Header Page 1 of 66.

Luận văn thạc sĩ

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
----------------------

Đỗ Đức Thành

TÁN XẠ HAI HẠT TRONG ĐIỆN ĐỘNG LỰC HỌC LƢỢNG TỬ TRONG
GẦN ĐÚNG MỘT VÒNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Hà Nội – 2014

1

Footer Page 1 of 66.


Header Page 2 of 66.

Luận văn thạc sĩ
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
-------------------

Đỗ Đức Thành
TÁN XẠ HAI HẠT TRONG ĐIỆN ĐỘNG LỰC HỌC LƢỢNG TỬ TRONG

GẦN ĐÚNG MỘT VÒNG

Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết và vật lý toán
Mã số: 60.44.01.03

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

CÁN BỘ HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: GS. TSKH. Nguyễn Xuân Hãn

Hà Nội – 2014

2

Footer Page 2 of 66.


Header Page 3 of 66.

Luận văn thạc sĩ
LỜI CẢM ƠN

Lời đầu tiên, em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới Thầy giáo, GS. TSKH.
Nguyễn Xuân Hãn, người đã trực tiếp chỉ bảo tận tình, trực tiếp giúp đỡ em trong
suốt thời gian học tập và hoàn thành bản luận văn thạc sĩ khoa học này.

Em cũng gửi lời cảm ơn chân thành nhất tới tất cả các Thầy Cô, tập thể cán
bộ Bộ môn Vật lý lý thuyết, cùng toàn thể người thân, bạn bè đã giúp đỡ, dạy bảo,
động viên, và trực tiếp đóng góp, trao đổi những ý kiến khoa học quý báu để em có
thể hoàn thành bản luận văn này.


Qua đây, em cũng chân thành gửi lời cảm ơn tới các Thầy Cô ở khoa vật lý
đã dạy bảo và tạo mọi điều kiện thuận lợi giúp đỡ em trong suốt quá trình học tập
và hoàn thành bản luận văn này.

Hà Nội, tháng

năm 2014

Học viên

Đỗ Đức Thành

3

Footer Page 3 of 66.


Luận văn thạc sĩ

Header Page 4 of 66.

MỤC LỤC
Mục lục…………………………………………….…………………………02
Danh mục hình vẽ……………………...…………..…………………………03
Mở đầu………………………..…………….…………….………………......04
Chương 1: Tiết diện tán xạ…….…….................................……………….…07
1.1.

Các biến Mandelstam………………………...………..….……...07


1.2.

Tiết diện tán xạ vi phân cho hai hạt…….………...………………10
1.2.1. Tiết diện tán xạ trong hệ khối tâm…………...………………15
1.2.2. Tiết diện tán xạ trong hệ phòng thí nghiệm………………….16

Chương 2: Tán xạ electron-electron …. ..……………….………………...…18
2.1.

Tán xạ electron-electron…………………………………………18

2.1.1. Tiết diện tán xạ trong hệ khối tâm………………….………..22
2.1.2. Tiết diện tán xạ trong hệ phòng thí nghiệm…………………23
2.2.

Tán xạ electron-positron...……………..………………………...25

2.2.1. Tiết diện tán xạ trong hệ khối tâm……………………….…..28
2.2.2. Tiết diện tán xạ trong hệ phòng thí nghiệm.……….......……30
Chương 3: Bổ chính một vòng cho tán xạ electron-electron ………………...33
3.1.

Giản đồ Feynman ………………….……..............................…...32

3.2.

Tiết diện tán xạ khi tính đến bổ chính một vòng...........................34

3.3.


Thế năng khi tính đến bổ chính một vòng……………......……...37

Kết luận……………………………………………………………..………..43
Tài liệu tham khảo……………………………………….……….………......45
Phụ lục A Metric giả Euclide………………………………….……………..46
Phụ lục B Các toán tử chiếu ……………………………...….……...……….50
Phụ lục C Tái chuẩn hóa………………...……………………………..…….56
C.1 Tái chuẩn hóa điện tích của electron …………………………..……57

4

Footer Page 4 of 66.


Header Page 5 of 66.

Luận văn thạc sĩ

C.2 Năng lượng riêng của photon ……………………………........…….62
DANH MỤC HÌNH VẼ
Hình 1.1 Các biến Mandelstam ……………………………………………………05
Hình 1.2 Tán xạ hai hạt thành hai hạt .…………………………………..…...……08
Hình 2.1 Tán xạ electron-electron ............................................................................16
Hình 2.2 Tán xạ electron-positron ...........................................................................23
Hình 3.1 Giản đồ Feynman.......................................................................................30
Hình 3.2: Bổ chính một vòng trong tán xạ electron-electron…………………...…31
Hình 3.3 Bổ chính một vòng cho thế năng giữa hai hạt ….………………………..39
Hình 3.2 Giản đồ phân cực chân không……………………………………………53
Hình C.1 Tái chuẩn hóa điện tích electron ……………..………………………….57
Hình C.2 Giản đồ năng lượng riêng của photon ……….………………………….58


5

Footer Page 5 of 66.


Header Page 6 of 66.

