta sẽ giới thiệu kỹ thuật này,
gồm một số định lý để giải những bài toán trong sách này. Với số định lý này trong tay, ta sẽ sử
dụng chúng để giải bài toán Hotta.
Tiếp tuyến của

Nghịch đảo là một phép biến đổi định nghĩa ứng với một đường tròn. Giả sử cho một đường
tròn () có bán kính k và tâm T. Phép nghịch đảo ứng với () biến đổi điểm P thành điểm P’ nằm
trên tia OP sao cho
TP.TP’ = k2
T gọi là tâm nghịch đảo. P’ gọi là ảnh nghịch đảo của P. Ta thấy ngược lại P cũng là ảnh nghịch
đảo của P’. Từ định nghĩa trên, ta th ấy dễ dàng nếu P ở trong (thì P’ ở ngoài () và ngược lại.
Ta có thể xác định vị trí tương đối của P và P’ bằng nhận xét nếu vẽ qua P đường vuông góc với
TP và cắt ( tại A thì AP’ là tiếp tuyến của đường tròn.
Không chỉ nghịch đảo từng điểm, ta có thể nghịch đảo toàn hình. Muốn nghịch đảo một

hình F ta nghịch đảo điểm P bất kỳ của F được điểm P’. Tập hợp tất cả điểm P’ khi P di chuyển để
1


Chương 10. Phép nghịch đảo

tạo nên F sẽ tạo nên hình F’. Hình F’ như thế được gọi là ảnh nghịch đảo của F. Thật ra ta chỉ xét
ảnh nghịch đảo của một đường thẳng hay của một đường tròn. Sau đây là m ột số định lý cần
thiết cho mục tiêu của mình.

Định Lý Cơ Bản của Phép Nghịch Đảo
Xét phép nghịch đảo xác định bởi đường tròn (có tâm T (tâm nghịch đảo).
Định lý A
 Một đường thẳng l qua tâm nghịch đảo biến thành chính nó.
 Một đường thẳng l không qua tâm nghịch đảo biến thành một đường tròn l’ đi
qua tâm nghịch đảo.
CM:

Phần đầu của định lí là hiển nhiên. Phần hai được chứng minh như sau. Gọi P là hình
chiếu của T lên đường thẳng l và P’ là ảnh
nghịch đảo của P. Gọi Q là một điểm tùy ý
của l, có ảnh nghịch đảo là Q’. Theo định
nghĩa của phép nghịch đảo, ta có:
TP.TP’ = TQ. TQ’ = k2
Suy ra

=

=> hai tam giác TPQ và


TQ’P’ đồng dạng. Vì tam giác TPQ vuông
tại P, nên tam giác TQ’P’ vuông tại Q’.
Điều này chứng tỏ tập hợp những điểm
Q’ là đường tròn đường kính TP’. Như
vậy ảnh của l là đường tròn qua tâm
nghịch đảo T.

Định Lý B
Nếu đường tròn C qua tâm nghịch đảo T, thì C biến thành một đường thẳng không đi
qua tâm nghịch đảo. (Đây là là đảo của Định Lý A.)

Hơn nữa, nếu cho T có toạ độ (0, 0) trong mặt phẳng toạ độ, thế thì phương trình đư ờng
thẳng nghịch đảo là
y’ =

Ở đây (g, f) là toạ độ tâm đường tròn C.

+

2


TOÁN THIÊNG

www.saosangsong.com.vn

Ví dụ: C là đường tròn tâm (0, 1) bán kính 1 qua tâm nghịch đảo T. Theo định lý C ảnh
nghịch đảo của C là đường thẳng C’ có phương trình y’ = k2/2. Nếu k = 1 thì C’ là đường
thẳng y’ = ½ như hình dư ới.


CM: Xem chứng minh của định lí C.
Định Lý C

Nếu đường tròn C không qua tâm nghịch đảo T, thì C biến thành đường tròn C’. (Xem
hình dưới )

CM: Gọi PQ là đường kính của C
và đi qua tâm nghịch đảo T, có
ảnh nghịch đảo là P’, Q’.
Gọi R là điểm bất kỳ của bất kỳ
của C và R’ là ảnh nghịch đảo của
R. Trong phần chứng minh định
lí A ta đã bi ết hai tam giác TRP
và TP’R’ đồng dạng, cũng như
hai tam giác TRQ và TQ’R’ đồng
dạng. Suy ra:
Góc TQR = góc TR’Q’ =
Góc TPR = góc TR’P’ = + ∅
Mà góc TPR = +
Suy ra: ∅ = = 90o.
Điều này chứng tỏ tập hợp những điểm R’ là đường tròn đường kính P’Q’, hay ảnh nghịch
đảo của C là đường tròn C’ .
Ta có thể chứng minh bẳng phương pháp toạ độ , xét tâm nghịch đảo T có toạ độ (0,0), điểm
P(x, y) có ảnh là P’ (x’, y’). Ta tìm hệ thức giữa x, y, x’, y’.
3


