ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
---------------------

Đinh Công Đạt

DAO ĐỘNG CỦA VỎ THOẢI FGM TRÊN NỀN ĐÀN HỒI CÓ TÍNH ĐẾN
TÍNH PHI TUYẾN BẬC BA

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Hà Nội – Năm 2014

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
1


TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
---------------------

Đinh Công Đạt

DAO ĐỘNG CỦA VỎ THOẢI FGM TRÊN NỀN ĐÀN HỒI CÓ TÍNH ĐẾN
TÍNH PHI TUYẾN BẬC BA

Chuyên ngành: Cơ học vật thể rắn.
Mã số: 604421

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS Đào Văn Dũng

Hà Nội – Năm 2014

Lời cảm ơn
Lời đầu tiên cho phép em gửi lời cảm ơn chân thành tới PGS.TS Đào Văn Dũng, người
đã hết lòng tận tình hướng dẫn và giúp đỡ em trong suốt quá trình thực hiện và hoàn thành
luận văn này.

2


Em cũng xin được bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới Khoa Sau Đại học, Khoa Toán –
Cơ – Tin học và đặc biệt là các thầy cô giáo đã dạy dỗ em trong suốt những năm học vừa
qua.
Em xin trân trọng cảm ơn các thầy, cô giáo trong Hội đồng chấm luận văn đã có những
ý kiến đóng góp quý báu giúp em mở rộng kiến thức, rút kinh nghiệm và làm luận văn của
em được hoàn thiện hơn.
Nhân đây em cũng xin được gửi lời cảm ơn tới gia đình, người thân, bạn bè, đồng
nghiệp đã luôn động viên, giúp đỡ em trong suốt quá trình học tập và làm luận văn.
Tuy đã có nhiều cố gắng, song luận văn không tránh khỏi những thiếu sót còn tồn tại,
kính mong nhận được sự chỉ dẫn, góp ý chân thành của các thầy cô giáo, các nhà khoa học
và các bạn.

Tác giả luận văn

Đinh Công Đạt

Phụ lục
Mở đầu.……………...…………………………………………………………………1
Chương 1. Hê ̣ các phương trin

̀ h cơ bản của vỏ thoải bằ ng vâ ̣t liê ̣u có cơ tin
́ h biế n thiên
(FGM). …………………………………………………………………………………3
1.1. Vật liệu composite có cơ tính biến thiên (FGM).…...……………………..3
1.2. Các hệ thức cơ bản của vỏ thoải………………..…………………………4

3


1.3. Phương triǹ h chuyể n đô ̣ng của vỏ thoải FGM trên nề n đàn hồ i …...……..10
Chương 2. Phân tích dao động phi tuyế n của vỏ thoải trên nền đàn hồ i……..………15
2.1. Điều kiện biên và phương pháp giải………………………………………15
2.2. Phân tích dao động của vỏ thoải…………………………………………..23
2.2.1. Dao đô ̣ng tự do tuyế n tính….. …………………………………..24
2.2.2. Quan hê ̣ giữa tầ n số và biên đô ̣ dao đô ̣ng tự do phi tuyế n ..…….25
2.2.3. Dao đô ̣ng cưỡng bức phi tuyế n .. ………………………………..26
Chương 3. Tính toán số………………………………………………………………28
3.1. Kết quả so sánh……………………………………………………………28
3.2. Tính toán số cho vỏ thoải FGM ………………..…………………………31
3.2.1. Tầ n số dao đô ̣ng riêng ….……………………………………….31
3.2.2. Khảo sát dao động phi tuyến…………………………………….32
3.2.2.1. Panel cầu…………. ….……………………………….33
3.2.2.2. Panel trụ.…………. ….……………………………….34
3.2.3. Ảnh hưởng của chỉ số mũ k. …………………………………….35
3.2.3.1. Panel cầu…………. ….……………………………….35
3.2.3.2. Panel trụ.…………. ….……………………………….36
3.2.4. Ảnh hưởng của kích thước hình học..….……………………….37
3.2.4.1. Panel cầu…………. ….……………………………….37
3.2.4.2. Panel trụ.…………. ….……………………………….38
3.2.5. Ảnh hưởng của biên độ lực ngoài..….….……………………….39

3.2.5.1. Panel cầu…………. ….……………………………….39
3.2.5.2. Panel trụ.…………. ….……………………………….40
3.2.6. Ảnh hưởng của tần số lực ngoài ....….….……………………….41
3.2.6.1. Panel cầu…………. ….……………………………….41
3.2.6.2. Panel trụ.…………. ….……………………………….42
3.2.7. Ảnh hưởng của hệ số nền.. ……....….….……………………….43
3.2.7.1. Panel cầu…………. ….……………………………….43
3.2.7.2. Panel trụ.…………. ….……………………………….46
Kết luận……...…………………………………………………………………….….51
Tài liệu tham khảo ...……………………………………………...…………………52
Phụ lục ….…………………….………………………………………………………53

