BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

NGUYỄN TUẤN ANH

MỘT SỐ DẠNG TOÁN VỀ ĐẲNG THỨC
VÀ BẤT ĐẲNG THỨC TÍCH PHÂN

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Đà Nẵng – Năm 2013


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

NGUYỄN TUẤN ANH

MỘT SỐ DẠNG TOÁN VỀ ĐẲNG THỨC
VÀ BẤT ĐẲNG THỨC TÍCH PHÂN

Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp
Mã số: 60.46.40

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Người hướng dẫn khoa học: TS. LÊ HẢI TRUNG

Đà Nẵng – Năm 2013

LỜI CAM ĐOAN

Tôi cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi.
Các kết quả nêu trong luận văn là trung thực và chưa từng được ai
công bố trên bất kì công trình nào khác.

Người cam đoan

Nguyễn Tuấn Anh


MỤC LỤC
MỞ ĐẦU .......................................................................................................... 1
1. Lý do chọn đề tài ................................................................................... 1
2. Mục đích nghiên cứu ............................................................................. 1
3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu......................................................... 1
4. Phương pháp nghiên cứu ...................................................................... 2
5. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài .............................................. 2
6. Cấu trúc của luận văn ............................................................................ 2
CHƯƠNG 1. MỘT SỐ DẠNG TOÁN CƠ BẢN VỀ TÍCH PHÂN ........... 3
1.1. TÍCH PHÂN VÀ CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG .................. 3
1.1.1. Nguyên hàm và tích phân bất định ................................................. 3
1.1.2. Tích phân xác định .......................................................................... 3
1.1.3. Tích phân của một số hàm số sơ cấp .............................................. 6
1.2. MỘT SỐ DẠNG ĐẲNG THỨC TÍCH PHÂN KHÁC ........................... 22
1.2.1. Tích phân của hàm chẵn, hàm lẻ ................................................... 22
1.2.2. Tích phân của hàm tuần hoàn ....................................................... 26
1.2.3. Tích phân của các hàm số đặc biệt khác ....................................... 27
1.3. CÁC DẠNG TOÁN KHÁC CỦA TÍCH PHÂN ..................................... 34
1.3.1. Phương trình chứa tích phân ......................................................... 34

1.3.2. Tìm giới hạn tích phân .................................................................. 36
CHƯƠNG 2. BẤT ĐẲNG THỨC TÍCH PHÂN CƠ BẢN ....................... 38
2.1. ƯỚC LƯỢNG MỘT SỐ LỚP TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH ...................... 38
2.2. BẤT ĐẲNG THỨC TÍCH PHÂN CỔ ĐIỂN.......................................... 44
2.2.1. Một số bất đẳng thức tích phân cổ điển ........................................ 44
2.2.2. Các bất đẳng thức tích phân khác ................................................. 57
2.3. MỘT SỐ MỞ RỘNG CỦA CÁC ĐẠI LƯỢNG TRUNG BÌNH .......... 60
2.3.1. Định lý về đại lương trung bình .................................................... 60


2.3.2. Lớp các bài toán sử dụng định lý về đại lượng trung bình ........... 62
CHƯƠNG 3. MỘT SỐ ÁP DỤNG CỦA ĐẲNG THỨC VÀ BẤT ĐẲNG
THỨC TÍCH PHÂN ..................................................................................... 68
3.1. KHẢO SÁT PHƯƠNG TRÌNH .............................................................. 68
3.1.1. Về sự tồn tại nghiệm của phương trình......................................... 68
3.1.2. Giải phương trình .......................................................................... 70
3.2. KHẢO SÁT BẤT PHƯƠNG TRÌNH ..................................................... 74
3.2.1. Chứng minh bất đẳng thức ............................................................ 74
3.2.2. Tìm cực trị của hàm số .................................................................. 79
3.3. MỘT SỐ DẠNG TOÁN KHÁC .............................................................. 82
3.3.1. Ứng dụng cho một số bài toán tổ hợp ........................................... 82
3.3.2. Tính diện tích hình phẳng ............................................................. 85
3.3.3. Phương pháp tích phân trong các bài toán tính thể tích............... 91
KẾT LUẬN .................................................................................................. 101
DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO ................................................... 102
QUYẾT ĐỊNH GIAO ĐỀ TÀI LUẬN VĂN THẠC SĨ (bản sao)
PHỤ LỤC ..................................................................................................... 104


