BÀI GIẢNG TOÁN ỨNG DỤNG THỰC TIỄN

BÀI TOÁN ỨNG DỤNG – THẦY TRẦN TÀI
Nhóm 1: Bài toán về quãng đường
Câu 1.

Một công ty muốn làm một đường ống dẫn từ một điểm A
trên bờ đến một điểm B trên một hòn đảo. Hòn đảo cách
bờ biển 6km. Giá để xây đường ống trên bờ là 50.000USD
mỗi km, và 130.000USD mỗi km để xây dưới nước. B’ là
điểm trên bờ biển sao cho BB’ vuông góc với bờ biển.
Khoảng cách từ A đến B’ là 9km. Vị trí C trên đoạn AB’ sao
cho khi nối ống theo ACB thì số tiền ít nhất. Khi đó C cách
A một đoạn bằng:

A. 6.5km

B. 6km

C. 0km

D.9km

Hướng dẫn giải
Đặt x = B ' C ( km) , x ∈ [0;9]

BC = x 2 + 36; AC = 9 − x
2
Chi phí xây dựng đường ống là C ( x ) = 130.000 x + 36 + 50.000(9 − x )

(USD )

 13x

C '( x ) = 10000. 
− 5÷
2
 x + 36

Hàm C ( x ) , xác định, liên tục trên [0;9] và

C '( x ) = 0 ⇔ 13 x = 5 x + 36
2

⇔ 169 x 2 = 25( x 2 + 36) ⇔ x 2 =

25
5
⇔x=
4
2

5
C  ÷ = 1.170.000
C (0) = 1.230.000 ;  2 
; C (9) ≈ 1.406.165
Vậy chi phí thấp nhất khi x = 2,5 . Vậy C cần cách A một khoảng 6,5km.
Câu 2.

Một ngọn hải đăng đặt tại vị trí A có khoảng cách đến bờ
biển AB = 5km .Trên bờ biển có một cái kho ở vị trí C

cách B một khoảng 7km .Người canh hải đăng có thể
chèo đò từ A đến M trên bờ biểnvới vận tốc 4km / h rồi
đi bộ đến C với vận tốc 6km / h .Vị trí của điểm M cách B
một khoảng bao nhiêu để người đó đi đến kho nhanh nhất?

A. 0 km
.Y 1

B. 7 km

C. 2 5 km

14 + 5 5
km
12
D.


BÀI GIẢNG TOÁN ỨNG DỤNG THỰC TIỄN
Hướng dẫn giải
Đặt BM = x( km) Þ MC = 7 - x( km) ,(0 < x < 7) .

Ta có: Thời gian chèo đò từ A đến M là:
Thời gian đi bộ đi bộ đến C là:

Thời gian từ A đến kho

Khi đó:

t′ =


x
4 x 2 + 25

−

t=

tMC =

x 2 + 25
(h).
4

7−x
( h)
6

x 2 + 25 7 − x
+
4
6

1
6 , cho t ′ = 0 ⇔ x = 2 5

Lập bảng biến thiên, ta thấy thời gian
Câu 3.

t AM =


đến kho nhanh nhất khi x = 2 5( km).

Đường dây điện 110KV kéo từ trạm phát (điểm A) trong đất liền ra Côn Đảo (điểm
C). biết khoảng cách ngắn nhất từ C đến B là 60km, khoảng cách từ A đến B là
100km, mỗi km dây điện dưới nước chi phí là 5000 USD, chi phí cho mỗi km dây
điện trên bờ là 3000 USD. Hỏi điểm G cách A bao nhiêu để mắc dây điện từ A đến G
rồi từ G đến C chi phí ít nhất.

A: 40km

B: 45km

C: 55km

Hướng dẫn giải

Gọi

BG = x (0 < x < 100) ⇒ AG = 100 − x

Ta có

GC = BC 2 + GC 2 = x 2 + 3600

Chi phí mắc dây điện:
Khảo sát hàm ta được:

.Y 2


f (x) = 3000.(100 − x) + 5000 x 2 + 3600
x = 45

. Chọn B.

D: 60km


BÀI GIẢNG TOÁN ỨNG DỤNG THỰC TIỄN
Một màn ảnh chữ nhật cao 1,4 mét được đặt ở độ cao 1,8 mét so với tầm mắt (tính từ đầu
mép dưới của màn hình). Để nhìn rõ nhất phải xác định vị trí đứng sao cho C
·
1,4
BOC
góc nhìn lớn nhất. Hãy xác định vị trí đó ? (
gọi là góc nhìn)

B

AO = 2,4m

A.
C.

B.

AO = 2,6m

D.


AO = 2m

1,8

AO = 3m

A

O

Hướng dẫn giải
Với

bài

toán

này

ta

cần

xác

định

OA

để


góc

BOC

lớn

nhất.

Điều này xảy ra khi và chỉ khi tanBOC lớn nhất. Đặt OA = x (m) với x > 0,

ta có tanBOC = tan(AOC - AOB) =

=

AC AB
−
OA OA
AC . AB
1+
OA2

=

1,4
x
3,2.1,8
1+
x2


tan AOC − tan AOB
1 + tan AOC .tan AOB

1,4 x
x + 5,76
2

=

1,4 x
x + 5,76
2

Xét hàm số f(x) =

Bài toán trở thành tìm x > 0 để f(x) đạt giá trị lớn nhất. Ta có

f'(x) =

−1,4 x 2 + 1,4.5,76
(x 2 + 5,76)2

Ta có bảng biến thiên

⇔
±
, f'(x) = 0 x x = 2,40

2,4
+


f'(x)

0

_

∞

84
193

f(x)
0

0

Vậy vị trí đứng cho góc nhìn lớn nhất là cách màn ảnh 2,4m.
Câu 4.

Từ cảng A dọc theo đường sắt AB cần phải xác định một trạm trung chuyển hàng
hóa C và xây dựng một con đường từ C đến D. Biết rằng vận tốc trên đường sắt là
v1 và trên đường bộ là v2 (v1 < v2). Hãy xác định phương án chọn địa điểm C để thời

.Y 3


BÀI GIẢNG TOÁN ỨNG DỤNG THỰC TIỄN
gian vận chuyển hàng từ cảng A đến cảng D là ngắn


D

nhất?
Hướng dẫn giải

A

Gọi t là thời gian vận chuyển hàng hóa từ cảng A đến cảng D.

Thời gian t là: t =
l−
=

h
h
tanα + sinα
v1
v2

AC CD
+
v1
v2

=

cosα =

v2
v1


=

B

h
E



. Ứng dụng Đạo hàm ta được
cosα =

. Vậy để t nhỏ nhất ta chọn C sao cho

B

C

v2
v1

t (α )

lý. Đồng thời cả hai tàu cùng khởi hành, một chạy về

nhỏ nhất khi

B1


A

.

