BÀI TẬP HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC
Tính toán các yếu tố trong một tam giác:
Bài 1. (H2- 95) Cho tam giác ABC có A = 1200, cạnh AB = 1, AC = 2.
a) Tính BC.

b) Trên CA kéo dài lấy D sao cho BD = 2. Tính AD.

Bài 2. (H2- 96) Cho tam giác ABC có a = 7, b = 24, c = 23.Tính góc A, tính diện tích, bán kính đường
tròn nội tiếp, ngoại tiếp, đường cao AH, đường trung tuyến AM của tam giác ABC .
Bài 3. (H2 - 96)Cho tam giác ABC thỏa mãn a(a2 - b2) = c(b2 - c2) Tính góc B.
Bài 4. (H2 - 97) Cho tam giác ABC có B = 450, C = 750, Đương phân giác trong AD = 4. Tính các
cạnh của tam giác ABC ? Biết sin750 =

2(1 + 3)
.
4

Bài 5. (H2 - 97) Cho tam giác ABC có mb = 4, mc = 2 và a = 3. Tính độ dài các cạnh AB, AC.
a) Tính diện tích tam giác ABC.
b) Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Tính diện tích tam giác IBC.
c) Tính bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC.
Bài 7. Tính góc lớn nhất của tam giác ABC biết:
a) a =3 , b = 4, c = 6;

2) a = 40, b = 13, c = 37.

3) a = 3, b = 5 , c = 4

Bài 8. (H2- 99)Tính góc A của tam giác ABC biết:

b3 + c3 − a3

(a + b)(b + c − a)(c + a − b)
= a2 ;
b)cos B =
b+ c−a
2abc
4
2
2
2
4
2 2
4
c) a − 2(b + c )a + b + b c + c = 0
a)

Bài 9. (H2 - 99) Cho tam giác ABC đều cạnh a. Trên BC lấy D sao cho BD = 2DC. Trung trực AD cắt
AC tại E. Tính CE và BE.
Bài 10. (H2- 99) Đường tròn nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với BC, CA, AB lần lượt tại M, N, P. Biết
MB = 3, MC = 2, AN = AP = x và góc ABC = 600. Tìm x và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác
ABC, Tính NP.
Bài 11. (H1- 77) Tìm độ dài cạnh c của tam giác ABC biết b = 13, a = 12, 13cosA = 20cosB.
Bài 12.(H1 - 77) Tính sinB biết a - b = 1, A = 300, hc = 2.
Bài 13. ( H1-78) Tìm độ dài các cạnh của tam giác ABC biết ma = 1, mb =

2 , mc =

3.

Bài 14. (H3-86) Cho tam giác ABC vuông tại A có diện tích 24, đường trung tuyến CM =
độ dài các cạnh của tam giác ABC.


73 . Tính

Bài 15. (H3-87) Cho tam giác ABC có BC = 7, AC = 6, AB = 2. Lờy một điểm M trên cạnh BC sao
MB 3
cho
= . Chứng minh tam giác ABC tù, Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, tính
BC 4
AM.
Bài 16. Cho tam giác ABC có a = 10, b = 6. Độ dài đường cao qua c là hc = 4. tính bán kính đường
tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
Bài 17.(H4-48)Cho tam giác ABC thỏa mãn

a+b b+c c+a
=
=
. Tính cosA, cosB, cosC ?
6
5
7

Dạng 2:Chứng minh các hệ thức liên quan đến các yếu tố của một tam giác.
Bài 1. CMR trong mọi tam giác ta đều có :
a) a = bcosC + c cosB

b) sin A = sinB cosC + sinC cosB


c) ha = 2RsinB sinC
Bài 2.Cho tam giác ABC CMR:

a) Nếu b + c = 2a thì

2
1
1
=
+
h a h b hc

b) Nếu bc = a2 thì sinB sinC = sin2A và hbhc = ha2
Bài 3 CMR trong mọi tam giác ta đều có m 2a + m 2b + m 2c =

