- Trang chủ >>
- THPT Quốc Gia >>
- Toán
TÍCH PHÂN hàm hữu tỉ 02
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (81.31 KB, 3 trang )
TÍCH PHÂN HÀM HỮU TỈ
Dạng 1: Tính tích phân
n1
n
1. I = ∫m dx = ln x m
x
Bài 1: Tính các tích phân sau.
3 2
3
1. I = ∫2 +
÷dx
x 1− x
Dạng 2: Tính tích phân
0
4
6
+
2. I = ∫−1
÷dx
1 − 2 x 1 − 3x
n
1
1
1. I = ∫ 2 dx = −
m x
xm
Bài 1: Tính các tích phân sau.
3 1
1
dx
1. I = ∫2 2 +
2 ÷
÷
2
x
1
−
x
(
)
n
n
1
1
dx = .ln ax+b .
2. I = ∫
m ax+b
a
m
n
n
2. I = ∫m
n
1
1 1
dx = − .
.
2
a ax+b m
( ax+b )
0
4
6
+
dx
2. I = ∫−1
2
2 ÷
÷
2
x
1
−
3
x
(
)
(
)
1
dx .
ax +bx+c
2
Trường hợp 1: Mẫu số có nghiệm kép x0. Ta có: ax 2 + bx + c = a ( x − x0 )
n
Dạng 3: Tính tích phân sau I = ∫m
2
n
Ta biến đổi tích phân về dạng I = ∫m
n
1
1
dx
=
dx .
2
2
∫
m
ax + bx + c
a ( x − x0 )
Bài 1: Tính tích phân.
0
1
1
1
1
3
−2
−3
dx
dx
dx
dx
1. I = ∫−1 2
2. I = ∫0 2
3. I = ∫0 2
4. I = ∫0 2
x − 2x +1
x + 2x + 1
x − 6x + 9
x + 6x + 9
2
Trường hợp 2: Mẫu mẫu số có hai nghiệm phân biệt xL , x N .Ta có: ax + bx + c = a ( x − x L ) ( x − x N ) .
n
Ta biến đổi tích phân về dạng I = ∫m
Bài 1: Tính tích phân.
2
1
dx
1. I = ∫1 2
x − 7 x + 12
Bài 2: Tính tích phân.
3
1
dx
1. I = ∫2 2
x −1
0
2. I = ∫−1
0
2. I = ∫−1
1
1
dx =
2
ax + bx + c
a ( xL − x N )
2
dx
x − 3x + 2
3. I = ∫4
2
dx
9 − x2
3. I = ∫0
2
5
1
∫
n
m
1
1
−
÷dx
x − xL x − x N
−3
dx
x − 5x + 6
2
3
dx
x −2
2
1
4. I = ∫0
1
4. I = ∫0
−4
dx
x + 5x + 6
2
−1
dx
3 − x2
Trường hợp 3: Mẫu số vô nghiệm.
n
1
dx . Cách giải: Đổi biến bằng cách đặt x = atant .
• Dạng 1: I = ∫m 2
x + a2
n
n
1
1
n
1
dx = ∫
dx .
dx Ta phân tích I = ∫m 2
2
• Dạng 2: I = ∫m 2
m
ax + bx + c
( x − x0 ) + u 2
ax + bx + c
o Cách giải: Đổi biến bằng cách đặt: x − x0 = u tan t .
Bài 1: Tính tích phân bằng phương pháp đổi biến.
1
2
3
2
1
8
9
2
dx
dx
dx
dx
1. I = ∫0 2
2. I = ∫0 2
3. I = ∫0 2
4. I = ∫0 2
x +1
x +4
x +9
x +2
Bài 2: Tính tích phân bằng phương pháp đổi biến.
2
2
4
1
1
2
7
−2
dx
dx
dx
dx
1. I = ∫0 2
2. I = ∫−1 2
3. I = ∫3 2
4. I = ∫0 2
x + 2x + 4
x + 2 x + 10
x − 6 x + 10
x + x +1
1
TÍCH PHÂN HÀM HỮU TỈ
ax+b
dx
Vấn đề 1: Tính tích phân I = ∫m 2
cx + dx + e
2
Trường hợp 1: Mẫu số có nghiệm kép x0. Ta có: cx 2 + dx + e = c ( x − x0 )
n
n
Ta biến đổi tích phân về dạng I = ∫m
n
ax+b
ax+b
dx = ∫
dx . Ta đặt t=x-x0.