4


Mở đầu
Vỏ là một trong những cấu trúc cơ bản và được sử dụng rộng rãi trong hầu hết các lĩnh
vực của cuộc sống. Sự tương tác tĩnh và động của vỏ với môi trường đàn hồi là một vấn đề
quan trọng hiện nay bởi vì vỏ trụ và vỏ nón được sử dụng rộng rãi trong các kết cấu kỹ
thuật hiện đại như: đường hầm, bể chứa, bình chịu áp, ống nước ngầm, đường ống dẫn, và
ống lót, thiết bị xử lí và trong một số ứng dụng khác. Một số trường hợp các vỏ này được
đặt vào trong môi trường nền là đất, các đường ống, động cơ và tên lửa được chứa đầy
nhiên liệu chất rắn và chất lỏng. Có những cách tiếp cận khác nhau để phân tích sự tương
tác của kết cấu và môi trường xung quanh. Hầu hết nền đất được biểu diễn thích hợp nhất
bằng mô hình toán học của Pasternak, trong khi đó đất cát và chất lỏng lại được biểu diễn
bởi mô hình của Winkler.

5



Năm 1884 một nhóm các nhà nghiên cứu vật liệu của Nhật Bản đã công bố một loại vật
liệu mới gọi là vật liệu cơ tính biến thiên FGM (Functionally Graded Material). Vật liệu loại
này được hình thành từ việc pha trộn hai loại vật liệu khác nhau mà vẫn giữ được những ưu
điểm của các vật liệu thành phần, chính vì vậy FGM có rất nhiều tính năn ưu việt như: Độ
cứng cao, hệ số dãn nở nhiệt, truyền nhiệt thấp…
Phân tích động lực kết cấu vỏ làm bằng vật liệu FGM là một vấn đề mở, và còn khá ít
các nghiên cứu được công bố. Gần đây các tác giả Đào Huy Bích, Vũ Đỗ Long [2] đã
nghiên cứu động lực của vỏ thoài không hoàn hảo FGM với bốn cạnh tựa bản lề và đưa ra
các phương trình cơ bản khi tính đến yếu tố phi tuyến hình học, đồng thời nhận được đáp
ứng phi tuyến tức thời của panel trụ và panel cầu chịu kích động ngoài. Các tác giả Đào Văn
Dũng và Vũ Hoài Nam [3] đã nghiên cứu khảo sát động lực phi tuyến cho vỏ thoải không
hoàn hảo FGM với hai cạnh ngàm và hai cạnh tựa bản lề. Nhóm tác giả Librescu.L, Lin W
[4], đã nghiên cứu sự vồng và dao động của mặt cắt biến dạng của tấm thẳng và cong trên
nền đàn hồi phi tuyến. Massalas C và Kafousias N [5] đưa ra dao động phi tuyến của vỏ trụ
thoải trên nền đàn hồi phi tuyến. Chiên RD và chen CS [6] đã nghiên cứu dao động phi
tuyến của tấm phân lớp trên nền đàn hồi phi tuyến. Nhóm tác giả Đào Huy Bích, Đào Văn
Dũng, Vũ Hoài Nam đã phân tích động lực phi tuyến của vỏ thoải hai độ cong gân gia
cường lệch tâm. Nguyễn Đình Đức và Trần Quốc Quân [8] đã nghiên cứu ổn định phi tuyến
của tấm FGM không hoàn hảo hai độ cong với gân gia cường lệch tâm trên nền đàn hồi có
kể đến yếu tố nhiệt.Nghiên cứu động lực của vỏ thoải FGM không hoàn hảo trên nền đàn
hồi tuyến tính gần đây được đưa ra bởi các tác giả Đỗ Quang Chấn [9].
Trong luận văn này tác giả trình bày nghiên cứu về dao động của vỏ cầu, vỏ trụ thoải
FGM đặt trên nền đàn hồi phi tuyến bậc 3. Mô hình hóa các bài toán, viết các phương trình
cân bằng trong trường hợp này, sau đó bằng việc sử dụng phương pháp Bubnov – Galerkin
đưa ra phương trình dao động phi tuyến của vỏ. Khảo sát số, tính tần số dao động riêng của
kết cấu và ảnh hưởng của các hệ số nền. Khảo sát dao động và đáp ứng thời gian của kết cấu
dưới sự tác động của kích thước hình học, hệ số nền, biên độ và tần số của lực kích động
ngoài bằng Maple và so sánh với các kết quả đã biết.
Luận văn bao gồm ba chương chính, phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo.
Chương 1. Trình bày hệ các phương trình cơ bản của vỏ thoải bằng vật liệ u có cơ tính

biế n thiên.
Chương 2. Phân tích dao động phi tuyế n của vỏ thoải trên nề n đàn hồ i .