Hai con tàu đang ở cùng một vĩ tuyến và cách nhau 5 hải

Câu 5.

E

D

l − h.cot α
h
−
v1
v2 sinα

l − h.cot α
h
−
v1
v2 sinα

h



A


t (α ) =

Xét hàm số

=

AE − CE CD
+
v1
v2

α

C

B

d
A1

hướng Nam với 6 hải lý/giờ, còn tàu kia chạy về vị trí hiện
tại của tàu thứ nhất với vận tốc 7 hải lý/ giờ. Hãy xác định mà thời điểm mà khoảng
cách của hai tàu là lớn nhất?
Hướng dẫn giải
Tại thời điểm t sau khi xuất phát, khoảng cách giữa hai tàu là d.
Ta có d2 = AB12 + AA12 = (5 - BB1)2 + AA12 = (5 - 7.t)2 + (6t)2

A
d


85t2 − 70 + 25
Suy ra d = d(t) =

.

Áp dụng Đạo hàm ta được d nhỏ nhất
t=

khi

7
17

≈
(giờ), khi đó ta có d 3,25 Hải lý.

Nhóm 2: Bài toán diện tích hình phẳng

.Y 4

B1

A1

B


BÀI GIẢNG TOÁN ỨNG DỤNG THỰC TIỄN

Câu 6.


Cho hình chữ nhật có diện tích bằng

100(cm2 )

nhiêu để chu vi của nó nhỏ nhất?
10cm × 10cm
20cm × 5cm
A.
B.

C.

. Hỏi mỗi kích thước của nó bằng bao
25cm × 4cm

D. Đáp án khác

Hướng dẫn giải
x(cm)

y(cm) (x , y > 0).

Gọi chiều dài và chiều rộng của hình chữ nhật lần lượt là:
và
P = 2(x + y) = 2 x + 2y
Chu vi hình chữ nhật là:
100
200
P = 2(x + y ) = 2 x +

y=
xy = 100
x >0
x
x
Theo đề bài thì:
hay
. Do đó:
với
P '(x) = 2 −
Đạo hàm:

200 2 x 2 − 200
=
x2
x2

y ' = 0 ⇔ x = 10

. Cho
.
Pmin = 40
x = 10 ⇒ y = 10
Lập bảng biến thiên ta được:
khi
.
10 × 10
Kết luận: Kích thước của hình chữ nhật là
(là hình vuông).
Lưu ý: Có thể đánh giá bằng BĐT Cô-Sy:

Câu 7.

P = 2( x + y) ≥ 2.2 xy = 4 100 = 40.

Một lão nông chia đất cho con trai để người con canh tác riêng, biết người con sẽ
được chọn miếng đất hình chữ nhật có chu vi bằng

800(m)

. Hỏi anh ta chọn mỗi

kích thước của nó bằng bao nhiêu để diện tích canh tác lớn nhất?
200m × 200m
300m × 100m
250m × 150m
A.
B.
C.
D.Đáp án khác
Hướng dẫn giải
Gọi chiều dài và chiều rộng của miếng đất lần lượt là: x( m) và y( m) ( x , y > 0).
Diện tích miếng đất: S = xy
2
Theo đề bài thì: 2( x + y) = 800 hay y = 400 - x . Do đó: S = x(400 - x) =- x + 400 x với x > 0

Đạo hàm: S '( x) =- 2 x + 400 . Cho y ' = 0 Û x = 200 .
Lập bảng biến thiên ta được: Smax = 40000 khi x = 200 Þ y = 200 .
Kết luận: Kích thước của miếng đất hình chữ nhật là 200 ´ 200 (là hình vuông).
Lưu ý: Có thể đánh giá bằng BĐT Cô-Sy.


Câu 8.

Người ta muốn rào quanh một khu đất với một số vật liệu cho trước là

180

mét

thẳng hàng rào. Ở đó người ta tận dụng một bờ giậu có sẵn để làm một cạnh của
.Y 5


BÀI GIẢNG TOÁN ỨNG DỤNG THỰC TIỄN
hàng rào và rào thành mảnh đất hình chữ nhật. Hỏi mảnh đất hình chữ nhật được
rào có diện tích lớn nhất bằng bao nhiêu?
Smax = 3600m2

A.

B.

Smax = 4000m2

C.

Smax = 8100m2

D.

Smax = 4050m2


Hướng dẫn giải

y
Gọi x là chiều dài cạnh song song với bờ giậu và
là chiều dài cạnh vuông góc với bờ
giậu, theo bài ra ta có x + 2 y = 180 . Diện tích của miếng đất là S = y(180 - 2 y ) .
1
1 (2 y + 180 - 2 y )2 180 2
y(180 - 2 y) = ×2 y(180 - 2 y ) £ ×
=
= 4050
2
2
4
8
Ta có:
Dấu '' = '' xảy ra Û 2 y = 180 - 2 y Û y = 45m .
2
Vậy Smax = 4050 m khi x = 90m , y = 45m .

Câu 9.

Trong lĩnh vực thuỷ lợi, cần phải xây dựng nhiều mương
dẫn nước dạng "Thuỷ động học" (Ký hiệu diện tích tiết
diện ngang của mương là S,

l

y

x

là độ dài đường biên giới

l
hạn của tiết diện này, - đặc trưng cho khả năng thấm
nước của mương; mương đựơc gọi là có dạng thuỷ động học nếu với S xác định,

l

là nhỏ nhất). Cần xác định các kích thước của mương dẫn nước như thế nào để có
dạng thuỷ động học? (nếu mương dẫn nước có tiết diện ngang là hình chữ nhật)

x = 4S ,y =
A.

x = 2S , y =
C.

S
4

x = 4S , y =

S
2

x = 2S , y =

S

2

B.

S
4

D.

Hướng dẫn giải
Gọi x, y lần lượt là chiều rộng, chiều cao của mương. Theo bài ra ta có: S = xy;
l = 2y + x =

.Y 6

. Xét hàm số

2S
l ( x) = x + x

⇔ x − 2S = 0 ⇔ x = 2 S
2

'

l (x)

2S
+x
x


=0

, khi đó y =

'

. Ta có
S
x

=

S
2

l ( x)

.

=

−2S
x2

+1=

x 2 − 2S
x2


.


BÀI GIẢNG TOÁN ỨNG DỤNG THỰC TIỄN
Dễ thấy với x, y như trên thì mương có dạng thuỷ động học, vậy các kích thước của

x = 2S

mương là
Câu 10.

S
2

,y=

thì mương có dạng thuỷ động học.

