Header Page 1 of 166.

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC THĂNG LONG
---------------------------------------

TRẦN CHÂU NGUYÊN

CỰC, ĐỐI CỰC VÀ ỨNG DỤNG
TRONG DẠY HÌNH HỌC PHỔ THÔNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Hà Nội – Năm 2016

Footer Page 1 of 166.


Header Page 2 of 166.

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC THĂNG LONG
--------------------------------------------

Trần Châu Nguyên – C00451

CỰC, ĐỐI CỰC VÀ ỨNG DỤNG
TRONG DẠY HÌNH HỌC PHỔ THÔNG
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp

Mã số:

60.46.01.13

Người hướng dẫn khoa học: PGS.TSKH. SĨ ĐỨC QUANG

Hà Nội – Năm 2016

Footer Page 2 of 166.

Thang Long University Library


Header Page 3 of 166.

LỜI CẢM ƠN
Luận văn này được hoàn thành tại trường Đại học Thăng Long dưới sự
hướng dẫn khoa học của PGS.TSKH Sĩ Đức Quang. Tôi xin gửi lời cảm ơn
đến Ban Giám hiệu, các Thầy Cô trong Khoa Toán, Phòng Sau đại học và các
phòng ban liên quan trong Trường Đại học Thăng Long đã tận tình giúp đỡ và
tạo điều kiện thuận lợi cho tôi trong quá trình học tập và nghiên cứu.
Đặc biệt, tôi xin chân thành cảm ơn Thầy hướng dẫn khoa học của mình
là PGS.TSKH Sĩ Đức Quang đã tận tình hướng dẫn và giúp đỡ tôi trong quá
trình nghiên cứu và hoàn thiện luận văn. Đồng thời tôi xin được gửi lời cảm
ơn đến toàn thể gia đình, người thân và các bạn lớp cao học Toán K3 Trường
Đại học Thăng Long đã động viên, giúp đỡ tôi trong quá trình học tập và
nghiên cứu.
Vì điều kiện công tác và thời gian có hạn cùng với khối lượng kiến thức
lớn nên luận văn khó tránh khỏi những thiếu sót. Tác giả kính mong các Thầy,
Cô cùng các bạn đọc tiếp tục góp ý kiến để luận văn được hoàn thiện hơn.

Xin chân thành cảm ơn!

Footer Page 3 of 166.

3


Header Page 4 of 166.

MỤC LỤC
LỜI CẢM ƠN .................................................................................................. 1
MỤC LỤC ........................................................................................................ 2
MỞ ĐẦU .......................................................................................................... 5
Chương 1: CỰC VÀ ĐỐI CỰC TRONG MẶT PHẲNG XẠ ẢNH ........... 6
1.1 Không gian xạ ảnh ...................................................................................... 6
1.2. Tỉ số kép và hàng điểm điều hòa................................................................ 8
1.3. Ánh xạ xạ ảnh........................................................................................... 13
1.3.1. Định nghĩa ............................................................................................ 12
1.3.2. Tính chất của ánh xạ xạ ảnh. ................................................................ 14
1.4. Siêu mặt bậc hai trong không gian xạ ảnh P 2  R  . .................................. 16
1.4.1. Định nghĩa. ........................................................................................... 16
1.4.2. Giao của đường bậc hai với đường thẳng. ........................................... 17
1.4.3. Dạng chuẩn tắc của siêu mặt bậc hai trong không gian xạ ảnh thực .... 18
1.5. Điểm liên hợp qua siêu mặt bậc hai trong P 2  R  .................................... 19
1.6. Nguyên tắc đối ngẫu................................................................................. 23
1.7. Các định lý cổ điển của hình học xạ ảnh.................................................. 24
1.8. Mô hình afin của mặt phẳng xạ ảnh: ........................................................ 30
1.8.1. Mô hình afin của mặt phẳng xạ ảnh: ..................................................... 30
1.8.2. Một số nhận xét: .................................................................................... 31
1.8.3. Một số khái niệm đối ngẫu trong P2 : ................................................... 32

Chương 2: CỰC VÀ ĐỐI CỰC TRONG MẶT PHẲNG ƠCLIT ........... 35
2.1. Phép nghịch đảo ....................................................................................... 35
2.2. Đường tròn trực giao ................................................................................ 36
2.3. Cực và đối cực.......................................................................................... 36
Chương 3: HỆ THỐNG BÀI TOÁN ĐIỂN HÌNH ỨNG DỤNG CỰC VÀ
ĐỐI CỰC TRONG HÌNH HỌC PHỔ THÔNG ........................................ 39
3.1. Các bài toán về quan hệ vuông góc, song song: ...................................... 39
3.2. Các bài toán về tính đồng quy, thẳng hàng: ............................................. 43
KẾT LUẬN .................................................................................................... 53
DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO ..................................................... 54

Footer Page 4 of 166.

4

Thang Long University Library


Header Page 5 of 166.

MỞ ĐẦU
Cực và đối cực là một công cụ mạnh và thú vị để nghiên cứu hình học phổ
thông. Với khái niệm cực và đối cực, chúng ta có thể đưa ra cách nhìn khá
nhất quán đối với một số dạng toán đặc trưng (quan hệ vuông góc, thẳng
hàng, đồng quy,...). Ở bậc THPT, chúng ta xem xét khái niệm cực và đối cực
đối với đường tròn, đối với 3 đường cô-níc hoặc với cặp đường thẳng. Tuy
nhiên hiện nay, việc vận dụng các kiến thức về cực và đối cực vào nghiên cứu
và giải quyết các bài toán hình học phổ thông chưa được quan tâm và khai
thác trong chương trình sách giáo khoa, nhưng nó lại nằm trong phạm vi kiến
thức của các đề thi học sinh giỏi môn Toán ở trường THPT. Vì vậy tôi lựa