6


Chương 3. Tính toán số để chỉ ra ảnh hưởng của chỉ số tỉ phần thể tích, của các kích
thước hình học, của hệ số nền đến các đáp ứng của vỏ.

Chương 1 Hê ̣ các phương trin
̀ h cơ bản của vỏ thoải bằ ng vâ ̣t liê ̣u có cơ tính biế n thiên
1.1 Vật liệu composite có cơ tính biến thiên (FGM)
Vâ ̣t liê ̣u compsite là vâ ̣t liê ̣u tổ ng hơ ̣p từ hai hay n hiề u vâ ̣t liê ̣u khác nhau t ạo nên vâ ̣t liê ̣u
mới có tin
́ h năng iu việt hơn hẳ n các vâ ̣t liê ̣u ban đầ u khi làm viê ̣c riêng rẽ như khố i lươ ̣ng
nhẹ, đô ̣ bề n cao , khả năng chồ ng nhiê ̣t , chố ng ăn mòn hóa hoă ̣c tố t,… Gầ n đây , mô ̣t số vâ ̣t
liệu composite có chức năng thông minh đã ra đời nhằ m đáp

ứng nhu cầu thực tiễn trong

việc chế tạo các cấu kiện hiện đại và thỏa mãn các điều kiện làm v

iê ̣c khắ c nghiê ̣t như các

vâ ̣t liê ̣u gia cường sơ ̣i , vâ ̣t liê ̣u cơ tin
́ h biế n thiên ,… Vâ ̣t liê ̣u có cơ tin
́ h biế n thiên (FGM)
đươ ̣c ta ̣o thành từ hai vâ ̣t liê ̣ u thành phầ n là gố m (Ceramic) và kim loại (Metal) trong đó tỷ
lê ̣ thể tích của các thành phần biến đổi trơn và liên tục từ mă ̣t này sang mă ̣t kia của kế t cấ u .
Vâ ̣t liê ̣u FGM khắ c khu ̣c đươ ̣c những nhươ ̣c điể m của các vâ ̣t liê ̣u truyề n thố ng


và

composite thông thường về khả năng chố ng chiụ các tác du ̣ng cơ , lý, hóa. Do có modul đàn
hồ i E cao và các hệ số truyền nhiệt K , hê ̣ số dañ nở nhiê ̣t  thấ p của gốm làm cho vật liệu
FGM có đô ̣ cứng cao và khả năng kháng nhiê ̣t tố t . Hơn nữa thành phầ n kim loa ̣i làm cho vâ ̣t
liê ̣u FGM trở nên mề m dẻo hơn và khắ c phu ̣c đươ ̣c sự ra ̣n nứt do tin
́ h giòn của vâ ̣t liê ̣u gố m
khi chiụ nhiê ̣t đô ̣ cao. Xem bảng 1.1
Bảng 1.1: Tính chất của một số vật liệu thành phần của vật liệu FGM

7


Vật liệu

Các tính chất
E ( N / m2 )

ν

α

K

ρ

Kim loại: Nhôm
(Al)


70.0 109

0.3

23 106

20.4

2707

Ti-6Al-4V

105.7 109

0.298

6.9 106

18.1

4429

Gốm : Zirconia

151109

0.3

10 106


2.09

3000

Nhôm oxit

320 109

0.26

7.2 106

10.4

3750

Cơ tin
́ h của vâ ̣t liê ̣u biế n thiên theo chiề u dày của vỏ theo quy luâ ̣t phân bổ lũy thừa phu ̣
thuô ̣c vào thể tích thành phầ n của các vâ ̣t liê ̣u tham gia ta ̣o thành vâ ̣t liê ̣u vỏ .

 2z  h 
E ( z )  EmVm  EcVc  Em   Ec  Em  

 2h 
 2z  h 
 ( z )   mVm  cVc   m   c   m  

 2h 
v( z )  v  const


k

k

(1.1)

Trong đó vm và vc lầ n lươ ̣t là phân tố thể tić h của gố m và kim loa ̣i đươ ̣c cho ̣n ; k là chỉ số đặc
trưng tỷ phầ n thể tić h, k là đại lượng không âm; h là độ dày của vỏ.
1.2 Các hệ thức cơ bản của vỏ thoải
Xét vỏ thoải có độ dày h và trên mặt phắng chiếu nằm ngang có dạng hình chữ nhật với
các cạnh tương ứng là a và b chịu tải nén phân bố đều qo trên nền đàn hồi. Bài toán đặt ra là
cần xác định tần số dao động riêng tự do tuyến tính, xây dựng mối quan hệ tần số - biên độ
và khảo sát đáp ứng của kết cấu khi chịu lực cưỡng bức. Mă ̣t trung bình của vỏ trong trường
hơ ̣p chung phải đươ ̣c xác đi ṇ h trong hê ̣ to ̣a đô ̣ cong . Tuy nhiên, đố i với vỏ thoải có đô ̣ nâng
mă ̣t giữa của vỏ nhỏ hơn nhiề u so với kích thước a , b nên người ta có thể dùng hê ̣ to ̣a đô ̣ Đề
các để thay cho hê ̣ to ̣a đô ̣ cong.

