Trƣờng THPT Phan Châu Trinh- Năm 2016-2017

BÀI TẬP VÀ PHƢƠNG PHÁP GIẢI HÀM SỐ LIÊN TỤC
A. Lý thuyết
f  x   f  x0 
- Hàm số liên tục tại x0  xlim
x
0

f  x   lim f  x   f  x0 
Hay xlim
x
xx

0


0

- Hàm sô f(x) gián đoạn tại x0 khi thỏa mãn 1 trong 3 điều kiện:
+ f  x  không xác định tại x0 ( x0 không thuộc tập xác định)
+ f  x  không có giới hạn hoặc có giới hạn vô hạn khi

x  x0

f  x  nhưng lim f  x   f  x0 
+  xlim
x
x x
0

0

B. Bài tập
Dạng 1: Xét tính liên tục tại một điểm
Bƣớc 1: Tính f  x0 
f  x  (dấu ≠0) hoặc lim f  x  ; lim f  x  ( dấu <;>)
Bƣớc 2: Tính xlim
x
x x
x x

0

0


0

f  x  và f  x0  rồi rút ra kết luận
Bƣớc 3: so sánh xlim
x
0

 x 2  3x  2

1. f  x    x  2
1


khi x  2


tại x0  2

khi x=2

Giải:
+ f(2)=1
x 2  3x  2
 x  1 x  2   lim x  1  1
lim
f
x

lim

lim


 
+ x2
x2
x2
x2
x2
x2

GV: Nguyễn Thị Tâm


Trƣờng THPT Phan Châu Trinh- Năm 2016-2017


f  x  =f(2)=1. Vậy hàm số liên tục tại x0  2
Vì lim
x2
 x2  4 x  3
khi x>3

2. f  x    x  3
tại x0  3
2 x  4
khi x  3


Giải:
+ f  3  2
x2  4 x  3
 x  1 x  3  lim x  1  2
lim
f
x

lim

lim


 
+ x3
x3
x3

x3
x 3
x 3
lim f  x   lim  2 x  4   2

x3

x3

f  x   lim f  x   f  3  2
Suy ra xlim
3
x3




Vậy hàm số liên tục tại x0  3
3.

1  2 x  3

f  x   2  x
2


khi x  2

tại x0  2


khi x=2

Giải:
+ f  2  2

x 2

+







1 2x  3 1 2x  3
22  x
1 2x  3
 lim
= lim
x 2
x 2
x 2
x2
 x  2 1  2x  3
 2  x 1 2x  3

lim f  x   lim

2

1
x 2 1 
2x  3

 lim

f  x   f  2
Suy ra lim
x2

Vây hàm số bị gián đoạn tại x0  2
GV: Nguyễn Thị Tâm










Trƣờng THPT Phan Châu Trinh- Năm 2016-2017

 x 4  x 2  1 khi x  -1
4. f  x   
tại x0  1
khi x>-1
3x  2


+ f  1  1
f  x   lim  x 4  x 2  1  1 ; lim f  x   lim  3x  2   1
+ xlim
x1
x1
1
x1








f  x   lim f  x 
Vì xlim
1
x1




Vậy hàm số gián đoạn tại x0  1
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Xét tính liên tục của hàm số f tại x0
 x3  x 2  x  1
khi x  1

1. f  x    x 2  3x  2

tại x0  1, x0  2
1
khi x=1


 x3  8

2. f  x    4 x  8
3


khi x  -2

tại x0  2

khi x=-2

 x  6x  5
khi x  1
 x 2  1
f  x  
 1
khi x=1
 2
2

3.

tại


x0  1

 x 5
 2 x  1  3 khi x>5
f
x




5.
tại x0  5
 x  5 2  3 khi x  5


7.

 5x  6  6
khi x  6

x

6
f  x  
Taï x0  6
5

khi x  6

12


GV: Nguyễn Thị Tâm

4.

 x3 2
khi x>1

 x 1
1
f  x  
khi x=1
4

 x2 1
khi x<1
 2
 x  6x  7

tại x0  1

 2 x2  5x  3
khi x  3

Taï x0  3
6. f  x    x  3

5
khi x  3




Trƣờng THPT Phan Châu Trinh- Năm 2016-2017
 x2  2x  3
 x2  4
khi x  2


8) f ( x)   x  2
tại x0 = -2 9) f ( x)   x  3
4

khi x  2
7



khi x<  3
khi x  3

tại x0 = 3

 4 x2  x  5
 4x  5  3
khi x  1

khi x  1

10) f ( x)   x  1
tại x0 = 1 11) f ( x)  

tại x0 = 1
x 1


7
khi x  1
5
khi x  1


 x2  5

12) f ( x)   x  5
2 5


khi x  5

tại x0 = 5

khi x  5

 x2

13) f ( x)   x  1  1
 5x  1


khi x  2
khi x  2


tại x0 =2

ĐS: 8) liên tục ; 9) không liên tục ; 10) liên tục ; 11) không liên tục ; 12) liên tục ; 13) không
liên tục.