Luận văn thạc sĩ
MỞ ĐẦU

Điện động lực học lượng tử (QED) dựa vào việc tái chuẩn hóa khối lượng và
điện tích hạt là lý thuyết tái chuẩn hóa, đã được chứng minh vào giữa thế kỷ 20. [1],
[3], [6], [8], [10], [11], song việc tái chuẩn hóa cho các quá trình vật lý cụ thể vẫn
được nghiên cứu liên tục và phát triển bởi khi chúng ta tính đến cấu trúc bên trong
của các hạt cơ bản thì ta lại gặp các bài toán tương tự trong tương tác giữa các hạt
bên trong đó với nhau. Trong tự nhiên tồn tại bốn loại tương tác: tương tác điện từ,
tương tác yếu, tương tác mạnh và tương tác hấp dẫn, các công cụ tính toán định
lượng của tương tác điện từ-QED thường được vận dụng để mô phỏng và xây dựng
công cụ tính toán tương tự cho các dạng tương tác khác, hay tổ hợp giữa các dạng
tương tác kể trên dựa vào lý thuyết nhiễu loạn hiệp biến với việc tái chuẩn hóa các
tham số vật lý tùy từng mô hình. Việc nghiên cứu quá trình vật lý cụ thể trong bổ
chính một vòng của QED là cần thiết và quan trọng, [8], [11].
Mục đích của bản luận văn thạc sĩ khoa học vật lý này dành cho việc nghiên cứu
quá trình tán xạ hai hạt thành hai hạt ( 2  2 ) khi tính đến bổ chính một vòng ở
đường trong trong QED.
Luận văn bao gồm phần mở đầu, ba chương, kết luận, phụ lục và tài liệu tham
khảo.
Chƣơng 1: Tiết diện tán xạ hai hạt. Trong mục $1.1 giới thiệu vắn tắt các biến
số Mandelstam và công thức cho biên độ tán xạ vi phân qua các biến này. Mục $1.2

dành cho việc xây dựng công thức tiết diện tán xạ vi phân kể trên ở hệ khối tâm và
hệ phòng thí nghiệm.
Chƣơng 2: Tán xạ electron-electron. Trong mục $ 2.1, theo quy tắc Feynman
cho tương tác điện từ ta viết yếu tố ma trận tương ứng với quá trình tán xạ electronelectron ở bậc thấp nhất (gần đúng Born) của của lý thuyết nhiễu loạn hiệp biến.
Dựa vào yếu tố ma trận, ta tính tiết diện tán xạ vi phân cho quá trình tán xạ
electron-electron trong hệ khối tâm và hệ phòng thí nghiệm. Mục $2.2 dành cho
việc nghiên cứu quá trình tán xạ electron lên positron. Cách tính tương tự như quá

6

Footer Page 6 of 66.


Luận văn thạc sĩ

Header Page 7 of 66.

trình tán xạ electron–electron, có thay đổi khi một electron được thay bằng positron.
Kết quả ta thu được tiết diện tán xạ vi phân cho quá trình tán xạ electron-positron.
So sánh kết quả tiết diện tán xạ vi phân của hai quá trình tán xạ kể trên ta nhận thấy
hai kết quả hầu như giống nhau chỉ khác nhau về dấu, có nghĩa là ta có thể chuyển
từ kết quả này thành kết quả kia bằng cách chuyển đổi dấu của chúng.
Chƣơng 3: Bổ chính một vòng cho tán xạ electron-electron.Trong mục $3.1
giới thiệu các giản đồ Feynman cho quá trình tán xạ electron-electron ở gần đúng
bậc 4 theo hằng số tương tác điện từ. So với các gản đồ Feynman xét ở chương
trước, số lượng giản đồ tăng lên do việc trao đổi hai photon (giản đồ d) gữa các hạt,
giản đồ phân cực của chân không (chân không vật lý của trường electron-positron)
gắn với photon ảo trao đổi giữa các hạt (giản đồ c), các giản đồ còn lại liên quan
đến tương tác của electron với chân không vật lý của trường điện từ. Trong bản luận
văn này chúng tôi chỉ xét các giản đồ (b) và giản đồ (c) và bỏ các giản đồ Feynman

còn lại. Giản đồ (a) không cho đóng góp vào tương tác giữa hai electron, các giản
đồ gắn với các đường electron liên quan đến việc tái chuẩn hóa khối lượng của
electron, chứ không cho đóng góp vào tương tác hai electron. Mục $3.2 dành cho
việc tính tiết diện tán xạ electron-electron , kết quả thu được tiết diện tán xạ vi phân
(3.6). Nghiên cứu thế năng tương tác tương ứng giữa hai electron khi tính bổ chính
một vòng được giới thiệu ở mục $3.3.
Kết luận dành cho việc liệt kê các kết quả thu được trong luận văn và phương
hướng nghiên cứu tiếp theo.
Trong bản luận văn này, chúng tôi sẽ sử dụng hệ đơn vị nguyên tử   c  1 và
metric giả Euclide (metric Feynman) tất cả bốn thành phần véctơ 4-chiều ta chọn







là thực A  A0 , A gồm một thành phần thời gian và các thành phần không gian, các
chỉ số    0,1, 2,3 , và theo quy ước ta gọi là các thành phần phản biến của véctơ 4chiều và ký hiệu các thành phần này với chỉ số trên.

A  A0 , A  A0 , A1 , A2 , A3



 



def


 A

(0.1)

7

Footer Page 7 of 66.


Luận văn thạc sĩ

Header Page 8 of 66.

Các véctơ phản biến là tọa độ:

x   x0  t , x1  x, x2  y, x3  z  t , x  ,





(0.2)
Các véctơ tọa độ hiệp biến:

x  g  x   x0  t , x1   x, x2   y, x3   z    t ,  x 

(0.3)
Véctơ năng xung lượng:

p    E , px , p y , p z    E , p  .