Cần phải làm cái cửa sổ mà, phía trên là hình bán nguyệt, phía dưới là hình
a(m) a
chữ nhật, có chu vi là
( chính là chu vi hình bán nguyệt cộng với chu vi

hình chữ nhật trừ đi độ dài cạnh hình chữ nhật là dây cung của hình bán
nguyệt). Hãy xác định các kích thước của nó để diện tích cửa sổ là lớn nhất?
2a
a
4+π
4+π
A. chiều rộng bằng

, chiều cao bằng

B. chiều rộng bằng
C. chiều rộng bằng

a
4+π

, chiều cao bằng

a(4 + π )

S1
S2
2x

2a
4 +π

, chiều cao bằng

2a(4 + π )

D. Đáp án khác
Hướng dẫn giải
Gọi

x

là bán kính của hình bán nguyệt. Ta có chu vi của hình bán nguyệt là

a −π x
cạnh của hình chữ nhật là
. Diện tích cửa sổ là:
S = S1 + S2 =

π x2
a −π x −2x
π
π
a
+ 2x
= ax − ( + 2) x 2 = ( + 2) x(
− x)
π
2
2
2
2
+2
2

x=

Dễ thấy

S

lớn nhất khi

a


π
+2
2

−x

x=

hay

a
4+π

πx

, tổng ba

.

.(Có thể dùng đạo hàm hoặc đỉnh

Parabol)

Vậy để

.Y 7

S max


thì các kích thước của nó là: chiều cao bằng

a
4+π

; chiều rộng bằng

2a
4 +π


BÀI GIẢNG TOÁN ỨNG DỤNG THỰC TIỄN
Câu 11.

cho diện tích của hình quạt là cực đại. Dạng của quạt này phải như thế

A.

nào?
a
a
x= ;y=
4
2

x=

C.

a


Người ta muốn làm một cánh diều hình quạt sao cho với chu vi cho trước là

x=

B.

a
2a
;y =
6
3

a
a
;y =
3
3

sao

y

x

α x

D. Đáp án khác

Hướng dẫn giải

Gọi

x

là bán kính hình quạt,

a = 2x + y

y

là độ dài cung tròn. Ta có chu vi cánh diều là
. Ta cần
x
tìm mối liên hệ giữa độ dài cung tròn y và bán kính
sao cho diện tích quạt lớn nhất. Dựa

vào công thức tính diện tích hình quạt là
S=

tích hình quạt là:
S=

lR
2

Dễ thấy

và độ dài cung tròn

2π Rα

360

, ta có diện

.

⇔ 2x = a − 2x ⇔ x =

cực đại

l =

. Vận dụng trong bài toán này diện tích cánh diều là:

xy x(a − 2 x) 1
=
= 2 x(a − 2x)
2
2
4

S

π R2 α
S=
360

a
a
⇒y=

4
2

. Như vậy với chu vi cho trước, diện tích

của hình quạt cực đại khi bán kính của nó bằng nửa độ dài cung tròn.
Câu 12.

Có một tấm gỗ hình vuông cạnh 200 cm. Cắt một tấm gỗ có hình tam giác vuông, có
tổng của một cạnh góc vuông và cạnh huyền bằng hằng số 120cm từ tấm gỗ trên sao
cho tấm gỗ hình tam giác vuông có diện tích lớn nhất. Hỏi cạnh huyền của tấm gỗ
này là bao nhiêu?

A. 40cm .

B. 40 3cm .

C. 80cm .

D. 40 2cm .

Hướng dẫn giải
Kí hiệu cạnh góc vuông AB = x,0 < x < 60
2
2
2
Khi đó cạnh huyền BC = 120 − x , cạnh góc vuông kia là AC = BC − AB = 120 − 240 x

.Y 8



BI GING TON NG DNG THC TIN

Din tớch tam giỏc ABC l:
trờn khong

Ta cú

S ( x) =

1
x. 1202 240 x
2
. Ta tỡm giỏ tr ln nht ca hm s ny

( 0;60 )

S,( x ) =

1
1
240
14400 360 x
1202 240 x + x.
=
S ' ( x ) = 0 x = 40
2
2
2 2 120 240 x 2 1202 240 x


Lp bng bin thiờn ta cú:
x

0 40 60

S' ( x )

+0
S ( 40 )

S ( x)

Tam giỏc ABC cú din tớch ln nht khi BC = 80 T ú chn ỏp ỏn C
Cõu 13.

A.

Tỡm din tớch ln nht ca hỡnh ch nht ni tip trong na ng trũn bỏn kớnh
10cm, bit mt cnh ca hỡnh ch nht nm dc trờn ng kớnh ca ng trũn.

80cm2

2
B. 100cm

2

C. 160cm

2

D. 200cm

Hng dn gii
Gi x(cm) l di cnh hỡnh ch nht khụng nm dc theo ng kớnh ng trũn

( 0 < x <10) .
Khi ú di cnh hỡnh ch nht nm dc trờn ng trũn l:

2 102 - x2 ( cm) .

2
2
Din tớch hỡnh ch nht: S = 2x 10 - x

Ta cú

SÂ= 2 102 - x2 -

ộ 10 2
ờx =
ờ
2
S Â= 0 ờ
ờ
ờx =- 10 2
ờ
2
ở

2x2

2

2

10 - x

= 2.102 - 4x2

( thoỷa)
( khoõng thoỷa)

ổ
10 2 ử
ữ
10 2
ữ
SÂÂ=- 8x ị SÂÂỗ
=- 40 2 < 0
ỗ
ữ
x=
ỗ
ữ
ỗ
ố 2 ứ
2 l im cc i ca hm S ( x) .
. Suy ra
.Y 9



BÀI GIẢNG TOÁN ỨNG DỤNG THỰC TIỄN

Vậy diện tích lớn nhất của hình chữ nhật là:
102
S = 10 2. 10 = 100 ( cm2 )
2
2

Câu 14.

Một máy tính được lập trình để vẽ một chuỗi
các hình chữ nhật ở góc phần tư thứ nhất của
trục tọa độ Oxy , nội tiếp dưới đường cong y=e x

. Hỏi diện tích lớn nhất của hình chữ nhật có

thể được vẽ bằng cách lập trình trên
A. 0,3679 ( đvdt)

B. 0,3976 (đvdt)

C. 0,1353( đvdt)

D 0,5313( đvdt)

Hướng dẫn giải
Diện tích hình chữ nhật tại điểm x là S = xe-x
S '( x) = e− x (1 − x)

S '( x ) = 0 ⇔ x = 1

−1
Dựa vào bảng biến thiên ta có Smax = e ; 0,3679 khi x=1

Đáp án A
Câu 15.

Cho một tấm nhôm hình vuông cạnh 6 cm. Người ta muốn cắt một hình thang như
hình vẽ. Tìm tổng x + y để diện tích hình thang EFGH đạt giá trị nhỏ nhất.

