II) Số phức
1) Một số kiến thức bổ trợ .
a) Định nghĩa số phức:
b) Các kết quả: Cho số phức z = a + bi, ta có:
+) Phần thực là a, phần ảo là b, đơn vị ảo là i.
+) Môđun của số phức : | z |= a 2 + b2
+) Số phức liên hợp : z = a − bi .
+) Điểm biểu diễn số phức trong mặt phẳng tọa độ Oxy là : M(a ; b).
c) Các phép toán đối với số phức
+) Phép cộng, trừ và nhân các số phức được thực hiện tương tự như cộng, trừ và nhân
các số thực với chú ý i2 = - 1.
+) Phép chia số phức z1 cho số phức z2 được thực hiện theo quy tắc sau :
z1 z1.z 2 z1.z 2
=
=
z 2 z 2 .z 2 | z 2 |2

+) Hai số phức bằng nhau khi và chỉ khi phần thực và phần ảo của chúng tương ứng
bằng nhau.
Chú ý : tất cả các tính chất mà đúng với phép toán trên các số thực thì cũng đúng
trên các số phức.
d) Phương trình bậc hai với hệ số thực.
Cho phương trình bậc hai : ax2 + bx + c = 0, có ∆ =b2 – 4ac.
+) Nếu ∆ > 0, PT có 2 nghiệm thực phân biệt x1,2 =
+) Nếu ∆ = 0, PT có nghiệm kép x1 = x2 =
+) Nếu ∆ < 0, PT có 2 nghiệm phức x1,2 =

−b ± ∆
2a

−b

2a
−b ± i | ∆ |
.
2a

e) Một số kết quả cần nhớ :
+) i0 = 1 ⇒ i4n = 1

+) i1 = i ⇒ i4n + 1 = i

+) i2 = - 1 ⇒ i4n + 2 = - 1

+) i3 = - i ⇒ i4n + 3 = - i

+) (1 – i)2 = - 2i

+) (1 + i)2 = 2i.

2) Tiến hành giải quyết chuyên đề .
2.1. Một số dạng toán.
Dạng 1. Xác định phần thực, phần ảo và môđun của các số phức .
Phương pháp giải: Sử dụng định nghĩa số phức, môđun của số phức.
Số phức z = a+bi có phần thực là a, phần ảo là b ( a, b ∈ R và i 2 = -1).
uuuur

uuuur

Độ dài của vectơ OM là môđun của số phức z, tức là OM = a 2 + b2 .



VD1. Tìm phần thực và phần ảo của số phức z, biết :
a) z = 2 + 3i ⇒ Phần thực : a = 2
Phần ảo : b = 3.
b) z = 2 - i ⇒ Phần thực : a = 2
Phần ảo : b = -1.
c) z = -7i

⇒ Phần thực : a = 0.

Phần ảo : b = -7.
⇒ Phần thực : a = -5

d) z = -5

Phần ảo : b = 0.
VD2. Tính z với :
a) z = 3+2i ⇒ z = 32 + 22 = 9 + 4 = 13 .
b) z = 2-5i ⇒ z = 22 + 52 = 4 + 25 = 29 .
c) z = - 4i ⇒ z = 16 = 4.
d) z = -5 ⇒ z = (−5)2 + 02 = 25 = 5.
e) z = 2 - 3i ⇒ z = ( 2) 2 + (−3)2 = 2 + 9 = 11 .
Dạng 2 : Giải các phương trình trên tập số phức
Phương pháp giải:
Cho phương trình bậc hai : ax 2 + bx + c = 0, có ∆ = b 2 - 4ac.
+) Nếu ∆ > 0, PT có hai nghiệm thực phân biệt x 1,2 =
+) Nếu ∆ = 0, PT có nghiệm kép x 1 = x 2 =
+) Nếu ∆ < 0, PT có 2 nghiệm phức x 1,2 =

−b ± ∆
2a


−b
.
2a
−b ± i ∆
2a

.

VD3. Giải các phương trình trên tập số phức :
a) (2 - 3i)z = 1 + 2i

b) x 2 + x + 1 = 0

c) -3z 2 + 2z - 1 = 0.
Giải.
a) z =

1 + 2i ( 1 + 2i ) ( 2 + 3i ) −4 + 7i
4 7
=
=
=− + i.
2 − 3i ( 2 − 3i ) ( 2 + 3i )
13
13 13

b) Ta có ∆ = - 3 < 0. Phương trình có 2 nghiệm phức:
x=-


1
1
3
3
+
i, x = - i.
2
2
2
2

c) - 3z 2 + 2z - 1 = 0.
∆ = 4 - 4(-3)(-1) = - 8 < 0

d) x 2 + 3x + 4 = 0


Phương trình có 2 nghiệm phức z 1,2 =

1± i 2
.
3

d) Ta có: ∆ = - 7 < 0
Vậy phương trình có hai nghiệm phức là : x =

−3 + i 7
−3 − i 7
và x =
.