Chương 10. Phép nghịch đảo

Vì


⃗′ =

|
|

|
.
|

⃗ =

|

|

||

|

|

⃗=

|

⃗ , suy ra:

|


=

=

Đây là biểu thức giải tích của phép nghịch đảo, cho phép ta tìm được toạ độ x’, y’ của P’ biết
toạ độ x, y của P. Vì P cũng là ảnh của P’ qua cùng phép nghịch đảo, do đó ta có công thức
tương tự
′
⎧ =
⎪
′ + ′
′
⎨
⎪ =
′ +
⎩

Nếu C có phương trình x2 + y2 - 2gx – 2fy + c = 0 , thế biểu thức của x, y ở trên vào, ta được:
2

2

 k 2 x'   k 2 y ' 
 k 2 x' 
 k 2 y' 
 2






c 0
 2
 2g 2
 2 f  2
2 
2 
2 
2 
x
'

y
'
x
'

y
'
x
'

y
'
x
'

y
'


 






hay

 k 2 x' 
 k 2 y' 
k4


 2 2   c  0

2
g

2
f
 x '2  y '2 
x '2  y '2


 x'  y ' 

Khử mẫu số, ta được : c(x’2 + y’2) – 2gk2x’ -2fk2y’ + k4 = 0 (*) (c ≠ 0 vì C không qua tâm
nghịch đảo T(0, 0)). Chia hai vế cho c, ta được:
x’2 + y’2 – 2g


qua phép nghịch đảo.

−2

+

= 0 : đây là phương trình đư ờng tròn C’, ảnh của C

Nếu c =0 (tức C qua T) thì (*) thành – 2gk2x’ -2fk2y’ + k4 = 0 hay y’ = -

là kết quả của định lý B.

+

Chú ý là tâm của C và C’ thẳng hàng với tâm nghịch đảo T và tiếp tuyến chung của C
và C’ đi qua tâm nghịch đảo T. (Bạn đọc tự chứng minh)
Định lý D

Nếu r là bán kính của C và r’ là bán kính của C’, thế thì r và r’ liên hệ bằng hệ thức
r’ =

|(

trong đó d là khoảng cách giữa T và tâm của C.

|

r


CM: Qua phần chứng minh định lý C, bán kính đường tròn C’ là:
4


TOÁN THIÊNG

www.saosangsong.com.vn

r' 

g 2k 4 f 2k 4 k 4 k 2 g 2  h2  c
 2 

c2
c
c
|c|

g 2  h 2  c  r và |c| = | ( g 2  h 2 )  ( g 2  h 2  c) |  | d 2  r 2 | , ta suy ra định lý

Chú ý
D.

Định lý E
Nếu L là độ dài của tiếp tuyến từ T đến đường tròn nghịch đảo C’, thế thì
rL2 = k2r’

CM: Ta biết rằng C’ có phương trình x’2 + y’2 – 2g

−2


+

= 0 . Vì T có toạ độ (0,

0) nên thế x’ = y’ = 0 vào vế trái của phương trình trên, ta đư ợc giá trị L2 :
L2 =

k4
(c > 0)
c

Mà theo định lý D:
c=

|d2

–

r2|=

k 2r
r'

Thế biểu thức này, ta được đpcm.
Các định lý A-E là đủ để giải bài toán của Hotta. Nếu bạn muốn đi sâu hơn thì sau đây là các
định lý nâng cao, có thể dùng để giải những bài toán hóc búa hơn.
Định lý F

Những điểm trên đường tròn nghịch đảo (đường tròn ) thì bất biến qua phép

nghịch đảo.
CM: Điều này là hiển nhiên từ định nghĩa TP. TP’ = k 2 , với TP = k thì TP ‘ = k.
Định lý G

Ảnh nghịch đảo của đường tròn có tâm là tâm nghịch đảo T cũng bi ến thành những
đường tròn đồng tâm.
CM: Điều này là hiển nhiên từ định nghĩa TP. TP’ = k 2 , với TP = r thì TP ‘ = k2/r = r’.
Định lý H