1


MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài
Tích phân có vị trí rất đặc biệt trong Toán học, không những như
là một đối tượng nghiên cứu trọng tâm của giải tích mà còn là công cụ
đắc lực trong Lý thuyết hàm, Lý thuyết phương trình hàm và nhiều lĩnh
vực khác: Xác suất, Thống kê, Thiên văn học, Cơ học, Y học,... Ngoài ra,
trong các kì thi học sinh giỏi Toán quốc gia, Olympic Toán sinh viên toàn
quốc thì các bài toán liên quan đến tích phân cũng hay được đề cập đến và
được xem như là những dạng toán khó. Đồng thời các bài toán liên quan
đến phép tính tích phân cũng nằm trong chương trình quy định của Hội
Toán học Việt Nam đối với các kì thi Olympic toán sinh viên thường niên
giữa các trường Đại học và Cao đẳng về Toán Cao cấp.
Lý thuyết và các bài toán về phép tính tích phân đã được đề cập ở
hầu hết các giáo trình cơ bản về giải tích. Tuy nhiên, các tài liệu hệ thống
về phép tính tích phân như là một chuyên đề chọn lọc cho giáo viên, học
sinh lớp 12 và sinh viên các trường kĩ thuật còn hạn chế và chưa được hệ
thống theo dạng toán cũng như phương pháp giải, đặc biệt là hệ thống các
dạng toán và ứng dụng của đẳng thức và bất đẳng thức tích phân.
Nhằm thực hiện mong muốn đóng góp của bản thân trong việc tìm
hiểu các dạng toán đẳng thức và bất đẳng thức trong tích phân và được
sự gợi ý của thầy giáo, TS. Lê Hải Trung, tác giả mạnh dạn lựa chọn Một
số dạng toán về đẳng thức và bất đẳng thức tích phân cho đề tài luận văn
thạc sĩ của mình.
2. Mục đích nghiên cứu
– Hệ thống lý thuyết phép tính tích phân hàm một biến.
– Xem xét và nghiên cứu một số dạng toán về đẳng thức và bất
đẳng thức tích phân thông qua các ví dụ cụ thể.
3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
3.1. Đối tượng nghiên cứu

Đối tượng nghiên cứu của đề tài là một số dạng toán về đẳng thức


2
và bất đẳng thức tích phân.
3.2. Phạm vi nghiên cứu
Lý thuyết phép tính tích phân hàm một biến và một số dạng toán
về đẳng thức và bất đẳng thức tích phân.
4. Phương pháp nghiên cứu
Trong quá trình thực hiện luận văn, tác giả có sử dụng kiến thức
liên quan đến các lĩnh vực sau đây: Giải tích hàm một biến, Đại số ...
5. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài
Luận văn là một tài liệu tham khảo có giá trị cho giáo viên và học
sinh khối PTTH trong việc học tập, nâng cao kiến thức và bồi dưỡng học
sinh giỏi.
6. Cấu trúc của luận văn
Ngoài phần Mở đầu và Kết luận, luận văn được chia thành ba
chương đề cập đến các vấn đề sau đây:

• Chương 1 – Trình bày các tính chất cơ bản của nguyên hàm và tích
phân hàm một biến thực, một số dạng toán cơ bản về tích phân.
• Chương 2 – Trình bày một số bất đẳng thức tích phân cơ bản.
• Chương 3 – Trình bày một số ứng dụng của đẳng thức và bất đẳng
thức tích phân.
• Tài liệu tham khảo – Bao gồm 10 đề mục sách.
• Phụ lục – Trình bày bảng các nguyên hàm cơ bản.
Các định nghĩa, định lý, ví dụ trong các chương được đánh theo
quy tắc: số chương. số định nghĩa (hoặc định lý, ví dụ).



3

CHƯƠNG 1

MỘT SỐ DẠNG TOÁN CƠ BẢN VỀ
TÍCH PHÂN
1.1. TÍCH PHÂN VÀ CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI TƯƠNG
ĐƯƠNG
1.1.1. Nguyên hàm và tích phân bất định
Định nghĩa 1.1. Giả sử hàm số y = f (x) xác định trên khoảng Ω ⊂ R,
khi đó hàm số F (x) là một nguyên hàm của hàm số y = f (x) khi và chỉ
khi F (x) = f (x), ∀x ∈ Ω.
Định lý 1.1. (Về sự tồn tại nguyên hàm) Mọi hàm liên tục trên [a; b] đều
có nguyên hàm trên (a; b).
Định lý 1.2. Nếu F (x) là nguyên hàm của f (x) thì F (x) + C, C ∈ R
cũng là nguyên hàm của f (x).
Định nghĩa 1.2. Tập hợp các nguyên hàm của hàm số y = f (x) trên
khoảng Ω gọi là tích phân bất định của hàm số y = f (x) trên khoảng đó
và được kí hiệu là

