TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2017

BÀI 1. SỰ ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ
A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ:
I. TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ:
1. Nhắc lại định nghĩa: Ta kí hiêu K là khoảng hoặc nửa khoảng. Giả sử hàm
số y  f ( x ) xác định trên K.

Hàm số f đồng biến (tăng) trên K  x1, x2  K, x1 < x2  f(x1) < f(x2)
Hàm số f nghịch biến (giảm) trên K  x1, x2  K, x1 < x2  f(x1) > f(x2)
Hàm số đồng biến hoặc nghịc h biến trên K được gọi chung là hàm số đơn điệu
trên K
2. Điều kiện cần để hàm số đơn điệu
Giả sử f có đạo hàm trên khoảng K.
a) Nếu f đồng biến trên khoảng K thì f(x)  0, x  K
b) Nếu f nghịch biến trên khoảng K thì f(x)  0, x  K
3. Điều kiện đủ để hàm số đơn điệu
Giả sử f có đạo hàm trên khoảng K.
a) Nếu f (x)  0, x  K (f(x) = 0 tại một số hữu hạn điểm) thì f đồng biến
trên K.
b) Nếu f (x)  0, x  K (f(x) = 0 tại một số hữu hạn điểm) thì f nghịch biến
trên K.
c) Nếu f(x) = 0, x  K thì f không đổi trên K.
Chú ý:
 Nếu khoảng K được thay bởi đoạn hoặc nửa khoảng thì f phải liên tục
trên đó.

CHUYÊN ĐỀ KHẢO SÁT S HÀM SỐ

1

Tặng các bạn học sinh ischool Nha Trang


TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2017

 Nếu hàm f liên tục trên đoạn [a;b] và có đạo hàm f’(x)>0 trên khoảng (a;b)
thì hàm số f(x) đồng biến trên [a;b]
 Nếu hàm f liên tục trên đoạn [a ;b] và có đạo hàm f’(x)<0 trên khoảng (a;b)
thì hàm số f(x) nghịch biến trên [a;b]
II. QUY TẮC XÉT TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ
Để xét chiều biến thiên của hàm số y = f(x), ta thực hiện các bước như sau:
– Tìm tập xác định của hàm số.
– Tính y. Tìm các điểm xi (i  1,2,.., n) mà tại đó y  = 0 hoặc y  không tồn tại
(gọi là các điểm tới hạn của hàm sô)
– Sắp xếp các điểm xi theo thứ tự tăng dần và lập bảng biến thiên
– Nêu kết luận về các khoảng đồng biến và nghịch biến cuả hàm số.

CHUYÊN ĐỀ KHẢO SÁT S HÀM SỐ

2

Tặng các bạn học sinh ischool Nha Trang


TÀI LIỆU ƠN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2017

B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP:
DẠNG TỐN 1: XÉT CHIỀU BIẾN THIÊN CỦA HÀM SỐ
Phương pháp:
Dựa vào quy tắc xét tính đơn điệu của hàm số

BÀI TẬP MẪU:
Bài 1. Xét chiều biến thiên của hàm số sau:

a) y   x 3  3 x 2  24 x  26;

b) y  x 3  3 x 2  2;

c) y  x 3  3 x 2  3 x  2

Hướng dẫn:
a) Hàm đồng biến trên (-4;2) và nghịch biến trên các khoảng

 ; 4 và  2;  
b) Hàm nghịch biến trên (0;2) và nghịch biến trên các khoảng

 ;0 và  2;  
c)y'=3  x  1 , y'=0  x=-1 và y'>0 với mọi x  -1
2

Vì hàm số đồng biến trên mỗi nửa khoảng  ; 1 và  1;  nên hàm
số đồng biến trên 
Hoặc ta có thể trình bày:

Từ bảng biến thiên ta suy ra hàm số đồng biến trên 
Bài 2. Xét chiều biến thiên của hàm số sau:

1
a) y   x 4  2 x 2  1;
4


b) y  x 4  2 x 2  3;

c) y  x 4  6 x 2  8 x  1

Hướng dẫn:
a) Hàm đồng biến trên  ; 2 và (0;2), Hàm nghịch biến trên (-2;0) và

(2; )

