BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG


NGUYỄN THỊ THANH HUYỀN

MỘT SỐ PHÉP BIẾN ĐỔI
TRÊN TAM GIÁC

Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp
Mã số: 60.46.01.13

TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Đà Nẵng – Năm 2016


Công trình được hoàn thành tại
ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

Người hướng dẫn khoa học: TS. TRỊNH ĐÀO CHIẾN

Phản biện 1: TS. CAO VĂN NUÔI
Phản biện 2: PGS. TS. HUỲNH THẾ PHÙNG

Luận văn đã được bảo vệ tại Hội đồng chấm Luận văn tốt nghiệp
thạc sĩ Khoa học chuyên ngành Phương pháp Toán sơ cấp tại Đại học
Đà Nẵng vào ngày 13 tháng 8 năm 2016.

Tìm hiểu luận văn tại:
- Trung tâm Thông tin-Học liệu, Đại học Đà Nẵng

- Thư viện trường Đại học Sư phạm, Đại học Đà Nẵng




é
ỵ ồ t

q tở q trồ tr ữỡ tr
ờ tổ
t ự q t
rt ú ỏ ọ ỳ ổ tr ự s ứ tứ
ổ tr trữợ õ ứ ỳ s ỡ ợ ởt
ỹ õ t ởt số ữợ t
ỏ ữủ t
ờ t tố õ ừ t
ờ t tố ừ t
ử ởt số ờ tr t t r t ợ
s tr ú t õ t ữủ ởt số ợ
t q t s t ữủ tự t
tự tứ ởt tự t tự t
õ ự ờ tr t tt õ ỵ
ồ t tỹ t ũ ủ ợ Pữỡ
sỡ

ử t ự

s ởt số ờ tr t ử ú
ởt số t q t ởt số t tờ ủ
t tr ý t ồ ồ s ọ ữợ ỹ t

qố t
ụ s t ởt số t tỹ s t ử ử
ổ t ỗ ữù ồ s ọ ờ tổ t ố ợ


ố tữủ ự

ố tữủ ự ởt số ờ tr t
P ự ở Pữỡ t sỡ

Pữỡ ự




ứ t sữ t ữủ ữợ sỹ ữợ ừ ữớ ữợ
ồ s ởt số ờ tr t ử
ừ ú

ị ồ tỹ t ừ t

ợ ử ự tr ở ừ õ ỵ
ồ t tỹ t ũ ủ ợ Pữỡ sỡ

õ t sỷ ử ữ t t ồ s
ồ q t ổ t ỗ ữù ồ s ọ

trú

t t t ữủ

t ữỡ

ữỡ tự

ữỡ ỳ tự ỡ sỷ ử ỳ ữỡ
t t ữ Pữỡ tr Pr tự t tự ỡ
tr t t tự rsr

ữỡ P ờ t õ tr t
ử

ữỡ ởt số ờ t tố õ tr
t ử ú tứ ởt tự t tự t
q õ ừ ởt t t õ t ử t q
õ s t r t ú t õ õ t õ
ữ t t ởt ữủ t r tứ ữỡ
s t t

ữỡ ởt số ờ tr t

ữỡ ử ởt số ờ tr t
tứ t tự t t tự rsr t
t r t tự ợ t tố ừ t


✸

❈❍×❒◆● ✶

❑■➌◆ ❚❍Ù❈ ❈❍❯❽◆ ❇➚

❈❤÷ì♥❣ ♥➔② ✤➲ ❝➟♣ ✤➳♥ ♥❤ú♥❣ ❦✐➳♥ t❤ù❝ ❝ì ❜↔♥✱ sû ❞ö♥❣ ❝❤♦ ♥❤ú♥❣ ❝❤÷ì♥❣
t✐➳♣ t❤❡♦✳
❑➼ ❤✐➺✉ , i ❧➛♥ ❧÷ñt ❧➔ t❛♠ ❣✐→❝ ABC, AiBiCi (i = 0, 1, 2, 3)✳ ✣➸ t❤✉➟♥
t✐➺♥✱ ✤ë ❧î♥ ❝→❝ ❣â❝ ù♥❣ ✈î✐ ❝→❝ ✤➾♥❤ Ai, Bi, Ci ❝ô♥❣ ✤÷ñ❝ ❦➼ ❤✐➺✉ t÷ì♥❣ ù♥❣
❧➔ Ai, Bi, Ci✳
✣ë ❞➔✐ ❝→❝ ❝↕♥❤ ❝õ❛ t❛♠ ❣✐→❝✿ ai, bi, ci✳
✣÷í♥❣ ❝❛♦ ù♥❣ ✈î✐ ❝→❝ ❝↕♥❤✿ ha , hb , hc ✳
✣÷í♥❣ tr✉♥❣ t✉②➳♥ ù♥❣ ✈î✐ ❝→❝ ❝↕♥❤✿ ma , mb , mc ✳
❇→♥ ❦➼♥❤ ✤÷í♥❣ trá♥ ♥❣♦↕✐ t✐➳♣ ✈➔ ✤÷í♥❣ trá♥ ♥ë✐ t✐➳♣✿ Ri ✈➔ ri✳
❇→♥ ❦➼♥❤ ✤÷í♥❣ trá♥ ❜➔♥❣ t✐➳♣✿ ra , rb , rc ✳
▲➜② M ❧➔ ♠ët ✤✐➸♠ ♥➡♠ tr♦♥❣ t❛♠ ❣✐→❝✱ t❛ ❦➼ ❤✐➺✉✿
i

i

i

i

i

i

i

i

i

❑❤♦↔♥❣ ❝→❝❤ tø M ✤➳♥ ❝→❝ ✤➾♥❤✿ Ra , Rb , Rc ✳

❑❤♦↔♥❣ ❝→❝❤ tø M ✤➳♥ ❝→❝ ❝↕♥❤✿ da , db , dc ✳
❍➻♥❤ ❝❤✐➳✉ ❝õ❛ M ❧➯♥ ❝→❝ ❝↕♥❤✿ A1, B1, C1✳
❉✐➺♥ t➼❝❤ ❝→❝ ABC, M BC, M CA, M AB ❧➛♥ ❧÷ñt ❧➔ S,
❚ê♥❣ ❤♦→♥ ✈à✿ a, Ra, ....✳
❈ö t❤➸ ❧➔✿ a = a + b + c✱ Ra = Ra + Rb + Rc, ...✳
i

i

i

i

i

i

✶✳✶✳ P❍×❒◆● ❚❘➐◆❍ ❍⑨▼ P❊❳■❉❊❘
✣à♥❤ ❧➼ ✶✳✶✳ ◆❣❤✐➺♠ ❧✐➯♥ tö❝ ❝õ❛ P❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ❤➔♠ P❡①✐❞❡r ❧➔✿

f (x) = ax + c1 + c2
g(x) = ax + c1
, x ∈ R.

h(x) = ax + c2

Sa , Sb , Sc ✳


✹


✶✳✷✳ ❈⑩❈ ✣➃◆● ❚❍Ù❈ ❱⑨ ❇❻❚ ✣➃◆● ❚❍Ù❈ ❈❒ ❇❷◆ ❚❘❖◆●
❚❆▼ ●■⑩❈
✶✳✷✳✶✳ ❈→❝ ✤➥♥❣ t❤ù❝ ❝ì ❜↔♥ tr♦♥❣ t❛♠ ❣✐→❝
✣à♥❤ ❧➼ ✶✳✷✳ ✭✣à♥❤ ❧➼ ❤➔♠ sè s✐♥✮ ❚r♦♥❣ t❛♠ ❣✐→❝ ABC t❛ ❝â
b
c
a
=
=
= 2R.
sin A sin B
sin C

✣à♥❤ ❧➼ ✶✳✸✳ ✭✣à♥❤ ❧➼ ❤➔♠ sè ❝æs✐♥✮ ❚r♦♥❣ t❛♠ ❣✐→❝ ABC t❛ ❝â
a2 = b2 + c2 − 2bc cos A,
b2 = c2 + a2 − 2ca cos B,
c2 = a2 + b2 − 2ab cos C.

✣à♥❤ ❧➼ ✶✳✹✳ ✭❈→❝ ❝æ♥❣ t❤ù❝ ✈➲ ❞✐➺♥ t➼❝❤✮ ❉✐➺♥ t➼❝❤ t❛♠ ❣✐→❝ ABC ✤÷ñ❝

t➼♥❤ t❤❡♦ ♠ët tr♦♥❣ ❝→❝ ❝æ♥❣ t❤ù❝ s❛✉

1
1
1
aha = bhb = chc
2
2
2

1
1
1
= bc sin A = ca sin B = ab sin C
2
2
2
= pr
abc
=
4R

S =

=

p(p − a)(p − b)(p − c)

✭❝æ♥❣ t❤ù❝ ❍➯✲ræ♥❣✮.