A. 7
.Y 10

B. 5

7 2
C. 2

D. 4 2 .


BÀI GIẢNG TOÁN ỨNG DỤNG THỰC TIỄN
Hướng dẫn giải

S EFGH

Ta có

⇔ S = S AEH + SCGF + S DGH lớn nhất.

nhỏ nhất


Tính được 2 S = 2 x + 3 y + (6 − x )(6 − y) = xy − 4 x − 3 y + 36 (1)
AE AH
=
⇒ xy = 6
Mặt khác ∆AEH đồng dạng ∆CGF nên CG CF
(2)

Từ (1) và (2) suy ra

Biểu thức

4 x+

2 S = 42 − (4 x +

18
18
)
4 x+
x . Ta có 2S lớn nhất khi và chỉ khi
x nhỏ nhất.

18
18
3 2
⇔ 4x = ⇒ x =
⇒ y=2 2
x nhỏ nhất
x

2
. Vậy đáp án cần chọn là C.

Nhóm 3: Bài toán liên hệ diện tích, thể tích
Câu 16.

12cm.

(ĐMH)Có một tấm nhôm hình vuông cạnh

Người ta cắt ở bốn góc của tấm

nhôm đó bốn hình vuông bằng nhau, mỗi hình vuông có cạnh bằng

x(cm)

tấm nhôm lại như hình vẽ dưới đây để được một cái hộp không nắp. Tìm
hộp nhận được có thể tích lớn nhất.
x =6
x =3
A.
B.

C.

x =2

D.

x


rồi gấp
để hình

x =4

Hướng dẫn giải
Độ dài cạnh đáy của cái hộp:

12 − 2 x.

Thể tích cái hộp là:

V '(x) = 12 x − 96 x + 144 x.
3

Ta có:

2

Lập bảng biến thiên ta được
Câu 17.

Diện tích đáy của cái hộp:

V = (12 − 2 x) .x = 4 x − 48 x + 144 x
2

3


2

V '( x) = 0

Cho
Vmax = 128

khi

với

(12 − 2 x)2

.

x ∈ (0;6)

, giải và chọn nghiệm

x = 2.

x = 2.

Một Bác nông dân cần xây dựng một hố ga không có nắp dạng hình hộp chữ nhật
3
có thể tích 3200cm , tỉ số giữa chiều cao của hố và chiều rộng của đáy bằng 2 . Hãy

xác định diện tích của đáy hố ga để khi xây tiết kiệm nguyên vật liệu nhất?
2
A. 1200cm


2
B. 160cm

C. 1600cm

2

Hướng dẫn giải
Gọi
.Y 11

x, y (x, y > 0)

lần lượt là chiều rộng, chiều dài của đáy hố ga.

2
D. 120cm


BÀI GIẢNG TOÁN ỨNG DỤNG THỰC TIỄN
h
= 2 => h = 2x ( 1)
Gọi h là chiều cao của hố ga ( h > 0). Ta có x

suy ra thể tích của hố ga là :
Diện

tích


toàn

S = 2xh + 2yh + xy = 4x2 +

Khảo sát hàm số

V = xyh = 3200 => y =

phần

3200 1600
= 2 ( 2)
xh
x
của

hố

ga

là:

6400 1600
8000
+
= 4x2 +
= f (x)
x
x
x


y = f (x), ( x > 0)

suy ra diện tích toàn phần của hố ga nhỏ nhất bằng

1200cm2 khi

x = 10cm => y = 16cm

Câu 18.

2
Suy ra diện tích đáy của hố ga là 10.16 = 160cm

Người ta phải cưa một thân cây hình trụ có đường kính

1m

, chiều dài

8m

để được

một cây xà hình khối chữ nhật như hình vẽ. Hỏi thể tích cực đại của khối gỗ sau khi
cưa xong là bao nhiêu?

Hướng dẫn giải
Gọi


x 2 + y 2 = 12

x , y(m)

là các cạnh của tiết diện. Theo Định lí Pitago ta có:
(đường kính của
1m
thân cây là
). Thể tích của cây xà sẽ cực đại khi diện tích của tiết diện là cực đại, nghĩa

là khi

x. y

cực đại. Ta có:

1
x 2 + y 2 ≥ 2 xy ⇒ xy ≤ .
2

V=
Thể tích khối gỗ sau khi cưa xong:

.Y 12

Dấu

" ="

1 1

× ×8 = 4 m3
2 2

x=y=
xảy ra khi

1
2

.

(tiết diện là hình vuông).


BÀI GIẢNG TOÁN ỨNG DỤNG THỰC TIỄN
Câu 19.

Bạn An là một học sinh lớp 12, bố bạn là một thợ hàn. Bố bạn định làm một chiếc
thùng hình trụ từ một mảnh tôn có chu vi 120 cm theo cách dưới đây:

Bằng kiến thức đã học em giúp bố bạn chọn mảnh tôn để làm được chiếc thùng có thể tích
lớn nhất, khi đó chiều dài, rộng của mảnh tôn lần lượt là:
A.

35 cm; 25 cm

B.

40 cm; 20 cm


C.

50 cm;10 cm

D.

30 cm; 30 cm

Hướng dẫn giải
x ( cm) (0 < x < 60)
60 - x ( cm)
, khi đó chiều còn lại là
, giả sử quấn cạnh

Gọi một chiều dài là

có chiều dài là x lại thì bán kính đáy là

r=

x
- x3 + 60 x 2
; h = 60 - x.
V = pr 2 .h =
.
2p
4p
Ta có:

f ( x) =- x3 + 60 x2 , x Î ( 0; 60)


Xét hàm số:
éx = 0
f '( x) =- 3 x 2 + 120 x; f '( x) = 0 Û ê
êx = 40
ë
f ( x) =- x 3 + 60 x2 , x Î ( 0; 60 )

Lập bảng biến thiên, ta thấy

lớn nhất khi x=40. 60-x=20. Khi đó

chiều dài là 40 cm; chiều rộng là 20 cm. Chọn đáp án B
Câu 20.

Một xưởng cơ khí nhận làm những chiếc thùng phi với thể tích theo yêu cầu là
2000π
lít mỗi chiếc. Hỏi bán kính đáy và chiều cao của thùng lần lượt bằng bao

nhiêu để tiết kiệm vật liệu nhất?
1dm
2dm
1m
2m
A.
và
B.
và
C.


2m

và

1m

D.

2dm

và

1dm

Hướng dẫn giải
Đổi

2000π (lit ) = 2π (m3 )

. Gọi bán kính đáy và chiều cao lần lượt là
V = π x .h = 2π ⇒
2

Ta có thể tích thùng phi

h=

.Y 13

và


h(m)

.