chọn nghiên cứu đề tài “Cực, đối cực và ứng dụng trong dạy hình học phổ
thông”.
Mục đích của chúng tôi trong luận văn nhằm trình bày phương pháp sử
dụng cực và đối cực để giải quyết bài toán hình học phổ thông. Chúng tôi sẽ
đưa ra hướng giải quyết một số dạng bài toán hình học sơ cấp bằng cách sử
dụng kiến thức về cực và đối cực mà các phương pháp thông thường mất
nhiều công sức mới giải quyết được. Với mong muốn như vậy, tôi hy vọng
luận văn có thể là một tài liệu tham khảo cho các học sinh phổ thông và các
đồng nghiệp giáo viên Toán THPT và THCS để tiếp cận các bài toán hình học
sơ cấp theo một hướng mới.
Luận văn được chia ra làm 3 chương. Trong Chương 1, chúng tôi sẽ trình
bày các kiến thức về cực và đối cực trong mặt phẳng xạ ảnh. Chúng tôi sẽ
dành Chương 2 để trình bày cực và đối cực trong mặt phẳng Euclid. Chương
3 là chương cuối của luận văn sẽ dành để trình bày hệ thống một số dạng bài
tập hình học sơ cấp được giải bằng phương pháp sử dụng cực, đối cực.

Footer Page 5 of 166.

5


Header Page 6 of 166.

Chương 1
CỰC VÀ ĐỐI CỰC TRONG MẶT PHẲNG XẠ ẢNH
1.1 Không gian xạ ảnh
Cho V n là không gian véc-tơ n chiều trên trường K , với n  1 . Ta kí hiệu
 V n  là tập hợp các không gian véc-tơ con một chiều của V n . Theo kí hiệu

đó, ta hiểu V1   V1 .

Định nghĩa 1.1.1 (Không gian xạ ảnh). Cho một tập hợp P , một K –không
gian véc-tơ n 1 chiều V n+1 , và một song ánh p :  Vn1   P . Khi đó bộ ba

 P, p, V 
n+1

được gọi là không gian xạ ảnh n chiều trên trường K , liên kết với

K – không gian véc-tơ V n+1 bởi song ánh p .

Để đơn giản, ta kí hiệu  P, p, Vn+1  bởi P , đồng thời để chỉ rõ nó có số chiều
bằng n , ta kí hiệu nó là Pn .
Mỗi phần tử của Pn được gọi là một điểm của không gian xạ ảnh Pn . Gọi u
là véc-tơ khác 0 của V n+1 và u là không gian véc-tơ con một chiều sinh bởi
véc-tơ u , thì p  u   U là một điểm nào đó của Pn . Khi đó ta nói rằng véc-tơ
u là đại diện của điểm U .

Hai véc-tơ u và u ' (khác 0 ) cùng đại diện cho một điểm khi và chỉ khi
chúng phụ thuộc tuyến tính, tức là u  ku ' , với k  K \ 0 .
Không gian xạ ảnh trên trường số thực R liên kết với không gian véc tơ ¡

n

được gọi là không gian xạ ảnh thực n chiều, kí hiệu là P n  R  . Trong luận văn
này, chúng ta xét đến không gian xạ ảnh thực 2 chiều P 2  R  .

Footer Page 6 of 166.

6


Thang Long University Library


Header Page 7 of 166.

Định nghĩa 1.1.2 (Phẳng trong không gian xạ ảnh P 2 ). Cho không gian xạ
ảnh  P 2 , p, R 3  . Gọi W là không gian véc-tơ con m  1

chiều của R 3

( 2  m  0 ). Khi đó tập hợp p  W  được gọi là cái phẳng m chiều (hoặc là
m  phẳng) của P 2 .

Như vậy, mỗi điểm của P 2 là một 0  phẳng; 1 phẳng của P 2 còn gọi là
đường thẳng; 2  phẳng của P 2 là cả không gian P 2 .
Định nghĩa 1.1.3 (Hệ điểm độc lập của P 2 ). Hệ r điểm ( r  1 ) của không
gian xạ ảnh P 2 được gọi là hệ điểm độc lập nếu hệ r véc-tơ đại diện cho
chúng là hệ véc-tơ độc lập tuyến tính trong R 3 . Hệ điểm không độc lập gọi là
hệ điểm phụ thuộc.
Theo định nghĩa đó, trong P 2 hệ chỉ có một điểm là hệ độc lập, hệ gồm hai
điểm là hệ độc lập nếu hai điểm đó phân biệt, hệ gồm ba điểm độc lập nếu ba
điểm đó không thẳng hàng. Hệ gồm 4 điểm trở lên luôn luôn là hệ điểm phụ
thuộc.
Định nghĩa 1.1.4 (Mục tiêu xạ ảnh). Một tập hợp có thứ tự gồm 4 điểm của
P 2 là

S0 , S1, S2 ; E được gọi là mục tiêu xạ ảnh nếu bất kì

3 điểm trong 4


điểm đó đều độc lập.
Các điểm Si (với i  0,1, 2 ) gọi là các đỉnh của mục tiêu xạ ảnh, điểm E gọi
là điểm đơn vị. Các đường thẳng Si S j với i  j và i, j  0,1, 2 , gọi là các trục
tọa độ. Với mỗi mục tiêu xạ ảnh S0 , S1, S2 ; E , luôn tìm được một cơ sở

e , e , e  của
0

1

2

R 3 sao cho véc-tơ ei là đại diện của đỉnh Si (với i  0,1, 2 ) và

véc-tơ e  e0  e1  e2 là đại diện của điểm E. Cơ sở đó được gọi là cơ sở đại
diện của mục tiêu xạ ảnh đã cho.

Footer Page 7 of 166.

7


Header Page 8 of 166.

Định nghĩa 1.1.5 (Tọa độ điểm đối với một mục tiêu xạ ảnh). Trong không
gian xạ ảnh P 2  R  cho mục tiêu xạ ảnh S0 , S1, S2 ; E có cơ sở đại diện là

e , e , e  của R
0


1

2

3

. Với mỗi điểm X bất kì của P 2 ta lấy véc-tơ x đại diện cho





X . Khi đó tọa độ  x0 ; x1; x2  của véc-tơ x đối với cơ sở e0 , e1 , e2 cũng được gọi

là tọa độ của điểm X đối với mục tiêu S0 , S1, S2 ; E và viết X  ( x0 ; x1; x2 ) .