✣à♥❤ ❧➼ ✶✳✺✳ ✭❈→❝ ❤➺ t❤ù❝ ❧÷ñ♥❣ ❣✐→❝ ❝ì ❜↔♥✮ ❱î✐ A,

❝õ❛ ♠ët t❛♠ ❣✐→❝✱ t❛ ❧✉æ♥ ❝â ❝→❝ ❤➺ t❤ù❝ s❛✉

B, C

A
B
C
cos cos .

2
2
2
sin 2A + sin 2B + sin 2C = 4 sin A sin B sin C.
A
B
C
cos A + cos B + cos C = 1 + 4 sin sin sin .
2
2
2
cos 2A + cos 2B + cos 2C = −1 − 4 cos A cos B cos C.
sin A + sin B + sin C = 4 cos

tan A + tan B + tan C = tan A tan B tan C.

❧➔ ❜❛ ❣â❝

✭✶✳✶✮
✭✶✳✷✮
✭✶✳✸✮
✭✶✳✹✮
✭✶✳✺✮


✺

✶✳✷✳✷✳ ❈→❝ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ❝ì ❜↔♥ ✈➲ ❣â❝ ✈➔ ✤ë ❞➔✐ ❝→❝ ❝↕♥❤ tr♦♥❣
t❛♠ ❣✐→❝
✣à♥❤ ❧➼ ✶✳✻✳ ✭❈→❝ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ❧÷ñ♥❣ ❣✐→❝ ❝ì ❜↔♥✮ ❱î✐ A, B, C ❧➔

❜❛ ❣â❝ ❝õ❛ ♠ët t❛♠ ❣✐→❝✱ t❛ ❧✉æ♥ ❝â ❝→❝ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ s❛✉
√

3
.
2
√
3
2 < sin A + sin B + sin C ≤ 3 , ✭t❛♠ ❣✐→❝ ABC ♥❤å♥✮.
2√
0 < sin A + sin B + sin C ≤ 1 + 2, ✭t❛♠ ❣✐→❝ ABC tò✮✳
9
2 < sin2 A + sin2 B + sin2 C ≤ , ✭t❛♠ ❣✐→❝ ABC ♥❤å♥✮.
4
sin A + sin B + sin C ≥ sin 2A + sin 2B + sin 2C.
√
3
sin A. sin B. sin C ≤ 3 .
8 √
3
0 < sin A. sin B. sin C ≤ 3 .
8
B
C
3
A
1 < sin + sin + sin ≤ .
2
2
2

2
3
A
B
C
< sin2 + sin2 + sin2 ≤ 1.
4
2
2
2
2
2
2
1 < cos A + cos B + cos C ≤ 3, ✭t❛♠ ❣✐→❝ ABC tò✮.
1
cos A. cos B. cos C ≤ .
8
1
−1 < cos A. cos B. cos C ≤ .
8
1
0 < cos A. cos B. cos C ≤ , ✭t❛♠ ❣✐→❝ ABC ♥❤å♥✮.
8
√
A
B
C
3
2 < cos + cos + cos ≤ 3 .
2

2
2√
2
tan A + tan B + tan C ≥ 3 3, ✭t❛♠ ❣✐→❝ ABC ♥❤å♥✮.
A
B
C 2
A
B
C
sin + sin + sin
≤ cos2 + cos2 + cos2 .
2
2
2
2
2
2

✭✶✳✻✮

0 < sin A + sin B + sin C ≤ 3

✭✶✳✼✮
✭✶✳✽✮
✭✶✳✾✮
✭✶✳✶✵✮
✭✶✳✶✶✮
✭✶✳✶✷✮
✭✶✳✶✸✮

✭✶✳✶✹✮
✭✶✳✶✺✮
✭✶✳✶✻✮
✭✶✳✶✼✮
✭✶✳✶✽✮
✭✶✳✶✾✮
✭✶✳✷✵✮
✭✶✳✷✶✮

✣à♥❤ ❧➼ ✶✳✼✳ ✭❇➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ✈➲ ❝↕♥❤ t❛♠ ❣✐→❝✮ ❈→❝ sè ❞÷ì♥❣ a,

❧➔ ✤ë ❞➔✐ ❜❛ ❝↕♥❤ ❝õ❛ t❛♠ ❣✐→❝ ❦❤✐ ✈➔ ❝❤➾ ❦❤✐

|b − c| < a < b + c.

❤♦➦❝

a + b > c, b + c > a, c + a > b.

b, c

✭✶✳✷✷✮
✭✶✳✷✸✮


✻

✶✳✸✳ ❇❻❚ ✣➃◆● ❚❍Ù❈ ❊❘❉❖❙✲▼❖❘❉❊▲▲
❇ê ✤➲ ✶✳✶✳ ❈❤♦ t❛♠ ❣✐→❝ ABC ✈➔ M ❧➔ ✤✐➸♠ ♥➡♠ tr♦♥❣ t❛♠ ❣✐→❝✳ ❑❤✐ ✤â


t❛ ❧✉æ♥ ❝â ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝

b
c
Ra ≥ db + dc .
a
a
❦❤✐ M ∈ ha✳

✣➥♥❣ t❤ù❝ ①↔② r❛ ✭✣❚❳❘✮
❇ê ✤➲ ✶✳✷✳ ❈❤♦ t❛♠ ❣✐→❝ ABC ✱ M ❧➔ ✤✐➸♠ ♥➡♠ tr♦♥❣ t❛♠ ❣✐→❝ ✈➔ M ❧➔
✤✐➸♠ ✤è✐ ①ù♥❣ ✈î✐ M q✉❛ ♣❤➙♥ ❣✐→❝ AK ✳ ❑❤✐ ✤â t❛ ❧✉æ♥ ❝â ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝
c
b
Ra ≥ dc + db .
a
a

✣➥♥❣ t❤ù❝ ①↔② r❛ ❦❤✐ M

∈ ha ✳

✣à♥❤ ❧➼ ✶✳✽✳ ✭❇➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ❊r❞♦s✲▼♦r❞❡❧❧✮ ❈❤♦ t❛♠ ❣✐→❝ ABC ✈➔ M

❧➔ ✤✐➸♠ ♥➡♠ tr♦♥❣ t❛♠ ❣✐→❝✳ ❑❤✐ ✤â t❛ ❧✉æ♥ ❝â ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝
Ra + Rb + Rc ≥ 2 (da + db + dc ) .

✭✶✳✷✹✮

✣➥♥❣ t❤ù❝ ①↔② r❛ ❦❤✐ ABC ✤➲✉ ✈➔ M ❧➔ trü❝ t➙♠ t❛♠ ❣✐→❝ ABC ✳

✣à♥❤ ❧➼ ✶✳✾✳ ❈❤♦ t❛♠ ❣✐→❝ ABC ✈➔ M ❧➔ ✤✐➸♠ ♥➡♠ tr♦♥❣ t❛♠ ❣✐→❝✳ ❑❤✐ ✤â
t❛ ❧✉æ♥ ❝â ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝
aRa + bRb + cRc ≥ 2 (ada + bdb + cdc ) .

✭✶✳✷✺✮

✣➥♥❣ t❤ù❝ ①↔② r❛ ❦❤✐ M ❧➔ trü❝ t➙♠ t❛♠ ❣✐→❝ ABC ✳
✣à♥❤ ❧➼ ✶✳✶✵✳ ❈❤♦ t❛♠ ❣✐→❝ ABC ✈➔ M ❧➔ ✤✐➸♠ ♥➡♠ tr♦♥❣ t❛♠ ❣✐→❝✳ ❑❤✐
✤â t❛ ❧✉æ♥ ❝â ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝
a

Rb
Rc
Ra
+b +c
≥ 2(a + b + c).
da
db
dc

✭✶✳✷✻✮

✣➥♥❣ t❤ù❝ ①↔② r❛ ❦❤✐ ABC ✤➲✉ ✈➔ M ❧➔ trü❝ t➙♠ t❛♠ ❣✐→❝ ABC ✳
✣à♥❤ ❧➼ ✶✳✶✶✳ ❱î✐ x, y > 0✱ t❛ ❧✉æ♥ ❝â ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ s❛✉

(x + y)α ≥ xα + y α , α ≥ 1;

(x + y)α ≥ 2α−1 (xα + y α ), 0 < α ≤ 1.