5


Chương 10. Phép nghịch đảo

Tâm của đường tròn nghịch đảo không thể là ảnh nghịch đảo của tâm bất kỳ đường
tròn nào.
CM: Điều này là hiển nhiên từ định nghĩa TP. TP’ = k2 , do đó TP’ không thể bằng 0 với mọi
điểm P.
Định lý K

Phép nghịch đảo giữ nguyên góc (Nghĩa là , nếu hai đường cong cắt nhau theo một
góc nào đó [góc của hai tiếp tuyến tại giao điểm] , ảnh nghịch đảo của chúng cũng cắt nhau
theo góc đó.)
CM: Cho đường C cắt tia TP và TR tại
điểm P và R. Đường C biến thành
đường C’, đường này cắt tia TP và TR
tại P’ và R’. C tạo với TP một góc là
góc của TP và tiếp tuyến t của C tại P.
Tương tự, C’ tạo với TP một góc ∅ là
góc của TP và tiếp tuyến t’ của C’ tại

P’. Ta biết hai tam giác TPR và TP’R’
đồng dạng; suy ra = . Khi R tiến
đến P, cạnh PR của tam giác TPR tiến
đến vị trí t , và vì thế trong giới hạn
này = . Tương tự, = ∅. Do đó,
tại giới hạn, = ∅, như thế góc mà C
và C’ tạo với TP là bằng nhau. Nếu có
một đường thứ hai, gọi là S, cắt TP tại
theo một góc . Qua phép nghịch đảo
S biến thành S’ và góc của S’ và TP
cũng là . Do đó góc gi ữa hai đường C
và S và giữa C’ và S’ đều là − , tức
p[hép nghịch đảo giữ nguyên góc của
hai đường.

Trường hợp đặc biệt nếu TP tiếp xúc với C tại P thì TP (TP không đ ổi qua phép nghịch đảo)
cũng tiếp xúc với C’ tại P’. Do đó tiếp tuyến với C vẽ từ T cũng là ti ếp tuyến của C’, tức tiếp
tuyến chung của hai đường tròn nghịch đảo thì đi qua T.
Định lý L




Nếu hai đường tròn tiếp xúc nhau tại T, ảnh nghịch đảo của chúng là hai
đường thẳng song song.
Nếu hai đường tròn tiếp xúc nhau tại P không phải là tâm nghịch đảo, ảnh
nghịch đảo của chúng là hai đường tròn tiếp xúc nhau (hay một đường thẳng
tiếp xúc với một đường tròn) tại điểm P’, ảnh của P.
6



TOÁN THIÊNG

www.saosangsong.com.vn

CM: Đây là hệ quả của định lí K. Hai đường tròn tiếp xúc nhau tại T tức góc của chúng là 0,
do đó qua phép nghịch đảo, góc của hai ảnh nghịch đảo cũng bằng 0, tức là hai đường thẳng
song song. Nếu hai đường tròn tiếp xúc tại P ≠ T thì ảnh của chúng là hai đường tròn tiếp
xúc nhau tại P’nếu không có đường tròn nào qua T. Còn nếu có một đường tròn qua T thì ta
được một đường thẳng tiếp xúc với một đường tròn tại P’.
Định Lý M

Bằng cách chọn tâm nghịch đảo T thích hợp, hai đường tròn không giao nhau có thể
biến thành hai đường tròn đồng tâm.
∆

′

CM: Gọi  và  là hai đường tròn không giao nhau, tâm I và J. Ta biết chúng có trục đẳng
phương là đường D, vuông góc với IJ tại O. Đó là tập hợp những điểm trên đó có thể vẽ được
hai tiếp tuyến bằng nhau tới  và . M là một điểm như thế: MU = MV. Lấy M làm tâm vẽ
đường tròn C bán kính MU = MV. Vì MU và IU vuông góc nhau nên hai đư ờng tròn C và 
vuông góc nhau. Cũng thế C và  vuông góc nhau. C cắt đường IJ tại L và L’. Ta chứng minh L
và L’ cố định dù ta thay đổi vị trí của M. Thật vậy, áp dụng định lí Pythagoras vào các tam
giác vuông MOL , MUI và MOI:
ML2 = OL2 + OM2

Mà ML2 = MU2 = MI2 - r2 (r là bán kính của )
= OM2 + OI2 – r2


Suy ra: OM2 + OI2 – r2 = OL2 + OM2 , hay OL2 = OI2 – r2 : giá trị này không phụ thuộc C, chứng
tỏ L và L’ là hai điểm cố định. Như vậy, nếu ta vẽ một đường tròn thứ hai D như C thì đường
tròn này cũng vuông góc với  và  và cũng qua hai điểm cố định L và L’.
7