2
x2

Vật liệu tỉ lệ thuận với diện tích toàn phần nên ta chỉ cần tìm
nhất.

x(m)

x

để diện tích toàn phần bé


BÀI GIẢNG TOÁN ỨNG DỤNG THỰC TIỄN
Stp = 2π x 2 + 2π x.h = 2π x(x +

2
2
) = 2π (x 2 + )
2
x
x

BỘ ĐỀ THI THỬ, TÀI LIỆU THPT QUỐC GIA NĂM 2017 MỚI
NHẤT


Bên mình đang có bộ đề thi thử THPTQG năm 2017 mới nhất từ các
trường , các nguồn biên soạn uy tín nhất.

300 – 350 đề thi thử cập nhật liên tục mới nhất đặc sắc nhất năm 2017.
Theo cấu trúc mới nhất của Bộ giáo dục và đào tạo (50 câu trắc nghiệm).
100% file Word gõ mathtype (.doc) có thể chỉnh sửa.
100% có lời giải chi tiết từng câu.
Nhiều tài liệu hay khác : Đề theo chuyên đề, sách tham khảo, tài liệu file
word tham khảo hay khác….

HƯỚNG DẪN ĐĂNG KÝ
Soạn tin nhắn: “Tôi muốn đặt mua bộ đề thi, tài liệu TOÁN 2017”
rồi gửi đến số 096.79.79.369 (Mr Hiệp)
Sau khi nhận được tin nhắn chúng tôi sẽ liên hệ với bạn để hướng dẫn các xem thử và
cách đăng ký trọn bộ.
Uy tín và chất lượng hàng đầu chắc chắn bạn sẽ hài lòng.
Ta

V1
V

có

=

VSAMPN
V
V1


Lại có :

.Y 14

V

=

=

VSAMP +VSANP
V

VSAMPN
V

=

VSAMN
2VSABD

=

+

VSAMP
2VSADC
VSMNP
2VSBCD


+

VSANP
2VSABC

:

ö 1
1æ
SM SP
SN SP ÷
÷
= ç
.
+
= ( x + y) ( 1)
ç
÷
2ç
SB SC ÷
èSD SC
ø 4

1æ
1 ö
3
÷
= ç
xy
+

xy÷
= xy ( 2)
ç
÷
ç
÷ 4
2è
2 ø


BI GING TON NG DNG THC TIN
1
3
x
x
1
x + y) = xy ị y =
0 < y Ê 1 =>
Ê 1ị x
(
4
3x - 1 do
3x - 1
2
T (1) v (2) suy ra : 4
V1

T (2) suy ra

ổ

3
3
x
3x2
3
1
= .xy = .x
=
= f (x),ỗ
Ê xÊ
ỗ
ỗ
V
4
4 3x - 1 4( 3x - 1)
4
ố2

Kho sỏt hm s
Cõu 21.

ổ
1
y = f (x), ỗ
ỗ Ê xÊ
ỗ
ố2

Cho hỡnh chúp


ử
ữ
1ữ
ữ
ữ
ứ

ử
ổử
V1 1
2ữ 4
ỗ
ữ
ữ
1ữ
=> min
f
(
x
)
=
f
=
=>
=
ỗ
ữ
ữ
ổ
ử

ữ
ữ
ỗ
ỗ1Ê xÊ 1ữ
3
9
V
3
ứ
ố
ứ
ữ
xẻ ỗ
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ố2

ứ

S.ABCD cú ỏy ABCD l hỡnh vuụng cnh a, SA vuụng gúc vi

0
mt phng ỏy v gúc gia SC vi mt phng (SAB ) bng 30 . Gi M l im di
ng trờn cnh CD v H l hỡnh chiu vuụng gúc ca S trờn ng thng BM .
Khi im M di ng trờn cnh CD thỡ th tớch ca khi chúp S.ABH t giỏ tr ln

nht bng?
a3 2

A. 3

a3 2
2
B.

a3 2
C. 6

a3 2
D. 12

Hng dn gii
ã
0
Ta cú gúc gia SC v mt phng (SAB) l CSB = 30
0
Trong tam giỏc SBC cú SB = BC .cot 30 = a 3

2
2
Trong tam giỏc SAB cú SA = SB - AB = a 2

1
1 1
a 2
VS .ABH = SABH .SA = . HA.HB .a 2 =
HA.HB
3
3 2

6
Th tớch khi chúp S.ABH l:
2
2
2
2
Ta cú HA + HB = AB = a v theo bt ng thc AM-GM ta cú

a2 = HA 2 + HB 2 2.HA.HB ị HA.HB Ê

a2
2

ã
0
ng thc xy ra khi HA = HB ABM = 45 M D

Khi ú

VS .ABH =

a 2
a 2 a2 a3 2
HA.HB Ê
. =
6
6 2
12

Nhúm 4: Bi toỏn lói sut ngõn hng

Cõu 22.

Mt ngi n em gi tit kim mt ngõn hng vi lói sut l 12% nm. Bit rng
c sau mi mt quý ( 3 thỏng ) thỡ lói s c cng dn vo vn gc. Hi sau ti

.Y 15


BÀI GIẢNG TOÁN ỨNG DỤNG THỰC TIỄN
thiểu bao nhiêu năm thì người đó nhận lại được số tiền, bao gồm cả vốn lẫn lãi gấp
ba lần số tiền ban đầu.

A. 8

B. 9

C. 10

D.11

Hướng dẫn giải
Gọi số tiền người đó gửi là A, lãi suất mỗi quý là 0,03
Sau n quý, tiền mà người đó nhận được là:
.

A ( 1 + 0, 03 )

n

ycbt ⇔ A ( 1 + 0, 03 ) = 3A ⇔ n = log1,03 3 ≈ 37,16

n

Vậy số năm tối thiểu là xấp xỉ 9,29 năm. Vậy đáp án là C.
Câu 23.

Ông Năm gửi

320

triệu đồng ở hai ngân hàng X và Y theo phương thức lãi kép. Số

tiền thứ nhất gửi ở ngân hàng X với lãi suất

2,1%

tháng. Số tiền còn lại gửi ở ngân hàng Y với lãi suất

một quý trong thời gian

15

0,73%

một tháng trong thời
27507768,13
9
gian
tháng. Tổng lợi tức đạt được ở hai ngân hàng là
(chưa làm


A.
C.

140

200

tròn). Hỏi số tiền ông Năm lần lượt gửi ở ngân hàng X và Y là bao nhiêu?
180
180
140
triệu và
triệu.
B.
triệu và
triệu.
triệu và

120

triệu.

D.

120

triệu và

200


triệu.

Hướng dẫn giải
Tổng số tiền cả vốn và lãi (lãi chính là lợi tức) ông Năm nhận được từ cả hai ngân

347,50776813
hàng là
triệu đồng. Gọi x (triệu đồng) là số tiền gửi ở ngân hàng X,
khi đó 320 - x (triệu đồng) là số tiền gửi ở ngân hàng Y.
x(1+ 0,021)5 + (320 - x)(1 + 0,0073)9 = 347,50776813

Theo giả thiết ta có:
Ta được x = 140. Vậy ông Năm gửi 140 triệu ở ngân hàng X và 180 triệu ở ngân
hàng Y.
Đáp án: A.