✭✶✳✷✼✮



✼

❈❍×❒◆● ✷
P❍➆P ❇■➌◆ ✣✃■ ❇❷❖ ❚❖⑨◆ ❨➌❯ ❚➮ ●➶❈✱
❈❸◆❍ ❚❘➊◆ ❚❆▼ ●■⑩❈ ❱⑨ ⑩P ❉Ö◆●
❈❤÷ì♥❣ ♥➔② ✤➲ ❝➟♣ ✤➳♥ ♠ët sè ♣❤➨♣ ❜✐➳♥ ✤ê✐ ❜↔♦ t♦➔♥ ②➳✉ tè ❣â❝✱ ❝↕♥❤ tr➯♥
t❛♠ ❣✐→❝ ✈➔ →♣ ❞ö♥❣ ❝❤ó♥❣ ✤➸ t↕♦ r❛ ♥❤✐➲✉ ❜➔✐ t♦→♥ ♠î✐ ❦❤→ ♣❤♦♥❣ ♣❤ó✳ ❈→❝
❦✐➳♥ t❤ù❝ tr♦♥❣ ❝❤÷ì♥❣ ✤÷ñ❝ t❤❛♠ ❦❤↔♦ tr♦♥❣ ❝→❝ t➔✐ ❧✐➺✉ [1] ✈➔ [3]✳

✷✳✶✳ P❍➆P ❇■➌◆ ✣✃■ ❇❷❖ ❚❖⑨◆ ❨➌❯ ❚➮ ●➶❈ ❚❘➊◆ ❚❆▼
●■⑩❈
✷✳✶✳✶✳ ▼ët sè ♣❤➨♣ ❜✐➳♥ ✤ê✐ ❜↔♦ t♦➔♥ ②➳✉ tè ❣â❝ tr➯♥ t❛♠ ❣✐→❝
✣à♥❤ ❧➼ ✷✳✶✳ ❈→❝ ❤➔♠ t❤ü❝ ❧✐➯♥ tö❝
A → A1 , B → B1 , C → C1

❧➔ ♥❣❤✐➺♠ ❝õ❛ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤
A1 + B1 + C1 = π,

✭✷✳✶✮

A + B + C = π,

✭✷✳✷✮

✈î✐ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥
♥➳✉ ✈➔ ❝❤➾ ♥➳✉ ❝❤ó♥❣ t❤ä❛ ♠➣♥ ❝→❝ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥
A1 = kA + lπ, B1 = kB + mπ, C1 = kC + nπ,


tr♦♥❣ ✤â k + l + m + n = 1.
❉÷î✐ ✤➙② ❧➔ ♠ët sè ✈➼ ❞ö ♠✐♥❤ ❤å❛✳
❱➼ ❞ö ✷✳✶✳ ❈❤å♥ k = −2, l = 1, m = 1,
❑❤✐ ✤â

❱➼ ❞ö ✷✳✷✳

❑❤✐ ✤â

n = 1✳

A1 = −2A + π; B1 = −2B + π; C1 = −2C + π.
❈❤å♥ k = −1, l = 21 , m = 12 , n = 1✳
π
π
A1 = −A + ; B1 = −B + ; C1 = −C + π.
2
2

✭✷✳✸✮


✽

✣à♥❤ ❧➼ ✷✳✷✳ ❈→❝ ❤➔♠ t❤ü❝ ❧✐➯♥ tö❝
A → A1 , B → B1 , C → C1

❧➔ ♥❣❤✐➺♠ ❝õ❛ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤
A1 + B1 + C1 = π; A1 , B1 , C1 ≥ 0,


✭✷✳✶✶✮

A + B + C = π; A, B, C ≥ 0,

✭✷✳✶✷✮

✈î✐ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥
♥➳✉ ✈➔ ❝❤➾ ♥➳✉ ❝❤ó♥❣ t❤ä❛ ♠➣♥ ❝→❝ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥
A1 = kA + lπ, B1 = kB + mπ, C1 = kC + nπ

tr♦♥❣ ✤â k + l + m + n = 1 ✈➔
l, m, k + l, k + m ≥ 0; l + m, k + l + m ≤ 1.

✭✷✳✶✸✮

l ≥ 0, m ≥ 0, n ≥ 0; k + l ≥ 0, k + m ≥ 0, k + n ≥ 0.

✭✷✳✶✹✮

❤❛②
❉÷î✐ ✤➙② ❧➔ ♠ët sè ✈➼ ❞ö ♠✐♥❤ ❤å❛✳
❱➼ ❞ö ✷✳✸✳ ❈❤å♥ k = − 12 , l = 12 ,
❑❤✐ ✤â

1
1
m= , n= ✳
2
2


B π
C π
A π
+ , B1 = − + , C1 = − + .
2
2
2
2
2
2
1
1
k = , l = 0, m = 0, n = ✳
2
2

A1 = −

❱➼ ❞ö ✷✳✹✳ ❈❤å♥
❑❤✐ ✤â

A1 =

A
B
C π
, B1 = , C1 = + .
2
2
2

2

◆❤➟♥ ①➨t✳ ❚r♦♥❣ ♣❤➛♥ t✐➳♣ t❤❡♦✱ ✤➸ ❝→❝ ❦➳t q✉↔ ✤÷ñ❝ ♣❤→t ❜✐➸✉ ❣å♥ ❤ì♥✱

t❛ s➩ ♠æ t↔ ❝→❝ ❧î♣ ❝õ❛ t❛♠ ❣✐→❝ ✤➦❝ ❜✐➺t ♥❤÷ s❛✉

✲✮ ✣è✐ ✈î✐ ❧î♣ ❝→❝ t❛♠ ❣✐→❝
K = {(A, B, C) : A, B, C ≥ 0, A + B + C = π}

✭✷✳✶✾✮

K = {(A, B) : A, B ≥ 0, A + B ≤ π}

✭✷✳✷✵✮

❤♦➦❝


✾

K0 = (A, B, C) : 0 ≤ A, B, C ≤

❤♦➦❝

π
, A+B+C =π
2

✭✷✳✷✶✮


π
π
, A+B ≥
.
2
2

✭✷✳✷✷✮

K0 = (A, B) : 0 ≤ A, B ≤

✲✮ ✣è✐ ✈î✐ ❧î♣ ❝→❝ t❛♠ ❣✐→❝ ❦❤æ♥❣ ♥❤å♥✳
✰✮ ❚❛♠ ❣✐→❝ ❦❤æ♥❣ ♥❤å♥ t↕✐ A✱ ❦➼ ❤✐➺✉ ❧➔ KA

π
, A+B+C =π
2

✭✷✳✶✾✮

π
, B ≥ 0, A + B ≤ π .
2
❚❛♠ ❣✐→❝ ❦❤æ♥❣ ♥❤å♥ t↕✐ B ✱ ❦➼ ❤✐➺✉ ❧➔ KB
π
KB = (A, B, C) : A ≥ 0, C ≥ 0, B ≥ , A + B + C = π
2

✭✷✳✷✵✮


KA = (A, B, C) : B ≥ 0, C ≥ 0, A ≥

❤♦➦❝

KA = (A, B) : A ≥

✰✮

❤♦➦❝

KB = (A, B) : A ≥ 0, B ≥

π
, A+B ≤π
2

✭✷✳✷✷✮

π
, A+B+C =π
2

✭✷✳✷✸✮

✰✮ ❚❛♠ ❣✐→❝ ❦❤æ♥❣ ♥❤å♥ t↕✐ C ✱ ❦➼ ❤✐➺✉ ❧➔ KC
KC = (A, B, C) : A ≥ 0, B ≥ 0, C ≥

❤♦➦❝

KC = (A, B) : A ≥ 0, B ≥ 0, A + B ≤


❇ê ✤➲ ✷✳✶✳
✐✮ ❈→❝ ❤➔♠ A1,

B1 , C1

l, m ≥ 0;

❤❛②

❤❛②

π
.
2

k
k
k
+ l, + m ≥ 0; + l + m, k + l + m ≤ 1.
2
2
2

B1 , C1

✭✷✳✷✹✮

①→❝ ✤à♥❤ ❜ð✐ ✭✷✳✸✮ ❜✐➳♥ ✤ê✐ tø K0 ✈➔♦ K ✱ ♥➳✉


l ≥ 0, m ≥ 0, n ≥ 0;

✐✐✮ ❈→❝ ❤➔♠ A1,

✭✷✳✷✶✮

k
k
k
+ l ≥ 0, + m ≥ 0, + n ≥ 0.
2
2
2

✭✷✳✷✺✮
✭✷✳✷✻✮

①→❝ ✤à♥❤ ❜ð✐ ✭✷✳✸✮ ❜✐➳♥ ✤ê✐ tø K ✈➔♦ K0✱ ♥➳✉

1 1
l, m ≥ 0; 0 ≤ k + l, k + m ≤ ; ≤ l + m, k + l + m ≤ 1.
2 2

✭✷✳✷✼✮

1
l ≥ 0, m ≥ 0, n ≥ 0; 0 ≤ k + l, k + m, k + n ≤ .
2

✭✷✳✷✽✮



✶✵

❉÷î✐ ✤➙② ❧➔ ♠ët sè ✈➼ ❞ö ♠✐♥❤ ❤å❛✳
❱➼ ❞ö ✷✳✺✳ ❈❤å♥ k = 13 , l = 41 , m = 14 ,
❑❤✐ ✤â




A1 =







(A, B, C) ∈ K0 → B1 =








C =


n=

1
✳
6

A π
+
3
4
B π
+
3
4

∈ K.