Chương 10. Phép nghịch đảo

Bây giờ sử dụng phép nghịch đảo tâm L với k = LL’ (thật ra với giá trị k nào cũng đư ợc).
Trong phép nghịch đảo này,  và  biến thành các đường tròn ’ và ’ có tâm trên đường
thẳng IJ. Còn các đường tròn C và D vì qua L và L’ nên biến thành các đường thẳng C’, D’ đều
qua L’. Vì C và D vuông góc với  và  nên C’ và D’vuông góc với ’ và ’ do phép nghịch đảo
giữ nguyên góc, tức C’ và D’ qua tâm của ’ và ’, như thế ’ và ’ là những đường tròn có
tâm đều là L’, tức là hai đường tròn đồng tâm.
′

′


′

′

′

′

′

′

Trong hình là ảnh nghịch đảo C’, D’ của C và D là hai đường thẳng qua L’. Và ảnh nghịch đảo
của  là đường tròn ’ tâm là L’. Đường tròn ’ rất lớn, chỉ được thể hiện một phần trong giới
hạn tờ giấy.
Định Lý N (Định lý Iwata)

Nếu bốn đường tròn có thể nghịch đảo thành bốn đường tròn có bán kính bằng nhau
r’ và có tâm là bốn đỉnh của một hình chữ nhật, thì
+

=

+

,

trong đó r1, r2, r3, r4 là bán kính của các đường tròn ban đầu.

CM: Kẻ TMN vuông góc với O’1O’2 tại M và vuông góc O’3O’4 tại N như trong hình trong đó
các điểm O’ là tâm các đường tròn nghịch đảo của đường tròn O. Theo Pythagoras:
(O’1T)2 + (O’3T)2 =(O’1M)2 + (TM)2 + (O’3N)2 + (NT)2
= (O’4N)2 + (NT)2 + (O’2M)2 + (TM)2
8


TOÁN THIÊNG

www.saosangsong.com.vn
= (O’4T)2 + (O’2T)2 (*)

Biết rằng độ dài tiếp tuyến L từ điểm T ngoài một

đường tròn bán kính r’ cho bởi L2 = (O’T)2 – r’2, trong
đó O’ là tâm đường tròn. Như th ế
L12 + L32 = (O’1T)2 + (O’3T)2 – 2r’2,

L22 + L42 = (O’2T)2 + (O’4T)2 – 2r’2,

Từ (*) , suy ra L12 + L32 = L22 + L42
Và định lý E cho ta đpcm.
\

Giải Bài Toán Hotta
Một đường tròn lớn bán kính r chứa
hai đường tròn ,
đều có bán kính r1
= r/2 tiếp xúc nhau và tiếp xúc trong
với đường tròn lớn. Đường tròn bên
dưới cũng tiếp xúc với một chuổi
đường tròn rn như trong hình. Hơn nữa
một chuổi đường tròn nhỏ hơn bán
kính tn ở khoảng giữa các đường tròn rn
và sao cho mỗi tn đều tiếp xúc với
cũ ng như các đường tròn rn và rn+1. Hãy
tính rn và tn theo r và n.

t2

r3

9



Chương 10. Phép nghịch đảo

GIẢI Trước khi dùng phép nghịch đảo, ta cần tính r2 và t1. Theo hình dưới đặt h = r – 2r2 , áp
dụng Pythagoras
(r1 + r2)2 = r12 + (r2+ h)2

Từ hai phương trình này và nhớ rằng r = 2r1 , ta dễ
dàng tìm ra r2
= r/3.

Tương tự, dùng Pythagoras cho tam giác vuông trong
hình bên, ta đư ợc t1 = r/15.

Bây giờ ta bắt đầu nghịch đảo hình vẽ với phép nghịch
đảo tâm T cho bởi hình dưới, và chọn k = 1. Theo định
nghĩa phép nghịch đảo O biến thành O’ và TO. TO’ = 1
Nhưng TO = r, do đó TO’ = 1/r.

Tương tự với điểm B: TB. TB’ = 1, TB = 2r, suy ra TB’ = 1/2r.

Chú ý rằng đường tròn qua tâm nghịch đảo T, do đó biến thành đường thẳng nằm ngang ′
(định lí B). Tương tự, đường tròn cũng qua T nên biến thành đường thẳng nằm ngang .
(Xem hình dưới).