Dạng 2: Tìm a để hàm số liên tục tại x0
1.

 x2  4 x  3
khi x  3

f  x   x  3
a
khi x=3


tại x0  3

Giải:
+ f  3  a
+

lim f  x   lim
x3

x3

x2  4 x  3
 x  1 x  3  lim x 1  2

 lim
 
x3
x3
x 3
x 3

f  x   f  3  a  2
Để hàm số liên tục tại x0  3  lim
x3
 x2  7 x  6
khi x  6

x6
2. f  x   
2m2  7m  10 khi x  6


. Tìm m để h/số f  x  liên tục tại x0 =6

Giải: Ta có
2
+ f  6   2m  7m  10

x2  7 x  6
f  x   lim
 lim  x  1  5 .
+ lim
x 6
x 6

x 6
x6
GV: Nguyễn Thị Tâm


Trƣờng THPT Phan Châu Trinh- Năm 2016-2017

f  x   f  6   2m2  7m  10  5
Hàm số f  x  liên tục tại x0 = 6 khi chỉ khi: lim
x 6
m  1
 2m  7m  5  0  
m  5

2
2

BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Tìm m, a để hàm số f  x  liên tục tại x0 trong các trƣờng hợp sau:
 x2  4 x  3
 2 x2  x  6
khi x  3
khi x  2


Tai x0  3 ; b/ f  x    x  2
a/ f  x    x  3
Taïi x0  2
m2  7m  8 khi x  3
 3m  1 khi x  2



 x3  1
khi x  1

c/ f  x    x  1
Taïi x0  1 ;
mx  2 khi x  1


 27 x3  1
1
khi x 
 3x  1
3 Taïi x  1
d/ f  x   
0
3
m2  4m  6 khi x  1

3

 3x 2  5 x  2
 x 2 +1
khi x  2
khi x  1

x 1
e) f  x   
với x0 = -1 f) f ( x)  

với x0 = 2
2ax  3 khi x  2


a
khi x  1

 x 5 3

g) f ( x)   x  4
 a2


khi x  4

với x0 = 4

khi x  4

Dạng 3: Xét tính liên tục trên tập xác định của hàm số

 x2  4

1. f ( x)   x  2
4


khi x  2
khi x  2


Giải:

x2  4
+ Với x≠2, hàm số f ( x) có dạng f ( x) =
x2
- Hàm số f ( x) xác định x   ;2    2;  
Suy ra f ( x) liên tục trên  ;2  và  2; 

GV: Nguyễn Thị Tâm

(1)


Trƣờng THPT Phan Châu Trinh- Năm 2016-2017
+ Với x=2
Ta có : f  2   4

x2  4
lim f  x   lim
 lim  x  2   4
x2
x2 x  2
x2
Khi đó lim f  x   f  2 
x2

Suy ra hàm số liên tục tại x0  2

(2)


Từ (1) và (2) suy ra hàm số liên tục trên R.

 x2  x  2

2. f  x    x  2
5  x


khi x>2
khi x  2

x2  x  2
+ Với x>2, hàm số f ( x) có dạng f ( x) =
x2
Hàm số liên tục x  2 hay hàm số liên tục trên khoảng (2;+∞)

(1)

+ Với x<2, hàm số f ( x) có dạng f ( x) =5-x
Hàm số f ( x) là hàm đa thức nên hàm số liên tục trên khoảng (-∞;2)
+ Với x=2 , ta có:
* f  2  3

x2  x  2
 x  1 x  2  lim x  1  3
 lim
 
* lim f  x   lim
x2
x2

x2
x2
x2
x2

lim f  x   lim  5  x   3

x3

x3

Khi đó lim f  x   lim f  x   f  x 
x2

x2

Suy ra hàm số liên tục tại x=2

(3)

Từ (1), (2), (3) suy ra hàm số liên tục trên R.

GV: Nguyễn Thị Tâm

(2)


Trƣờng THPT Phan Châu Trinh- Năm 2016-2017
x3


3. f  x    x  1
2

khi x  1
khi x=-1

+ TXD: D  R \ 1
+ Với x  1;1 , hàm số có dạng f  x  

x3
. Hàm số liên tục trên (-∞;-1); (-1;1) và (1;+∞)
x 1

+ Tại x=1  D, nên hàm số không liên tục tại x=1
+ Tại x=-1, ta có:
* f  1  2
x3
 1
x1 x  1

* lim f  x   lim
x1

Khi đó lim f  x   f  1 nên hàm số không liên tục tại x=-1.
x1

5  ax 2 khi x>2
khi x  2
x 1


4. Tìm a để hàm số liên tục trên R : f  x   
* TXD: D=R

* Với x>2: f  x   5  ax 2 liên tục trên khoảng (2;+∞)

(1)

* Với x<2: f  x   x  1 liên tục trên khoảng (-∞;2)

(2)

* Với x=2, ta có:
+ f  2  3
+ lim f  x   lim  x  1  3
x2

x2

lim f  x   lim  5  ax 2   5  4a

x2

x2

Từ (1) và (2) suy ra hàm số liên tuc trên R\{2}. Vậy để hàm số liên tục trên R khi và chỉ khi
hàm số liên tục tại x=2  lim f  x   lim f  x   f  2   5  4a  3  a 
x2