1.2. Tỉ số kép và hàng điểm điều hòa
Trong không gian xạ ảnh P 2  R  cho 4 điểm thẳng hàng A, B, C , D trong đó ba
điểm A, B, C đôi một không trùng nhau. Ta gọi a, b, c, d là các véc-tơ lần lượt
đại diện cho các điểm A, B, C , D thì các véc-tơ đó thuộc một không gian véc-tơ
2 chiều, trong đó a , b độc lập tuyến tính. Khi đó có các số k1, l1 và k2, l2 sao
cho
c  k1 a  l1 b;
d  k 2 a  l2 b

Ta chú ý rằng k1  0 và l1  0 vì C không trùng với A và B .
Định nghĩa 1.2.1 (Tỉ số kép của bốn điểm thẳng hàng). Nếu tỉ số

k2 k1
có

:
l2 l1

nghĩa (tức là l2  0), thì nó được gọi là tỉ số kép của 4 điểm thẳng hàng
A, B, C , D và kí hiệu là  A, B, C, D . Nếu l2  0 thì phân số

k2
không có nghĩa,
l2

và khi đó ta xem tỉ số kép của 4 điểm A, B, C , D bằng  (vô cùng).
 k2 k1
 : , khi l2  0
Như vậy là  A, B, C , D    l2 l1
, khi l  0

2

Định nghĩa trên không phụ thuộc vào việc chọn véc-tơ đại diện cho các điểm.

Footer Page 8 of 166.

8

Thang Long University Library


Header Page 9 of 166.

Định lý 1.2.2 (Một số tính chất của tỉ số kép). Nếu 4 điểm A, B, C , D thẳng

hàng và phân biệt thì:
i) Khi hoán vị 2 điểm đầu với nhau, hoặc 2 điểm cuối với nhau thì tỉ số kép
trở thành số nghịch đảo.
ii) Khi hoán vị đồng thời 2 điểm đầu với nhau và 2 điểm cuối với nhau, tỉ số
kép không thay đổi.
iii) Khi hoán vị cặp điểm đầu với cặp điểm cuối, tỉ số kép không thay đổi.
iv) Khi hoán vị 2 điểm ở giữa với nhau, hoặc hoán vị điểm đầu và điểm cuối
với nhau thì được tỉ số kép mới bằng 1 trừ đi tỉ số kép cũ.
v)

Nếu

A,B,C,D,E

là

5

điểm

thẳng

hàng

phân

 A, B, C , D  .  A, B, D, E    A, B, C , E  .

Chứng minh. i) Ta có c  l1 b  k1 a và d  l2 b  k2 a vì vậy


 B, A, C , D  

l2 l1
1
1
: 

,
k2 k1 k2 : k1  A, B, C , D 
l2 l1

 A, B, D, C  

k1 k2
1
1
: 

.
l1 l2 k2 : k1  A, B, C , D 
l2 l1

ii) Tính chất (ii) chính là hệ quả của tính chất (i). Ta có:

 B, A, D, C  

1

 A, B, D, C 


1
  A, B, C , D  ,
1
 A, B, C, D

C , D, A, B    A, B, C , D  .
c  k1 a  l1 b
iii) Ta có 
. Từ đó ta suy ra
d  k2 a  l2 b

(k1l2  k2l1 )a  l2 c  l1 d
.

 k1l2  k2l1  b  k2 c  k1 d

Vì vậy ta được

Footer Page 9 of 166.

9

biệt

thì


Header Page 10 of 166.

k


l

k

k

C , D, A, B   2 : 2  2 : 1   A, B, C , D  .
k1 l1 l2 l1

iv) Thật vậy, ta có
c  k1 a  l1 b
.

d

k
a

l
b

2
2 1

Do vậy ta có
l1 b  k1 a  c
.

l

d

l
k

l
k
a

l
c


 1
1 2
2 1
2

Vì vậy, ta được :
 A, C , B, D  

l1k2  l2 k1 k1 l1k2  l2 k1
lk
:

 1  1 2  1   A, B, C , D  .
l2
1
l2 k1
l2 k1


v) Thật vậy, ta có
c  k1 a  l1 b

 d  k 2 a  l2 b .

e  k3 a  l3 b

Từ đó, ta suy ra
k k  k k  k k
 A, B, C , D  .  A, B, D, E    2 : 1  .  3 : 2   3 : 1   A, B, C , E  .
 l2 l1   l3 l2  l3 l1

Định nghĩa 1.2.3 (Hàng điểm điều hòa). Nếu tỉ số kép  A, B, C, D  1 thì ta
nói rằng cặp điểm C , D chia điều hòa hai điểm A, B . Khi đó, vì C, D, A, B  1
nên cặp điểm A, B cũng chia điều hòa hai điểm C , D . Bởi thế, ta còn nói cặp
điểm A, B và cặp điểm C , D liên hiệp điều hòa. Ta cũng nói A, B, C , D là một
hàng điểm điều hòa.

Footer Page 10 of 166.

10

Thang Long University Library


Header Page 11 of 166.

Định nghĩa 1.2.4 (Chùm đường thẳng). Trong không gian xạ ảnh P 2  R  , tập
hợp các đường thẳng cùng đi qua một điểm được gọi là chùm đường thẳng

với giá là điểm đó.
Một chùm đường thẳng được xác định khi cho giá của nó, hoặc cho hai
đường thẳng nào đó của chùm.
Định lý 1.2.5 (Tỉ số kép của bốn đường thẳng thuộc một chùm). Cho 4 đường
thẳng U ,V ,W , Z thuộc một chùm trong đó U ,V ,W đôi một phân biệt. Nếu d là
đường thẳng cắt 4 đường thẳng đó lần lượt tại A, B, C , D (không cắt giá của
chùm) thì tỉ số kép của 4 điểm đó không phụ thuộc vào vị trí của đường thẳng
d . Tỉ số kép nói trên được gọi là tỉ số kép của chùm 4 đường thẳng, kí hiệu