(0.4)
Tích vô hướng của hai véc tơ được xác định bởi công thức:

AB  g  A B  A B   A0 B 0  AB .

(0.5)
Tensor metric có dạng:

g    g 

1 0 0 0 
 0 1 0 0 
 .

 0 0 1 0 


 0 0 0 1

(0.6)
Chú ý, tensor metric là tensor đối xứng g   g và g  g  . Thành phần của véc
tơ hiệp biến được xác định bằng công thức sau:
A  g  A ,

A0  A0 ,

Ak   Ak .

(0.7)

Các chỉ số Hy Lạp lặp lại có ngụ ý lấy tổng từ 0 đến 3.

8

Footer Page 8 of 66.


Luận văn thạc sĩ

Header Page 9 of 66.

CHƢƠNG 1:
TIẾT DIỆN TÁN XẠ
Chương này dành cho việc dẫn những công thức cơ bản của tán xạ hai hạt [8].
Biên độ tán xạ, mà tỷ lệ với yếu tố của S-matrận tán xạ, là một đại lượng phức.
Trước tiên ta xem xét quá trình p1  p2  p3  p4 , mà ta gọi nó là tán xạ 2  2 . Tính
toán mang tính bất biến (biểu diễn qua các biến bất biến- u, s, t là các biến số
Mandelstam) của quá trình tán xạ 2  2 này sẽ là bài toán động học cơ sở của vật
lý hạt cơ bản. Trong chương này ta xem xét các đại lượng bất biến cho quá trình tán
xạ hai hạt vô hướng 2  2 , tìm biểu thức giải tích tổng quát cho tiết diện tán xạ vi
phân cho quá trình này qua biên độ tán xạ . Viết biểu thức tiết diện tán vi phân này
trong hai hệ phòng thí nghiệm và hệ khối tâm. Việc tổng quát hóa cho những quá
trình mà có spin sẽ không là vấn đề khó khăn nào.
1.1 Các biến Mandelstam
Chúng ta sử dụng cho quá trình tán xạ của hai hạt với hai hạt. Mọi công thức sẽ
trở nên đơn giản hơn nếu ta biểu diễn xung lượng của các hạt theo một tập hợp các
biến được gọi là biến Mandelstam. Các biến Mandelstam được định nghĩa như sau:
s   p1  p2    p3  p4  ,

(1.1)


t   p1  p3    p2  p4  ,

(1.2)

u   p1  p4    p2  p3  ,

(1.3)

2

2

2

2

2

2

ở đây p1 và p2 là xung lượng 4 chiều của hạt đi vào và p3 ,p4 là xung lượng 4 chiều
của hạt đi ra. Vì vậy, s được hiểu là bình phương của năng khối lượng trung tâm (
bất biến khối lượng ) và t được hiểu là bình phương momen xung lượng chuyển đổi.
Trong giản đồ Feynman đối với tán xạ 2  2, s, t, u là cũng được sử dụng dưới
dạng kênh s, kênh t và kênh u.

9

Footer Page 9 of 66.



Luận văn thạc sĩ

Header Page 10 of 66.

p

p

t

1

u

s

p

3

p

2

4

Hình 1.1 Các biến Mandelstam
p1  p2  p3  p4


kênh s,

p1  p3  p4  p2

kênh t,

p1  p4  p3  p2

kênh u,

(Các kênh ở đây đều mô tả tán xạ 1+23+4, chỉ khác cách trao đổi năng xung
lượng)
Các kênh này miêu tả giản đồ Feynman khác nhau hoặc quá trình tán xạ khác nhau
ở đây tương tác là sự trao đổi các lượng tử-các hạt giữa chúng, và bình phương các
xung lượng bốn chiều kể trên là biểu thức s, t, u tách ra theo thứ tự định sẵn.
Ví dụ: kênh s tương ứng với quá trình hai hạt 1, 2 tương tác kết hợp thành
một hạt truyền tương tác trung gian, cuối cùng sinh ra hai hạt 3 và 4, kênh s là cách
duy nhất có thể chỉ ra sự xuất hiện của cộng hưởng và một hạt mới với điều kiện
thời gian sống ở đây là đủ dài để ta có thể đo được trực tiếp. Kênh t trình bày quá
trình trong đó hạt 1 phát ra một hạt tương tác và cuối cùng trở thành hạt 3, trong khi
đó hạt 2 hấp thụ hạt tương tác và trở thành hạt 4. Kênh u là kênh t với việc đổi vị trí
giữa các hạt 3, 4. Các biến Mandelstam lần đầu tiên được đưa vào bởi nhà vật lý
Stanley Mandelstam vào năm 1938 .Trong giới hạn năng lượng cao và trong tương
đối tính, khi khối lượng nghỉ có thể bỏ qua , vì vậy ta có:
s   p1  p2   p12  p22  2 p1 p2  2 p1 p2 .
2

Bởi vì: p12  m12 và p2 2  m2 2 . Vì vậy ta có thể viết:
s  2 p1 p2  2 p3 p4

t  2 p1 p3  2 p4 p2
u  2 p1 p4  2 p3 p2

10

Footer Page 10 of 66.

(1.4)


Luận văn thạc sĩ

Header Page 11 of 66.