Vậy a=1/2 thì hàm số liên tục trên R.
GV: Nguyễn Thị Tâm

x2



1
2


Trƣờng THPT Phan Châu Trinh- Năm 2016-2017
5. Xét tính liên tục của hàm số f  x   1  x 2 trên đoạn [-1;1]
Giải:
Hàm số đã cho xác định trên đoạn [-1;1]
Với mọi x0 [  1;1] ta có:
lim f  x   lim 1  x 2  1  x02  f  x0 

xx0

xx0

Nên hàm số f liên tục trên khoảng (-1;1). Ngoài ra ta có:

lim  f  x   lim  1  x 2  0  f  1

x 1

x 1


lim f  x   lim 1  x 2  0  f 1
x1

x1

Do đó hàm số đã cho liên tục trên đoạn [-1;1].

BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Xét tính liên tục của các hàm số sau trên TXĐ của chúng

 x2  4 x  3

a) f ( x)   x  3

2


 x  5x  4

c) f  x    x  4
 7x

2

khi x  3
khi x  3

khi x  4
khi x  4


 2 x
2

b) f ( x)    x  2 
 9

 x 1

 x2
 x2  4
d) f  x   
 x2
 4



khi x  2
khi x  2
khi 1  x  2
khi

x  1 x  2

khi

x2

ĐS: a) hsliên tục trên R ; b) hs liên tục trên mỗi khoảng (-; 2), (2; +) và bị gián đọan tại x
= 2. c) hsliên tục trên R ; d) hs liên tục trên mỗi khoảng (-; 1), 1; 2  ,(2; +) và bị gián đọan
tại x = 1 và x=2

Dạng 4: Chứng minh phƣơng trình f  x   0 có nghiệm x0   a; b 
GV: Nguyễn Thị Tâm


Trƣờng THPT Phan Châu Trinh- Năm 2016-2017
Phƣơng pháp: - CM f(x) liên tục trên [a;b]
- Cm f(a).f(b)<0
1. Cmr phƣơng trình 4 x3  5x  3  0 có ít nhất một nghiệm thuộc  0; 2  .
Giải: Xét hàm số f  x   4 x3  5x  3 liên tục trên R nên liên tục trên  0; 2
Ta có: f  0   3 , f  2   19 suy ra f  0  f  2   570
 x0   0;2  : f  x0   0 . Vậy 4 x3  5 x  3  0 có ít nhất một nghiệm thuộc  0; 2  .
3
2. Cm pt x  3x  1  0 có 3 nghiệm phân biệt

Đặt f  x   x3  3x  1 , f  x  Liên tục trên R

 f  2   1
 f  2  . f  1  0 khi đó x1   2; 1 : f  x1   0

 f  1  3

Ta có: 


 f 1  1
 f 1 . f  1  0 khi đó x2   1;1 : f  x2   0

 f  1  3

+



 f 1  1
 f 1 . f  2   0 khi đó x3  1;2  : f  x3   0

 f  2  3

+

Vây pt có ba nghiệm phân biệt.
3. Cm pt  m2  4   x  1  5x 2  7 x  1  0 có nghiệm
6

Đặt f  x    m2  4   x  1  5x 2  7 x  1
6

+ TXD: D=R nên hàm số f  x  liên tục trên R

 f 1  1
 f 1 . f  2   0 khi đó x0  1;2  : f  x0   0
2

 f  2   m  3  0 m

+

Vây pt đã cho nghiệm.
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Chứng minh rằng phƣơng trình:
GV: Nguyễn Thị Tâm



Trƣờng THPT Phan Châu Trinh- Năm 2016-2017
a) x4  5x  2  0 có ít nhất một nghiệm.
b) x5  3x  7  0 có ít nhất một nghiệm.
c) 2 x3  3x2  5  0 có ít nhất một nghiệm

d) 2 x3 10 x  7  0 có ít nhất 2 nghiệm.

e) cosx = x có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng (0; /3)
f) cos2x = 2sinx – 2 = 0 có ít nhất 2 nghiệm. g) x3  3x2  1  0 có 3 nghiệm phân biệt.
h) 1  m2   x  1  x 2  x  3  0 luôn có ít nhất 1 nghiệm thuộc khoảng (-1; -2) với mọi m.
3

i) Chứng minh rằng phương trình: x7  3x5  2  0 có ít nhất một nghiệm .
j) Chứng minh rằng phương trình: x2 sin x  xcox  1  0 thuộc  0;   .
k) Chứng minh rằng phương trình: x3  3x  1  0 có 3 nghiệm phân biệt.
l) Chứng minh rằng các phương trình sau có nghiệm với mọi m:
a/ m  x  1  x  2   2 x  3  0
3

b/ x4  mx2  2mx  2  0

m) Phương trình x3  3x2  4x  7  0 có nghiệm hay không trong khoảng (– 4 ; 0 ) ?
( HD: Xét nghiệm trong (– 2 ; 0 )  (– 4 ; 0 ) Suy ra pt có nghiệm trong (– 4 ; 0 )

GV: Nguyễn Thị Tâm