.Y 16


BÀI GIẢNG TOÁN ỨNG DỤNG THỰC TIỄN
Câu 24.

Một bà mẹ Việt Nam anh hùng được hưởng số tiền là 4 triệu đồng trên một tháng
(chuyển vào tại khoản của mẹ ở ngân hàng vào đầu tháng). Từ tháng 1 năm 2016
mẹ không đi rút tiền mà để lại ngân hàng và được tính lãi suất 1% trên một tháng.
Đến đầu tháng 12 năm 2016 mẹ rút toàn bộ số tiền (gồm số tiền của tháng 12 và số
tiền đã gửi từ tháng 1). Hỏi khi đó mẹ lĩnh về bao nhiêu tiền? (Kết quả làm tròn
theo đơn vị nghìn đồng).

A. 50 triệu 730 nghìn đồng


B. 48 triệu 480 nghìn đồng

C. 53 triệu 760 nghìn đồng

D. 50 triệu 640 nghìn đồng

Hướng dẫn giải
Số tiền tháng 1 mẹ được nhận là 4 triệu, gửi đến đầu tháng 12 (được 11 kỳ hạn), vậy cả vốn
lẫn lãi do số tiền tháng 1 nhận sinh ra là:

4.(1 +

1 11
) = 4 × 1, 0111
100
(triệu đồng).

10
Tương tự số tiền tháng 2 nhận sẽ sinh ra: 4 ×1,01 (triệu đồng)

......................................................
Số tiền tháng 12 mẹ lĩnh luôn nên là: 4 (triệu đồng).

Vậy tổng số tiền mẹ lĩnh là:

4 × 1,0111 + 4 × 1,0110 + ... + 4 × 1,01 + 4 = 4

1 − 1,0112
≈ 50,730

1 − 1,01
(50 triệu

730 nghìn đồng). Đáp án A.

Câu 25.

Một Bác nông dân vừa bán một con trâu được số tiền là 20.000.000 (đồng) .Do chưa
cần dùng đến số tiền nên Bác nông dân mang toàn bộ số tiền đó đi gửi tiết kiệm loại
kỳ hạn 6 tháng vào ngân hàng với lãi suất 8.5% một năm thì sau 5 năm 8 tháng Bác
nông dân nhận được bao nhiêu tiền cả vốn lẫn lãi .Biết rằng Bác nông dân đó không
rút cả vốn lẫn lãi tất cả các định kì trước và nếu rút trước thời hạn thì ngân hàng trả
lãi suất theo loại không kì hạn 0.01% một ngày (1 tháng tính 30 ngày)

A.
C.

.Y 17

31802750, 09( ®ång)

32802750, 09( ®ång)

B.
D.

30802750, 09( ®ång)

33802750, 09( ®ång)



BI GING TON NG DNG THC TIN
Hng dn gii

8.5%
4.25
.6 =
100 . Sau 5 nm 6 thỏng (cú ngha l 66 thỏng tc
Mt kỡ hn 6 thỏng cú lói sut l 12
l

11

k

hn)

,

s

tin

c

vn

ln

lói


Bỏc

nụn

dõn

nhn

c

l

:

11

ổ 4.25ử
ữ
A = 20000000. ỗ
1+
ữ
ỗ
ữ (đồng)
ỗ
ố 100 ứ
.Vỡ 5 nm 8 thỏng thỡ cú 11 k hn v d 2 thỏng hay d 60

ngy nờn s tin A c tớnh lói sut khụng k hn trong 60 ngy l :
11


B = A.

ổ 4.25ữ
ử
0.01
.60 = 120000. ỗ
1+
(đồng)
ữ
ỗ
ỗ
ố 100 ữ
ứ
100
. Suy ra sau 5 nm 8 thỏng s tin bỏc nụng dõn

nhn c l
11

11

ổ 4.25ữ
ử
ổ 4.25ử
ữ
C = A + B = 20000000. ỗ
1+
+120000. ỗ
1+

ữ
ữ
ỗ
ỗ
ữ
ữ = 31802750, 09( đồng )
ỗ 100 ứ
ỗ 100 ứ
ố
ố

Bỏc B gi tit kim s tin ban u l 20 triu ng theo k hn 3 thỏng vi lói sut

Cõu 26.

0,72%/thỏng. Sau mt nm, bỏc B rỳt c vn ln lói v gi li theo k hn 6 thỏng
vi lói sut 0,78%/thỏng. Sau khi gi c ỳng mt k hn 6 thỏng do gia ỡnh cú
vic nờn bỏc gi thờm mt s thỏng na thỡ phi rỳt tin trc k hn c gc ln lói
c s tin l 23263844,9 ng (cha lm trũn). Bit rng khi rỳt tin trc thi
hn lói sut c tớnh theo lói sut khụng k hn, tc tớnh theo hng thỏng. Trong
mt s thỏng bỏc gi thờm lói sut l:
A. 0,4%

B. 0,3%

C. 0,5%

D. 0,6%

Hng dn gii

. Gi c 1 nm coi nh gi c 4 k hn 3 thỏng; thờm mt k hn 6 thỏng s tin khi
ú l:

4

20000000.( 1 + 0,72.3 : 100) ( 1 + 0,78.6 : 100 )

. Gi s lói sut khụng k hn l A%; gi thờm B thỏng khi ú s tin l:
4

B

20000000.( 1 + 0,72.3 : 100) ( 1 + 0,78.6 : 100 ) ( 1 + A : 100) = 23263844,9

.

ý: 1 Ê B Ê 5

Lu

v

4

B

nguyờn
B

20000000.( 1 + 0,72.3 : 100) ( 1 + 0,78.6 : 100 )( 1 + A : 100) - 23263844,9


dng,

nhp

mỏy

tớnh:

th vi A = 0,3 ri th B t 1

n 5, sau ú li th A = 0,5 ri th B t 1 n 5, ... c nh vy n bao gi kt qu ỳng
bng 0 hoc xp x bng 0 thỡ chn.
Kt qu:

A = 0, 5; B = 4

chn C

Nhúm 5: Bi toỏn liờn quan n m, loga
.Y 18


BÀI GIẢNG TOÁN ỨNG DỤNG THỰC TIỄN
Câu 27.

Cho biết chu kì bán hủy của chất phóng xạ Plutôni Pu 239 là 24360 năm (tức là một
lượng Pu239 sau 24360 năm phân hủy thì chỉ còn lại một nửa). Sự phân hủy được
tính theo công thức S = Ae rt, trong đó A là lượng chất phóng xạ ban đầu, r là tỉ lệ
phân hủy hàng năm (r<0), t là thời gian phân hủy, S là lượng còn lại sau thời gian

phân hủy t. Hỏi sau bao nhiêu năm thì 10 gam Pu 239 sẽ phân hủy còn 1 gam có giá
trị gần nhất với giá trị nào sau?