f (x)dx.
Chú ý 1.1. Nếu không có chú thích gì thêm thì nguyên hàm và tích phân
bất định của các hàm số đang khảo sát đều được xét trên cùng một tập
xác định D cho trước và các hàm số đều là những hàm nhận giá trị thực.
1.1.2. Tích phân xác định
Định nghĩa 1.3. Cho hàm số y = f (x) xác định trên [a; b]. Chia đoạn
[a; b] thành n đoạn nhỏ bởi các điểm chia xi (i = 0, ..., n) :

a = xo < x1 < x2 < x3 < ... < xn−1 < xn = b.



4
(Mỗi phép chia như thế được gọi là một phép phân hoạch đoạn [a; b], kí
hiệu là )
Đặt ∆xi = xi − xi−1 và d( ) = max ∆xi , 1 ≤ i ≤ n.
Trên mỗi
đoạn [xi−1 ; xi ], ta lấy một điểm tùy ý ξi (i = 1, ..., n) và lập tổng
n

σΠ =

f (ξi )∆xi .

(1.1)

i=1

Tổng (1.1) được gọi là tổng tích phân của hàm số y = f (x) ứng với
phép phân hoạch .
Nếu giới hạn
n

I = lim σΠ = lim
d(Π) →0

d(Π) →0

f (ξi ) ∆xi
i=1


tồn tại, không phụ thuộc vào phép phân hoạch đoạn [a;b] và cách chọn
điểm ξi thì giới hạn đó được gọi là tích phân xác định của hàm số y = f (x)
trên [a; b] và kí hiệu là
b

I=

n

f (x)dx = lim
d(

a

) →0

f (ξi )∆xi .
i=1

Khi đó hàm số y = f (x) được gọi là khả tích trên [a;b].
Định lý 1.3. (Điều kiện khả tích) Các hàm liên tục trên [a; b], các hàm
bị chặn có hữu hạn điểm gián đoạn trên [a; b] và các hàm đơn điệu bị chặn
trên [a; b] đều khả tích trên [a; b].
Định lý 1.4. (Công thức Newton-Leibnitz) Nếu hàm số y = f (x) liên tục
trên [a; b] và F (x) là một nguyên hàm của nó trên đoạn đó thì
b

f (x)dx = F (b) − F (a).
a



5
Chứng minh. Theo Định lý 1.2, tồn tại C ∈ R sao cho F (x) = φ(x) + C ,
x

trong đó φ(x) =

f (t)dt.. Khi đó
a
b

F (b) = φ(b) + C =

f (t)dt + C
a

F (a) = φ(a) + C = C.
b

f (x)dx = F (b) − F (a).

Vậy
a

Chú ý 1.2. Tích phân xác định không phụ thuộc vào việc lựa chọn biến
lấy tích phân, nghĩa là:
b

b


f (x)dx =
a

f (t)dt.
a

Định lý 1.5. (Một số đẳng thức tích phân cơ bản)
a

f (x)dx = 0;

1)
a
b

a

f (x)dx = − f (x)dx;

2)
a
b

b
c

f (x)dx =

3)
a

b

b
c
b

[f (x) ± g(x)] dx =

4)
a
b

b

f (x)dx ±
a

g(x)dx;
a

b

f (x)dx, ∀k = 0.

kf (x)dx = k

5)

f (x)dx, ∀c ∈ (a; b) ;


f (x)dx +
a

a

a

Định lý 1.6. (Quy tắc đổi biến số)
Cho y = f (x) liên tục trên [a; b] và hàm x = ϕ(t) khả vi, liên tục
trên [α; β] và min ϕ(t) = a; max ϕ(t) = b; ϕ(α) = a; ϕ(β) = b. Khi đó
t∈[α,β]

t∈[α,β]
β

b

f (x)dx =
a

f [ϕ(t)]ϕ (t)dt.
α


6
Chứng minh. Nếu F (x) là một nguyên hàm của f (x) thì F [ϕ(t)] là một
nguyên hàm của f [ϕ(t)]ϕ (t). Áp dụng công thức Newton - Leibnitz, ta có
b

f (x)dx = F (x)|ba = F (b) − F (a).

a
β

f [ϕ(t)]ϕ (t)dt = F [ϕ(t)]|βα = F [ϕ(β)] − F [ϕ(α)] = F (b) − F (a).
α

Suy ra
β

b

f [ϕ(t)]ϕ (t)dt.