Bây giờ ta sẽ đi chứng minh biểu thức sau đây đối với biến s, t, u:

s  t  u  m12  m22  m32  m42 ,
ở đây mi là khối lưọng hạt thứ i. Với quá trình này, người ta cần sử dụng hai điều
kiện: trong gần đúng tương đối tính bình phương xung lượng bốn chiều của một hạt
là khối lượng của nó:
pi2  mi2 .

(i)
Và sự bảo toàn xung lượng bốn chiều:
p1  p2   p3  p4
,
 p1   p2  p3  p4

(ii)


Vì vậy:
s   p1  p2   p12  p22  2 p1 p2 ,

(1.5)

t   p1  p3   p12  p32  2 p1 p3 ,

(1.6)

u   p1  p4   p12  p42  2 p1 p4 .

(1.7)

2

2

2

Đầu tiên sử dụng biểu thức (i), ta viết lại các biến s, t, u như sau:
s   p1  p2   m12  m22  2 p1 p2 ,

(1.8)

t   p1  p3   m12  m32  2 p1 p3 ,

(1.9)

u   p1  p4   m12  m42  2 p1 p4 ,


(1.10)

2

2

2

Cộng biểu thức (1.8), (1.9), (1.10), ta được:
s  t  u  3m12  m22  m32  m42  2 p1 p2  2 p1 p3  2 p1 p4



 m12  m22  m32  m42  2 m12  p1  p2  p3  p4 



Kết hợp biểu thức (ii) ta thu được biểu thức về mối quan hệ giữa 3 biến Mandelstam
là:


 2m

s  t  u  m12  m22  m32  m42  2 m12  p1 p1
 m12  m22  m32  m42

Như vậy ta đã chứng minh được:

11


Footer Page 11 of 66.

2
1

 m12






Header Page 12 of 66.

Luận văn thạc sĩ
s  t  u  m12  m22  m32  m42 .

(1.11)

Trong trường hợp tán xạ hai hạt, A + B → C + D, các biến Mandelstam được đưa
vào có dạng như sau:
s   pA  pB  ,
2

t   pA  pc  ,
2

u   pA  pD  ,
2


(1.12)
ở đây là p là các véc tơ mômen năng xung lượng 4 chiều và bình phương là một bất
biến Lorentz .Ví dụ p2  g  p p . Lý thuyết có ưu điểm của các biến Mandelstam
là ở đây chúng bất biến Lorentz, với một vài giá trị là quán tính của hệ. Mặc dù vậy,
hơn nữa qua thực nghiệm nó là thông số giới hạn giữa năng lượng và góc tán xạ.
1.2 Tiết diện tán xạ vi phân cho hai hạt
Chúng ta xét quá trình tán xạ xạ hai hạt 1 + 2 → 3 + 4 xảy ra do tương tác, yếu tố
ma trận được xác định bởi công thức sau:

S  T exp   Lint ( x)d 4 x  ,

(1.13)

Trong đó T là T-tích, Lint ( x) là Lagrangian tương tác, việc cụ thể hóa Lagrangian
tương tác sẽ được xem xét sau tùy thuộc vào bài toán cụ thể.
Như vậy để nghiên cứu bài toán tán xạ phải tính yếu tố ma trận Si f  f S i
(S-ma trận). Hằng số tương tác ở đây giả thiết là nhỏ, và việc tính toán quá trình vật
lý này ta tính toán theo lý thuyết nhiễu loạn hiệp biến.
 f | S | i   f i   2    Pf  Pi  M f i ,
4

(1.14)

trong đó Pf và Pi là các tổng năng xung lượng của trạng thái cuối và đầu tương
ứng. M f i là biên độ tán xạ hai hạt 2  2 .

12

Footer Page 12 of 66.



Luận văn thạc sĩ

Header Page 13 of 66.

a

a'

b

b'

Hình 1.2 Tán xạ hai hạt thành hai hạt
Yếu tố ma trận của phép chuyển dời từ trạng thái đầu i  i đến trạng thái cuối
 f  f có dạng sau:

Si f  f S i  if  f S  1 i

(1.15)
Số hạng thứ 2 ở vế phải tương ứng với tập hợp các giản đồ Feynman:
f S i    p f  pi  R fi

Với p f  pa'  pb' ; pi  pa  pb
R fi là biên độ tán xạ

Xác suất chuyển dời từ trạng thái đầu đến trạng thái cuối do tương tác có công thức:
Wfi  f S  1 i

2


 R fi

2

  p

f

 pi 



2

(1.16)
Theo định nghĩa hàm đenta:

 (q) 

 iqx 
 T /2
lim
dx
d
xe 

0
4
 2  T ,V   T/2 V


1

(1.17)
Trong đó: q  p f  pi . Từ đây ta có:
 1

 4
iqx
e
4
 d x
  2  T ,V  T ,V 
1
VT

lim
d 4 x  lim
4 T ,V  
4
T ,V 
 2 
 2 
T ,V

4
4
  (q) d q   d q (q) 
2


lim

(1.18)

13

Footer Page 13 of 66.


Header Page 14 of 66.