U ,V ,W , Z  .
Chúng minh. Thật vậy, ta chọn một mục tiêu xạ ảnh nào đó, và giả sử đối với
mục tiêu đó, các đường thẳng đó có ma trận cột là U  , V  và

 W   p1 U   q1 V  ;


 Z   p2 U   q2 V 

còn các điểm A, B, C , D có ma trận tọa độ cột tương ứng là  A ,  B  , C  ,  D .
Điểm A  U , B  V nên ta có U   A  0, V   B   0 , ngoài ra điểm A, B
t

t

là phân biệt nên ta cũng có U   B   0, V   A  0 . Điểm C nằm trên đường
t

t

thẳng AB nên phải có C   k1  A  l1  B  , mặt khác C cũng nằm trên W nên

t
 W   C   0 hay  p1 U   q1 V    k1  A   l1  B    0. Điều này suy ra

p1k1 U   A  q1l1 V   B   p1l1 U   B   q1k1 V   A  0 ,
t

t

t

t

hay p1l1 U   B   q1k1 V   A  0 . Từ kết quả này ta có thể lấy số
t

t

k1  p1 U   B  , l1  q1 V   A .
t

Footer Page 11 of 166.

t

11


Header Page 12 of 166.

Tương tự như vậy ta có  D  k2  A  l2  B  với:

k2  p2 U   B  , l2  q2 V   A .
t

t

Từ đó ta suy ra
p2 U   B  p1 U   B  p2 p1
k k
:
 : .
 A, B, C , D   2 : 1 
l2 l1 q2 V t  A q1 V t  A q2 q1
t

t

Vậy tỉ số kép nói trên không phụ thuộc d . Định lý được chứng minh.
Chú ý: Từ cách chứng minh định lí trên ta suy ra cách tìm tỉ số kép của chùm
4 đường thẳng khi biết tọa độ của chúng đối với một mục tiêu nào đó như sau:
nếu các đường thẳng U ,V ,W , Z có ma trận cột tọa độ lần lượt là

U  , V  ,  W   p1 U   q1 V  ,  Z   p2 U   q2 V 
thì
p

p

U ,V ,W , Z   2 : 1 .
q2 q1


Định nghĩa 1.2.6 (Chùm 4 đường thẳng điều hòa). Bốn

đường

thẳng

U , V , W , Z của một chùm được gọi là chùm 4 đường thẳng điều hòa nếu

U ,V ,W , Z   1 . Khi đó ta còn nói cặp đường thẳng

U ,V

chia điều hòa cặp

đường thẳng W , Z .
Định nghĩa 1.2.7 (Hình bốn cạnh toàn phần). Trong mặt phẳng xạ ảnh P 2  R 
hình gồm bốn đường thẳng trong đó không có 3 đường thẳng nào đồng quy
được gọi là hình bốn cạnh toàn phần; mỗi đường thẳng đó gọi là một cạnh;
giao điểm của 2 cạnh được gọi là một đỉnh; hai đỉnh không nằm trên cùng
một cạnh gọi là hai đỉnh đối diện; đường thẳng nối 2 đỉnh đối diện được gọi
là đường chéo; giao của hai đường chéo gọi là điểm chéo.

Footer Page 12 of 166.

12

Thang Long University Library


Header Page 13 of 166.


Định lí 1.2.8 (Định lý hình bốn cạnh toàn phần). Trong hình bốn cạnh toàn
phần, hai đường chéo đi qua một điểm chéo nào đó chia điều hòa hai đường
thẳng nối hai điểm chéo đó với hai đỉnh nằm trên đường chéo thứ ba.
Chứng minh. (hình vẽ)

Giả sử a, b, c, d là bốn cạnh của hình bốn cạnh toàn phần. Các đỉnh của nó
là : P  a  b, Q  c  d , R  a  d , S  b  c,U  a  c,V  b  d. Các điểm chéo
là: I  PQ  RS , J  RS  UV , K  UV  PQ. Như vậy ta cần chứng minh cặp
đường thẳng IJ , IK chia điều hòa cặp đường thẳng IU , IV . Tức là

 J , K ,U ,V   1. Xét hình bốn đỉnh toàn phần

PQRS thì kết quả trên là hiển

nhiên.

1.3. Ánh xạ xạ ảnh.
Cho các K  không gian xạ ảnh  P, p , V  và  P', p ', V' .

Footer Page 13 of 166.

13


Header Page 14 of 166.

1.3.1. Định nghĩa (Ánh xạ xạ ảnh). Một ánh xạ f : P  P' được gọi là ánh xạ
xạ ảnh nếu có ánh xạ tuyến tính  : V  V' sao cho nếu véc-tơ x V là đại
diện cho điểm X P thì vec-tơ  ( x)  V' là đại diện cho điểm f  x   P' . Nghĩa


 





là, nếu p x  X thì p '   x   f  X  . Khi đó ta nói rằng ánh xạ tuyến tính
là  là đại diện của ánh xạ xạ ảnh f .
1.3.2. Tính chất của ánh xạ xạ ảnh. Cho ánh xạ xạ ảnh f : P  P' , có đại
diện là ánh xạ tuyến tính  : V  V' . Khi đó:
a. Ánh xạ tuyến tính  là đơn cấu. Thật vậy, nếu vec-tơ x  V \ 0 là đại
diện cho điểm X P ,thì vec-tơ   x  đại diện cho điểm f  X  nên

 ( x) V' \ 0 .
b. Ánh xạ xạ ảnh f là đơn ánh. Thật vậy, giả sử A và B là hai điểm của P
mà f  A  f  B  . Khi đó, nếu gọi a và b là các vec-tơ đại diện của A và B
thì  (a) và   b  cùng đại diện cho một điểm



f  A  f  B 

nên

  

 a  k b   kb , k  0 . Vì  đơn cấu nên suy ra a  kb , tức là A và B

trùng nhau.

c. Ánh xạ xạ ảnh bảo tồn tính độc lập và tính phụ thuộc của một hệ điểm
(do đơn cấu tuyến tính bảo tồn sự độc lập tuyến tính và sự phụ thuộc tuyến
tính của hệ vec-tơ). Từ đó suy ra: Ánh xạ xạ ảnh bảo tồn các khái niệm:
m  phẳng, số chiều của phẳng, giao và tổng của các phẳng, tỉ số kép của hàng

4 điểm và của chùm bốn siêu phẳng.
d. Mỗi đơn cấu tuyến tính  : V  V' là đại diện cho một ánh xạ xạ ảnh duy
nhất f : P  P' . Hai đơn cấu tuyến tính  : V  V' và  ': V  V' cùng đại
diện cho một ánh xạ xạ ảnh f : P  P' khi và chỉ khi có số k  K \ 0 sao cho

Footer Page 14 of 166.