f (x)dx =
α

a

Định lý 1.7. (Quy tắc tính tích phân từng phần)
Giả sử hàm số u(x), v(x) khả vi, liên tục trên [a; b]. Khi đó
b

b

u(x)v (x)dx = u(x)v(x)|ba −
a

v(x)u (x)dx.
a


Chứng minh. Ta có [u(x)v(x)] = u (x)v(x) + u(x)v (x).
Suy ra
b

u(x)v(x)|ba

=

b

u (x)v(x)dx +
a

u(x)v (x)dx.
a

hay
b

b

u(x)v (x)dx =

u(x)v(x)|ba

a

−

v(x)u (x)dx.

a

1.1.3. Tích phân của một số hàm số sơ cấp
a. Tích phân hàm hữu tỉ
Xét tích phân
β
∗

I =
α

P ∗ (x)
dx,
Q(x)


7
với P ∗ (x), Q(x) là các đa thức với hệ số thực.
Nếu degP ∗ (x) ≥ degQ(x) thì thực hiện phép chia đa thức ta được

P ∗ (x)
P (x)
= R(x) +
,
Q(x)
Q(x)
với P (x), Q(x), R(x) là các đa thức với hệ số thực và degP (x) < degQ(x).
Khi đó
β


∗

P (x)
dx =
Q(x)
α

β

β

P (x)
dx.
Q(x)

R(x)dx +
α

α
β

R(x)dx nên việc tính I ∗ =

Vì ta có thể dễ dàng tính được
α
β

∗

β


P (x)
P (x)
dx được đưa về tính I =
dx, với degP (x) < degQ(x).
α Q(x)
α Q(x)
Do đó, ta chủ yếu quan tâm đến các phân thức thức sự (các phân
thức mà bậc tử thức nhỏ thua bậc mẫu thức) và việc tính tích phân của
các phân thức thực sự quy về tính tích phân của các phân thức cơ bản
dạng:
A
A
i)
, k ≥ 2;
;
ii)
x−a
(x − a)k
Mx + N
Mx + N
iii) 2
;
iv) 2
, k ≥ 2.
x + px + q
(x + px + q)k
P (x)
Mỗi phân thức thực sự dạng
đều có thể phân tích được thành

Q(x)
tổng các phân thức cơ bản dạng
P (x)
Am
Am−1
A1
=
+
...
+
+ ...
m +
Q(x) (x − a)
x−a
(x − a)m−1
Bm−1
B1
Bm
... +
+ ...
m +
m−1 + ... +
(x − b)
x−b
(x − b)
Cλ x + Dλ
Cλ−1 x + Dλ−1
C1 x + D1
... +
+

+ ... + 2
+ ...
λ
λ−1
x + px + q
(x2 + px + q)
(x2 + px + q)
Eµ−1 x + Fµ−1
Eµ x + Fµ
E 1 x + F1
... + 2
+
+
...
+
,
(x + rx + s)µ (x2 + rx + s)µ−1
x2 + rx + s


8
trong đó Ai , Bi , Ci , Di , Ei , Fi là các số thực và x2 + px + q, x2 + rx + s là
những tam thức bậc hai không có nghiệm thực.

Ví dụ 1.1. Tính tích phân
1

3x + 4
dx.
x2 + x − 6


I=
0

Lời giải. Ta có

3x + 4
3x + 4
A
B
=
=
+
.
x2 + x − 6 (x − 2) (x + 3) x − 2 x + 3
Suy ra 3x + 4 = A(x − 2) + B(x + 3).
Từ đó, ta tìm được A = 2, B = 1. Khi đó
1

1

1
2
+
dx = 2
x−2 x+3

I=

1


dx
+
x−2
0

0

= (2 ln |x − 2| + ln |x +

3|)|10

dx
x+3
0

= − ln 3.

Ví dụ 1.2. Tính tích phân
1

I=

3x2 − x − 5
dx.
x3 − x2 − 8x + 12

0

Lời giải. Ta có


A
B
3x2 − x − 5
3x2 − x − 5
C
=
=
+
+
.
x3 − x2 − 8x + 12 (x − 2)2 (x − 3) (x − 2)2 x − 2 x + 3
Suy ra 3x2 − x − 5 = A(x + 3) + B(x − 2)(x + 3) + C(x − 2)2 .
Từ đó, ta tìm được A = 1, B = 2, C = 1. Khi đó
1