8


Hình 1.1: Vỏ thoải có mặt phẳng chiế u hình chữ nhật
Như vâ ̣y, trong trường hơ ̣p này sẽ có :
Quan hê ̣ phi tuyế n chuyể n vi ̣ - biế n dạng theo lý thuyết độ võng lớn và biến dạng nhỏ của
Von Karman là :
2

u
1  w 
 
 k1w  

 ,
x1
2  x1 
0
1

1 

2w
,
x12
2

v
1  v 
 
 k2 w  
 ,
x2
2  x2 
0
2

2 

2w
,
x22

 120 


u v w w


,
x2 x1 x1 x2

12 

2w
.
x1x2

(1.2)

Trong đó : 10 ,  20 , 120 là các thành phần biến dạng ở mặt trung b ình của vỏ. Đa ̣i lươ ̣ng u, v, w
là chuyển vị theo phương x, y, z tương ứng.
Phương trình tương thích biế n da ̣ng trong trường hơ ̣p này có da ̣ng :

9


2

 2w  2w 2w
 210  2 20  2 120
2w
2w
 2 


 k1 2  k2 2
  2
x22
x1 x1x2  x1x2 
x1 x22
x2
x1
Với

,

(1.3)

là các độ cong của vỏ.

Biế n da ̣ng ta ̣i các điể m cách mă ̣t trung bin
̀ h mô ̣t khoảng cách z là :

1  10  z 1 ,
 2   20  z  2 ,

(1.4)

 12    2 z 12 .
0
12

Liên hê ̣ ứng suấ t – biế n da ̣ng đươ ̣c cho bởi:

1

 1  v 2  ,
E
1
 2   2  v 1  ,
E
1
 12   12
G

1 

Trong đó G 

E  z
2 1  v 

Biể u diễn ngươ ̣c:

1 
2 
 12 

E z

1  v 2 
E  z

1  v 
2


1  v 2  ,
 2  v1  ,

(1.5)

E  z
 12 .
2 1  v 

Thay 1.4 vào 1.5 ta được:

1 

E  z

 10  v 20   z  1  v 2   ,

1  v  
2

E  z

2 

  20  v10   z   2  v 1   ,

1  v  

 12 


E  z
 120  2 z 12  .

2 1  v 

2

(1.6)

Các thành phần lực dãn và mômen được biểu diễn dưới dạng:

10


h
2
h

2

h
2
h

2

N1    1dz;

h
2

h 12

2

N 2    2 dz; N12    dz;

h
2
h

2

h
2
h

2

(1.7)

h
2
h 12

2

M 1    1.zdz; M 2    2 .zdz; M 12    .zdz;
Thay các liên hê ̣ (1.1),(1.2) và (1.4), (1.5) vào (1.7), tích phân theo z ta được:
Lực dañ :


N1 

h
2

  z dz 




h
2

h
2

E  z

 1  v  
2



0
1

h
2

 v 20   z  1  v  2  dz


h
2

h
2

1
1
 0  v 20   E  z dz 
   v  E  z .zdz
2  1
1  v 
1  v2  1 2 h
h




2

2

Tương tự ta cũng có:

N2 

h
2


E  z

  dz   1  v  
z





h
2

2

h
2



h
2

h
2

2
h
2

 E  z dz, E


2

h
2

h
2

1
1
 120  E  z dz 
12  E  z .zdz
2 1  v 
1 v
h
h

h
2



2

E  z
0
h 2 1  v   12  2 z 12 dz




Đặt: E1 



2

h
2





h
2

1
1
 0  v10   E  z dz 
   v  E  z .zdz
2  2
1  v 
1  v2  2 1 h
h

N12    12 dz 


 v10   z   2  v 1  dz


h
2



h
2

0
2



2



h
2

 E  z .zdz, E

3



h
2




2

h
2

 E  z .z dz
2



h
2

Khi đó:

N1 

E1
E2
 0  v 20  
   v  ,
2  1
1  v 
1  v2  1 2

11



N2 

E1
E2
0
0


v


  2  v1  ,


2
1
2
2
1

v
1

v
 
 

N12 

E1

E
 120  2 12 .
2 1  v 
1 v

(1.8)

Hoă ̣c ngươ ̣c la ̣i:

10 

1
E
 N1  vN2   2 1 ,
E1
E1

 20 

1
E
 N2  vN1   2  2 ,
E1
E1

 120 

2 1  v 
2E
N12  2 12.