CHUN ĐỀ KHẢO SÁT S HÀM SỐ

3

Tặng các bạn học sinh ischool Nha Trang


TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2017

b) Hàm đồng biến trên  0;   và nghịch biến trên  ;0 
c) Hàm đồng biến trên khoảng  2;   và nghịch biến trên  ;2 
Nhận xét: Đối với hàm số bậc 4 luôn có ít nhất một khoảng đồng biến và
một khoảng nghịch biến. Do vậy với hàm số không thể đơn điệu trên R.
Bài 3. Xét chiều biến thiên của hàm số sau:

2x 1
;
x 1
x2  2x  1
c) y 
;

x2
a) y 

x2
x 1
x2  4x  3
d )y 
x2
b) y 

Hướng dẫn:
a) Hàm đồng biến trên  ; 1 vaø  1;  
b) Hàm nghịch biến trên  ;1 vaø 1;  
c) Hàm đồng biến trên  5; 2  vaø  2;1 ,
Hàm nghịch biến trên  ; 5 vaø 1;  
d) Hàm đồng biến trên  ; 2  vaø  2;   ,
Nhận xét:

ax  b
 a.c  0  luôn đồng biến hoặc nghịch biến trên
cx  d
khoảng xác định của chúng

 Đối với hàm số y 

ax 2  bx  c
 Đối với hàm số y 
luôn có ít nhất hai khoảng đơn điệu .
dx  e
 Cả hai hàm số trên không thể luôn đơn điệu trên 

Bài 4. Xét tính đơn điệu của hàm số sau:

a) y  x 2  2 x  3 ;

b) y  3 x 2  x 3

Hướng dẫn:
a) Ta có:

CHUYÊN ĐỀ KHẢO SÁT S HÀM SỐ

4

Tặng các bạn học sinh ischool Nha Trang


TÀI LIỆU ƠN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2017

 x 2  2 x  3
khi x  1  x  3
y 2
khi  1  x  3
 x  2 x  3
2 x  2
khi x  1  x  3
 y'  
 y'  0  x  1
khi  1  x  3
2 x  2
Hàm không có đạo hàm tại x  -1 và x  3

Bảng biến thiên:

Hàm đồng biến trên mỗi khoảng  1;1 và  3;   , nghich biến trên

 ; 1 và 1;3

b) Hàm đã cho xác đònh trên nưả khoảng  ;3
3 2x  x3
Ta có: y'=
, x  3, x  0
2 3x 2  x 3
x  3, x  0 : y '  0  x  2. Hàm số không có đạo hàm tại x=0 và x=3





Dựa vào bảng biến thiên: Hàm đồng biến trên khoảng  0;2 , nghòch biến
trên  ;0 và  2;3

Bài 5. Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số y  sin x trên khoảng  0;2 
Hướng dẫn:
Ta có:

y '  0, x   0;2   x 


2

CHUN ĐỀ KHẢO SÁT S HÀM SỐ


,x 

3
2

5

Tặng các bạn học sinh ischool Nha Trang


TÀI LIỆU ƠN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2017

Bảng biến thiên:

BÀI TẬP ÁP DỤNG:
Bài 1. Xét chiều biến thiên của hàm số sau:

1
a) y  x 3  3 x 2  8 x  2;
3

x2  2x
b) y 
x 1

Bài 2. Xét chiều biến thiên của hàm số

a) y  2 x 3  3 x  1;


4
2
b) y   x 3  6 x 2  9 x 
3
3

c) y  x 4  2 x 2  5;

d )y  2 x  x 2

Hướng dẫn:

c)Trình bày tương tự bài mẫu 1c);

d)Trình bày tương tự bài mẫu 2b)

Bài 3. Chứng minh rằng

a) y  4  x 2 nghòch biến trên đoạn  0;2 
b) y  x 3  x  cos x  4 đồng biến trên 
c)y  cos2 x  2 x  3 nghòch biến trên 
Hướng dẫn:

a) Hàm số liên tục trên đoạn 0;2  và có đạo hàm f '( x ) 

x

4  x2
với mọi x   0;2  . Do đó hàm số nghòch biến trên đoạn  0;2 


0

b) Hàm số xác đònh trên . Ta thấy f '( x )  3 x 2  1  sin x  0, x  
c) f '( x )  2  sin 2 x  1  0, x   và f '( x )  0  x  


4

 k , k  

 


Hàm số nghòch biến trên mỗi đoạn    k ;    k  1   , k  
4
 4

Do đó hàm số nghòch biến trên 

CHUN ĐỀ KHẢO SÁT S HÀM SỐ

6

Tặng các bạn học sinh ischool Nha Trang


TÀI LIỆU ƠN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2017

Bài 4.
a) Cho hàm số y  sin 2 x  cos x . Chứng minh rằng hàm số đồng biến trên


 
 