C π
+
3
6
❈❤å♥ k = 18 , l = 83 , m = 13 , n = 61 ✳

A 3π


A1 = +


8

8





B π
(A, B, C) ∈ K → B1 = +
∈ K0 .

8
3







C = C + π
1
8
6
❈→❝ ❤➔♠ A1, B1, C1 ✤÷ñ❝ ①→❝ ✤à♥❤ ❜ð✐ ✭✷✳✸✮
1

❱➼ ❞ö ✷✳✻✳
❑❤✐ ✤â

✣à♥❤ ❧➼ ✷✳✸✳


❜✐➳♥ ✤ê✐ t÷ì♥❣
l = m = n = 1 ♥❣❤➽❛ ❧➔ ❦❤✐ ✈➔

ù♥❣ 1 − 1 tø K0 ✈➔♦ K ❦❤✐ ✈➔ ❝❤➾ ❦❤✐ k = −2,
❝❤➾ ❦❤✐ A1 = π − 2A, B1 = π − 2B, C1 = π − 2C.

❇ê ✤➲ ✷✳✷✳
✐✮ ❈→❝ ❤➔♠ A1,

B1 , C1

①→❝ ✤à♥❤ ❜ð✐ ✭✷✳✸✮ ❜✐➳♥ ✤ê✐ tø K ✈➔♦ KC ✱ ♥➳✉

1
1
l ≥ 0, m ≥ 0, k + l ≥ 0, k + m ≥ 0, l + m ≤ , k + l + m ≤
2
2

✭✷✳✸✸✮

1
1
l ≥ 0, m ≥ 0, n ≥ ; k + l ≥ 0, k + m ≥ 0, k + n ≥ .
2
2

✭✷✳✸✹✮


❤❛②

✐✐✮ ❈→❝ ❤➔♠ A1,

B1 , C1

l ≥ 0, m ≥ 0,

❤❛②

①→❝ ✤à♥❤ ❜ð✐ ✭✷✳✸✮ ❜✐➳♥ ✤ê✐ tø KC ✈➔♦ K ✱ ♥➳✉

k
k
k
+ l ≥ 0, + m ≥ 0, l + m ≤ 1, + l + m ≤ 1
2
2
2

✭✷✳✸✺✮

k
k
k
+ l ≥ 0, + m ≥ 0, + n ≥ 0, k + n ≥ 0.
2
2
2


✭✷✳✸✻✮

l ≥ 0, m ≥ 0;


✶✶

❉÷î✐ ✤➙② ❧➔ ♠ët sè ✈➼ ❞ö ♠✐♥❤ ❤å❛✳
❱➼ ❞ö ✷✳✼✳ ❈❤å♥ k = − 14 , l = 14 , m = 41 ,
❑❤✐ ✤â


❱➼ ❞ö ✷✳✽✳
❑❤✐ ✤â

n=

3
✳
4

A π


A
=
−
+
1



4
4





B π
(A, B, C) ∈ K → B1 = − +
∈ KC .

4
4







C = − C + 3π
1
4
4
❈❤å♥ k = −1, l = 12 , m = 12 , n = 1✳

π

A

=
−A
+

1


2



(A, B, C) ∈ KC → B1 = −B + π ∈ K.


2





C1 = −C + π

✣à♥❤ ❧➼ ✷✳✹✳ ❈→❝ ❤➔♠ A1,

✤÷ñ❝ ①→❝ ✤à♥❤ ❜ð✐ ✭✷✳✸✮ ❜✐➳♥ ✤ê✐ t÷ì♥❣
ù♥❣ 1 − 1 tø K ✈➔♦ KC ❦❤✐ ✈➔ ❝❤➾ ❦❤✐ k = 21 , l = m = 0 ♥❣❤➽❛ ❧➔ ❦❤✐ ✈➔ ❝❤➾ ❦❤✐
A1 =

❇ê ✤➲ ✷✳✸✳
✐✮ ❈→❝ ❤➔♠ A1,

l, m,

B1 , C1

B1 , C 1

A
B
C +π
, B1 = , C1 =
.
2
2
2

✭✷✳✸✼✮

✤÷ñ❝ ①→❝ ✤à♥❤ ❜ð✐ ✭✷✳✸✮ ❜✐➳♥ ✤ê✐ tø K0 ✈➔♦ KC ✱ ♥➳✉

k
k
1
k
+ l, + m ≥ 0; + l + m, k + l + m ≤ .
2
2
2
2

✭✷✳✹✷✮


❤❛②
1 k
k
k
1
l ≥ 0, m ≥ 0, n ≥ ; + l ≥ 0, + m ≥ 0, + n ≥ .
2 2
2
2
2

✐✐✮ ❈→❝ ❤➔♠ A1,

B1 , C1

0 ≤ l, m,

✭✷✳✹✸✮

✤÷ñ❝ ①→❝ ✤à♥❤ ❜ð✐ ✭✷✳✸✮ ❜✐➳♥ ✤ê✐ tø KC ✈➔♦ K0✱ ♥➳✉

k
k
1 k
1
+ l, + m ≤ ; + l + m, l + m ≥ .
2
2
2 2

2

✭✷✳✹✹✮

❤❛②
1
k
k
k
1
1
0 ≤ l, m ≤ ; 0 ≤ + l, + m, + n ≤ ; 0 ≤ k + n ≤ .
2
2
2
2
2
2

✭✷✳✹✺✮


✶✷

❉÷î✐ ✤➜② ❧➔ ✈➼ ❞ö ♠✐♥❤ ❤å❛✳
❱➼ ❞ö ✷✳✾✳ ❈❤å♥ k = 12 , l = 0,
❑❤✐ ✤â

m = 0, n =





A1 =







(A, B, C) ∈ K0 → B1 =








C =

1
✳
2

A
2
B
2


∈ KC .

C π
+
2
2
❈❤å♥ k = − 21 , l = 12 , m = 12 , n = 12 ✳

A π


A
=
−
+
1


2
2





B π
(A, B, C) ∈ KC → B1 = − +
∈ K0 .


2
2







C = − C + π
1
2
2
1

❱➼ ❞ö ✷✳✶✵✳
❑❤✐ ✤â

✣à♥❤ ❧➼ ✷✳✺✳ ❈→❝ ❤➔♠ A1,

✤÷ñ❝ ①→❝ ✤à♥❤ ❜ð✐ ✭✷✳✸✮ ❜✐➳♥ ✤ê✐ t÷ì♥❣ ù♥❣
1
1 − 1 tø K0 ✈➔♦ KC ❦❤✐ ✈➔ ❝❤➾ ❦❤✐ l = m = , k = −1✱ ♥❣❤➽❛ ❧➔ ❦❤✐ ✈➔ ❝❤➾ ❦❤✐
2π
π
π
π
A1 = −A, B1 = −B, C1 = π−C ❤❛② A = −A1 , B = −B1 , C = π−C1 ✳
2
2

2
2
B1 , C1

✷✳✶✳✷✳ ▼ët sè ✈➼ ❞ö →♣ ❞ö♥❣
❚ø ❤➺ t❤ù❝ ❧÷ñ♥❣ ❣✐→❝ ✤➣ ❜✐➳t✱ t❛ ❝â t❤➸ t↕♦ r❛ ♥❤ú♥❣ ❤➺ t❤ù❝ ❦❤→❝ ❝â ♠è✐
❧✐➯♥ ❤➺ ✈î✐ ❤➺ t❤ù❝ ➜②✳ ❚ø ✤â✱ ♥❣♦➔✐ ❝→❝❤ ❣✐↔✐ tr✉②➲♥ t❤è♥❣ ✭sû ❞ö♥❣ ♣❤➨♣ ❜✐➳♥
✤ê✐ ❧÷ñ♥❣ ❣✐→❝✮ t❛ ❝â t❤➸ ❣✐↔✐ ❜➔✐ t♦→♥ ❜➡♥❣ ❝→❝❤ sû ❞ö♥❣ ♣❤➨♣ ❜✐➳♥ ✤ê✐ ❜↔♦
t♦➔♥ ❣â❝ tr♦♥❣ t❛♠ ❣✐→❝✳
❱➼ ❞ö ✷✳✶✶✳ ●✐↔ sû (A, B, C) ∈ K0✳
❚❤❡♦ ✣à♥❤ ❧➼ 2.3✱ t❛ ❝â (π − 2A, π − 2B, π − 2C) ∈ K ✳ ⑩♣ ❞ö♥❣ ❦➳t q✉↔
♥➔② ✈➔♦ ❝→❝ ❇➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ✧❣è❝✧ ♥❤÷ ❇➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ (1.11)✱ (1.15)✱ (1.24) ✈➔
(1.26)✱ t❛ ❝â ❜➔✐ t♦→♥ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ❝→❝ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ♠î✐ s❛✉✳
❇➔✐ t♦→♥ ✷✳✶✳ ❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤ r➡♥❣ ✈î✐√♠å✐ t❛♠ ❣✐→❝ ABC ♥❤å♥ t❛ ❝â✿
❛✮ 0 < sin 2A + sin 2B + sin 2C ≤ 3 23 .