14

Thang Long University Library


Header Page 15 of 166.

  k ' . Thật vậy, nếu đã cho đơn cấu tuyến tính  : V  V' thì ánh xạ xạ ảnh
f : P  P' được hoàn toàn xác định bởi: Nếu M P có đại diện là véc-tơ



x V thì f  M  có đại diện là  x . Nếu  ' : V  V' cũng là đại diện cho ánh

xạ xạ ảnh f thì với mọi vec-tơ xV , các vec-tơ   x  và  '  x  cùng đại diện
cho một điểm của P' nên   x   k x '  x  . Do  và  ' đều là đơn cấu tuyến
tính nên ta suy ra k x không phụ thuộc vào x .
Định nghĩa 1.3.3 (Phép biến đổi xạ ảnh). Ánh xạ xạ ảnh f : P  P' là song

ánh khi và chỉ khi P và P' có cùng số chiều. Khi đó, f được gọi là đẳng cấu
xạ ảnh, hai không gian P và P' được gọi là đẳng cấu.
Từ các kết quả về đại số tuyến tính, ta có được các tính chất sau:
a) Ánh xạ tuyến tính đại diện cho đẳng cấu xạ ảnh là phép đẳng cấu tuyến
tính.
b) Một đẳng cấu xạ ảnh f : P  P của không gian xạ ảnh P lên chính nó được
gọi là phép biến đổi xạ ảnh (hay ngắn gọn là biến đổi xạ ảnh) của P . Tập hợp
các biến đổi xạ ảnh của P làm thành một nhóm, nó được gọi là nhóm xạ ảnh
của không gian xạ ảnh P . Nhóm xạ ảnh của P đẳng cấu với nhóm thương
GL  V  / kIdV k  0 , với V là không gian vec-tơ liên kết với P .

c) Nếu trong không gian xạ ảnh P 2 cho hai mục tiêu xạ ảnh S0 , S1, S2 ; E và

S , S , S ; E ' thì có phép biến đổi xạ ảnh duy nhất
'
0

'
1

'
2

f của P 2 , biến các điểm Si

thành các điểm Si'  i  0,1, 2 và biến E thành E ' .
d) Mỗi tập con H của P 2 được gọi là một hình. Hình H được gọi là tương
đương xạ ảnh với hình H ' nếu có một phép biến đổi xạ ảnh f biến H thành

Footer Page 15 of 166.


15


Header Page 16 of 166.

H ' . Quan hệ tương đương xạ ảnh của các hình là một quan hệ tương đương.

Một tính chất của hình H được gọi là tính chất xạ ảnh (hay bất biến xạ ảnh)
nếu mọi hình H ' tương đương với H đều có tính chất đó. Như vậy, hai hình
tương đương xạ ảnh đều có các tính chất xạ ảnh giống nhau.
Dưới đây là định lý cơ bản của phép biến đổi xạ ảnh trong P 2 .
Định lí 1.3.4. Nếu f : P2  P2 là song ánh bảo tồn sự thẳng hàng của ba điểm
và bảo tồn tỉ số kép của bốn điểm thẳng hàng thì f là phép biến đổi xạ ảnh
trong P 2 .

1.4. Siêu mặt bậc hai trong không gian xạ ảnh

P2  R  .

1.4.1. Định nghĩa. Xét phương trình bậc hai thuần nhất của 3 biến x0 , x1 , x2
trên trường số thực R , tức là phương trình có dạng
2

a xx

i , j 0

ij i


j

 0 , (1)

trong đó aij  R, a ji  aij và có ít nhất một aij  0 .
Ta kí hiệu ma trận A   aij  , i, j  0,1, 2 thì A là một ma trận vuông đối xứng
cấp 3 có hạng ít nhất bằng 1. Ta lại kí hiệu x là ma trận 1 cột 3 dòng:
 x0 
 
x   x1  .
x 
 2

Khi đó phương trình (1) có thể viết dưới dạng là
xt Ax  0 , (2)

trong đó xt là ma trận chuyển vị của ma trận x , còn 0 là kí hiệu cho ma trận
gồm 1 dòng 1 cột gồm 1 số 0.

Footer Page 16 of 166.

16

Thang Long University Library


Header Page 17 of 166.

Ma trận A được gọi là ma trận của siêu mặt bậc hai  S  đối với mục tiêu đã
cho. Nếu det A  0 tức ma trận A không suy biến thì siêu mặt bậc hai  S  được

gọi là không suy biến. Ngược lại, nếu det A  0 thì siêu mặt bậc hai  S  được
gọi là suy biến.
Ta thường gọi siêu mặt bậc hai trong không gian xạ ảnh P 2  R  là đường
bậc hai. Hai đường bậc hai  S  và  S ' với các ma trận A và A ' tương ứng
được xem là trùng nhau khi và chỉ khi có số thực k  0 sao cho A  kA ' . Khái
niệm đường bậc hai là một khái niệm xạ ảnh.
1.4.2. Giao của đường bậc hai với đường thẳng. Trong không gian xạ ảnh
P 2  R  cho đường bậc hai  S  và đường thẳng Q . Ta chọn mục tiêu xạ ảnh

S0 , S1, S2 ; E sao cho 2 điểm

S0 , S1 nằm trên Q . Khi đó phương trình Q là
x2  0 .