đoạn  0;  và nghòch biến trên đoạn  ; 
 3
3 
2
b) Chứng minh rằng với mọi m   1;1 , phương trình s in x  cos x  m có

nghiệm duy nhất thuộc đoạn  0; 
Hướng dẫn:

a) Hàm số liên tục trên đoạn  0;  và có f '( x )  sin x  2 cos x  1 , x   0; 

1
Vì x   0;   sin x  0 nên trong khoảng  0;  : f '( x )  0  cos x   x 
2
3
 
 
*y '  0, x   0;  nên hàm số đồng biến trên  0; 
 3
 3
 
 
*y '  0, x   ;  nên hàm số nghòch biến trên  ; 
3 
3 
b)


Ta có:
 
 
* x   0;  ta có: y(0)  y  y    1  y  5 nên phương trình không có
 3
3
nghiệm thuộc  1;1
 
 
5
*x   ;  ta có: y( )  y  y    1  y  . Theo đònh lí giá trò trung
4
3 
3

 
5
gian củahàm số liên tục m   1;1   1;  , nên tồn tại số thực c   ; 
4

3 
sao cho y(c)=0.
Số c là nghiệm của phương trình sin 2 x  cos x  m và vì hàm số nghòch
 
biến trên  ;  ,nên trên đoạn này phương trình có nghiệm duy nhất.
3 
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất trên  0; 
BTTT: Cho hàm số f ( x )  sin 2 x  cos2 x

CHUN ĐỀ KHẢO SÁT S HÀM SỐ


7

Tặng các bạn học sinh ischool Nha Trang


TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2017

 
a) Chứng minh rằng hàm số đồng biến trên  0;  và nghịch biến trên
 3
 
đoạn  ;  
3 
b) Chứng minh rằng với mọi m   1;1 phương trình

sin 2 x  cos2 x  m
BÀI TẬP TỰ GIẢI:
Bài 1. Xét sự đồng biến và nghịch biến của hàm số:

a. y = 2 x 3  3 x 2  2

b. y = x 3  3 x 2  3 x  1

c. y = x  2 x  1

1 5 1 4
x2
3
d. y = x  x  x   2 x  1

5
4
2

4

2

Bài 2. Xét sự biến thiên của các hàm số sau:

a. y =

2x  1
3x  3

c. y = 2x-3-

x2  3x  3
x 1
4x+5
d. y =
4x2 -4
b. y =

1
x+2

Bài 3. Xét chiều biến thiên của hàm số sau:

a) y  x 2  2 x  6


b) y  2 x  x 2

c) y 

2x  1
3x  2

Bài 4. Xét chiều biến thiên của hàm số sau:

 
a) y  sin 6 x treân  0; 
 6

b) y  cot

x
treân   ;0  vaø  0;  
2

Bài 5 Xét chiều biến thiên của hàm số sau:

x2  x  1
a) y  2
;
x  x 1

b) y  x  3  2 2  x ;

c) y  2 x  1  3  x


d) y  x 2  x 2

e) y  2 x  x 2

 

f) y  sin 2 x    x  
2
 2

 

g) y  sin 2 x  x    x  
2
 2

Bài 6. Chứng minh hàm số y  2 x  x 2 nghịch biến trên đoạn [1; 2]

CHUYÊN ĐỀ KHẢO SÁT S HÀM SỐ

8

Tặng các bạn học sinh ischool Nha Trang


TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2017

Bài 7.
a) Chứng minh hàm số y= x2 -9 đồng biến trên nửa khoảng [3; +  ).

b) Hàm số y  x 

4
nghịch biến trên mỗi nửa khoảng [-2; 0) và (0;2]
x

Bài 8. Chứng minh rằng
a) Hàm số y 

3 x
nghịch biến trên mỗi khoảng xác định của nó.
2x  1

b) Hàm số y 

2 x 2  3x
đồng biến trên mỗi khoảng xác định của nó.
2x 1

c) Hàm số y   x  x 2  8 nghịch biến trên R.
Bài 9. Chứng minh hàm số f ( x )  x  cos2 x đồng biến trên R
Bài 10. Cho hàm số f ( x )  2 x 2 x  2
a) Chứng minh rằng hàm số f đồng biến trên nửa khoảng 2;  
b) Chứng minh rằng phương trình 2 x 2 x  2  11 có một nghiệm duy
nhất