✶✸

❜✮ sin 2A + sin 2B + sin 2C + sin√4A + sin 4B + sin 4C ≥ 0.
❝✮ 2 < sin A + sin B + sin C ≤ 3 23 .
❞✮ (cos A + cos B + cos C)2 ≤ sin2 A + sin2 B + sin2 C.
❱➼ ❞ö ✷✳✶✷✳ ●✐↔ sû (A, B, C) ∈ K ✳
❚❤❡♦ ✣à♥❤ ❧➼ 2.4, t❛ ❝â A2 , B2 , C2 + π2 ∈ KC ✳ ⑩♣ ❞ö♥❣ ❦➳t q✉↔ ♥➔② ✈➔♦
❝→❝ ❇➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ✧❣è❝✧ ♥❤÷ ❇➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ (1.13)✱ (1.15) ✈➔ (1.20)✱ t❛ ❝â ❜➔✐
t♦→♥ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ❝→❝ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ♠î✐ s❛✉✳
❇➔✐ t♦→♥ ✷✳✷✳ ❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤ r➡♥❣ ✈î✐√♠å✐ t❛♠ ❣✐→❝ ABC t❛ ❧✉æ♥ ❝â✿
❛✮ 0 < sin A2 + sin B2 + cos C2 < 1 + 2.
❜✮ sin A2 + sin B2 + cos C2 ≥ sin A + sin B − sin C.
❝✮ 0 < cos2 A2 + cos2 B2 − cos2 C2 < 2.

❱➼ ❞ö ✷✳✶✸✳ ●✐↔ sû (A, B, C) ∈ KC ✳
❚❤❡♦ ✣à♥❤ ❧➼ 2.4, t❛ ❝â (2A, 2B, 2C − π) ∈ K ✳ ⑩♣ ❞ö♥❣ ❦➳t q✉↔ ♥➔② ✈➔♦
❝→❝ ❇➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ✧❣è❝✧ ♥❤÷ ❇➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ (1.18)✱ (1.19)✱ (1.24) ✈➔ (1.22)✱ t❛
❝â ❜➔✐ t♦→♥ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ❝→❝ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ♠î✐ s❛✉✳
❇➔✐ t♦→♥ ✷✳✸✳ ❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤ r➡♥❣ ✈î✐ ♠å✐ t❛♠ ❣✐→❝ ABC tò t❛ ❧✉æ♥ ❝â✿
❛✮ 1 < sin A + sin B − cos C ≤ 23 .
❜✮ 34 < sin2 A + sin2 B − cos2 C < 1.
√

❝✮ 2 < cos A + cos B + sin C <≤ 3 23 .
❞✮ − 18 ≤ cos 2A cos 2B cos 2C < 1.
❱➼ ❞ö ✷✳✶✹✳ ●✐↔ sû (A, B, C) ∈ KC ✳
❚❤❡♦ ✣à♥❤ ❧➼ 2.5, t❛ ❝â (−A + π2 , −B + π2 , −C + π) ∈ K0✳ ⑩♣ ❞ö♥❣ ❦➳t q✉↔
♥➔② ✈➔♦ ❝→❝ ❇➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ✧❣è❝✧ ♥❤÷ ❇➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ (1.12)✱ (1.14)✱ (1.23) ✈➔
(1.25)✱ t❛ ❝â ❜➔✐ t♦→♥ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ❝→❝ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ♠î✐ s❛✉✳
❇➔✐ t♦→♥ ✷✳✹✳ ❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤ r➡♥❣√✈î✐ ♠å✐ t❛♠ ❣✐→❝ ABC tò t❛ ❧✉æ♥ ❝â✿
❛✮ 2 < cos A + cos B + sin C ≤ 3 23 .
❜✮ 2 < cos2 A + cos2 B + sin2 C ≤ 94 .
❝✮ − 18 ≤ sin A sin B cos C < 0.
√
❞✮ cot A + cot B − tan C ≥ 3 3.


✶✹

❱➼ ❞ö ✷✳✶✺✳ ●✐↔ sû (A, B, C) ∈ K ✳

❚❤❡♦ ✣à♥❤ ❧➼ 2.3✱ t❛ ❝â π −2 A , π −2 B , π −2 C ∈ K0. ⑩♣ ❞ö♥❣ ❦➳t q✉↔
♥❛② ✈➔♦ ✣➥♥❣ t❤ù❝ (1.7) ✈➔ ❇➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ (1.21).
❚❛ ♣❤è✐ ❤ñ♣ ❦➳t q✉↔ tr➯♥ ✈➔ ✣➥♥❣ t❤ù❝ (1.6) ✤➸ t↕♦ r❛ ❜➔✐ t♦→♥ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤

❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ♠î✐✳
❇➔✐ t♦→♥ ✷✳✺✳ ❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤ r➡♥❣ ✈î✐ ♠å✐ t❛♠ ❣✐→❝ ABC t❛ ❧✉æ♥ ❝â✿
❛✮ sin A sin B sin C ≤ cos A2 cos B2 cos C2 .
❜✮ sin A sin B sin C ≤ sin A + sin B + sin C.
❱æ ✈➔♥ ❜➔✐ t♦→♥ ♠î✐ s➩ ✤÷ñ❝ t↕♦ r❛ ♥➳✉ t❛ t✐➳♣ tö❝ →♣ ❞ö♥❣ ❦➳t q✉↔ ❝õ❛ ❝→❝
✤à♥❤ ❧➼ ✤➣ ♥➯✉✱ ♠➔ ❝→❝ ✈➼ ❞ö tr➯♥ ❝❤➾ ♠î✐ ❧➔ ♠ët sè ➼t ❦➳t q✉↔ ♠✐♥❤ ❤å❛✳ ❉÷î✐
✤➙② ❧➔ ♠ët sè ❜➔✐ t♦→♥ t÷ì♥❣ tü✳
❇➔✐ t♦→♥ ✷✳✻✳ ❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤ r➡♥❣ ✈î✐ ♠å✐ t❛♠ ❣✐→❝ ABC ❝â ❜❛ ❣â❝ ♥❤å♥ t❛
❝â✿
1
sin A + sin B + sin C
≤ (tan A tan B tan C) .
cos A + cos B + cos C
3

❇➔✐ t♦→♥ ✷✳✼✳ ❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤ r➡♥❣ ✈î✐ ♠å✐ t❛♠ ❣✐→❝ ABC ✤➲✉ ❦❤✐ ✈➔ ❝❤➾ ❦❤✐
A
B
C
+ cos + cos
2
2
2 = 1 cot A cot B cot C
A
B
C
3
2
2
2

sin + sin + sin
2
2
2

cos

.

❇➔✐ t♦→♥ ✷✳✽✳ ❈❤♦ t❛♠ ❣✐→❝ ABC ❦❤æ♥❣ ✈✉æ♥❣✱ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ r➡♥❣✿
3 tan2 A tan2 B tan2 C − 5 tan2 A + tan2 B + tan2 C
≤ 9 + tan2 A tan2 B + tan2 B tan2 C + tan2 C tan2 A.

❇➔✐ t♦→♥ ✷✳✾✳ ❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤ r➡♥❣ ✈î✐ ♠å✐ t❛♠ ❣✐→❝ ABC t❛ ❧✉æ♥ ❝â✿
a) 3 cot2

B
C
A
B
C
A
cot2 cot2 − 5 cot2 + cot2 + cot2
2
2
2
2
2
2


≤ 9 + cot2

A
B
B
C
C
A
cot2 + cot2 cot2 + cot2 cot2 .
2
2
2
2
2
2

A
A
B
C
B
C
tan2 cot2 − 5 tan2 + tan2 + cot2
2
2
2
2
2
2
A

B
B
C
A
C
≤ 9 + tan2 tan2 + tan2 cot2 + tan2 cot2 .
2
2
2
2
2
2

b) 3 tan2


✶✺

❇➔✐ t♦→♥ ✷✳✶✵✳ ✭❚✉②➸♥ t➟♣ ✤➲ t❤✐ ❖❧✐♠♣✐❝ ✸✵✲✹✱ ♥➠♠ ✷✵✵✼✮ ❈❤ù♥❣

♠✐♥❤ r➡♥❣ t❛♠ ❣✐→❝ ABC ❝â ❜❛ ❣â❝ ♥❤å♥✱ t❛ ❧✉æ♥ ❝â✿

tan5 A + tan5 B + tan5 C
≥ 9.
tan A + tan B + tan C

❇➔✐ t♦→♥ ✷✳✶✶✳ ❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤ r➡♥❣ ✈î✐ ♠å✐ t❛♠ ❣✐→❝ ABC t❛ ❧✉æ♥ ❝â✿
A
B
C

+ cot5 + cot5
2
2
2 ≥ 9.
B
C
A
cot + cot + cot
2
2
2

cot5

❇➔✐ t♦→♥ ✷✳✶✷✳ ❈â ♥❤➟♥ ①➨t ❣➻ ✈➲ t❛♠ ❣✐→❝ ABC ❜✐➳t✿
tan A tan B tan C = 3(cot A + cot B + cot C).