3 2
(a + b2 + c2 )
4

Bài 4. CMR tamgiác ABC vuông tại A khi và chỉ khi m 2b + m 2c = 5m 2a
Bài 5. (H1 - 101). Cho tam giác ABC

tan A c2 + a2 − b2
CMR:a)
=
tan B c2 + b2 − a2

b) Biết a = 4, b = 5, c = 5 Tính M = sinA - 2sinB + sinC
Bài 6. (H1 - 102). Cho tam giác ABC có ma =

3
a . CMR ma + mb + mc = p 3
2


Bài 7. (H1 - 103). Cho tam giác ABC CMR: A = 600 khi và chỉ khi

1
1
3
+
=
b+a a+c a+b+c

Bài 8. (H1 - 103). Cho tam giác ABC CMR:
a) Góc A nhọn khi và chỉ khi sin2A < sin2B + sin2C.
b) Góc A tù khi và chỉ khi

1
1
1
> 2+ 2
2
ha h b hc

c) Nếu bccosA + ca cosB + ab cosC = a2 thì tam giác ABC vuông.


BÀI TẬP HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC
Câu 1. Cho tam giác ABC có: a=10, b=14, c=15. Tính diện tích tam giác SABC, ha, ma
Câu 2. Cho tam giác ABC. Gọi r là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác; ra, rb, rc lần lượt là bán
kính đường tròn bàng tiếp trong các góc A, B, C của tam giác. Chứng minh rằng:
A
B

C
a) r = (p − a)tan = (p − b) tan = (p − c)tan
2
2
2
A
B
C
b) ra = p tan ; rb = p tan ; rc = p tan ;
2
2
2
Câu 3. Tính các góc của tam giác ABC biết các cạnh a, b, c thoã mãn hệ thức: b(b2 –a2)=c(c2 –a2)
(b ≠ c)
Câu 4. Cho tam giác ABC thoã mãn điều kiện:
 a3 + c3 − b3
= b2

 a+c−b
a = 2b.cosC

CMR tam giác ABC là tam giác đều.
Câu 5. CMR trong tam giác ta có:
a 2 + b 2 + c2
cot A + cot B + cot C =
4S
Câu 6. Cho tam giác ABC thoã mãn: a4 = b4 + c4
a. CMR tam giác ABC có ba góc nhọn
b. Chứng minh rằng: 2sin 2 A=tanB.tanC
c m

Câu 7. Cho tam giác ABC với các đường trung tuyến thoã mãn: = b ≠ 1
b mc
CMR: 2cotA = cotB + cotC
Câu 8.Chứng minh rằng với tam giác bất kỳ ta có:
A
B
C
r = p.tan tan tan
2
2
2
1
1
Câu 9. CMR nếu: cot B = (cot A + cot C) thì b2 = (a2 + c2 )
2
2
Câu 10. Giả sử các góc của tam giác ABC thoã mãn hệ thức:
sinB = 2sinC.cosA
a) CMR ta có: b =2c.cosA
b) Suy ra tam giác ABC cân tại B
Câu 11. Tam giác ABC có AB =8, AC= 9 và BC =10. Một điểm M nằm trên cạnh BC sao cho BM =7.
Tính độ dài đoạn thẳng AM.
Câu 12.
a) Tam giác ABC có b = 7, c = 5 và cosA =2/5. Tính ha và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác R
b) Tám giác ABC có A =7, b =8, c =6. Tính ha và ma.
Câu 13. Các cạnh của tam giác ABC lần lượt là 2, 6, 3 + 1 . Tính các góc của tam giác.
Câu 14. Trong tam giác ABC ta có a =13, b =4 và cosC =-5/13. Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp
và nội tiếp tam giác
Câu 15. Tính các cạnh và góc của tam giác, biết rằng độ dài ba cạnh là ba số nguyên liên tiếp và góc
lớn nhất gấp 2 lần góc nhỏ nhất.