CHUYÊN ĐỀ KHẢO SÁT S HÀM SỐ

9


Tặng các bạn học sinh ischool Nha Trang


TÀI LIỆU ƠN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2017

DẠNG 2: HÀM SỐ ĐƠN ĐIỆU TRÊN 
Phương pháp: Cho hàm số y  f ( x , m) , m là tham số, có tập xác định 
 Hàm số f đồng biến trên   f(x)  0, x   . Dấu “=” xảy ra tại hữu
hạn điểm
 Hàm số f nghịch biến trên   f  0, x   . Dấu “=” xảy ra tại hữu
hạn điểm
Từ đó suy ra điều kiện của m.
Chú ý:
1) Nếu y '  ax 2  bx  c thì:

 a  b  0

c0

 y '  0, x  R   
a  0

   0

 a  b  0

c0
 y '  0, x  R   
a  0


   0

2) Định lí về dấu của tam thức bậc hai g( x )  ax 2  bx  c :
 Nếu  < 0 thì g(x) ln cùng dấu với a.

b
)
2a
 Nếu  > 0 thì g(x) có hai nghiệm x 1, x2 và trong khoảng hai nghiệm thì g(x)
khác dấu với a, ngồi khoảng hai nghiệm thì g(x) cùng dấu với a.
3) So sánh các nghiệm x1, x2 của tam thức bậc hai g( x )  ax 2  bx  c với số 0:

 Nếu  = 0 thì g(x) ln cùng dấu với a (trừ x = 

  0

 x1  x2  0   P  0
S  0


  0

 0  x1  x2   P  0
S  0


 x1  0  x2  P  0

BÀI TẬP MẪU:
Bài 1. Tìm m để hàm số ln giảm (nghịch biến) trên 


1
y   x 3  2 x 2   2m  1 x  3m  2
3
Hướng dẫn:

Hàm số xác đònh trên . Ta có: y '   x 2  4 x  2 m  1,  '  2m  5
Bảng xét dấu '.

CHUN ĐỀ KHẢO SÁT S HÀM SỐ

10

Tặng các bạn học sinh ischool Nha Trang


TÀI LIỆU ƠN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2017

2
5
thì y'=-  x  2   0,x  , y '  0 chỉ tại điểm x=2. Do đó hàm số nghòch
2
biến trên 

*m=-

*m<-

5
thì y'< 0,x  . Do đó hàm số nghòch biến trên 

2

5
thì y'=0 có 2 nghiệm phân biệt x1 , x2  x1  x2  . Hàm số đồng biến trên
2
khoảng  x1; x2  .Trường hợp này không thỏa mãn

*m>-

Cách giải sau đây khơng “phù hợp” ở điểm nào?

Hàm số nghòch biến trên  khi và chỉ khi
 a  1  0
5
m
y '   x 2  4 x  2m  1  0, x     '
2
  0
5
Vậy hàm số nghòch biến trên  khi và chỉ khi m  2
Nhận xét: Lời giải trên xem ra có vẻ đúng và hợp lý. Tuy nhiên về mặt lý
luận thì trình bày như trên chưa thỏa đáng, hơi tự nhiên. Do đó mất đi
tính trong sáng và chặt chẻ trong tốn học
Bài 2.Tìm a để hàm số y 

1 3
x  ax 2  4 x  3 ln tăng (đồng biến) trên 
3

Hướng dẫn:


Hàm số xác đònh trên . Ta có: y '  x 2  2 ax  4,  '  a 2  4
Bảng xét dấu '.

CHUN ĐỀ KHẢO SÁT S HÀM SỐ

11

Tặng các bạn học sinh ischool Nha Trang


TÀI LIỆU ƠN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2017

*-2*a=2 thì y'=  x  2  ,y'=0  x=-2,y'>0,x  2. Do đó hàm số đồng biến trên
2

mỗi nửa khoảng  ; 2  và 2;   nên hàm số y đồng biến trên 
*a  2 hoặc a  2 thì y'=0 có 2 nghiệm phân biệt x1 , x2  x1  x2  . Hàm số nghòch
biến trên khoảng  x1; x2  , đồng biến trên mỗi khoảng  ; x1  và  x2 ;   .