I=
0

1
2
1
+
2 +
x−2 x+3
(x − 2)

dx



9
1

=
0

=

1

1
dx + 2
(x − 2)2

1

1
dx +
x−2
0

1
dx
x+3
0

1
−
+ 2 ln |x − 2| + ln |x + 3|
x−2


1
0

1
= − − ln 3.
2

Ví dụ 1.3. Tính tích phân
1

I=

3x2 + x − 2
dx.
x4 + x2 + 1

0

Lời giải. Ta có

3x2 + x − 2
3x2 + x − 2
Ax + B
Cx + D
=
=
+
.
x4 + x2 + 1

(x2 − x + 1) (x2 + x + 1) x2 − x + 1 x2 + x + 1
Suy ra

3x2 +x−2 = (A + C) x3 +(A+B−C+D)x2 +(A + B + C − D) x+B+D.
Từ đó, ta tìm được A = 2, B = −1, C = −2, D = −1. Khi đó
1

I=

1

2x + 1
2x − 1
−
dx =
x2 − x + 1 x2 + x + 1
0

0
2

2

= ln x − x + 1 − ln x + x + 1

1
0

1


(2x − 1)dx
−
x2 − x + 1

(2x + 1)dx
x2 + x + 1
0

= − ln 3.

Ví dụ 1.4. Tính tích phân
1

I=
0

3x3 + 8x2 + 15x + 14
dx.
(x − 2) (x2 + 2x + 2)2

Lời giải. Ta có

A
3x3 + 8x2 + 15x + 14
Bx + C
Dx + E
=
+
+
.

x − 2 x2 + 2x + 2 (x2 + 2x + 2)2
(x − 2)(x2 + 2x + 2)2
Suy ra

3x3 + 8x2 + 15x + 14 = (A + B)x4 + (4A + C)x3 + (8A − 2B + D)x2


10
+(8A − 4B − 2C − 2D + E)x + 4A − 4C − 2E.
Từ đó, ta tính được A = 1, B = −1, C = −1, D = −2, E = −3.
Khi đó
1

1
x+1
2x + 3
− 2
−
dx
x − 2 x + 2x + 2 (x2 + 2x + 2)2

I=
0

1

1

=


0

0

1

(x + 1)dx
−
x2 + 2x + 2

dx
−
x−2
0

0

(2x + 3)dx
(x2 + 2x + 2)2

0
1

1

=

1

(x + 1)dx

−
x2 + 2x + 2

dx
−
x−2

1

(2x + 2)dx
−
(x2 + 2x + 2)2

0

= ln |x − 2| − ln x2 + 2x + 2 +

x2

1
+ 2x + 2

dx
(x2 + 2x + 2)2

0
1

1


−
0

0

dx
(x2 + 2x + 2)2

1

= − ln 5 −

dx
3
=
−
ln
5
−
− J.
10
(x2 + 2x + 2)2

3
−
10
0

Tính tích phân
1


J=
0

1

dx
=
(x2 + 2x + 2)2

dx
2

0

(x + 1) + 1

Đặt t = x + 1 ⇒ dt = dx.
Đổi cận x = 0 ⇒ t = 1, x = 1 ⇒ t = 2. Khi đó
2

J=
1

dt
.
(t2 + 1)2

dy
.

cos2 y
π
Đổi cận t = 1 ⇒ y = , t = 2 ⇒ y = arctan 2.
4
Đặt t = tan y ⇒ dt =

2.


11
Suy ra
arctan 2

arctan 2

1

1
.
dy =
2
(tan2 y + 1) cos2 y

J=
π
4

arctan 2

=

π
4

1
=
2

π
4

1
1
cos2 y

2.

1
dy
cos2 y

arctan 2

1
cos2 ydy =
2
1
y + sin2y
2

(1 + cos 2y) dy

π
4

arctan 2

=
π
4

1
π
1
arctan 2 − −
.
2
4 10

Suy ra

3
1
π
1
−
arctan 2 − −
10 2
4 10
π
1 1
= − ln 5 − − arctan 2.

8
4 2

I = − ln 5 −

Nhận xét 1.1. Để tính tích phân dạng

I=

mx + n
dx
(ax2 + bx + c)r

thì ta biến đổi về dạng

I=

m
2a

2ax + b
1
mb
n−
r dx +
+ bx + c)
a
2a

(ax2


(x2

dx
.
+ α2 )r

dx
, ngoài cách đặt x = α tan t,
+ α2 )r
ta có thể sử dụng phương pháp tích phân từng phần.
Để tính tích phân dạng

(x2

Chú ý 1.3. Để tính tích phân hàm phân thức hữu tỉ thì ta làm như sau:

• Phân tích hàm phân thức hữu tỉ thành tổng của các phân thức đơn
giản.
• Lấy tích phân sau khi đã phân tích.