2
2

Dạng 3: Tìm các số thực x, y trong mỗi trường hợp sau
Phương pháp giải: Áp dụng định nghĩa hai số phức bằng nhau
VD4. Tìm các số thực x, y biết:
a) x + 1 + 3(y – 1)i = 5 – 6i
b) 2x +1 + (1 – 2y)i = 2 – x + (3y – 2)i
c) 4x + 3 + (3y – 2)i = y + 1 + (x – 3)i
d) (2x + 3y + 1) + ( - x + 2y)i = (3x – 2y + 2) + (4x – y – 3)i.
Giải.
a) Theo định nghĩa về hai số phức bằng nhau ta có
x + 1 = 5
x = 4
⇔
.

3(y − 1) = −6
y = −1

b) Theo định nghĩa về hai số phức bằng nhau ta có
1

x=

2x + 1 = 2 − x

3
⇔
.


1 − 2y = 3y − 2
y = 3

5

c) Theo định nghĩa về hai số phức bằng nhau ta có
7

x = − 11
 4x + 3 = y + 1
⇔
.

3y − 2 = x − 3  y = 6

11

d) Theo định nghĩa về hai số phức bằng nhau ta có
9

x=

2x + 3y + 1 = 3x − 2y + 2

11
⇔

 −x + 2y = 4x − y − 3
y = 4


11

Dạng 4: Tìm tập hợp điểm trong mặt phẳng tọa độ biểu diễn số phức z = x + yi, thỏa
mãn điều kiện .
Phương pháp giải:
Đa số các bài toán đưa về dạng phương trình đường thẳng và phương trình đường
tròn.
Lời giải bài toán thường được mô tả bằng hình vẽ.
VD5. Tìm tập hợp điểm trong mặt phẳng toạ độ biểu diễn số phức z = x + yi thoả mãn
điều kiện :


a) z = 1

b) z ≤ 1 .

Giải.
a) z = 1 ⇔ x + yi = 1 ⇔ x 2 + y2 = 1 ⇔ x 2 + y2 = 1 (1)
Ta thấy pt (1) là phương trình đường tròn tâm I(0 ; 0) bán kính R = 1.
Vậy tập hợp điểm trong mặt phẳng toạ độ biêủ diễn số phức z = x + yi thoả mãn điều
kiện z = 1 là tập hợp các điểm nằm trên đường tròn tâm I(0 ; 0) bán kính R=1.
b) z ≤ 1 ⇔ x + yi ≤ 1 ⇔ x 2 + y2 ≤ 1 ⇔ x2 + y2 ≤ 1
Vậy tập hợp điểm trong mặt phẳng toạ độ biêủ diễn số phức z = x + yi thoả mãn điều
kiện z ≤ 1 là tập hợp các điểm nằm trên và trong đường tròn tâm I(0 ; 0) bán kính R =
1.
Dạng 5 : Tìm các số phức thỏa điều kiện.
VD 6. Tìm số phức z, biết :
a) |z|+z = 3+4i
b) |z| = 2 và z là số thuần ảo.

c) |z| = 3 và phần thực của z bằng ba lần phần ảo của nó.
Giải.

a) Đặt z = a + bi. Từ |z|+z = 3+4i suy ra a 2 + b2 + a + bi = 3 + 4i
7
a 2 + 16 + a = 3 ⇒ a 2 + 16 = (3 − a)2 = 9 − 6a + a 2 ⇒ 6a = −7 ⇒ a = − .
6

⇒ b = 4 và
7
6

Vậy z = - + 4i .
b) Vì z là số thuần ảo nên nó có dạng: z = bi với b = ±2
Vậy z = ±2i
c) Vì | z |= a 2 + b2 nên | a 2 + b2 = 3 ⇒ a 2 + b2 = 9 mà a = 3b nên 10b2 = 9
do đó b2 =
Vậy z = ±

9
3 10
9 10
⇒b=±
⇒a =±
.
10
10
10

9 10 3 10

±
i.
10
10

2.2. Một số bài tập tương tự
Bài 1. Xác định phần thực và phần ảo của số phức sau đây :
a) z = 5 - 2i
b) z = 3 + i.
c) z = -3i
d) z = ( 0 - i ) - ( 2 - 3i ) + ( 7 + 8i ).
e) z = ( 0-i )( 2 + 3i )( 5 + 2i )

HD : áp dụng phép cộng và trừ 2 số phức
HD : áp dụng phép nhân các số phức.


g) z =

6−i
3 + 2i

HD : áp dụng phép chia 2 số phức.