Trường hợp này không thỏa mãn vậy hàm số đồng biến trên  khi và chỉ khi
-2  a  2
Bài 3. Tìm m để hàm số y  x  m cos x ln tăng (đồng biến) trên 
Hướng dẫn:
Cách 1:

Hàm số xác đònh trên . Ta có: y '  1  m sin x
Hàm số đồng biến trên   y'  0,x    msinx  1,x   (1)
*m=0 thì (1) luôn đúng

1
1
, x    1   0  m  1.
m
m
1
1
* m<0 thì (1)  sin x  , x    1   1  m  0.
m
m
Vậy -1  m  1 là những giá trò cần tìm
*m>0 thì (1)  sin x 

Cách 2:

Hàm đồng biến trên   y'  0,x  
1  m  0
 miny'=min 1  m;1  m  0  
 1  m  1
1  m  0
Chú ý:
Phương pháp:
 Hàm số f(x,m) tăng trên   y '  0, x    min y '  0, x  
 Hàm số f(x,m) giảm trên   y '  0, x    maxy '  0, x  
BÀI TẬP ÁP DỤNG:
Bài 1. Tìm m để hàm số y   m  2 

x3
  m  2  x 2   m  8 x  m 2  1 ln nghịch
3

biến (giảm) trên 

CHUN ĐỀ KHẢO SÁT S HÀM SỐ

12

Tặng các bạn học sinh ischool Nha Trang


TÀI LIỆU ƠN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2017

Hướng dẫn:
Ta có: y '   m  2  x 2   m  2  x  m  8

*Khi : m  2 : hàm nghòch biến trên 

*Khi m  2 : tam thức bậc hai y '   m  2  x 2   m  2  x  m  8 có  =10  m  2 
Bảng xét dấu của  ' :

 m<-2: y '  0, x    hàm nghòch biến trên 

 m  2 : y '  0 có hai nghiệm x1 ,x 2  x1  x2  trường hợp này hàm đồng biến
trên khoảng  x1; x2  nên trường hợp này không thỏa mãn
Vậy m  -2 là những giá trò cần tìm

Bài 2. Tìm m để hàm số ln nghịch biến (giảm) trên tập xác định

a) y 
b) y 

1 2
m  1 x 3   m  1 x 2  3 x  5
3
 m  1 x 2  2 x  1





x 1

Hướng dẫn:





a) y '  m 2  1 x 2  2  m  1 x  3
Hàm đồng biến trên   y'  0,x  
Trường hợp 1: m 2  1  0
* m  1: trường hợp này không thỏa mãn
* m=-1:trường hợp này thỏa mãn yêu cầu bài toán



Trường hợp 1: m 2  1  0, lúc đó:  '=-  m 2  m  2



Bảng xét dấu  ' :

CHUN ĐỀ KHẢO SÁT S HÀM SỐ

13

Tặng các bạn học sinh ischool Nha Trang


TÀI LIỆU ƠN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2017

 a  0 
* m  1hoặc m> 2 : hàm số y đồng biến trên   do 



'

0



* m=2:hàm số y đồng biến trên 
*  1  m  2, m  1: trường hợp này không thỏa mãn
Vậy hàm đồng biến trên  khi và chỉ khi m<-1 hoặc m  2

 m  1 x
b) y ' 

2

 2  m  1 x  1

 x  1

2



g( x )

 x  1

2

Dấu của y' là dấu của g(x),x  -1

Hàm y đồng biến trên  ; 1 và  1;    g '( x )  0, x  1
* m  1: trường hợp này thỏa mãn yêu cầu bài toán
* m  1: 1  m  2 thỏa mãn yêu cầu bài toán
Vậy khi 1  m  2 thì hàm đồng biến trên 
Bài 3. Tìm m để hàm số f ( x ) 

3 x 2  mx  2
nghịch biến trên khoảng từng
2x 1

khoảng xác định.
Hướng dẫn:
1

Hàm số xác định trên  \  
2 

y' 

6 x 2  6 x  4  m

 2 x  1

 y '  0, x 

2

. Hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định

1
1
 6 x 2  6 x  4  m  0, x 
2
2

 '  33  6m

Bảng xét dấu  ' :
m

11



'

CHUN ĐỀ KHẢO SÁT S HÀM SỐ

+



2
0

14

-

Tặng các bạn học sinh ischool Nha Trang


TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2017

* Nếu m 

1
11
tức  '  0 thì y '  0, x  hay hàm đồng biến trên các
2
2

khoảng xác định
* Nếu m 


3 
 x1 


3 
 x2 


11
thì y '  0 có hai nghiệm phân biệt
2
33  6m
6
33  6m
6

x

2

 x1  và rõ ràng x1 

1
 x2
2

Bảng biến thiên:
x

y'