12
Tuy nhiên, trong một số trường hợp, ta còn có thể sử dụng phương
pháp đổi biến hoặc phương pháp tích phân từng phần để tính tích phân
nhanh hơn nhiều.
b. Tích phân hàm số chứa căn thức
Xét tích phân
b
r


m

R x, x n , ..., x s dx,
a

với m, n, ..., r, s là các số nguyên dương.
Giả sử k là bội số chung nhỏ nhất của các số n, ..., s. Khi đó, ta có

r
r1
m m1
=
, ..., = .
n
k
s
k
Đặt x = tk . Ta có
√
k

b
m
n

R x, x , ..., x

r
s


R tk , tm1 , ..., tr1 dt =

dx =
√
k

a

√
k

b

R1 (t) dt
√
k

a

b

a

trong đó, R1 (t) là hàm phân thức hữu tỉ theo t.
Ví dụ 1.5. Tính tích phân
1

I=


√
3
√

0

x+1
√
dx.
3
x + x2

Lời giải. Ta có
1

1

x3 + 1

I=

1

0

1

x x− 2 + x− 3

dx.


Do BSCN N (2; 3) = 6 nên ta đặt x = t6 ⇒ dx = 6t5 dt.
Đổi cận x = 0 ⇒ t = 0, x = 1 ⇒ t = 1. Khi đó


13

1

1

2

4

t +1 5
.6t dt = 6
t4 + t3

I=
0

=6

1

2

t +t
dt = 6

t+1
0

t3 − t2 + 2t − 2 +
0
1

t4 t3
− + t2 − 2t + 2 ln |t + 1|
4
3

= 12 ln 2 −
0

2
dt
t+1

13
.
2

Ví dụ 1.6. Tính tích phân
6

dx
3
3
2


.

(x − 5)(x + 2)

2

Lời giải. Ta có
6
3

x+2 1
.
dx.
x−5 x+2

3
2

x+2
5t3 + 2
−21t2
x+2
3
⇔t =
⇒x= 3
⇒ dx =
.
Đặt t =
x−5

x−5
t −1
(t3 − 1)2
3
Đổi cận x = ⇒ t = −1, x = 6 ⇒ t = 2. Khi đó
2
3

2

I=
−1

2

1
−21t2
dt
.
dt
=
−3
t.
t3 − 1
7t3 (t3 − 1)2
−1
t3 − 1

2


2

1
t+2
−
+ 2
dt =
t−1 t +t+1

=
−1
2

1
1 2t + 1
3
1
+ . 2
+ . 2
dt
t−1 2 t +t+1 2 t +t+1

−1
2

2

1
1 2t + 1
3

−
+ . 2
dt +
t−1 2 t +t+1
2

=
−1

1
1 (2t + 1) + 3
+
dt
t − 1 2 t2 + t + 1

−1

−

=

−

dt
−1

1
t+
2


√

2

+

3
2

2


14
2

1 t2 + t + 1 √
2t + 1
=
ln
3 arctan √
2 +
2
3
(t − 1)
√
√ −1
√
1
π 3
5 3

= ln 7 + ln 2 +
+ 3 arctan
.
2
6
3
Nhận xét 1.2. Để tính tích phân dạng

ax + b
R x;
cx + d

m
n

ax + b
, ...,
cx + d

r
s

dx

trong đó m, n, ..., r, s là các số nguyên dương; a, b, c, d là các hằng số.
ax + b
Đặt
= tk , trong đó k là bội số chung nhỏ nhất của bộ số
cx + d
{n, ..., s}, ta thu được

m
n

ax + b
R x;
cx + d

ax + b
, ...,
cx + d

r
s

dx =

R1 (t) dt.

trong đó R1 (t) là một hàm phân thức hữu tỉ đối với t.
Ví dụ 1.7. Tính tích phân
1

I=
0

(2x + 5)
√
dx.
(x + 2) x2 + 4x + 5


Lời giải. Ta có
1

2 (x + 2) + 1
√
dx
(x + 2) x2 + 4x + 5

I=
0

1

=2
0

1

dx
√
+
x2 + 4x + 5

0

dx
√
= 2I1 + I2 .
(x + 2) x2 + 4x + 5


Tính tích phân
1

I1 =
0

1

dx
√
=
x2 + 4x + 5

dx
0

(x + 2)2 + 1


15
1
2

= ln (x + 2) +

(x + 2) + 1
0

√
3 + 10

√ .
= ln
2+ 5

Tính tích phân
1

I2 =
0

dx
√
.
(x + 2) x2 + 4x + 5

1 − 2t
−dt
1
⇔x=
⇒ dx = 2 .
t
t
t
1
1
Đổi cận x = 0 ⇒ t = , x = 1 ⇒ t = . Khi đó
2
3
Đặt x + 2 =


1
3

1
2

−dt
dt
= √
1 2 1
t2 + 1
1
1
.t
.
+
1
2
3
t
t2
√
1
√
5
3
+
3
2
√ .