E1
E1

(1.9)

Mômen:
h
2

  z .zdz 

M1 





h
2

h
2

E  z

 1  v  
2




0
1

h
2

 v 20   z  1  v 2   .zdz

h
2

h
2

1
1
 0  v 20   E  z .zdz 
 1  v 2   E  z .z 2dz.
2  1
2
1  v 
1  v 
h
h




2


2

Tương tự:

M2 

h
2

E  z

  .zdz   1  v  
z





h
2

h
2

2



h
2


 v10   z   2  v1   .zdz

h
2

h
2

1
1
 0  v10   E  z .zdz 
  2  v1   E  z .z 2dz.
2  2
2
1  v 
1  v 
h
h


h
2

M 12    12 .zdz 




0

2

h
2



2

2

h
2

E  z
0
h 2 1  v   12  2 z 12 .zdz



2

h
2

h
2

1
1

 120  E  z  .zdz 
12  E  z .z 2 dz.
2 1  v 
1 v
h
h


2



2

Khi đó:

12


M1 

E3
E2
0
0


v



 1  v 2  ,


1
2
2
2
1

v
1

v
 
 

M2 

E3
E2
0
0


v


   v  ,



2
1
1  v2 
1  v2  2 1

M12 

E
E2
 120  3 12 .
2 1  v 
1 v

Kế t hơ ̣p với (1.9) cho kế t quả:

E1E3  E22
E2
M1 
N1 
 1  v 2  ,
E1
E1 1  v 2 
E E  E2
E2
N 2  1 3 22   2  v1  ,
E1
E1 1  v 

M2 


(1.10)

E1E3  E22
E2
M12 
N12 
12 .
E1
E1 1  v 
Trong đó
h
2

h
2

2

2

k

 2z  h  
E1   E  z dz    Em   Ec  Em  
 dz
2
h

 
h

h

 

 Em z

h
2


h
2

E  Em  2 z  h 
 c
h

k  1  2h 

k 1 h
2


h
2

E  Em 

  Em  c
 h.

k 1 

h
2

h
2

2

2

k

 2z  h  
E2   E  z .zdz    Em   Ec  Em  
 .zdz
2
h

 
h
h

 
h
2

h
2


 2z  h 
  Em .zdz   Ec  Em   

2h 
h
h


2

k 1

.zdz

2

h
2

h
2

  2z  h  h   2z  h 
  Em .zdz   Ec  Em    h 
 

2h  2   2h 
h
h 



2

k 1

dz

2

13


z2
 Em .
2

h
2
h

2

 h 2  2 z  h k  2
  Ec  Em  


 k  2  2h 

h

2
h

2

h2  2 z  h 



2  k  1  2h 

k 1 h
2
h

2





 h2
h2 
  Ec  Em  


 k  2 2  k  1 


 Ec  Em  kh2

2  k  1 k  2 
Tài liệu tham khảo

[1]. Koizumi M. (1993), “ The concept of FGM”. Ceram Trans Funct Grad Mater; (34)
,pp.3-10.
[2]. Dao Huy Bich, Vu Do Long. (2010), “Non-linear dynamical analysis or inperfect
functionally graded material shallow shells”, Vietnam Journal of Mechnics, VAST 2010,
Vol.32, No. 2, pp. 1-14.
[3]. Đào Văn Dũng , Vũ Hoài Nam . (2010), “Phân tích động lực phi tuyến của vỏ thoải
không hoàn hảo có cơ tính biế n thiên với điề u

biên tựa b ản lề và ngàm” , Tuyể n tập các

công trình khoa học hội nghị khoa học toàn quốc CHVRBD lần thú X, Thái Nguyên.
[4]. Librescu L, Lin W. (1997), “Postbuckling and vibration of shear deformable flat and
curved panel on a nonlinear elastic foundation”, Int J Nonlinear Mech, 32, pp.211 - 225.
[5]. Massalas C, Kafousias N. ( 1979), “Nonlinear vibrations of shallow cylindrical panel on
a nonlinear elastic foundation”. J sound and vib, 66 (4), pp. 507 – 512.
[6]. Chien RD, Chen CS. (2005), “Nonlinear vibration of laminated plates on a nonlinear
elastic foundation”. Compos Struct, 70, pp. 90 – 99.
[7]. Dao Huy Bich, Dao Van Dung, Vu Hoai Nam. (2013), “Nonlinear dynamic analysis of
eccentrically stiffened functionally graded double curved thin shallow shells”, Compos
Struct, 96, pp.384 – 395.
[8]. Nguyen Dinh Duc, Tran Quoc Quan. (2013), “Nonlinear post buckling of imperfect
eccentrically stiffened P – FGM double curved thin shallow shells on elastic foundations in
thermal environments”, Compos Struct, 106,pp. 590 – 600.
[9]. Đỗ Quang Chấn(2014), Dao động phi tuyến của vỏ thoải FGM trên nền đàn hồi, Luận
văn thạc sỹ, Trường Đại học Khoa học tự nhiên.
[10]. Trần Lưu Chương, Phạm Sĩ Liêm (1967), Lý thuyết bản và vỏ mỏng đàn hồi, phòng
nghiên cứu toán cơ thuộc Ủy ban khoa học và kỹ thuật nhà nước.