A. 82135

B. 82335

C. 82235

D. 82435

Hướng dẫn giải

Vì Pu

239

có chu kì bán hủy là 24360 năm nên e

r24360

S 1
=
= A 2 ⇒ r ≈−0,000028

⇒ Công thức phân hủy của Pu239 là S = A.e−0,000028t
Theo giả thiết: 1 = 10. e−0,000028t⇒ t ≈ 82235,18 năm
Câu 28.

Trong vật lí, sự phân rã của các chất phóng xạ được biểu diễn bởi công thức:

t

 1 T
m ( t ) = m0  ÷
2

, trong đó

m0

là khối lượng ban đầu của chất phóng xạ (tại thời điểm t

= 0); T là chu kì bán rã (tức là khoảng thời gian để một nửa khối lượng chất phóng xạ bị
14

biến thành chất khác). Chu kì bán rã của Cabon

C

là khoảng 5730 năm. Cho trước

mẫu Cabon có khối lượng 100g. Hỏi sau khoảng thời gian t thì khối lượng còn bao
nhiêu?

A.

m ( t ) = 100.e

m ( t ) = 100.e


−

−

−

5730

t ln2
5730

B.

1
m ( t ) = 100.  ÷
2

C.

100 t

 1  5730
m ( t ) = 100  ÷
2

100 t
5730

Hướng dẫn giải
Theo công thức


m( 5730) =
Đáp án: A.

.Y 19

m( t) = m0e- kt

ta có:

ln2
100
ln2
t
= 50 = 100.e- k.5730 Û k =
5730
m
t
=
100
e
(
)
2
5730 suy ra

D.


BÀI GIẢNG TOÁN ỨNG DỤNG THỰC TIỄN

Câu 29.

Trong vật lí, sự phân rã của các chất phóng xạ được biểu diễn bởi công thức:
t

 1 T
m ( t ) = m0  ÷
2

, trong đó

m0

là khối lượng ban đầu của chất phóng xạ (tại thời điểm t

= 0); T là chu kì bán rã (tức là khoảng thời gian để một nửa khối lượng chất phóng xạ bị
14

biến thành chất khác). Chu kì bán rã của Cabon

C

là khoảng 5730 năm. Người ta tìm

được trong một mẫu đồ cổ một lượng Cabon và xác định được nó đã mất khoảng
25% lượng Cabon ban đầu của nó. Hỏi mẫu đồ cổ đó có tuổi là bao nhiêu?
A.2378 năm

B. 2300 năm


C. 2387 năm

D. 2400 năm

Hướng dẫn giải
Giả sử khối lượng ban đầu của mẫu đồ cổ chứa Cabon là

m0

, tại thời điểm t tính

từ thời điểm ban đầu ta có:
-

m( t ) = m0e

ln2
t
5730

Û

3m0
4

-

= m0e

ln2

t
5730

æö
3
÷
5730lnç
ç ÷
÷
ç
è4÷
ø
Û t=
» 2378
- ln2
(năm)

Đáp án: A.
Câu 30.

Một công ty vừa tung ra thị trường sản phẩm mới và họ tổ chức quảng cáo trên
truyền hình mỗi ngày. Một nghiên cứu thị trường cho thấy, nếu sau x quảng cáo
P( x) =

được phát thì số % người xem mua sản phẩm là

100
,x ≥ 0
1 + 49e −0.015 x


số quảng cáo được phát tối thiểu để số người mua đạt hơn 75%.
A. 333

B. 343

C. 330

D. 323

Hướng dẫn giải
Khi có 100 quảng cáo phát ra thì tỉ lệ người xem mua sản phẩm là:

P ( 100) =

100
» 9.3799%
1 + 49e- 1.5

Khi có 200 quảng cáo phát ra thì tỉ lệ người xem mua sản phẩm là:

P ( 200) =

100
» 29.0734%
1 + 49e- 3

Khi có 500 quảng cáo phát ra thì tỉ lệ người xem mua sản phẩm là:

P ( 500) =


100
» 97.3614%
1 + 49e- 7.5

Đáp án: A.

.Y 20

. Hãy tính


BÀI GIẢNG TOÁN ỨNG DỤNG THỰC TIỄN

Câu 31.

f (x) = Ae rx

Sự tăng trưởng của một loài vi khuẩn được tính theo công thức
.

A

là số lượng vi khuẩn ban đầu,

r

( r > 0)

là tỷ lệ tăng trưởng


,

x

, trong đó

(tính theo giờ) là

thời gian tăng trưởng. Biết số vi khuẩn ban đầu có 1000 con và sau 10 giờ là 5000
con. Hỏi sao bao lâu thì số lượng vi khuẩn tăng gấp 10 lần
10log 5 10
5ln20
5ln10
A.
(giờ)
B.
(giờ)
C.
(giờ)

10log 5 20

D.

(giờ)

Hướng dẫn giải

thời gian cần tìm là t. Ta có: 5000 = 1000. e10r nên r =


Do đó, 10000 = 1000. ert suy ra t =

ln5
10

.

ln10 10ln10
=
= 10log 5 10
r
ln5

giờ nên chọn câu C.

Nhóm 6: Bài toán ứng dụng tích phân, mối quan hệ đạo hàm-nguyên hàm

Câu 32.

Một vật di chuyển với gia tốc
vật là

30m / s

a ( t) = −20 ( 1 + 2

)

−2


(m/s )
2

. Khi

t =0

thì vận tốc của

. Tính quảng đường vật đó di chuyển sau 2 giây (làm tròn kết quả đến

chữ số hàng đơn vị).
S = 106m
S = 107m
A.
.
B.
.

C.

S = 108m

.

D.

Theo

đề


S = 109m

.

Hướng dẫn giải

v ( t ) = ∫ a ( t ) dt = ∫ −20 ( 1 + 2t ) dt =
−2

Ta

có

v ( 0 ) = 30 ⇔ C + 10 = 30 ⇔ C = 20

10
+C
1 + 2t
.

ta

có

. Vậy quãng đường vật đó đi được sau 2 giây là:

2

2

 10

S = ∫
+ 20 ÷dt = ( 5ln ( 1 + 2t ) + 20t ) = 5ln 5 + 100 ≈ 108m
0
1 + 2t

0
.

Câu 33.