Luận văn thạc sĩ

Từ đây suy ra :
2

 ( p f  pi )    ( p f  pi ) lim
T ,V 

VT

 2 

4

Biểu thức cho xác suất có dạng :
2

Wfi  R fi  ( p f  pi ) lim


T ,V 

VT

 2 

4

(1.19)
Thể tích V và khoảng thời gian T rất lớn, là thể tích và khoảng thời gian mà trong
đó có thể xảy ra quá tình tương tác. Nhân công thức trên với các yếu tố thể tích
 '  '
d pa , d pb ta thu được xác suất để các hạt trong chùm hạt tới tương tác với nhau và
sinh ra các hạt a' , b' với xung lượng nằm trong khoảng
 

 

 p' , p'  d p'  ,  p' , p'  d p'  và hình chiếu spin đã cho :
a
a
a
b
b
b

 

 '  '
2

VT
dWfi  R fi  ( p f  pi )d p a d pb lim
4
T ,V 
 2 

(1.20)
Từ đây suy ra xác suất dời chuyển ở trong một đơn vị thời gian và một đơn vị thể
tích với điều kiện các phép dời chuyển xảy ra trong thể tích khá lớn và thời gian đủ
lâu
'  '
2
dWfi  R fi  ( p f  pi )d p a d pb

Dễ dàng nhận thấy rằng hai hạt tự do tương tác với nhau thì xác suất sẽ tỷ lệ nghịch
với thể tích chuẩn hóa V mà V có thể chọn tùy ý. Do đó để đặc trưng cho quá trình
tán xạ không phụ thuộc vào V ta cần phải chia xác suất tán xạ vi phân dWfi cho mật
độ dòng của các hạt tương tác đầu mà nó tỷ lệ nghịch với thể tích chuẩn hóa V. Đại
lượng được xác định như vậy được gọi là tiết diện ngang tán xạ vi phân và được ký
hiệu bằng
d 

dWfi
J

(1.21)

14

Footer Page 14 of 66.



Luận văn thạc sĩ

Header Page 15 of 66.

Trong hệ quy chiếu phòng thí nghiệm thì mật độ dòng J bằng tích mật độ dòng của
các hạt a, b trong một đơn vị thể tích nhân với vận tốc tương đối của hai hạt đó :
J  al bl val

(1.22)
Trong cơ học tương đối tính, năng xung lượng của hạt được xác định bằng biểu
thức :

p


mv
mc 2
;
p

E

2 0
2
v
v
1 2
1 2

c
c

Từ đây ta suy ra hệ thức giữa năng lượng, xung lượng và vận tốc của hạt tự do :

 p0 v
p 2
c

Hệ thức này đúng với bất kỳ hệ quy chiếu nào, ví dụ trong phòng thí nghiệm ta có :
v 
l
a

pal
pal 0



 pa pb 

2

 ma2 mb 2

 pa pb

(1.23)
Mật độ dòng của các hạt a, b trước khi va chạm có thể viết dưới dạng :
J


 pa pb 

2

 ma2 mb 2

pa pb

 J a Jb 
(1.24)

Ta có :
 
 p a pb
   p p 
 1  a b a b
 J a Jb   a b 
pa 0 pb0
 pa 0 pb0 

(1.25)

Vậy biểu thức cuối cùng cho mật độ dòng trước khi va chạm :
J

 pa pb 

2


 ma2 mb 2

pa pb

 a b

(1.26)
Bây giờ ta viết yếu tố ma trận dưới dạng :

15

Footer Page 15 of 66.


Luận văn thạc sĩ

Header Page 16 of 66.

1

R fi 

1

 2 

6

'


'

pa 0 pb0 p a 0 p b0

 2 

4

M fi

(1.27)
Ta đã tách từng thừa số

1

1
gắn liền với mỗi đường ngoài của giản đồ
p0

 2 

3/2

Feynman và thừa số  2  . Yếu tố ma trận là một vô hướng. Nếu chúng ta chuẩn
4

1

hóa véc tơ trạng thái để trong một đơn vị thể tích mật độ hạt a  b


 2 

3

, thì ta

có biểu thức cuối cùng cho tiết diện tán xạ vi phân sau :
d fi 

1

 2 

1
2

 pa pb   ma2mb 2
2

M fi

2

 '  '
d p a d pb
 ( p f  pi )
pa 0 pb 0

(1.28)
Hay có thể viết thành :





d
| M 2 | | p3 |2 d | p3 |

,
d  64 2 F E3 E4 d ( E3  E4 )

(1.29)

 2
 2
với E32  p 3  m32 và E42  p 4  m42 .

Tính toán trong trường hợp tán xạ đàn hồi A + B → A + B trong trường hợp hạt B
đứng yên, khối lượng hạt bia là rất lớn ( mB  EA ), sự giật lùi là không đáng kể. Sử
dụng vế phải của biểu thức (1.16) để xác định tiết diện vi phân tán xạ d  /d 
ở đây d 3 p  p2dpd  .
Sử dụng biến Mandelstam s ta có:
1





2
2
2

2  p1 p2   m12 m22  2   s   m1  m2    s   m1  m2  






1
2

 1/2 (s, m12 , m22 ) ,

(1.30)
ở đây 1/2  s, m12 , m22  có dạng:

 (a, b, c)  (a  b  c)2  4bc  a  ( b  c )2  a  ( b  c )2 

16

Footer Page 16 of 66.


Header Page 17 of 66.

Luận văn thạc sĩ
1.2.1 Trong hệ khối tâm

Nếu chúng ta coi hệ hai hạt là một thể thống nhất thì hệ khối tâm là hệ quy chiếu
gắn liền và chuyển động cùng vận tốc với hệ hạt. Với định nghĩa trên thì xung
lượng bốn chiều của hạt trong hệ khối tâm được xác định bởi:


p1  ( E1 , p),

p2  ( E2 ,  p),

p3  ( E3 , p '),

p4  ( E4 ,  p '),
(1.31)
Ta có:



d m32  | p' |2 d m4 2  | p' |2
d ( E3  E4 )

  E3 E4 


E3 E4

d | p'|
d | p'|
d p3



Và




 

|
p
'
|
(
E

E
)

|
p ' | ( E1  E2 ) .
3
4




(1.32)


Fcm | p | ( E1  E2 ) ; s  ( E1  E2 )2 .