1
2

x1


-

0

x2
+

+

0


-

y

 1
 1
Dựa vào bảng biến thiên thì ta thấy hàm đồng biến trên  x1;  và  x2 ; 
 2
 2

nên ta loại trường hợp này
Kết luận: m 

11
2

BÀI TẬP TỰ GIẢI:
Bài 1. Chứng minh rằng các hàm số sau luôn đồng biến trên từng khoảng xác địn h
(hoặc tập xác định) của nó:
a) y  x 3  5 x  13

CHUYÊN ĐỀ KHẢO SÁT S HÀM SỐ

b) y 

x3
 3x 2  9 x  1
3

15

c) y 

2x  1
x 2

Tặng các bạn học sinh ischool Nha Trang


TÀI LIỆU ƠN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2017

x2  2x  3
d) y 
x 1

e) y  3 x  sin(3 x  1)

x 2  2mx  1
f) y 
xm

Bài 2. Chứng minh rằng các h àm số sau ln nghịch biến trên từng khoảng xác định
(hoặc tập xác định) của nó:
b) y  cos x  x

a) y  5 x  cot( x  1)

c) y  sin x  cos x  2 2 x

Bài 3. Tìm m để các hàm số sau ln đồng biến trên tập xác định (hoặc từng kh oảng
xác định) của nó:
b) y 

a) y  x 3  3mx 2  (m  2) x  m

d) y 

y

mx  4

xm

e) y 

x 3 mx 2

 2x  1
3
2

x 2  2mx  1
xm

c) y 

xm
xm

f)

x 2  2mx  3m 2
x  2m

Bài 4. Tìm giá trị của tham số m để hàm số f ( x )  x 3 -3x 2  mx  1 đồng
biến trên R.
Bài 5. Với giá trị nào của m thì hàm số đồng biến trên mỗi khoảng xác định của nó

m
a) y  x  2 
x 1

b) y 

2 x 2   m  2  x  3m  1
x 1

Hướng dẫn:

a)

*m  0 : hàm đồng biến trên mỗi khoảng  ;1 và 1;  
*m  0 : y '  0  x  1  m . Lập bảng biến thiên ta thấy, hàm số nghòch



 



biến trên mỗi khoảng 1  m ;1 và 1;1  m do đó không thỏa mãn yêu cầu
Vậy hàm số đồng biến trên mỗi khoảng xác đònh khi và chỉ khi m  0

CHUN ĐỀ KHẢO SÁT S HÀM SỐ

16

Tặng các bạn học sinh ischool Nha Trang


TÀI LIỆU ƠN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2017

b) y '  1 

2m  1

 x  1

2

1
 y '  0, x  1, Hàm số nghòch biến trên mỗi khoảng  ;1 và 1;  
2
1
* m  : phương trình y'=0 có hai nghiệm x1  1  x2
2

*m 

Bài tốn này được mở rộng như sau:

a1 ) tìm giá trò m để hàm số đồng biến trên  ; 1
a2 )tìm giá trò m để hàm số đồng biến trên  2; 

a3 )tìm giá trò m để hàm số nghòch biến trên khoảng có độ dài bằng 2

a4 )tìm giá trò m để hàm số nghòch biến trên mỗi khoảng  0;1 và  1;2
a5 )gọi x1 , x2 là hai nghiệm của phương trình  x  1  m  0. Tìm m để
2

 x1  2 x2 ;

 x1  3 x2  m  5

 x1  3 x2 ;

 x1  5 x2  m  12

Bài 6. Với giá trị nào của m, hàm số: y  mx 3  3 x 2   m  2 x  3 nghịch
biến trên R.

x
x
Bài 7. Tìm điều kiện của tham số a để hàm số y  sin - cos  ax đồng
2
2
biến trên R
Hướng dẫn:
Hàm số đã cho xác định trên 

x 
1
x
x
2
sin     a
Ta có: y '   cos  sin  
2
2
2 2
2 4

Hàm số đồng biến trên  khi và chỉ khi

y '  0, x   

x 
2
2
2
sin      a, x    
 a  a 
2
2
2
2 2

CHUN ĐỀ KHẢO SÁT S HÀM SỐ

17

Tặng các bạn học sinh ischool Nha Trang