❇➔✐ t♦→♥ ✷✳✶✸✳ ✭❚✉②➸♥ t➟♣ ✤➲ t❤✐ ❖❧✐♠♣✐❝ ✸✵✲✹✱ ♥➠♠ ✷✵✵✼✮ ❈❤♦ t❛♠

❣✐→❝ ABC ❝â p, R, r t÷î♥❣ ù♥❣ ❧➔ ♥ú❛ ❝❤✉ ✈✐✱ ❜→♥ ❦➼♥❤ ✤÷í♥❣ trá♥ ♥❣♦↕✐ t✐➳♣
✈➔ ♥ë✐ t✐➳♣✳ ❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ❤❛✐ ♠➺♥❤ ✤➲ s❛✉ t÷ì♥❣ ✤÷ì♥❣✿
cot

A
B
C
A
B
C
cot cot = 3 tan + tan + tan

2
2
2
2
2
2

3r(4R + r) = p

(1)

(2)

❱➔ ❝â ♥❤➟♥ ①➨t ❣➻ ✈➲ ❞↕♥❣ ❝õ❛ t❛♠ ❣✐→❝ ABC ❦❤✐ ❝â (1) ❤♦➦❝ (2)✳
❇➔✐ t♦→♥ ✷✳✶✹✳ ❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤ r➡♥❣ t❛♠ ❣✐→❝ ABC ❝➙♥ ♥➳✉ ❜❛ ❣â❝ ❝õ❛ ♥â
t❤ä❛ ♠➣♥ ❤➺ t❤ù❝✿
sin A = 2 sin B cos C.

❇➔✐ t♦→♥ ✷✳✶✺✳ ❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤ r➡♥❣ t❛♠ ❣✐→❝ ABC ❝➙♥ ♥➳✉ ❜❛ ❣â❝ ❝õ❛ ♥â

t❤ä❛ ♠➣♥ ❤➺ t❤ù❝✿

sin 2A = −2 sin 2B cos 2C.




PP

ởt số ờ t tố tr t

a, b, c ở ừ ởt t t số

s ụ ở
ừ ởt t

a, b, c
a, b, c n ữỡ
a2, b2, c2 t ồ
a (p a) , b (p b) , c (p c) p ỷ
ma, mb, mc
h1 , h1 , h1
n

n




a

b

n

c

1
1
1
,

,

b+ c c + a a + b

ab, bc, ca ợ


min(A, B, C) 12

a, b, c số ữỡ tọ ka2 +qb2 > kqc2
ợ ồ k, q s k + q = 1 t a, b, c ở ừ ởt t
sỷ ai, bi, ci ừ t AiBiCi (i = 1, 2)
t a3 = a21 + a22, b3 = b21 + b22, c3 = c21 + c22 ụ ừ ởt
t
ỗ t ởt t ợ ữớ ha, hb, hc

ha ha
ha ha

1
+ ,

h
h
h
h
b

c


b

c


sỷ r1, r2, r3 số ữỡ tũ ỵ t tỗ t
t ởt t ợ ữớ trỏ t r1, r2, r3 õ
ữủ ợ a, b, c ữ s
a=

r1 (r2 + r3 )
,
r2 r3 + r3 r1 + r1 r2


ớ t t f (x), x > 0 tọ t t s
f (x) > 0, x > 0




0 < x < y f (x) < f (y)
f (x + y) f (x) + f (y), x, y > 0
F t ủ tt f (x) tọ t t tr
õ t q s
sỷ f (x) F a, b, c ừ ởt t t
f (a), f (b), f (c) ụ ừ ởt t
A, B, C õ ừ ởt t t số s
ụ ở ừ ởt t
sin A, sin B, sin C

cos A2 , cos B2 , cos C2
sin 2A, sin 2B, sin 2C ợ õ A, B, C ồ
cos A, cos B, sin C ợ õ A, B ồ
sin A2 , sin B2 , cos C2
a sin A, b sin B, c sin C ợ õ A, B, C ồ
a cosA, b cosB, c cosC ợ õ A, B, C ồ

ởt số ử ử
ứ ởt tự t tự t q ừ
ởt t t õ t ử t q ừ s t r
t ú t õ õ t õ ữ t
t ởt ữủ t r tứ ữỡ s t t ữợ
ởt số ử ồ
ử t ồ ha, hb, hc s h1b + h1c h1a
t s ổ tỗ t t õ ữớ ha, hb, hc t s t ữủ
t s
t
ự r ổ tỗ t t õ ữớ


ha = 1, hb = 5, hc = 1 + 5
ử t r a, b, c ừ ởt t t
a2 + b2 + c2 < 2 (ab + bc + ca) ử t
tự tr t õ ữủ ởt số t ợ s


✶✽

❇➔✐ t♦→♥ ✷✳✶✼✳ ❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤ r➡♥❣ ♥➳✉ ma, mb, mc ❧➔ ❜❛ ✤÷í♥❣ tr✉♥❣ t✉②➳♥


❝õ❛ ♠ët t❛♠ ❣✐→❝✱ t❤➻

m2a + m2b + m2c < 2(ma mb + mb mc + mc ma ).

❇➔✐ t♦→♥ ✷✳✶✽✳ ❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤ r➡♥❣ ♥➳✉ ha,

t❛♠ ❣✐→❝✱ t❤➻

hb , hc

❧➔ ❜❛ ✤÷í♥❣ ❝❛♦ ❝õ❛ ♠ët

1
1
1
1
1
1
+
+
<
2
+
+
ha hb hb hc hc ha
ha 2 hb 2 hc 2

t❤➻

.


❇➔✐ t♦→♥ ✷✳✶✾✳ ❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤ r➡♥❣ ♥➳✉ A, B, C ❧➔ ❜❛ ❣â❝ ❝õ❛ ♠ët t❛♠ ❣✐→❝
sin2 A + sin2 B + sin2 C < 2(sin A sin B + sin B sin C + sin C sin A).

❚❛ ❜✐➳t r➡♥❣✱ S = rp = r a + 2b + c ✈î✐ r ❧➔ ❜→♥ ❦➼♥❤ ✤÷í♥❣ trá♥ ♥ë✐ t✐➳♣ t❛♠
❣✐→❝✳
❱➟②
2
1
=
r2

1
1
1
+
+
ha hb hc

<4

1
1
1
+
+
ha hb hb hc hc ha

.


❚ø ❝→❝ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ♣❤è✐ ❤ñ♣ tr➯♥✱ t❛ ❝â ✤÷ñ❝ ❜➔✐ t♦→♥ ♠î✐✳
❇➔✐ t♦→♥ ✷✳✷✵✳ ❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤ r➡♥❣ ♥➳✉ ha, hb, hc ❧➔ ❜❛ ✤÷í♥❣ ❝❛♦ ❝õ❛ ♠ët
t❛♠ ❣✐→❝ ✈➔ r ❧➔ ❜→♥ ❦➼♥❤ ✤÷í♥❣ trá♥ ♥ë✐ t✐➳♣ t❛♠ ❣✐→❝✱ t❤➻
1
1
1
+
+
ha hb hb hc hc ha

❇➔✐ t♦→♥ ✷✳✷✶✳ ❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤ r➡♥❣ ♥➳✉ ha,

t❛♠ ❣✐→❝✱ t❤➻

>

1
.
4r2

hb , hc

ha hb
hb hc
hc ha
+
>
.
ha + hb hb + hc
hc + ha


❧➔ ❜❛ ✤÷í♥❣ ❝❛♦ ❝õ❛ ♠ët

✣à♥❤ ❧➼ ✷✳✶✶✳ ❧➔ ❦➳t q✉↔ tê♥❣ q✉→t✳ ❱î✐ ♠é✐ ❤➔♠ f ∈ F ❝ö t❤➸✱ t❛ ❝â
f (a), f (b), f (c) ❧➔ ❜❛ ❝↕♥❤ ❝õ❛ ♠ët t❛♠ ❣✐→❝✳ ❑❤✐ ✤â✱ t❛ ❝â ✤÷ñ❝ ♠ët ❜➔✐
t♦→♥ ♠î✐✳ ❉÷î✐ ✤➙② ❧➔ ♠ët sè ❤➔♠ f ∈ F ❝ö t❤➸✳
❱➼ ❞ö ✷✳✶✽✳ ❳➨t ❤➔♠ f (x) = x +x 1 , x > 0✳
⑩♣ ❞ö♥❣ ✣à♥❤ ❧➼ ✷✳✶✶✱ t❛ ❝â ✤÷ñ❝ ❜➔✐ t♦→♥ s❛✉✳
❇➔✐ t♦→♥ ✷✳✷✷✳ ❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤ r➡♥❣ ♥➳✉ a, b, c ❧➔ ❜❛ ❝↕♥❤ ❝õ❛ ♠ët t❛♠ ❣✐→❝✱
t❤➻
a
b
c
,
,
a+1 b+1 c+1