(1)

Giả sử khi đó phương trình của  S  là
2

a xx

i , j 0

ij i

j

 0 . (2)

Giao của Q và  S  là tập hợp  S ' gồm các điểm có tọa độ thỏa mãn hệ

phương trình (1) và (2), tức là
 x2  0
 2

  aij xi x j  0
i , j  0

- Nếu các aij , i, j  0,1 đều bằng 0 thì mọi điểm thuộc Q đều thuộc  S  . Vậy :
Q   S  hay  S '  Q .

Footer Page 17 of 166.

17


Header Page 18 of 166.

- Nếu các số đó không đồng thời bằng 0 thì  S ' là một siêu mặt bậc hai
trong không gian xạ ảnh 1 chiều Q . Như vậy giao đó hoặc là một điểm hoặc
là hai điểm phân biệt.
1.4.3. Dạng chuẩn tắc của siêu mặt bậc hai trong không gian xạ ảnh thực
Trong P 2  R  đối với mục tiêu đã chọn, cho siêu mặt  S  có phương trình
xt Ax  0 .

Ta xem xt Ax như là một dạng toàn phương trong không gian véc-tơ R 3 . Khi
đó ta có thể tìm được phép biến đổi tuyến tính x '  Bx sao cho dạng toàn
phương ấy trở thành dạng chính tắc. Ta lại xem phép biến đổi tuyến tính đó
như là phép biến đổi mục tiêu xạ ảnh của P 2 , và như ta đi đến định lý sau.
Định lý 1.4.4. Với mỗi siêu mặt bậc hai  S  trong không gian xạ ảnh thực
P 2  R  , luôn tìm được một mục tiêu xạ ảnh sao cho đối với nó phương trình


của  S  có dạng chuẩn tắc
 x02  x12  ...  x 2p 1  x 2p  ...  x 2p  q 1  0

(có p dấu  và q dấu +), trong đó 1  p  q  3 và q  p  0 .
Mỗi siêu mặt bậc hai có đúng một phương trình chuẩn tắc. Siêu mặt bậc hai

 S  trong trường hợp đó gọi là siêu mặt bậc hai có chỉ số  p, q  . Ta có định lý
phân loại siêu mặt bậc hai như sau.
Định lý 1.4.5. Hai siêu mặt bậc hai  S1  và  S2  trong không gian xạ ảnh thực
là tương đương khi và chỉ khi phương trình chuẩn tắc của chúng giống nhau.
Như vậy trong P 2  R  ta có 5 loại đường bậc hai sau đây:
1) x02  x12  x22  0 (đường ô van ảo),
2)  x02  x12  x22  0 (đường ô van, hay đường cô nic),

3) x02  x12  0 (cặp đường thẳng ảo liên hợp),

Footer Page 18 of 166.

18

Thang Long University Library


Header Page 19 of 166.

4)  x02  x12  0 (cặp đường thẳng thực phân biệt)
5) x02  0 (cặp đường thẳng trùng nhau).

P2  R 


1.5. Điểm liên hợp qua siêu mặt bậc hai trong

Trong P 2  R  với mục tiêu đã chọn, cho siêu mặt bậc hai  S  có phương
trình xt Ax  0 , và hai điểm Y  ( y0 : y1 : y2 ) và Z  ( z0 : z1 : z2 ) .
Định nghĩa 1.5.1 (Điểm liên hợp). Điểm Y được gọi là liên hợp với điểm Z
đối với  S  nếu yt Az  0 , trong đó y và z lần lượt là ma trận cột tọa độ của
điểm Y và điểm Z .
Khi đó ta cũng có z t Ay  0 , nên điểm Z cũng liên hợp với điểm Y đối với

 S  . Như vậy ta nói hai điểm

Y và Z liên hợp với nhau đối với  S  . Đặc biệt

điểm Y liên hợp với chính nó đối với  S  khi và chỉ khi Y nằm trên  S  .
Định lí 1.5.2. Giả sử hai điểm phân biệt Y và Z liên hợp với nhau đối với
siêu mặt bậc hai  S  trong không gian xạ ảnh P 2  R  . Khi đó :
- Nếu đường thẳng Y , Z

cắt  S  tại hai điểm phân biệt M , N thì

Y , Z , M , N   1 ,
- Nếu Y , Z cắt  S  tại một điểm duy nhất thì điểm đó chính là Y hoặc Z .
Chứng minh. Giả sử  S  có phương trình xt Ax  0 .
- Nếu đường thẳng  Y , Z  cắt  S  tại hai đúng điểm phân biệt M , N thì

Y   k1  M   l1  N  và  Z   k2  M   l2  N  .
Vì hai điểm Y , Z liên hợp với nhau đối với  S  , nên Y  A  Z   0 , hay
t


 k1  M t  l1  N t  A  k2  M   l2  N    0 . *


 

Chú ý rằng do M , N   S  nên  M  A  M    N  A  N   0 . Do đó từ * ta suy
t

t

ra

Footer Page 19 of 166.

19


Header Page 20 of 166.

 k1l2  k2l1  M  A  N   0 .
t

Vì M , N là hai điểm phân biệt của  S  nên  M  A  N   0 , (vì nếu
t

(M )t A( N )  0 thì cả đường thẳng MN sẽ nằm trên S ) suy ra k1l2  k2l1  0 . Vậy

Y , Z , M , N    M , N , Y , Z   1 .
- Nếu đường thẳng  Y , Z  cắt  S  tại điểm duy nhất X thì


 X   k Y   l  Z  và  X  A  X   0 ,
t

và do đó
Y t A Y   k 2  2 Y t A  Z  kl   Z t A  Z  l 2  0 .







Chú ý rằng Y  A  Z   0 , nên ta được
t

  Y t A  Y   k 2    Z t A  Z   l 2  0 .





Vì phương trình này chỉ có một nghiệm kép duy nhất (sai khác một hằng số
nhân khác 0), nên hoặc Y  A Y   0 hoặc  Z  A  Z   0 . Như vậy hoặc X
t

t

trùng với Y , hoặc X trùng với Z .
Định lí 1.5.3. Trong P 2  R  cho siêu mặt bậc hai  S  và điểm Y . Tập hợp tất
cả những điểm liên hợp với Y đối với  S  hoặc là một đường thẳng trong

P 2  R  hoặc là toàn bộ P 2  R  .