(1.33)
Biểu thức tiết diện tán xạ vi phân trong hệ khối tâm trở thành:

1 | p'|

 d 
 | M |2 .

 
2
d

64

s
| p|

cm
(1.34)
Biểu thức trên phụ thuộc vào biến độc lâp, bởi vì:
1
 ( s, m12 , m22 ),
4s
1
| p ' |2   ( s, m32 , m42 ),
4s
| p |2 

trong đó:  (a, b, c)  (a  b  c)2  4bc   a-( b + c )2   a-( b  c )2  .
Mặt khác:
t  ( p1  p3 )2  m12  m32  2 p1 p3





 m12  m32  2E1E3  2 | p1 || p3 | cos




 m12  m32  2E1E3  2 | p || p ' | cos

17

Footer Page 17 of 66.

(1.35)


Luận văn thạc sĩ

Header Page 18 of 66.





Suy ra: dt  2 | p1 || p ' | d(cos ) .
Chúng ta có thể viết vi phân tiết diện tán xạ thông qua các biến Mandelstam s và t
như sau:
| M |2
| M |2
 d 

.


 
2
2
2
 dt cm 64 sp 16 ( s, m1 , m2 )

(1.36)

Công thức (1.36) chính là biểu thức vi phân tiết diện tán xạ của hai hạt trong hệ
khối tâm.
1.2.2 Hệ phòng thí nghiệm
Trong hệ phòng thí nghiệm thì ta coi như một hạt đứng yên và hệ quy chiếu gắn liền
với hạt này, hạt còn lại chuyển động đến và xảy ra tương tác. Từ định nghĩa trên ta
có các biến động lưc trong hệ phòng thí nghiệm được xác định bởi:
p 1  ( E1 , p), p  2  (m2 ,0), p  3  ( E3 , p '), p  4  ( E4 , p4 ) ,

(1.37)

trong đó:
E4  E1  m2  E3 ,
p42  ( p  p ')2  p2  p'2  2 | p || p ' | coslab ,

(1.38)

Với mọi góc (, )lab cho trước, ta có p4dp4  ( p ' pcoslab )dp ' , do đó:
E3 E4

d ( E3  E4 )
 p '( E1  m2 )  pE3coslab .

dp '

(1.39)

Thừa số dòng F | p | m2 , và bình phương năng lượng, s  m12  m22  2E1E2 . Do đó,
trong hệ phòng thí nghiệm, tiết diện tán xạ vi phân được tính theo công thức sau:
| M |2 | p ' |
1
 d 

,


2
 d  lab 64 m2 | p | E1  m2  ( p / p ') E3coslab

(1.40)
với E3  p'2  m32 và theo định luật bảo toàn năng lượng, ta có:
E3 ( E1  m2 )  pp 'cos lab 

1
s  m32  m42  .

2

(1.41)

18

Footer Page 18 of 66.



Luận văn thạc sĩ

Header Page 19 of 66.

Trong các trường hợp còn lại, giả sử m3  m1 , m4  m2 . Vẫn trong hệ quy chiếu
phòng thí nghiệm thì (1.41) được rút gọn lại như sau:
E3 ( E1  m2 )  pp 'coslab  E1m2  m12 .

(1.42)
Điều này chỉ ra rằng momen bốn chiều q  p3  p1 liên quan tới các biến khác theo
biểu thức q 2  ( p3  p1 )2  2m2 ( E3  E1 ) , mối liên hệ giữa chúng là:
E E  m2
p
q2
cos lab  '2  1 3 '2 1 .
p'
2p
p

(1.43)

Khi đó, biểu thức (1.40) được viết duới dạng:

| M |2 p ' 
q2
 d 

1


(m2 E3  m12 ) 



2 2
2 '2
 d  lab 64 m2 p  2m2 p


1

.
(1.44)

Trong điều kiện tĩnh ( p4  0 ), ta có p  p ' , E1  E3 và:
E1  m2 

p
E3 coslab  m2  E1 (1  coslab ) .
p'

(1.45)

Biểu thức tiết diện tán xạ vi phân có thể lấy xấp xỉ:
| M |2
1
 d 

.



2 2
 d  lab 64 m2 1  ( E1 / m2 )(1  cos lab )

(1.46)
Trong tương đối tính, E1  p , E3  p ' thì vi phân tiết diện tán xạ có giá trị gần đúng
như sau:
| M |2  E3 
 d 




2 2 
 d  lab 64 m2  E1 

2

(1.47)

Công thức (1.47) chính là biểu thức vi phân tiết diện tán xạ của hai hạt trong hệ
phòng thí nghiệm.

19

Footer Page 19 of 66.


Luận văn thạc sĩ


Header Page 20 of 66.