14


15


ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
---------------------

Đinh Công Đạt

DAO ĐỘNG CỦA VỎ THOẢI FGM TRÊN NỀN ĐÀN HỒI CÓ TÍNH ĐẾN
TÍNH PHI TUYẾN BẬC BA

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Hà Nội – Năm 2014

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
1


TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
---------------------

Đinh Công Đạt

DAO ĐỘNG CỦA VỎ THOẢI FGM TRÊN NỀN ĐÀN HỒI CÓ TÍNH ĐẾN

TÍNH PHI TUYẾN BẬC BA

Chuyên ngành: Cơ học vật thể rắn.
Mã số: 604421

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS Đào Văn Dũng

Hà Nội – Năm 2014

Lời cảm ơn
Lời đầu tiên cho phép em gửi lời cảm ơn chân thành tới PGS.TS Đào Văn Dũng, người
đã hết lòng tận tình hướng dẫn và giúp đỡ em trong suốt quá trình thực hiện và hoàn thành
luận văn này.

2


Em cũng xin được bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới Khoa Sau Đại học, Khoa Toán –
Cơ – Tin học và đặc biệt là các thầy cô giáo đã dạy dỗ em trong suốt những năm học vừa
qua.
Em xin trân trọng cảm ơn các thầy, cô giáo trong Hội đồng chấm luận văn đã có những
ý kiến đóng góp quý báu giúp em mở rộng kiến thức, rút kinh nghiệm và làm luận văn của
em được hoàn thiện hơn.
Nhân đây em cũng xin được gửi lời cảm ơn tới gia đình, người thân, bạn bè, đồng
nghiệp đã luôn động viên, giúp đỡ em trong suốt quá trình học tập và làm luận văn.
Tuy đã có nhiều cố gắng, song luận văn không tránh khỏi những thiếu sót còn tồn tại,
kính mong nhận được sự chỉ dẫn, góp ý chân thành của các thầy cô giáo, các nhà khoa học
và các bạn.


Tác giả luận văn

Đinh Công Đạt

Phụ lục
Mở đầu.……………...…………………………………………………………………1
Chương 1. Hê ̣ các phương trin
̀ h cơ bản của vỏ thoải bằ ng vâ ̣t liê ̣u có cơ tin
́ h biế n thiên
(FGM). …………………………………………………………………………………3
1.1. Vật liệu composite có cơ tính biến thiên (FGM).…...……………………..3
1.2. Các hệ thức cơ bản của vỏ thoải………………..…………………………4

3


1.3. Phương triǹ h chuyể n đô ̣ng của vỏ thoải FGM trên nề n đàn hồ i …...……..10
Chương 2. Phân tích dao động phi tuyế n của vỏ thoải trên nền đàn hồ i……..………15
2.1. Điều kiện biên và phương pháp giải………………………………………15
2.2. Phân tích dao động của vỏ thoải…………………………………………..23
2.2.1. Dao đô ̣ng tự do tuyế n tính….. …………………………………..24
2.2.2. Quan hê ̣ giữa tầ n số và biên đô ̣ dao đô ̣ng tự do phi tuyế n ..…….25
2.2.3. Dao đô ̣ng cưỡng bức phi tuyế n .. ………………………………..26
Chương 3. Tính toán số………………………………………………………………28
3.1. Kết quả so sánh……………………………………………………………28
3.2. Tính toán số cho vỏ thoải FGM ………………..…………………………31
3.2.1. Tầ n số dao đô ̣ng riêng ….……………………………………….31
3.2.2. Khảo sát dao động phi tuyến…………………………………….32
3.2.2.1. Panel cầu…………. ….……………………………….33

3.2.2.2. Panel trụ.…………. ….……………………………….34
3.2.3. Ảnh hưởng của chỉ số mũ k. …………………………………….35
3.2.3.1. Panel cầu…………. ….……………………………….35
3.2.3.2. Panel trụ.…………. ….……………………………….36
3.2.4. Ảnh hưởng của kích thước hình học..….……………………….37
3.2.4.1. Panel cầu…………. ….……………………………….37
3.2.4.2. Panel trụ.…………. ….……………………………….38
3.2.5. Ảnh hưởng của biên độ lực ngoài..….….……………………….39
3.2.5.1. Panel cầu…………. ….……………………………….39
3.2.5.2. Panel trụ.…………. ….……………………………….40
3.2.6. Ảnh hưởng của tần số lực ngoài ....….….……………………….41
3.2.6.1. Panel cầu…………. ….……………………………….41
3.2.6.2. Panel trụ.…………. ….……………………………….42
3.2.7. Ảnh hưởng của hệ số nền.. ……....….….……………………….43
3.2.7.1. Panel cầu…………. ….……………………………….43
3.2.7.2. Panel trụ.…………. ….……………………………….46
Kết luận……...…………………………………………………………………….….51
Tài liệu tham khảo ...……………………………………………...…………………52
Phụ lục ….…………………….………………………………………………………53