Một ô tô chạy với vận tốc 20m/s thì người lái xe đạp phanh còn được gọi là “thắng”. Sau khi

v ( t) = −40 + 20 ( m / s )
đạp phanh, ô tô chuyển động chậm dần đều với vận tốc

Trong đó t là

khoảng thời gian tính bằng giây kể từ lúc bắt đầu đạp phanh . Quãng đường ô tô di chuyển
từ lúc đạp phanh đến khi dừng hẳn là bao nhiêu?
.Y 21


BÀI GIẢNG TOÁN ỨNG DỤNG THỰC TIỄN
A. 2m

B.3m

C.4m


D. 5m

Hướng dẫn giải
Lấy mốc thời gian là lúc ô tô bắt đầu phanh (t = 0)
Gọi T là thời điểm ô tô dừng lại. Khi đó vận tốc lúc dừng là v(T) = 0

Vậy thời gian từ lúc đạp phanh đến lúc dừng là

v (T ) = 0 ⇔ −40T + 20 = 0 ⇔ T =

1
2

Gọi s(t) là quãng đường ô tô đi được trong khoảng thời gian T.
Ta có v(t ) = s '(t ) suy ra s(t) là nguyên hàm của v(t)
T

Vây trong ½ (s) ô tô đi được quãng đường là :
Câu 34.

1/2

1
2

∫ v(t )dt = ∫ (−40t + 20)dt = (−20t
t

0


2

+ 20t )

= 5(m)
0

Một vật chuyển động với vận tốc v(t) (m/s) có gia tốc a (t ) = 3t + t (m/s2). Vận tốc
2

ban đầu của vật là 2 (m/s). Hỏi vận tốc của vật sau 2s .
A. 10 m/s

B. 12 m/s

C. 16 m/s

D. 8 m/s.

Hướng dẫn giải

BỘ ĐỀ THI THỬ, TÀI LIỆU THPT QUỐC GIA NĂM 2017 MỚI
NHẤT

Bên mình đang có bộ đề thi thử THPTQG năm 2017 mới nhất từ các
trường , các nguồn biên soạn uy tín nhất.

300 – 350 đề thi thử cập nhật liên tục mới nhất đặc sắc nhất năm 2017.
Theo cấu trúc mới nhất của Bộ giáo dục và đào tạo (50 câu trắc nghiệm).

100% file Word gõ mathtype (.doc) có thể chỉnh sửa.
100% có lời giải chi tiết từng câu.
Nhiều tài liệu hay khác : Đề theo chuyên đề, sách tham khảo, tài liệu file
word tham khảo hay khác….

.Y 22


BÀI GIẢNG TOÁN ỨNG DỤNG THỰC TIỄN

HƯỚNG DẪN ĐĂNG KÝ
Soạn tin nhắn: “Tôi muốn đặt mua bộ đề thi, tài liệu TOÁN 2017”
rồi gửi đến số 096.79.79.369 (Mr Hiệp)
Sau khi nhận được tin nhắn chúng tôi sẽ liên hệ với bạn để hướng dẫn các xem thử và
cách đăng ký trọn bộ.
Uy tín và chất lượng hàng đầu chắc chắn bạn sẽ hài lòng.

C.

12 13
cm2 )
(
15

.

D.

(12 13 + 15)π ( cm2 )


Hướng dẫn giải:
Gọi R1 là bán kính đường tròn đáy hình nón lúc đầu; h1 là chiều cao của hình nón lúc đầu.
Gọi R2 là bán kính đường tròn đáy hình nón sau khi tăng thể tích; h 2 là chiều cao của hình
nón sau khi tăng thể tích.

Ta có:

1
1
V1 = π R12h1 ⇒ 12π = π R12 4 ⇒ R1 = 3
3
3

1

V1 = π R12 h1 
3

1 2  V2 R22
V2 = π R2 h2  ⇒ = 2 = 4 ⇒ R2 = 2R1 = 6
3
 V1 R1
h2 = h1




Diện tích xung quanh hình nón lúc đầu:

Sxp1 = π R1 l1 = π 3 16 + 9 = 15π ( cm2 )


Diện tích xung quanh hình nón sau khi tăng thể tích:

Diện tích phần giấy bạc cần tăng thêm là:
Câu 35.

Sxp2 = π R2 l2 = π 6 16 + 36 = 12π 13 ( cm2 )

(

)

S = 12 13 − 15 π ( cm2 )

Cho một tấm tôn hình tròn có diện tích 4π dm 2. Người ta cắt thành một hình quạt
0 < α < 2π
có góc ở tâm là α (
) như Hình 1 để làm thành một cái gầu múc nước hình
nón như Hình 2. Thể tích lớn nhất của cái gầu là:

.Y 23

Hình 1

Hình 2


BÀI GIẢNG TOÁN ỨNG DỤNG THỰC TIỄN

A.


16 3π
(dm3 )
27

B.

C.

D.

π 3
(dm3 )
3
3 7π
(dm3 )
9
2 2π
(dm 3)
3

Hướng dẫn giải:
R=

Ta có: đường sinh l của hình nón là bán kính
r=

Bán kính đáy của hình nón:

Khi đó thể tích hình nón:


α2 1
=
4π 2 − α 2
2
π
π

1 α2 1
1
V (α ) = π 2
4π 2 − α 2 = 2 α 2 4π 2 − α 2
3 π π
3π


1 
α3
2
2
2
α
4
π
−
α
−
÷
2 
3π 

4π 2 − α 2 
1  −3α 2 + 8απ 2 
= 2
÷
3π  4π 2 − α 2 

V '(α ) =


α = 0 ∉ ( 0;2π )

2 6π
1 8
2 3
16 3π
V '(α ) = 0 ⇔ α =
⇒V = 2 × π 2 ×
π=
(dm3 )
3
3π 3
3
27

α = − 2 6π ∉ 0;2π
(
)

3
Bảng biến thiên:

.Y 24

của hình tròn

2α α
=
2π π

h = 22 −
Đường cao của hình nón:

4π
= 2 dm
2π


BÀI GIẢNG TOÁN ỨNG DỤNG THỰC TIỄN
α

2 6π
3

0
V’(α)

+

0

2π


−

Vmax
16 3π
27

V(α)

Chọn đáp án A

Câu 36.

A.

3m × 8m
Một tấm bìa cứng hình chữ nhật có kích thước
. Người ta cắt mỗi góc của
x
tấm bìa một hình vuông có cạnh là để tạo ra hình hộp chữ nhật không nắp. Với
x
giá trị nào của thì thể tích hình hộp chữ nhật đạt giá trị lớn nhất ?

1
x= m
3

B.

x = 1m


C.

Hướng dẫn giải:
0< x<

Ta có:

3
2

Gọi thể tích hình hộp là: V(x). Khi đó:

V ( x) = x(3 − 2 x)(8 − 2 x) = 4 x 3 − 22 x 2 + 24 x
V '( x) = 12 x 2 − 44 x + 24 = 4(3 x 2 − 11 x + 6)
x = 3
V '( x) = 0 ⇔ 
x = 2
3

Bảng biến thiên:
.Y 25

2
x= m
3

D.

4

x= m
3