✶✾

❝ô♥❣ ❧➔ ❜❛ ❝↕♥❤ ❝õ❛ t❛♠ ❣✐→❝✳
❇➔✐ t♦→♥ ✷✳✷✸✳ ❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤ r➡♥❣ ♥➳✉ a,
✈➔ ha, hb, hc ❧➔ ❜❛ ✤÷í♥❣ ❝❛♦ t÷ì♥❣ ù♥❣✱ t❤➻

b, c

❧➔ ❜❛ ❝↕♥❤ ❝õ❛ ♠ët t❛♠ ❣✐→❝

1
1

1
,
,
1 + ha 1 + hb 1 + hc

❝ô♥❣ ❧➔ ❜❛ ❝↕♥❤ ❝õ❛ t❛♠ ❣✐→❝✳
❱➼ ❞ö ✷✳✶✾✳ ●✐↔ sû k ❧➔ sè ❝❤♦ tr÷î❝✱ t❤ä❛ ♠➣♥ 0 < k ≤ 1✳ ❳➨t ❤➔♠
f (x) = xk , x > 0✳
⑩♣ ❞ö♥❣ ✣à♥❤ ❧➼ 2.11✱ t❛ ❝â ❜➔✐ t♦→♥ s❛✉✿
❇➔✐ t♦→♥ ✷✳✷✹✳ ❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤ r➡♥❣ ♥➳✉ a, b, c ❧➔ ❜❛ ❝↕♥❤ ❝õ❛ ♠ët t❛♠ ❣✐→❝✱
t❤➻ ak , bk , ck ✱ ✈î✐ 0 < k ≤ 1✱ ❝ô♥❣ ❧➔ ❜❛ ❝↕♥❤ ❝õ❛ t❛♠ ❣✐→❝✳

◆❤➟♥ ①➨t✳ ❱î✐ k = n1 ✱ ♥ ♥❣✉②➯♥ ❞÷ì♥❣✱ ❦➳t q✉↔ ♥➔② ❝❤➼♥❤ ❧➔ ✣à♥❤ ❧➼ ✷✳✻ ✤➣

❜✐➳t✳

❱➼ ❞ö ✷✳✷✵✳ ❳➨t t❛♠ ❣✐→❝ ❝â ✤ë ❞➔✐ ❜❛ ❝↕♥❤ ❧➔ a, b, c ✈➔ t❛♠ ❣✐→❝ ✤➲✉ ❝â

✤ë ❞➔✐ ❝↕♥❤ ❧➔ 1✳ ⑩♣ ❞ö♥❣ ✣à♥❤ ❧➼ 2.8✱ t❛ ❝â ❜➔✐ t♦→♥ s❛✉
❇➔✐
t♦→♥ √✷✳✷✺✳ ❈❤ù♥❣
♠✐♥❤ r➡♥❣ ♥➳✉ a, b, c ❧➔ ❜❛ ❝↕♥❤ ❝õ❛ ♠ët t❛♠ ❣✐→❝✱
√
√
t❤➻ a2 + 1, b2 + 1, c2 + 1 ❝ô♥❣ ❧➔ ❜❛ ❝↕♥❤ ❝õ❛ t❛♠ ❣✐→❝✳ ❱æ ✈➔♥ ❜➔✐ t♦→♥
♠î✐ s➩ ✤÷ñ❝ t↕♦ r❛ ♥➳✉ t❛ t✐➳♣ tö❝ →♣ ❞ö♥❣ ❦➳t q✉↔ ❝õ❛ ❝→❝ ✤à♥❤ ❧➼ ✤➣ ♥➯✉✱ ♠➔
❝→❝ ✈➼ ❞ö tr➯♥ ❝❤➾ ♠î✐ ❧➔ ♠ët sè ➼t ❦➳t q✉↔ ♠✐♥❤ ❤å❛✳


✷✵


❈❍×❒◆● ✸

▼❐❚ ❙➮ P❍➆P ❇■➌◆ ✣✃■ ❑❍⑩❈
❚❘➊◆ ❚❆▼ ●■⑩❈
❈❤÷ì♥❣ ♥➔② ✤➲ ❝➟♣ ✤➳♥ ✈✐➺❝ →♣ ❞ö♥❣ ♠ët sè ♣❤➨♣ ❜✐➳♥ ✤ê✐ ❦❤→❝ tr➯♥ t❛♠
❣✐→❝✱ ✤➸ tø ❇➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ✤➣ ❜✐➳t t❛ t↕♦ r❛ ♥❤✐➲✉ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ♠î✐ t❤➸ ❤✐➺♥
❝→❝ ②➳✉ tè ❝õ❛ t❛♠ ❣✐→❝✳ ❈→❝ ❦✐➳♥ t❤ù❝ tr♦♥❣ ❝❤÷ì♥❣ ✤÷ñ❝ t❤❛♠ ❦❤↔♦ tr♦♥❣ ❝→❝
t➔✐ ❧✐➺✉ [1] ✈➔ [2]✳

✸✳✶✳ P❍➆P ❇■➌◆ ✣✃■ ❚❍Ù ◆❍❻❚

❍↕ M H ⊥ C1B1, (H ∈ C1B1)
❚❛ s➩ t❤➔♥❤ ❧➟♣ sü ❧✐➯♥ ❤➺ ❣✐ú❛ ❤❛✐ t❛♠ ❣✐→❝ ABC ✈➔ A1B1C1 ♥❤÷ s❛✉✿
✰✮ ❚ø (3.1), (3.2), (3.4)✱ ❝→❝ ②➳✉ tè tr♦♥❣ t❛♠ ❣✐→❝ A1B1C1 ✤÷ñ❝ t➼♥❤ t❤❡♦
❝→❝ ②➳✉ tè tr♦♥❣ t❛♠ ❣✐→❝ ABC ♥❤÷ s❛✉
Ra1 = da , Rb1 = db , Rc1 = dc ,
db dc
dc da
da db
, db1 =
, dc1 =
,
da1 =
Ra
Rb
Rc
aRa
bRb
cRc

a1 =
, b1 =
, c1 =
,
2R
2R
2R
❦➼♥❤ ✤÷í♥❣ trá♥ ♥❣♦↕✐ t✐➳♣ t❛♠ ❣✐→❝ ABC ✳

tr♦♥❣ ✤â R ❧➔ ❜→♥
✰✮ ❚ø (3.1), (3.3), (3.5)✱ ❝→❝ ②➳✉ tè tr♦♥❣ t❛♠ ❣✐→❝ ABC ✤÷ñ❝ t➼♥❤ t❤❡♦
❝→❝ ②➳✉ tè tr♦♥❣ t❛♠ ❣✐→❝ A1B1C1 ♥❤÷ s❛✉✿
Rb1 Rc1
Rc Ra
Ra Rb
, Rb = 1 1 , Rc = 1 1 ,
da1
da1
dc1
da = Ra1 , db = Rb1 , dc = Rc1 ,
a1 da1
b1 db1
c1 dc1
a=λ
, b=λ
, c=λ
,
Rb1 Rc1
Rc1 Ra1
Ra1 Rb1

Ra =


✷✶

tr♦♥❣ ✤â λ = 2R✳

✸✳✷✳ P❍➆P ❇■➌◆ ✣✃■ ❚❍Ù ❍❆■
P❤➨♣ ❜✐➳♥ ✤ê✐ ♥➔② →♣ ❞ö♥❣ t➼♥❤ ❝❤➜t ❝õ❛ ♣❤➨♣ ♥❣❤à❝❤ ✤↔♦✳

❑➨♦ ❞➔✐ ❝→❝ ✤♦↕♥ M A1,
t❤ä❛ ♠➣♥

M B1 , M C 1

✈➔ ❧➜② tr➯♥ ✤â ❝→❝ ✤✐➸♠ A2,

B2 , C2

✭✸✳✻✮
tr♦♥❣ ✤â k ❦❤æ♥❣ ✤ê✐ ❦❤→❝ 0 ❝❤♦ tr÷î❝ ✭❝â t❤➸ ✤✐➸♠ A2 t❤✉ë❝ ✤♦↕♥ M A1✮✳
❈→❝ ✤÷í♥❣ M A, M B, M C ❝➢t ❝→❝ ❝↕♥❤ ❝õ❛ t❛♠ ❣✐→❝ A2B2C2 ❧➛♥ ❧÷ñt t↕✐
❝→❝ ✤✐➸♠ D1, E1, F1✳ ❉➵ t❤➜② r➡♥❣ D1, E1, F1 ❝❤➼♥❤ ❧➔ ❝❤➙♥ ❝→❝ ✤÷í♥❣ ✈✉æ♥❣
❣â❝ ❤↕ tø M ①✉è♥❣ ❝→❝ ❝↕♥❤ B2C2, C2A2, A2B2✳ ❍ì♥ ♥ú❛ t❛ ❝â ✤➥♥❣ t❤ù❝
M A.M D1 = M B.M E1 = M C.M F1 = k 2
✭✸✳✼✮
❈❤å♥ k = 1✱ t❛ ❝â sü ❧✐➯♥ ❤➺ ❣✐ú❛ ❤❛✐ t❛♠ ❣✐→❝ ABC ✈➔ A2B2C2 ♥❤÷ s❛✉✿
✰✮ ❈→❝ ②➳✉ tè tr♦♥❣ t❛♠ ❣✐→❝ A2B2C2 ✤÷ñ❝ t➼♥❤ t❤❡♦ ❝→❝ ②➳✉ tè tr♦♥❣ t❛♠
❣✐→❝ ABC ♥❤÷ s❛✉
1

1
1
✭✸✳✶✹✮
Ra = , Rb = , Rc = ,
d
d
d
M A1 .M A2 = M B1 .M B2 = M C1 .M C2 = k 2 .