Câu 16. Gọi S là diện tích tam giác ABC, CMR:
1 − cosC
a) S = 2R 2 sin A.sin B.sin C
b) c2 = (a − b)2 + 4S
sin C
A
c). S = Rr(sinA + sinB + sinC)
d) S = p(p − a)tan
2
Câu 17. Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng:


A
B
C
cos cos
2
2
2
A
B
C
b. r = 4R.sin sin sin
2
2
2
Câu 18. Cho tam giác ABC có b + c =2a. CMR:
2
1
1

a. sinB + sinC = 2sinA
b.
=
+
h a hb hc
Câu 19. Cho tam giác ABC. Giả sử 4A=2B=c
a. Tính các góc A, B, C
1 1 1
b. CMR: = +
a b c
Câu 20. Giả sử a, b, c là độ dài ba cạnh của tam giác ABC thoã mãn điều kiện a 4 = b4 + c4
a. CMR b2 + c2 > a2 suy ra các góc của tam giác đều nhọn
b. CMR tanB.tanC =2sin2A
Câu 21. Cho tam giác ABC, Ia là đường phân giác trong của góc A. CMR:
2
Ia =
bcp(p − a)
b+c
Câu 22. Cho tam giác ABC có B =600, bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác bằng 2. Tính bán kính
đương tròn qua A, C và tâm I của đường tròn nội tiếp tam giác ABC.
Câu 23. Cho tam giác ABC có I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác IBC, ICA, IAB. CMR: R1R2R3
=2R2.r

a. p = 4R cos

Câu 1. Chứng minh rằng tam giác ABC vuông nếu:
1
S = (a + b − c)(a + c − b)
4
Câu 2. Chứng minh rằng tam giác ABC cân nếu:

1 + cosB
2a + c
=
sinB
4a2 − c2
Câu 3. Chứng minh rằng tam gác ABC cân nếu:
cos2 A + cos2 B 1
= (cot g2 A + cot g2 B)
2
2
sin A + sin B 2
Câu 4. Chứng minh rằng tam giác ABC đều nếu:

3
(a + b + c)2
36
Câu 5. Chứng minh rằng tam giác ABC đều nếu thoã mãn điều kiện sau:
 a b c2
=1
 + −
b a ab

 cosAcosB= 1

4
Câu 6. Chứng minh rằng tam giác ABC đều nếu:
3S = 2R 2 (sin 3 A + sin3 B + sin3 C)
Câu 7. Chứng minh rằng tam giác ABC đều nếu thoã mãn điều kiện sau:
a
b + c = + 3h a

2
Câu 8. Cho tam giác ABC thoã mãn:
b
c
a
+
=
cosB cosC sin Bsin C
Câu 9. CMR trong mọi tam giác ta có:
S=


a 2 + b 2 + c2
2
2
2
b + c − a2
Câu 10. CMR: cot gA =
4S
Câu 11. Cho tam giác ABC. Ba đường trung tuyến AM, BN, CP gặp nhau tại G. Đặt góc AGB = α .
a 2 + b 2 + c2
Chứng minh rằng: cot C − cot α =
6S
bc.cosA+ac.cosB+ba.cosC=

Câu 12. Cho tam giác ABC (B>C). Gọi M là trung điểm của BC. Đặt AMB = α . CMR:
cot gC − cot gB = 2 cot gα
Câu 13. Cho tam giác ABC. M là một điểm trong tam giác sao cho MAB = MBC = MCA = α . Chứng
minh rằng:
cot gα = cot gA + cot gB + cot gC

Câu 14. Cho tam giác ABC. Trên cạnh BC lấy 3 điểm M, N, P sao cho:
BM = MN =NP. Đặt BAM = α;MAN = β;NAC = γ . CMR:

(cot gα + cot gβ)(cot gβ + cot gγ ) = 4(1 + cot g2β)
Câu 15. Chứng minh rằng trong mọi tam giác ta có:
1
S = (b2 sin 2C + c2 sin 2B)
2
Câu 16. Chứng minh rằng trong tam giác ABC:
cotgA=2(cotgB + cotgC)
là điều kiện cần và đủ để hai đường trung tuyến kẻ từ B và C vuông góc với nhau
Câu 17. Cho tam giác ABC thoã mãn hệ thức:
h a = p(p − a)
Chứng minh rằng ABC là tam giác cân.
Câu 18. Cho tam giác thoã mãn:
rc = r + ra + rb
Chứng minh rằng tam giác ABC vuông
Câu 19. CMR nếu a2 + b2 + c2 = 4 3S thì tam giác ABC đều.
Câu 20.CMR: r + ra + rb − rc = 4RcosC
Câu 21. CMR: ra + rb + rc = 4R + r
Câu 22. CMR:

1 1 1
1
=
+
+
r ha h b hc

Câu 23. CMR:


2pr
= acosA+bcosB+ccosC
R

Câu 24. 1 +

r
= cosA+cosB+cosC
R

Câu 25. CMR: S = r.ra .rb .rc

ab + bc + ca
2R
2
Câu 27.CMR: ra rb + rb rc + rc ra = p

Câu 26.CMR: h a + h b + h c =

abc
4R
h
h
h
 p−a p−b p−c
Câu 29. CMR: a + b + c = 2 
+
+


ra rb rc
b
c 
 a
Câu 28. CMR: ra .rb .rc = p



a b c
A
B
C
+ + = 2  tan g + tan g + tan g 
ra rb rc
2
2
2

Câu 31. CMR: a2 + b2 + c2 + 4r 2 + 16Rr = 2(ab + bc + ca)
CHỨNG MINH TAM GIÁC CÂN HOẶC VUÔNG:
Câu 1.Cho tam giác ABC có: a3 (b2 − c2 ) + b3 (c2 − a2 ) + c3 (a2 − b2 ) = 0
Chứng minh rằng tam giác ABC cân
h
h
h
h
h
h
Câu 2. Cho tam ABC có: a + b + c = b + c + a
h b hc ha ha h b hc

Chứng minh rằng tam giác ABC cân
Câu 3. Cho tam giác ABC có 4r.rc = c2 . Chứng minh rằng tam giác ABC cân

Câu 30. CMR:

Câu 4. Cho am giác ABC có:
cân

cos2 A + cos2 B 1
= (cot g2 A + cot g2 B) Chứng minh rằng tam giác ABC
2
2
sin A + sin B 2

1 + cosB
2a + c
=
Chứng minh rằng tam giác ABC cân
sinB
4a2 − c2
Câu 6. Cho tam giác ABC có: a =2bcosC. CMR tam giác ABC cân

Câu 5. Cho am giác ABC có

Câu 7. Cho tam giác ABC có: h a = p(p − a)

1
Câu 8. Cho tam giác ABC có: S = (a2 + b2 ) Chứng minh rằng tam giác ABC vuông cân
4
Câu 9. Cho tam giác ABC có: p = (1 + 2)R . Chứng minh rằng tam giác ABC vuông cân

Câu 10. Cho tam gi ác ABC có h a = rb rc chứng minh rằng tam giác ABC cân
Câu 11. Cho tam giác ABC có a2 b2 = 4p(p − c)R 2 Chứng minh rằng tam giác ABC cân.

c2 − b2 sin C − sin B
Câu 12. Cho tam giác ABC có: 2
=
. Chứng minh rằng tam gi ác ABC vuông hoặc
c + b2 sin C + sin B
cân
(a+b)(a+c-b)(b+c-a)
Câu 13. Cho tam giác ABC có: cosA=
. CMR tam giác ABC vuông
2abc
Câu 14. Cho tam giác ABC có: S = p(p − c) . CMR tam giác ABC vuông
Câu 15. Cho tam giác vuông có: S = (p − b)(p − c) . CMR tam giác ABC vuông
Câu 16. Cho tam giác ABC có: ra = r + rb + rc . CMR tam giác ABC vuông
Câu 17.Cho tam giác ABC có: 1 + cos2 A − cos2 B − cos2C = 0 . CMR tam giác ABC vuông
Câu 18. Cho tam giác ABC có R = 3r và ra = 3r . CMR tam giác ABC vuông
Câu 19. Cho tam giác ABC có: 2R + r = p. CMR tam giác ABC vuông.
1
Câu 20. Cho tam giác ABC có S = b2 .sin 2C . CMR tam giác ABC vuông.
4
a+b
Câu 21. Cho tam giác ABC có cosA+cosB=
. CMR tam giác vuông
c
Câu 22. Cho tam giác ABC có: r + rb + rc = p . CMR tam giác ABC vuông.
Câu 23. Cho tam giác ABC không nhọn và có: R = (1 + 2)r . CMR tam giác ABC vuông cân.
CHỨNG MINH TAM GIÁC ĐỀU
 r = 3r