4


Mở đầu
Vỏ là một trong những cấu trúc cơ bản và được sử dụng rộng rãi trong hầu hết các lĩnh
vực của cuộc sống. Sự tương tác tĩnh và động của vỏ với môi trường đàn hồi là một vấn đề
quan trọng hiện nay bởi vì vỏ trụ và vỏ nón được sử dụng rộng rãi trong các kết cấu kỹ
thuật hiện đại như: đường hầm, bể chứa, bình chịu áp, ống nước ngầm, đường ống dẫn, và
ống lót, thiết bị xử lí và trong một số ứng dụng khác. Một số trường hợp các vỏ này được
đặt vào trong môi trường nền là đất, các đường ống, động cơ và tên lửa được chứa đầy

nhiên liệu chất rắn và chất lỏng. Có những cách tiếp cận khác nhau để phân tích sự tương
tác của kết cấu và môi trường xung quanh. Hầu hết nền đất được biểu diễn thích hợp nhất
bằng mô hình toán học của Pasternak, trong khi đó đất cát và chất lỏng lại được biểu diễn
bởi mô hình của Winkler.

5


Năm 1884 một nhóm các nhà nghiên cứu vật liệu của Nhật Bản đã công bố một loại vật
liệu mới gọi là vật liệu cơ tính biến thiên FGM (Functionally Graded Material). Vật liệu loại
này được hình thành từ việc pha trộn hai loại vật liệu khác nhau mà vẫn giữ được những ưu
điểm của các vật liệu thành phần, chính vì vậy FGM có rất nhiều tính năn ưu việt như: Độ
cứng cao, hệ số dãn nở nhiệt, truyền nhiệt thấp…
Phân tích động lực kết cấu vỏ làm bằng vật liệu FGM là một vấn đề mở, và còn khá ít
các nghiên cứu được công bố. Gần đây các tác giả Đào Huy Bích, Vũ Đỗ Long [2] đã
nghiên cứu động lực của vỏ thoài không hoàn hảo FGM với bốn cạnh tựa bản lề và đưa ra
các phương trình cơ bản khi tính đến yếu tố phi tuyến hình học, đồng thời nhận được đáp
ứng phi tuyến tức thời của panel trụ và panel cầu chịu kích động ngoài. Các tác giả Đào Văn
Dũng và Vũ Hoài Nam [3] đã nghiên cứu khảo sát động lực phi tuyến cho vỏ thoải không
hoàn hảo FGM với hai cạnh ngàm và hai cạnh tựa bản lề. Nhóm tác giả Librescu.L, Lin W
[4], đã nghiên cứu sự vồng và dao động của mặt cắt biến dạng của tấm thẳng và cong trên
nền đàn hồi phi tuyến. Massalas C và Kafousias N [5] đưa ra dao động phi tuyến của vỏ trụ
thoải trên nền đàn hồi phi tuyến. Chiên RD và chen CS [6] đã nghiên cứu dao động phi
tuyến của tấm phân lớp trên nền đàn hồi phi tuyến. Nhóm tác giả Đào Huy Bích, Đào Văn
Dũng, Vũ Hoài Nam đã phân tích động lực phi tuyến của vỏ thoải hai độ cong gân gia
cường lệch tâm. Nguyễn Đình Đức và Trần Quốc Quân [8] đã nghiên cứu ổn định phi tuyến
của tấm FGM không hoàn hảo hai độ cong với gân gia cường lệch tâm trên nền đàn hồi có
kể đến yếu tố nhiệt.Nghiên cứu động lực của vỏ thoải FGM không hoàn hảo trên nền đàn
hồi tuyến tính gần đây được đưa ra bởi các tác giả Đỗ Quang Chấn [9].
Trong luận văn này tác giả trình bày nghiên cứu về dao động của vỏ cầu, vỏ trụ thoải

FGM đặt trên nền đàn hồi phi tuyến bậc 3. Mô hình hóa các bài toán, viết các phương trình
cân bằng trong trường hợp này, sau đó bằng việc sử dụng phương pháp Bubnov – Galerkin
đưa ra phương trình dao động phi tuyến của vỏ. Khảo sát số, tính tần số dao động riêng của
kết cấu và ảnh hưởng của các hệ số nền. Khảo sát dao động và đáp ứng thời gian của kết cấu
dưới sự tác động của kích thước hình học, hệ số nền, biên độ và tần số của lực kích động
ngoài bằng Maple và so sánh với các kết quả đã biết.
Luận văn bao gồm ba chương chính, phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo.
Chương 1. Trình bày hệ các phương trình cơ bản của vỏ thoải bằng vật liệ u có cơ tính
biế n thiên.
Chương 2. Phân tích dao động phi tuyế n của vỏ thoải trên nề n đàn hồ i .