= ln t + t2 + 1 1 = ln
2 + 2 10
3

I2 =

Suy ra

√
√
√
√
10
3
+
3
5
19
+
6
3 + 10
3+3 5
√ + ln
√ = ln
I = ln
.
√
√
2+ 5
2 + 2 10

2 + 5 2 + 2 10
Nhận xét 1.3. Để tính tích phân dạng

I=

mx + n
√
dx
(px + q) ax2 + bx + c

thì ta biến đổi về dạng

I=

m
p

√

dx
mq
+ n−
p
ax2 + bx + c

dx
√
.
(px + q) ax2 + bx + c


dx
thì ta tách bình phương
ax2 + bx + c
đủ trong tam thức bậc hai rồi đưa về tính các tích phân cơ bản dạng
Để tính tích phân dạng

√

√

dx
x
= arcsin + C
a
a2 − x 2


16
và dạng

√
dx
√
= ln x + x2 + α + C.
2
x +α
Để tính tích phân dạng
dx
√
,

(px + q) ax2 + bx + c

ngoài cách giải bằng phép thế lượng giác, ta còn có thể giải bằng các
√
√
1
đặt t = ax2 + bx + c hoặc = ax2 + bx + c hoặc t = mx + n hoặc
t
1
= mx + n.
t
Ngoài ra, ta còn có thể sử dụng phương pháp thế Euler để khử
√
√
ax2 + bx + c trong các tích phân dạng R x; ax2 + bx + c dx bằng
các cách đổi biến số sau:
√
√
• Đặt ax2 + bx + c = t ± ax nếu a > 0.
√
√
• Đặt ax2 + bx + c = t ± c nếu c > 0.
√
• Nếu ax2 + bx + c có nghiệm là x0 thì đặt ax2 + bx + c = t (x − x0 ).
Ví dụ 1.8. Tính tích phân
0

I=
−1


1+

Lời giải. Do a = 1 > 0 nên ta đặt

√

dx
.
x2 + 2x + 2

√

x2 + 2x + 2 = x + t. Ta có

−t2 − 2t + 2
t2 − 2
x + 2x + 2 = (x + t) ⇒ x =
⇒ dx =
dt.
2 (1 − t)
2(1 − t)2
√
Đổi cận x = −1 ⇒ t = 2, x = 0 ⇒ t = 2. Khi đó
2

2

−t2 − 2t + 2
2
2

2
2
2
t − 2t + 2
1
2(1 − t)
dt =
dt =
− 2
2
2
t (t − 1)
t−1 t
t −2
√
√
1+
+t
2
2
2 (1 − t)
√
√
2 2
ln |t − 1| +
=
1
−
2
−

ln
2−1 .
t √2

√

I=
2

=

2

dt


17
Ví dụ 1.9. Tính tích phân
1

0

3x + 4
√
dx.
(x2 + 2x + 3) x2 + 2x + 4

Lời giải. Ta có
1


[3 (x + 1) + 1] dx

I=

(x + 1)2 + 2

0

(x + 1)2 + 3

1

1

(x + 1) dx

=3

(x + 1)2 + 3

(x + 1)2 + 2

0

dx

+
0

(x + 1)2 + 2


(x + 1)2 + 3

Đặt y = x + 1 ⇒ dy = dx.
Đổi cận x = 0 ⇒ y = 1, x = 1 ⇒ y = 2. Khi đó
2

2

I=3
1

ydy
+
(y 2 + 2) y 2 + 3

1

dy
= 3I1 + I2 .
(y 2 + 2) y 2 + 3

Tính tích phân
2

ydy
.
(y 2 + 2) y 2 + 3

I1 =

1

y 2 + 3 ⇒ t2 = y 2 + 3 ⇔ y 2 = t2 − 3 ⇒ ydy = tdt.
√
Đổi cận y = 1 ⇒ t = 2, y = 2 ⇒ t = 7. Khi đó