Chứng minh. Giả sử siêu mặt bậc hai  S  có phương trình

2

a xx

i , j 0

ij i

j

 0 và

Y  ( y0 : y1 : y2 ) . Điểm X  ( x0 : x1 : x2 ) liên hợp với Y đối với siêu mặt bậc hai

 S  khi và chỉ khi

y Ax  0 , hay
t

2

a yx

i , j 0
2


2

j 0

i 0

ij i

j

=0 hay

 ( aij yi ) x j  0 .

Footer Page 20 of 166.

(1)

20

Thang Long University Library


Header Page 21 of 166.

- Nếu hệ số của xj trong phương trình (1) không đồng thời bằng 0, hay ma
trận ytA có các số hạng không đồng thời bằng 0 thì phương trình (1) cho ta
một đường thẳng trong P 2  R  . Đường thẳng đó có ma trận cột tọa độ là Ay.
- Nếu các hệ số đó đều bằng 0 hay ma trận ytA gồm toàn số 0 thì mọi điểm X
của P 2  R  đều có tọa độ thỏa mãn phương trình (1).

Định nghĩa 1.5.4 (Cực và đối cực qua siêu mặt bậc hai). Nếu tập hợp các
điểm liên hợp đối với điểm Y đối với siêu mặt bậc hai (S) là một đường thẳng
thì đường thẳng đó được gọi là đường thẳng đối cực của điểm Y và kí hiệu là
Y*. Ngược lại, điểm Y được gọi là điểm đối cực của đường thẳng Y*.
Điểm Y được gọi là điểm kì dị của siêu mặt bậc hai (S) nếu Y liên hợp với
mọi điểm của P 2  R  đối với (S). Như vậy điểm kì dị của (S) phải nằm trên (S)
vì điểm kì dị liên hợp với chính nó. Hơn nữa chỉ có siêu mặt bậc hai suy biến
mới có điểm kì dị. Thật vậy, tọa độ của điểm kì dị là nghiệm của hệ phương
trình
2

a x
i 0

ij i

 0, j  0,1, 2 .

Bởi vậy, nếu (S) có điểm kì dị thì hệ phương trình đó có nghiệm không tầm
thường, do đó detA=0, hay (S) suy biến.
Định nghĩa 1.5.5 (Tiếp tuyến và tiếp điểm). Nếu điểm Y nằm trên siêu mặt
bậc hai  S  nhưng không phải là điểm kì dị của  S  thì đường thẳng đối cực
Y * của Y đối với  S  được gọi là đường thẳng tiếp xúc của  S  tại Y , hay còn

gọi là tiếp tuyến của  S  tại Y . Điểm Y nằm trên đường thẳng Y * và điểm Y
được gọi là tiếp điểm.
Bây giờ, ta chú ý rằng: Nếu siêu mặt bậc hai (S) không suy biến thì mỗi
đường thẳng bất kì đều có điểm đối cực duy nhất. Thật vậy, giả sử  S  có
phương trình xt Ax  0 với det A  0 . Với đường thẳng U, điểm X là đối cực


Footer Page 21 of 166.

21


Header Page 22 of 166.

của nó khi và chỉ khi (X)tA=(U)t hay A(X)=(U), do đó (X)=A-1(U) được xác
định duy nhất.
Định nghĩa 1.5.6 (Đường thẳng liên hợp). Hai đường thẳng U và V được gọi
là liên hợp với nhau qua siêu mặt bậc hai không suy biến (S) khi hai điểm đối
cực của chúng liên hợp với nhau qua (S).
Các tính chất :
a) Hai đường thẳng liên hợp với nhau qua siêu mặt bậc hai không suy biến
(S) khi và chỉ khi đường thẳng này đi qua điểm đối cực của đường thẳng kia.
Thật vậy, cho hai đường thẳng U,V có điểm đối cực đối với (S) lần lượt là U*
và V*. Khi đó U liên hợp với V qua (S) khi và chỉ khi U* và V* là hai điểm liên
hợp qua S. Vì U gồm những điểm liên hợp với U* nên U đi qua V*. Tương tự
ta cũng có V đi qua U*.
b) Đường thẳng U liên hợp với chính nó qua siêu mặt bậc hai (S) khi và chỉ
khi U tiếp xúc với (S) tại điểm U* là điểm đối cực của U.
c) Cho hai đường thẳng phân biệt U,V liên hợp với nhau qua siêu mặt bậc hai
không suy biến (S). Nếu qua U V có hai đường thẳng phân biệt P và Q cùng
tiếp xúc với (S) thì U ,V , P, Q  1 . Thật vậy, gọi các điểm đối cực của các
đường thẳng U ,V , P, Q lần lượt là U * ,V * , P* , Q* ta có

U   A U  , V   A V  ,  P   A  P  , Q   A Q  .
1

*


1

*

1

*

1

*

Vì các đường thẳng U ,V , P, Q cùng thuộc một chùm (có giá là U V ) nên:

 P   k1 U   l1 V  ,  Q   k2 U   l2 V  .
Từ đó :

 P   A  P   k A U   l A V   k U   l V  ,
1

*

1

1

1

*


1

1

*

1

Q   A Q   k A U   l A V   k U   l V  .
*

1

1

2

Footer Page 22 of 166.

1

2

*

2

*


2

22

Thang Long University Library


Header Page 23 of 166.

Vậy bốn điểm U * ,V * , P* , Q* thẳng hàng. Nhưng hai điểm U * ,V * liên hợp với
nhau đối với  S  còn P* , Q* là các giao điểm của U *V * với  S  nên
U * ,V * , P* , Q*   1 , do đó U ,V , P, Q  1 .