Câu 1. Cho tam giác ABC có:  a
Chứng minh rằng ta giác ABC đều.
 m a = 3r



3
sin Bsin C = 4
Câu 2. Cho tam giác ABC có: 
Chứng minh rằng tam giác ABC đều.
3
3
3
a2 = a − b − c

a−b−c
2
Câu 3. Cho tam giác ABC có: 2(p − r 2 − 4Rr) = ab + bc + ca . CMR tam giác ABC đều

sinB+sinC=2sinA
Câu 4. Cho tam giác ABC có: 
Chứng minh rằng tam giác ABC đều.
 cosB+cosC=2cosA
(a + b)(b + c)(c + a) R
Câu 5. Cho tam giác ABC có:
= . CMR tam giác ABC đều.
4abc
r
2R 2 + r 2
Câu 6. Cho tam giác ABC có: cot gA + cot gB + cot gC =

S
sin A sin B sin C
Câu 7. Cho tam giác ABC có R=1 và
+
+
= 3 . CMR tam giác ABC đều.
ma
mb
mc
Câu 8. Cho tam giác ABC có: p2 = h a h b + h b h c + h c h a . CMR tam giác ABC đều.
Câu 9. Cho tam giác ABC có: p2 + R 2 = 31r 2 . CMR tam giác ABC đều.
Câu 10. Cho tam giác ABC có: a2 + b2 + c2 = p2 + r 2 + 4Rr . CMR tam giác ABC đều.
Câu 11. Cho tam giác ABC có: p2 + 5r 2 = 16Rr . CMR tam giác ABC đều
Câu 12. Cho tam giác ABC có: a2 + b2 + c2 = 12r(R + r) . CMR tam giác ABC đều.
ab
bc
ca
2S
Câu 13. Cho tam giác ABC có:
+
+
=
. CMR tam giác ABC đều.
a+b b+c c+a R
a2
b2
c2
Câu 14. Cho tam giác có:
+
+

= 9R . CMR tam giác ABC đều
ra − r rb − r rc − r
Câu 15. Cho tam giác ABC có:

1 1 1
18R
+ + =
. CMR tam giác ABC đều
ra rb rc ab + bc + ca

Câu 16. Cho tam giác ABC có:

a3 b3 c3 abc
. CMR tam giác ABC đều
+ + ≤
ra rb rc
r

Câu 17.Cho tam giác ABC có: ra + rb + rc = h a + h b + h c . CMR tam giác ABC đều
Câu 18. Cho tam giác ABC có: ra rb rc = m a m b m c . CMR tam giác ABC đều

27 2
R . CMR tam giác ABC đều
4
27 2
Câu 20. . Cho tam giác ABC có: ra2 + rb2 + rc2 =
R . CMR tam giác ABC đều
4
a 2 b 2 c2 4
Câu 21.Cho tam giác ABC có:

+
+
=  r + r + r  . CMR tam giác ABC đều.
ha h b hc 3  a b c 

Câu 19. Cho tam giác ABC có: m 2a + m 2b + m 2c =

Câu 22. Cho tam giác ABC có:

1
1
1
1
+
+
= 2 . CMR tam giác ABC đều.
h a h b h b h c h c h a 3r

Câu 23. Cho tam giác ABC có: a2 + b2 + c2 = 8R 2 + 4r 2 . CMR tam giác ABC đều.
Câu 24. Cho tam giác ABC có: 3 3  R 2 + r 2  = 5S . CMR tam giác ABC đều.
h h
h
1
C âu 25. Cho tam giác ABC có: 2a + 2b + 2c = . CMR tam giác ABC đều.
h b hc ha r
Bài tập về đường trung tuyến


c mb
=

≠ 1 . CMR: 2cotagA=cotgB + cotagC
b mc
Câu 2. Cho tam giác ABC, cmr hai đường trung tuyến BB' ⊥ CC' thì cotgA=2(cotgB + cotagC)

Câu 1. Cho tam giác ABC có:

Bài tập về đường cao trong tam giác

Câu 1. CMR:

1 1
1 1
+
+
=
ha h b hc r

Câu 2. Chứng minh rằng:

h a − 2r
ha
=
ha
2ra + h a

Câu 3. CMR: h a ≤ rb rc
Câu 4. CMR: h a + h b + h c ≥ 9r
Câu 5. CMR:

ra rb rc

+
+ ≥3
ha h b hc

Câu 6.CMR: p2 + r 2 = 2R(h a + h b + h c − 2r)
Câu 7. CMR: p2 ≥ h a h b + h b h c + h c h a
Câu 8. CMR:

a 2 b 2 c2 4
+
+ ≥ (r + r + r )
ha h b hc 3 a b c

Câu 9.CMR:

h 2a h 2b h 2c 9r 2
+
+
≥
bc ca ab R 2

BÀI TOÁN VỀ DIỆN TÍCH TAM GIÁC

Câu 1. Cho tam giác có 2b =a + c. CMR: 6Rr=ac
1 1 1
1
Câu 2. Cho tam giác CMR: 2 + 2 + 2 ≥
2Rr
a
b c

1 1 1
1
Câu 3. CMR: 2 + 2 + 2 ≤ 2
a
b
c
4r
1
1
1
1
Câu 4. Cho tam giác ABC. CMR:
+
+
≥ 2
2
2
2
(p − a) (p − b) (p − c)
r
1
1
1
a+b+c
Câu 5. CMR: 2
+ 2
+ 2
≤
2abc
a + bc b + ca c + ab


1 1 1
3
+ + ≥
a b c
2Rr
Câu 7. CMR: 4rra ≤ a2
Câu 8. CMR: R ≥ 2r
Bài tập về đường kính các đường tròn trong tam giác
Câu 1. Chứng minh rằng: (ra2 + p2 )(ra − r) = 4Rra2
Câu 6. CMR:

Câu 2. CMR: S = rra rb rc
Các bài tập sử dụng hàm số cosin
Câu 1. CMR: bc(b2 − c2 )cos A + ca(c2 − a2 )cos B + ab(a2 − b2 )cosC = 0
Câu 2. CMR: abc(cos A + cos B + cosC) = a2 (p − a) + b2 (p − b) + c2 (p − c)
Câu 3. Cho tam giác ABC. CMR: A=2B ⇔ a2 = b2 + c2
Câu 4. Cho tam giác ABC có trọng tâm G
Đặt GAB = α;GBC = β;GCA = γ


3(a2 + b2 + c2 )
4S
 π
Câu 5. Cho tam giác ABC và góc α ∈  0, 
 2
1. Tìm điểm M trong tam giác sao cho MAB=MBC=MCA= α
2. CMR: cot α =cotA + cotB + cotC
1
1

1
1
=
+ 2 + 2
3. CMR:
2
2
sin α sin A sin B sin C
2S
4. CMR: sin α =
a 2 b 2 + b 2 c2 + c2 a 2
3
Câu 6. Trong tam giác ABC CMR: cos A + cos B + cosC ≤
2
Câu 7. Cho tam giác ABC bất kỳ CMR:
(1 + a + b − ab)cosC + (1 + a + c − ac)cos B + (1 + b + c − bc)cos A ≤ 3
Câu 8. CMR: ra + rb + rc = 4R + r

CMR: cot α + cot β + cot γ =