CHƢƠNG 2:
TÁN XẠ ELECTRON-ELECTRON
Trong chương này chúng tôi nghiên cứu quá trình tán xạ electron-electron.
Trong mục $ 2.1, theo quy tắc Feynman cho tương tác điện từ ta viết yếu tố ma trận
tương ứng với quá trình tán xạ electron-electron ở bậc thấp nhất (gần đúng Born)
của của lý thuyết nhiễu loạn hiệp biến. Dựa vào yếu tố ma trận, ta tính tiết diện tán
xạ vi phân cho quá trình tán xạ electron-electron trong hệ khối tâm và hệ phòng thí
nghiệm. Mục $2.2 dành cho việc nghiên cứu quá trình tán xạ electron lên positron.
Cách tính tương tự như quá trình tán xạ electron-electron, có thay đổi khi một
electron được thay bằng positron. Kết quả ta thu được tiết diện tán xạ vi phân cho
quá trình tán xạ electron positron. So sánh kết quả tiết diện tán xạ vi phân của hai
quá trình tán xạ kể trên ta nhận thấy hai kết quả hầu như giống nhau chỉ khác nhau
về dấu, có nghĩa là ta có thể chuyển từ kết quả này thành kết quả kia bằng cách
chuyển đổi dấu của chúng [11].
2.1 Tán xạ electron-electron e  e  e  e
Trong phần đầu này ta xét quá trình tán xạ giữa electron-electron trong gần
đúng bậc thấp nhất. Hai electron với xung lượng lần lượt là p1 , p2 đến và tương tác
'
'
với nhau, sau đó sinh ra hai electron với xung lượng lần lượt là p1 , p2 Do hai

electron ở trạng thái cuối hoàn toàn giống nhau, ta không có cách nào để phân biệt
chúng, vì thế ta xét cả hai quá trình như hình vẽ dưới đây.
p1

e


e

e

p1

p1'

p1'

e

e

p2'

p2

e

e

p2

e

Hình 2.1a

Hình 2.1b


Hình 2.1 Tán xạ electron-electron

20

Footer Page 20 of 66.

p2'


Luận văn thạc sĩ

Header Page 21 of 66.

Sử dụng quy tắc Feynman ta có biên độ tán xạ cho quá trình này:
S fi  S fi (a)  S fi (b)
 e0 2



me2
E1E2

1
V2

me2
4
2   d 4 p. 4 p1  p2  p1'  p2'
'
' 

E 1E 2



 i 4
u p ' (i  )u  p1  u  p2 ' (i  )u  p2 

2   1 
  p1  p1 '

i 4







u
p
'
(

i

)
u
p
u
p

'
(

i

)
u
p








2
1
1
2
2


 p1  p2 ' 


(2.1)

Yếu tố ma trận tương ứng là:
M fi  e0 4  2 

2

2

1 4
1
u p ' (i  )u  p1  u  p2 ' (i  )u  p2 
d p.
2   1 

4
 p1  p1 '
2



1

 p1  p2 '

2

(2.2)

u  p2 ' (i )u  p1  u  p1 ' (i )u  p2 




Ta đưa vào toán tử hình chiếu (xem phụ lục B):


    ( p)  H n ( p) ;

2 ( p)


    ( p)  H n ( p)

2 ( p)

 2n ( p)   2 ( p)
H

( p)  m2  p2 ;

(2.3)

Ta có thể tính được:
 pi  me 
 pi  me 
 

 2me   2me 

4

u  pi  u  pi     r ( pi ) ( pi ) 


(2.4)


Từ đó ta thu được các thành phần sau:

u  p    u  p1    u 
2

'
1

 ,

u( p ) u( p )u( p )
'
1



'
2

1





1

'
2




u( p2 )

u  p   u  p  u  p  
'
1

 p1  me
p1  me 
p1'  me 

'
p  
   u p1  Tr  


2me
2me
2me 



'
1



 




2

u  p2 

 p1  me
p1'  me    p2  me  p2'  me 
 Tr  


 Tr 

2me
2me  
2me
2me 




2

 p1  me
p2'  me  p2  me  p1'  me 
 Tr  





2me
2me
2me
2me 


(2.5)

21

Footer Page 21 of 66.


Luận văn thạc sĩ

Header Page 22 of 66.

Vậy công thức (2.2) trở thành:
M fi  e0  2 
2

4

2

 p1'  me
p1  me   p2'  me  p2  me  
1 4 
1

d p. 
Tr 

  Tr 

 
2
4
2me
2me
 2me
  2me

  p1  p1 '


 p1'  me
p1  me
p2'  me  p2  me  
'
' 

Tr





p


p




1
2 
2
2
2me
2me
2me
 p1  p1 '  p1  p2 '  2me





1



(2.6)
Sử dụng các biến Mendelstam:
s  ( p1  p2 )2
t  ( p1  p1' ) 2
u  ( p2'  p1 ) 2

(2.7)
Và ta đặt:

1
Adir  Tr ( p1'  me )  ( p1  me )  Tr ( p2'  me )  ( p2  me )   ,
8
1
Aex  Tr ( p2'  me )  ( p1  me )  Tr ( p1'  me )  ( p2  me )   ,
8
1
Aint  Tr ( p1'  me )  ( p1  me ) ( p2'  me )  ( p2  me )   ,
8

(2.8)

trong đó:
Adir là yếu tố ma trận của quá trình tán xạ ứng với kênh t khi hạt hạt ra có xung
'
'
lượng lần lượt là p1 p2 trong hình vẽ (2.1a)

Aex là yếu tố ma trận của quá trình tán xạ ứng với kênh u khi hati hat có xung lượng
'
'
lần lượt là p2 p1 trong hình vẽ ( 2.1b)

Aint là yếu tố ma trận của cả hai quá trinh tán xạ ứng với kênh t và kênh u

Các ký hiệu trên đã được sử dụng trong tài liệu [11].