Bài 2. Tính z với :
a) z =

1
3
-i

2
2

b) z = -3 + 4i
c) z = -3i
d) z = 2- 3i

HD : z = 7

g) z = 3 + 2 - i( 3 - 2 )

HD : z = 10

h) z =

3 −i
1+ i 3

.

HD : z = 1.

Bài 3. Giải các phương trình sau trên tập số phức :
a) (3 + 2i)z +(5 + i) = (2 + i)z.
HD: z =

−6 + 4i
2

b) x 2 + x + 7 = 0.

HD : x 1,2 =

−1
3 3
±
i
2
2

c) 5z 2 - 7z + 11 = 0
HD : z 1,2 =

7 ± i 171
.
10

Bài 4. Tìm các số thực x, y biết:
a) x + 2i = 5 + yi
b) (1 + 3x) - i 2 = 3 + (2 – 5y)i
c) x + 2y + (2x – y)i = 2x + y + (x + 2y)i
d) (3x – 2y + 1) + (3y + 2x)i = (x + 2y) + (x + 2y + 2)i.
Bài 5. Tìm tập hợp điểm trong mặt phẳng toạ độ biêủ diễn số phức z = x + yi thoả
mãn điều kiện :
a) 2 < z < 3 .
b) z ≤ 2 và phần ảo của z lớn hơn 1.
c) z ≤ 2 , phần ảo của z nhỏ hơn 1 và phần thực của z lớn hơn 1.
d) z + z + 3 = 4
e) z − z + 1 − i = 2 .
f) z + i = z + 2 .



Bài 6. Tìm số phức z, biết :
a) |z|+z = 2+3i .
b) |z| = 3 và z là số thuần ảo.
c) |z| = 5 và phần thực của z bằng hai lần phần ảo của nó.
d) ( TN - 2013) Tìm số phức liên hợp của số phức z thoả mãn ( 1 + i ) z − 2 − 4i = 0 .
25i

e) (TN - 2012) Tìm các số phức 2z + z và
z

biết z = 3 − 4i .

2.3. Bài tập về nhà.
Bài 1. ( A - 2014) Tìm phần thực và phần ảo của số phức z thoả mãn:
z + ( 2 + i ) z = 3 + 5i .
Kết quả: a=2 và b=-3.
Bài 2. ( B - 2014) Tìm môđun của z biết: 2z + 3 ( 1 − i ) z = 1 − 9i .
Kết quả: a=2 và b=3; z = 13
Bài 3. ( D - 2014) Tìm môđun của z biết: ( 3z − z ) ( 1 + i ) − 5z = 8i − 1 .
Kết quả: a=3; b=-2; z = 13
Bài 4. ( CĐ - 2014) Tìm phần thực và phần ảo của số phức z thoả mãn: 2z − iz = 2 + 5i .
Bài 5. ( D - 2013) Cho số phức z thỏa mãn điều kiện: (1 + i)(z − i) + 2z = 2i .
Tính môđun của số phức w =

z − 2z + 1
z2

Bài 6. ( D - 2012) Cho số phức z thoả mãn ( 2 + i ) z +


2 ( 1 + 2i )
1+ i

= 7 + 8i .

Tìm môđun của số phức w = z + 1 + i .
Bài 7. (A - 2012) Cho số phức z thỏa
z + z2.

5(z + i)
= 2 − i . Tính môđun của số phức w = 1 +
z +1

Bài 8. (A -2009) Gọi z1, z2 là hai nghiệm của phương trình z2+2z+10=0. Tính giá trị
2
2
biểu thức A = z1 + z 2 .
Bài 9. (CĐ- 2009)
a)Số phức z thỏa mãn (1+i)2(2−i)z=8+i+(1+2i)z. Tìm phần thực, phần ảo của z.
b) Giải phương trình sau trên tập số phức:

4z − 3 − 7i
= z − 2i .
z−i

Bài 10. Tìm số phức z thoả mãn: z − 2 + i = 2 . Biết phần ảo nhỏ hơn phần thực 3 đơn
vị.
Bài 11. (B- 2009) Tìm số phức z thỏa mãn z − ( 2 + i ) = 10 và z.z = 25 .
Bài 12. Giải phương trình: z 2 + z = 0 .



HD: Gọi z=x+yi thay vào phương trình ⇒ x, y ⇒ z.
Bài 13. Giải phương trình: z 2 + z = 0 .
HD: Gọi z=x+yi thay vào phương trình ⇒ x, y ⇒ z.
Bài 14 (D- 2009). Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z
thõa mãn điều kiện z − ( 3 − 4i ) = 2 .
Bài 15. Xác định tập hợp các điểm trên mặt phẳng biểu diễn số phức:
2 z − i = z − z + 2i .