2

2

a

2

b

c

1
1
1
, db2 =
, dc2 =
,
Ra
Rb
Rc

ada
bdb
cdc
a2 = 2R2 .
, b2 = 2R2
, c2 = 2R2
.
Rb Rc
Rc Ra
Ra Rb
tr♦♥❣ t❛♠ ❣✐→❝ ABC ✤÷ñ❝ t➼♥❤ t❤❡♦ ❝→❝ ②➳✉ tè tr♦♥❣
da2 =

✰✮ ❈→❝ ②➳✉ tè
A2 B2 C2 ♥❤÷ s❛✉

Ra =

1
1
1
, Rb =
, Rc =
,
da2
db2
dc2

✭✸✳✶✺✮
✭✸✳✶✻✮

t❛♠ ❣✐→❝
✭✸✳✶✼✮


✷✷

✭✸✳✶✽✮

1
1
1
, db =
, dc =
,
Ra2
Rb2
Rc2
1 b2 Rb2
1 c2 Rc2
1 a2 Ra2
, b=
, c=
.
a=
2R2 db2 dc2
2R2 dc2 da2
2R2 da2 db2
da =

✭✸✳✶✾✮


✸✳✸✳ ▼❐❚ ❙➮ ❱➑ ❉Ö ⑩P ❉Ö◆●
❈❤♦ t❛♠ ❣✐→❝ ABC ✈➔ M ♥➡♠ tr♦♥❣ t❛♠ ❣✐→❝✳ ●å✐ A1, B1, C1 ❧➛♥ ❧÷ñt ❧➔
❝❤➙♥ ❝→❝ ✤÷í♥❣ ✈✉æ♥❣ ❣â❝ ❤↕ tø M ✤➳♥ ❝→❝ ❝↕♥❤ BC, CA, AB ✳ ✣➦t
M A = Ra , M B = Rb , M C = Rc ,
M A1 = da , M B1 = db , M C1 = dc .

❱➼ ❞ö ✸✳✶✳ ⑩♣ ❞ö♥❣ ✣à♥❤ ❧þ 1.8 ✭❇➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ❊r❞♦s✲▼♦r❞❡❧❧✮ ✈➔ sü ❧✐➯♥

❤➺ ❣✐ú❛ ❤❛✐ t❛♠ ❣✐→❝ ABC ✈➔ A1B1C1✳ ❚❛ ❝â ✤÷ñ❝ ❜➔✐ t♦→♥ ♠î✐ s❛✉✳
❇➔✐ t♦→♥ ✸✳✶✳ ❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ❝→❝ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ s❛✉
❛✮RaRbRc(da + db + dc) ≥ 2(RbRcdbdc + RcRadcda + RaRbdadb).
❜✮RbRc + RcRa + RaRb ≥ 2(Rada + Rbdb + RcRdc).
❝✮Rada + Rbdb + Rcdc ≥ 2(dbdc + dcda + dadb).
❱➼ ❞ö ✸✳✷✳ ⑩♣ ❞ö♥❣ ✣à♥❤ ❧þ 1.9 ✈➔ sü ❧✐➯♥ ❤➺ ❣✐ú❛ ❤❛✐ t❛♠ ❣✐→❝ ABC ✈➔
A1 B1 C1 ✳ ❚❛ ❝â ✤÷ñ❝ ❜➔✐ t♦→♥ ♠î✐ s❛✉✳
❇➔✐ t♦→♥ ✸✳✷✳ ❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ s❛✉
a+b+c≥2

aRa da bRb db cRc dc
+
+
Rb Rc
Rc Ra
Ra Rb

.

❱➼ ❞ö ✸✳✸✳ ⑩♣ ❞ö♥❣ P❤➨♣ ❜✐➳♥ ✤ê✐ t❤ù ❤❛✐✱ t❛ t❤❛② ❝→❝ ❜✐➸✉ ❞✐➵♥ t❤➸ ❤✐➺♥


sü ❧✐➯♥ ❤➺ ❣✐ú❛ ❤❛✐ t❛♠ ❣✐→❝ ABC ✈➔ A2B2C2 ✈➔♦ ❇➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ (1.31) ✈➔ t❛
t❤❛② ❝→❝ ❜✐➸✉ ❞✐➵♥ t❤➸ ❤✐➺♥ sü ❧✐➯♥ ❤➺ ❣✐ú❛ ❤❛✐ t❛♠ ❣✐→❝ ABC ✈➔ A1B1C1 ✈➔♦
❦➳t q✉↔ ✤â✱ t❛ ❝â ✤÷ñ❝ ❜➔✐ t♦→♥ ♠î✐ s❛✉✳
❇➔✐ t♦→♥ ✸✳✸✳ ❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ s❛✉
a
b
c
a
b
c
+
+
≥2
+
+
Ra da Rb db Rc dc
Rb Rc Rc Ra Ra Rb

.

❱➼ ❞ö ✸✳✹✳ ⑩♣ ❞ö♥❣ P❤➨♣ ❜✐➳♥ ✤ê✐ t❤ù ♥❤➜t✱ t❛ t❤❛② ❝→❝ ❜✐➸✉ ❞✐➵♥ t❤➸ ❤✐➺♥

sü ❧✐➯♥ ❤➺ ❣✐ú❛ ❤❛✐ t❛♠ ❣✐→❝ ABC ✈➔ A1B1C1 ✈➔♦ ❇➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ (1.31)✱ t❛ ❝â
✤÷ñ❝ ❜➔✐ t♦→♥ ♠î✐ s❛✉✳


✷✸

❇➔✐ t♦→♥ ✸✳✹✳ ❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ s❛✉
aRb Rc + bRc Ra + cRa Rb ≥ 2(aRa da + bRb db + cRc dc ).


❱➼ ❞ö ✸✳✺✳ ⑩♣ ❞ö♥❣ ❇ê ✤➲ 1.2 ✈➔ ❇➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ (1.32) t❛ ❝â ❜➔✐ t♦→♥ s❛✉✳
❇➔✐ t♦→♥ ✸✳✺✳ ❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ s❛✉

❛✮ Raα + Rbα + Rcα ≥ 2(daα + dbα + dcα)✱ ✈î✐ α ≥ 1✳
✣➥♥❣ t❤ù❝ ①↔② r❛ ❦❤✐ t❛♠ ❣✐→❝ ABC ✤➲✉ ✈➔ M ❧➔ trü❝ t➙♠ ❝õ❛ t❛♠ ❣✐→❝✳
❜✮ Raα + Rbα + Rcα ≥ 2α(daα + dbα + dcα)✱ ✈î✐ 0 < α ≤ 1✳
✣➥♥❣ t❤ù❝ ①↔② r❛ ❦❤✐ t❛♠ ❣✐→❝ ABC ✤➲✉ ✈➔ M ❧➔ trü❝ t➙♠ ❝õ❛ t❛♠ ❣✐→❝✳

❱æ ✈➔♥ ❜➔✐ t♦→♥ ♠î✐ s➩ ✤÷ñ❝ t↕♦ r❛ ♥➳✉ t❛ t✐➳♣ tö❝ →♣ ❞ö♥❣ ❦➳t q✉↔ ❝õ❛ ❝→❝
P❤➨♣ ❜✐➳♥ ✤ê✐ tr➯♥ t❛♠ ❣✐→❝ ✤➣ ♥➯✉✱ ♠➔ ❝→❝ ✈➼ ❞ö tr➯♥ ❝❤➾ ♠î✐ ❧➔ ♠ët sè ➼t ❦➳t
q✉↔ ♠✐♥❤ ❤å❛✳