22

Footer Page 22 of 66.



Luận văn thạc sĩ

Header Page 23 of 66.

Ta thu được biểu thức:
| M fi |2  e04 (4 )2

1 1 1
1
2

Adir  2 Aex  Aint 
4  2
4 2me  t
u
ut


(2.9)

Ta đưa vào tensơ lepton ([11] tr. 124) :
1
L  u ( p f )  u ( pi )u ( pi )  u ( p f )
2
1  p  me  pi  me  
 Tr  f

 

2  2me
2me

1 1

Tr  p f   pi   me2    
2
2 4me
1 1

Tr  p f pi  pi pf  g  p f pi  me2 
2
2 me



(2.10)



Ta tính được :
1
Adir  4  p1'  p1 +p1 p1' -g  (p1p1' -me2 )  4  p2'  p2 +p1 p2' -g  (p2 p'2 -me2 ) 
8
=4 (p1 p2 )2  ( p1 p2' ) 2  2me 2 p1 p1'  2me4 
1
Aex  4  p2'  p1 +p1 p2'  -g  (p1p'2 -me2 )  4  p1'  p2 +p1 p1' -g  (p2 p1' -me2 ) 
8
=4 (p1 p2 )2  ( p1 p1' )2  2me 2 p1 p2'  2me4 
1

Aint  32  p1. p2   p1' p2'   32me2  16me2  p1. p2  p1. p1'  p1. p2'  p1' . p2  p1' . p2'  p2 . p2' 
8

(2.11)
Ở đây chúng ta đã sử dụng:
p1 p2  p1' p2' , p1 p1'  p2 p2' , p1 p2'  p1' p2 .

(2.12)

Những tích vô hướng trên có thể được biểu diễn thông qua các biến Mandelstam:
1
p1 p2  p1' p2'  ( s  2me2 ),
2
1
p1 p1'  p2 p2'   (t  2me2 ),
2
1
p1 p2'  p1' p2   (u  2me2 ),
2

23

Footer Page 23 of 66.

(2.13)


Luận văn thạc sĩ

Header Page 24 of 66.


Bởi vậy:
Adir  ( s  2me2 )2  (u  2me2 )2  4me2t
Aex  ( s  2me2 )2  (t  2me2 )2  4me2u

(2.14)

Aint  ( s  2m )( s  6m )
2
e

2
e

2.1.1. Trong hệ khối tâm
Hệ khối tâm là hệ quy chiếu chuyển động với vận tốc của khối tâm của hệ hạt và
tổng xung lượng trước và sau của hệ đều bằng không. Do đo ta có xung lượng của
các electron là:
p1  ( E, p),
p2  ( E,  p),
p '1  ( E, p '),
p '2  ( E,  p '),

(2.15)

Do đó, các bất biến mandelstam có các giá trị:
s  ( p1  p2 )2  4 E 2
t  ( p1  p1' )2  ( p '  p)2  2 | p |2 (1  cos  )  4 | p |2 sin 2



2

u  ( p2'  p1 )2  ( p '  p)2  2 | p |2 (1  cos  )  4 | p |2 cos 2


2

(2.16)
Tiết diện tán xạ được biểu diễn thông qua các biến Mandelstam:
 d  
4
4

  me | M fi |2  me | M fi |2 .
 d 
16 2 E 2
4 2 s

cm

(2.17)
Từ công thức (2.9), (2.14) và (2.17) cuối cùng ta thu được tiết diện tán xạ cho hai
hạt trong hệ khối tâm là:
 
4
 d    e0
  Pdir  Pex  Pint 
 d 
128E 2 P 4


cm

(2.18)

24

Footer Page 24 of 66.


Luận văn thạc sĩ

Header Page 25 of 66.

2

 
2
2
2   
2
2 2
2 2
2  
 2me  4 p sin     4 E  2me  16m p  sin    1 
 2 
 2   


Pdir  
2

 2   
 sin  2   1
  

2



2
2  
2
2
2 2
2 2
2   
4
p
sin

1

2
m

4
E

2
m


16
m
p
sin

2 
e 
e
e
 2 

  
  




Pex 
 
sin 4  
2







Pint  




2 4 E 2  2me 2

  4E
2

2

 6me 2





 
  
sin 2    sin 2    1
 2 
2 

Pdir là tiết diện tán xạ của quá trình tán xạ giữa hai hạt ứng với kênh t

Pex là tiết diện tán xạ của quá trình tán xạ giữa hai hạt ứng với kênh u
Pint là tiết diện tán xạ của quá trình tán xạ giữa hai hạt ứng với cả hai kênh t và kênh

u
Các ký hiệu trên đã được dùng trong tài liệu [11].
2.1.2. Trong hệ phòng thí nghiệm
Hệ Phòng thí nghiệm là hệ quy chiếu trong đó một hạt ban đầu chuyển động còn hạt

còn lại đứng yên. Do đó ta có xung lượng của các electron như sau:
p1  ( E, p)
p2  (me ,0)
p '1  ( E1' , p1' )

(2.19)

p '2  ( E2' , p2' )

Do đó các biến Mandelstam có dạng:
s  ( p1  p2 )2  2me2  2 p1 p2  2me ( E  me ),
t  ( p'1  p1 )2  2me2  2 p1 p '1  2me2  2E1' E  2 p1' p cos1' ,
u  ( p'1  p2 )2  2me2  2 p2 p'1  2me ( E1'  me ),

với :

25

Footer Page 25 of 66.

(2.20)