10


TOÁN THIÊNG


www.saosangsong.com.vn

Tiếp theo, xét đường tròn tức r1 ở phía trên. Đường tròn này không qua T do đó
biến thành đường tròn ’ . Vì tiếp xúc với tại B và tiếp xúc với tại O nên ’ tiếp xúc với
’ và ′ tại B’ và O’ (định lý L). Bán kình đư ờng tròn này là r1’.

Tương tự, đường tròn r2 tiếp
xúc với r1,
và
nên biến
thành đường tròn r2’ tiếp xúc
với r1’ và hai đường thẳng
song song (xem hình). Các
đường tròn rn khác cũng v ậy.
Do đó bằng phép nghịch đảo
này, mọi đường tròn ở chuổi
ngoài đều có bán kính bằng
nhau: r1’ = r2’ = r3’ = . . . = rn’
(gọi chung là r’)
Tương tự một đường tròn tn ở
chuổi trong đều biến thành các
đường tròn bằng nhau có bán
kính: t1’ = t2’ = t3’ = . . . = tn’ (gọi
chung là t’).

Ta sẽ tính r’ và t’ theo r. Xét r1. Khoảng cách từ T đến tâm của (tức r1) theo định nghĩa là
khoảng cách d trong định lí D. Vì d = 3r1, theo định lí D, r1’2 (d2 – r12) = r12 (nhớ ở đây k = 1),
suy ra

Nhưng r1 = r/2, do đó r’ =

Tương tự, t ‘ =

1
4r

r’ = r1’ =

1
.
16 r

Bây giờ ta sẽ dùng r’ để tính rn. Từ T kẻ
tiếp tuyến Ln đến đường tròn rn’ . Khoảng
cách xn từ tâm đường tròn rn’ đến trục
hình vẽ là
xn =2(n – 1)r’

Theo Pythagoras:

11


Chương 10. Phép nghịch đảo

Ln2 + r’2 = Mn2 (*)
2





Mn2 =  r ' 
2

Mà theo định lí E cho ta biết Ln 

1 
2
  xn
2r 

r'
rn

Thế các giá trị của r’, Ln , Mn , xn vào (*) ta được phương trình tí nh rn

rn 

r
2  (n  1) 2

Công thức này cho ta bán kính đường tròn thứ n trong chuổi ngoài theo r và n
Với các đường tròn ở chuổi trong tn, ta
tiến hành tương tự và có:
Ln2 + t’2 = Mn2 (* *)
2

Mn2

1


2
=   t ' 2   xn
r


Trong đó t’ = r/16 , xn2 = (2n – 1)r’ và

Ln2 = t’/tn (định lí E). Thế vào (**), ta
được phương trình tính t n theo r:

tn 

Bài tập 1

r
(2n  1) 2  14

Thực Tập Thêm với Phép Nghịch Đảo

Bài toán này trên bản gỗ đã thất lạc do Adachi Mitsuaki treo tại đền Asakusa, Tokyo

Bên trong nửa đường tròn bán kính r chứa chin đường tròn tiếp xúc như hình vẽ.
Chứng tỏ rằng

r
r
r
r
r
r1  ; r2  ; r3  ; r4  ; r5 

2
4
15
12
10

12


TOÁN THIÊNG

www.saosangsong.com.vn

Bài tập 2
Bài này trong tuyển tập toán học của
Nakamura Tokikazu.
Như trong hình, chứng tỏ rằng

1
1
2(2 2  1)


r1
r3
r2

Bài tập 3
Bài này lấy trong nhật ký của Yamaguchi
năm 1819.


Trong hình là bốn chuổi đường tròn bán
kính rk (k = 0, 1, 2, 3, . . ., n) tiếp xúc nhau và tiếp xúc
trong với đường tròn lớn r cũng như ti ếp xúc ngoài
với hai đường tròn bán kính r/2. Tìm rk theo r.

Bài tập 4
thứ hai.

Do Matsuoka Makoto đề nghị, đây là bài toán thứ hai từ trái qua trên bản gỗ Atsuta
Một đường tròn nhỏ bán kính r ở trong đường tròn lớn
bán kính R sao cho bốn đường tròn bán kính a, b, c., và
d tiếp xúc ngoài với nó và tiếp xúc trong với đường tròn
R. Hơn nữa, tám đường tròn khác sắp xếp ở giữa các
đường tròn a, b, c, d , và R như hình vẽ. Chứng tỏ hệ
thức:

1 1 1 1
  
a b c d

13


Chương 10. Phép nghịch đảo

Gợi ý: Dùng phép nghịch đảo tâm T biến hai đường tròn
R và r thành hai đường tròn đồng tâm R’ và r’ (định lí
M). Sau đó áp dụng định lí N.


14