Đặt t =
√

√

7

tdt
=
(t2 − 1) t

I1 =
2

7

√

dt
1
t−1
=
ln
(t2 − 1) 2

t+1

2

Tính tích phân
2

I2 =
1

dy
.
(y 2 + 2) y 2 + 3

2

7

√
1 3 7−3
= ln √
.
2
7+1


18
Đặt yu =

y 2 + 3 ⇒ y 2 u2 = y 2 + 3 ⇒ y 2 =


−3udu
.
(u2 − 1)2

√
7
2

2

3
⇒ ydy =
−1

√

Đổi cận y = 1 ⇒ u = 2, y = 2 ⇒ u =

I2 =

u2

2

−du
3
u2 −1

(u2


+2

7
. Khi đó
2

=
− 1)

√
1
= √ arctan u 2
2 2

2
√

7
2

√

7
2

2

1
dt

dt
=
2u2 + 1 2 √ u2 +

1
= √
2 2

7
2

1
2

√
arctan 2 2 − arctan

√

14
2

Suy ra

√
√
√
3 3 7−3
14
1

I = ln √
arctan 2 2 − arctan
+ √
2
2
7+1
2 2
√
√
√
7−1
1
14
arctan 2 2 − arctan
= 3 ln
+ √
.
2
2
2 2
Nhận xét 1.4. Để tính tích phân dạng

I=

mx + n
√
dx
(ax2 + b) cx2 + d

thì ta biến đổi về dạng


I=m

xdx
√
+n
(ax2 + b) cx2 + d

dx
√
.
(ax2 + b) cx2 + d

Để tính tích phân dạng

xdx
√
(ax2 + b) cx2 + d
√
thì ta đặt t = cx2 + d.
Để tính tích phân dạng
dx
√
(ax2 + b) cx2 + d

.


19
√

thì ta đặt xt = cx2 + d.
c. Tích phân hàm lượng giác
Xét tích phân dạng

I=

R (sin x, cos x) dx.

x
Đặt t = tan . Khi đó
2
I=

R

2t 1 − t2
,
1 + t2 1 + t2

.

2dt
.
1 + t2

Nếu hàm R(u, v) có các tính chất đặc biệt như:

• R(−u, −v) = R(u, v) thì ta dùng phương pháp đổi biến t = tan x
hoặc t = cot x.
• R(u, −v) = −R(u, v) thì ta dùng phương pháp đổi biến t = sin x.

• R(−u, v) = −R(u, v) thì ta dùng phương pháp đổi biến t = cos x.
Ví dụ 1.10. Tính tích phân
π
3

√
3

I=
π
4

sin xdx
sin2 xcos7 x

.

Lời giải. Ta có

R (sin x, cos x) = √
3

sin xdx
sin2 xcos7 x

⇒ R (− sin x, − cos x) = R (sin x, cos x) .

Khi đó
π
3


I=
π
4
π
3

=
π
4

sin xdx
√
=
3
cos3 x tan2 x
tan xd (tan x)
=
2
tan 3 x

π
3

π
4
π
3

cos x tan xdx

√
=
3
cos3 x tan2 x

π
4

tan xdx
√
3
cos2 x tan2 x

4
3
tan xd (tan x) = tan 3 x
4
1
3

π
4

π
3

π
3

=

π
4

√
3
3
1− 9 .
4


20
Ví dụ 1.11. Tính tích phân
π
6

(sin3x)3

I=
3

0

dx.
2

(cos 3x)

Lời giải. Ta có
π
6


π
6
2

2

(sin3x)3 (cos 3x) 3 dx =

I=
0

=−

(cos 3x) 3 (sin3x)2 sin3xdx
0

π
6

1
3

2

(cos 3x) 3 1 − cos2 3x d (cos 3x)
0

=−


π
6

1
3

2

8

(cos 3x) 3 −cos 3 3x d (cos 3x)
0

5
11
1
1
= − (cos 3x) 3 + (cos 3x) 3
5
11

π
6

=
0

6
.
55


Nhận xét 1.5. Để tính tích phân dạng

I=

sinm xcosn xdx

thì ta có thể đặt ẩn phụ dựa theo các đặc thù chẵn, lẻ của các lũy thừa,
cụ thể:

• Nếu m hoặc n là số dương lẻ, chẳng hạn m là số dương lẻ thì ta đặt
t = cos x (n là số dương lẻ thì ta đặt t = sin x).
• Nếu m, n đều chẵn và một trong hai số đó là số âm thì ta đặt t = tan x.
• Nếu m, n đều là các số dương chẵn thì ta dùng các công thức biến đổi
sau:
sin2 x =

1 + cos 2x
1
1 − cos 2x
, cos2 x =
, sin x cos x = s in2x.
2
2
2