2
m
cx + dx + e
c ( x − x0 )
2
Bài 1: Tính tích phân bằng phương pháp đổi biến.
0
1
1
1
2x +1
3x
2 − 3x
2x
dx
dx
dx 4. I = ∫ 2
dx
1. I = ∫−1 2
2. I = ∫0 2
3. I = ∫0 2
0
x − 2x +1
x + 2x + 1
x − 6x + 9
x + 6x + 9
Dạng toán này có thể mỡ rộng cho trường hợp tữ số là bậc hai hoặc bậc ba.
Bài 2: Tính tích phân bằng phương pháp đổi biến.
2
0
1
1 2 x − 3x
1
x2
x2 + 2
x3 − 2
1. I = ∫ 2
2. I = ∫ 2
3. I = ∫ 2
dx
dx
dx 4. I = ∫ 2
dx
−1 x − 2 x + 1
0 x + 2x + 1
0 x − 6x + 9
0 x + 6x + 9
2
Trường hợp 2: Mẫu mẫu số có hai nghiệm phân biệt x1 , x 2 .Ta có: cx + dx + e = c ( x − x1 ) ( x − x2 ) .
n
ax+b
A
B
dx = ∫
+
÷dx
m x−x
cx + dx + e
x
−
x
1
2
Bài 1: Tính tích phân bằng phương pháp hệ số bất định.
2
0
5
1
7 x − 12
x +1
3x − 7
4 x + 11
dx
dx
dx 4. I = ∫ 2
dx
1. I = ∫1 2
2. I = ∫−1 2
3. I = ∫4 2
0
x − 7 x + 12
x − 3x + 2
x − 5x + 6
x + 5x + 6
Dạng toán này có thể mỡ rộng cho trường hợp tữ số là bậc hai.
Bài 2: Tính tích phân bằng phương pháp hệ số bất định.
2
2
2
2
0 x − 2x + 3
0 x + x +1
1 x − 2x −1
x2
1. I = ∫ 2
2. I = ∫ 2
3. I = ∫ 2
dx
dx
dx 4. I = ∫ 2
dx
1 x − 7 x + 12
−1 x − 3 x + 2
−1 x − 3 x + 2
0 x − 5x + 6
Nhận xét: Từ bài số 1 ta lấy tử số cộng cho mẫu số ta được bài số 2.
n
Ta biến đổi tích phân về dạng I = ∫m
2
Trường hợp 3: Mẫu số vô nghiệm.
Ta phân tích ax+b=p( cx 2 + dx + e )’+q.
2
n ( cx + dx + e )
n
ax+b
1
Khi đó: I =
dx
=
p
dx
+
q
∫m cx2 + dx + e
∫m cx2 + dx + e
∫m cx 2 + dx + edx
/
n
Ta tính tích phân A = p
∫
n
( cx
2
+ dx + e )
/
dx bằng cách đổi biến.
cx + dx + e
1
dx bằng cách biến đổi như sau.
Ta tích tích phân B = q ∫m 2
cx + dx + e
n
n
1
1
dx = q ∫
dx .
Ta phân tích B = q ∫m 2
2
m
cx + dx + e
( x − x0 ) + u2
m
2
n
Khi đó ta đổi biến bằng cách đặt: x − x0 = u tan t .
Bài 1: Tính tích phân bằng phương pháp đổi biến.
2
2
4
2x + 3
2x + 9
2x + 7
dx
dx
dx
1. I = ∫0 2
2. I = ∫−1 2
3. I = ∫3 2
x + 2x + 4
x + 2 x + 10
x − 6 x + 10
Bài 2: Tính tích phân bằng phương pháp đổi biến.
1 2x + 3
2 2x + 8
dx
dx
1. I = ∫0 2
2. I = ∫0 2
x +1
x +4
3 x +1
2 x+2
dx
dx
3. I = ∫0 2
4. I = ∫0 2
x +9
x +2
1
4. I = ∫0
2x + 2
dx
x + x +1
2
2
3