1.6. Nguyên tắc đối ngẫu
Ta định nghĩa về phép đối xạ trong P 2 như sau: Kí hiệu  2 là tập hợp tất cả
các điểm, đường thẳng (0 – phẳng và 1 – phẳng trong P 2 ). Ta chọn trong P 2
một mục tiêu xạ ảnh nào đó và xác định ánh xạ  :  2   2 như sau: nếu A là
một điểm thì   A  là một đường thẳng có tọa độ giống như tọa độ của A , cụ
thể là A   a0 : a1 : a2  thì   A   a0 : a1 : a2  ; nếu U là một đường thẳng nào đó
thì  U  

X U

  X  là một điểm.

Hai cái phẳng U và V trong mặt phẳng xạ ảnh P 2 gọi là có quan hệ liên
thuộc nếu một trong hai phẳng đó chứa phẳng kia. Tức là U  V hoặc V  U .
Khi đó ta nói U thuộc V , hoặc V thuộc U . Chẳng hạn, nếu điểm A nằm trên
đường thẳng a thì ta nói: “điểm A thuộc đường thẳng a ”, hoặc nói: “đường
thẳng a thuộc điểm A ”. Như vậy, từ “ thuộc” đồng nghĩa với một trong các

từ “nằm trên”, “đi qua”, “chứa”, “chứa trong”.
Với cách hiểu như vậy, ta có thể nói rằng: Phép đối xạ giữ nguyên quan hệ
liên thuộc giữa các phẳng, có nghĩa là nếu U thuộc V thì  U  thuộc  V  .
Định nghĩa 1.6.1 (Mệnh đề đối ngẫu). Giả sử M là một mệnh đề nào đó
trong mặt phẳng xạ ảnh P 2 nói về các phẳng và các quan hệ liên thuộc giữa
chúng. Nếu trong mệnh đề đó các từ “0 – phẳng” được thay bằng các từ
“1– phẳng” và ngược lại, các từ khác giữ nguyên thì được mệnh đề mới M *
gọi là mệnh đề đối ngẫu.

Footer Page 23 of 166.

23


Header Page 24 of 166.

Từ tính chất của phép đối xạ, ta có kết quả sau đây gọi là nguyên tắc đối
ngẫu.
Định lý 1.6.2 (Nguyên tắc đối ngẫu). Trong mặt phẳng xạ ảnh cặp mệnh đề
đối ngẫu với nhau hoặc cùng đúng, hoặc cùng sai.
Ví dụ. Ta xét mệnh đề sau trong P 2 : “ Có một và chỉ một đường thẳng đi qua
hai điểm phân biệt cho trước” . Ta phát biểu lại dưới dạng: “ Có một và chỉ
một 1 – phẳng thuộc hai 0 – phẳng phân biệt cho trước”. Khi đó, mệnh đề đối
ngẫu của nó sẽ là: “Có một và chỉ một 0 – phẳng thuộc hai 1 – phẳng phân
biệt cho trước”, hay phát biểu cách khác : “ Hai đường thẳng phân biệt luôn
cắt nhau tại một điểm duy nhất”. Cặp mệnh đề đối ngẫu trên đây đều đúng.

1.7. Các định lý cổ điển của hình học xạ ảnh
Định nghĩa 1.7.1 (Hình sáu đỉnh). Tập hợp gồm 6 điểm phân biệt có thứ tự
A1 , A2 , A3 , A4 , A5 , A6 được gọi là một hình sáu đỉnh. Nó được kí hiệu là

A1 A2 A3 A4 A5 A6 . Các điểm Ai gọi là các đỉnh của hình sáu đỉnh đó. Các đường

thẳng A1 A2 , A2 A3 , A3 A4 , A4 A5 , A5 A6 , A6 A1 gọi là các cạnh của hình sáu đỉnh. Các
cặp đỉnh A1 và A4 , A2 và A5 , A3 và A6 gọi là các cặp đỉnh đối diện. Các cặp cạnh
A1 A2 và A4 A5 , A2 A3 và A5 A6 , A3 A4 và A6 A1 gọi là các cặp cạnh đối diện.

Định lý 1.7.2 (Định lý Pascal). Nếu một hình 6 đỉnh có 6 đỉnh nằm trên một
đường ôvan (còn gọi là hình sáu đỉnh nội tiếp đường ôvan) thì giao điểm của
các cạnh đối diện nằm trên một đường thẳng.
Chứng minh. (hình vẽ)

Footer Page 24 of 166.

24

Thang Long University Library


Header Page 25 of 166.

(Hình 1)
Giả sử hình 6 đỉnh A1 A2 A3 A4 A5 A6 nội tiếp đường ôvan (S). Ta kí hiệu:
P  A1 A2  A4 A5 , Q  A2 A3  A5 A6 , R  A3 A4  A6 A1 .

Từ định lý Stâyne thuận, ta có:

 A1 A2 , A1 A3 , A1 A4 , A1 A6    A5 A2 , A5 A3 , A5 A4 , A5 A6  .
Tuy nhiên, ta có:

 A1 A2 , A1 A3 , A1 A4 , A1 A6    M , A3 , A4 , R  ,  A5 A2 , A5 A3 , A5 A4 , A5 A6    A2 , A3 , N , Q  .

Vì vậy ta có:

 M , A3 , A4 , R    A2 , A3 , N , Q  .
Điều đó chứng tỏ rằng, có phép ánh xạ xạ ảnh f : A3 A4  A2 A3 mà
f  M   A2 , f  A3   A3 , f  A4   N , f  R   Q , hơn thế, f là phép chiếu xuyên tâm

vì A3 là điểm tự ứng. Do vậy các đường thẳng MA2 , A4 N , QR đồng quy. Nói
cách khác P, Q, R thẳng hàng.
Chú ý: Các trường hợp đặc biệt của định lý Pascal.
Ta có thể định nghĩa hình năm đỉnh, hình bốn đỉnh, hình ba đỉnh tương
tự như định nghĩa hình sáu đỉnh. Hãy xét một hình năm đỉnh A1 A2 A3 A4 A5 nội
tiếp đường ôvan  S  . Ta xem hình năm đỉnh đó như là một trường hợp đặc
biệt của hình sáu đỉnh khi hai đỉnh liên tiếp nào đó trùng nhau, chẳng hạn đó

Footer Page 25 of 166.

25