6


Chương 3. Tính toán số để chỉ ra ảnh hưởng của chỉ số tỉ phần thể tích, của các kích
thước hình học, của hệ số nền đến các đáp ứng của vỏ.

Chương 1 Hê ̣ các phương trin
̀ h cơ bản của vỏ thoải bằ ng vâ ̣t liê ̣u có cơ tính biế n thiên
1.1 Vật liệu composite có cơ tính biến thiên (FGM)
Vâ ̣t liê ̣u compsite là vâ ̣t liê ̣u tổ ng hơ ̣p từ hai hay n hiề u vâ ̣t liê ̣u khác nhau t ạo nên vâ ̣t liê ̣u
mới có tin
́ h năng iu việt hơn hẳ n các vâ ̣t liê ̣u ban đầ u khi làm viê ̣c riêng rẽ như khố i lươ ̣ng
nhẹ, đô ̣ bề n cao , khả năng chồ ng nhiê ̣t , chố ng ăn mòn hóa hoă ̣c tố t,… Gầ n đây , mô ̣t số vâ ̣t
liệu composite có chức năng thông minh đã ra đời nhằ m đáp

ứng nhu cầu thực tiễn trong

việc chế tạo các cấu kiện hiện đại và thỏa mãn các điều kiện làm v


iê ̣c khắ c nghiê ̣t như các

vâ ̣t liê ̣u gia cường sơ ̣i , vâ ̣t liê ̣u cơ tin
́ h biế n thiên ,… Vâ ̣t liê ̣u có cơ tin
́ h biế n thiên (FGM)
đươ ̣c ta ̣o thành từ hai vâ ̣t liê ̣ u thành phầ n là gố m (Ceramic) và kim loại (Metal) trong đó tỷ
lê ̣ thể tích của các thành phần biến đổi trơn và liên tục từ mă ̣t này sang mă ̣t kia của kế t cấ u .
Vâ ̣t liê ̣u FGM khắ c khu ̣c đươ ̣c những nhươ ̣c điể m của các vâ ̣t liê ̣u truyề n thố ng

và

composite thông thường về khả năng chố ng chiụ các tác du ̣ng cơ , lý, hóa. Do có modul đàn
hồ i E cao và các hệ số truyền nhiệt K , hê ̣ số dañ nở nhiê ̣t  thấ p của gốm làm cho vật liệu
FGM có đô ̣ cứng cao và khả năng kháng nhiê ̣t tố t . Hơn nữa thành phầ n kim loa ̣i làm cho vâ ̣t
liê ̣u FGM trở nên mề m dẻo hơn và khắ c phu ̣c đươ ̣c sự ra ̣n nứt do tin
́ h giòn của vâ ̣t liê ̣u gố m
khi chiụ nhiê ̣t đô ̣ cao. Xem bảng 1.1
Bảng 1.1: Tính chất của một số vật liệu thành phần của vật liệu FGM

7


Vật liệu

Các tính chất
E ( N / m2 )

ν

α


K

ρ

Kim loại: Nhôm
(Al)

70.0 109

0.3

23 106

20.4

2707

Ti-6Al-4V

105.7 109

0.298

6.9 106

18.1

4429


Gốm : Zirconia

151109

0.3

10 106

2.09

3000

Nhôm oxit

320 109

0.26

7.2 106

10.4

3750

Cơ tin
́ h của vâ ̣t liê ̣u biế n thiên theo chiề u dày của vỏ theo quy luâ ̣t phân bổ lũy thừa phu ̣
thuô ̣c vào thể tích thành phầ n của các vâ ̣t liê ̣u tham gia ta ̣o thành vâ ̣t liê ̣u vỏ .

 2z  h 
E ( z )  EmVm  EcVc  Em   Ec  Em  


 2h 
 2z  h 
 ( z )   mVm  cVc   m   c   m  

 2h 
v( z )  v  const

k

k

(1.1)

Trong đó vm và vc lầ n lươ ̣t là phân tố thể tić h của gố m và kim loa ̣i đươ ̣c cho ̣n ; k là chỉ số đặc
trưng tỷ phầ n thể tić h, k là đại lượng không âm; h là độ dày của vỏ.
1.2 Các hệ thức cơ bản của vỏ thoải
Xét vỏ thoải có độ dày h và trên mặt phắng chiếu nằm ngang có dạng hình chữ nhật với
các cạnh tương ứng là a và b chịu tải nén phân bố đều qo trên nền đàn hồi. Bài toán đặt ra là
cần xác định tần số dao động riêng tự do tuyến tính, xây dựng mối quan hệ tần số - biên độ
và khảo sát đáp ứng của kết cấu khi chịu lực cưỡng bức. Mă ̣t trung bình của vỏ trong trường
hơ ̣p chung phải đươ ̣c xác đi ṇ h trong hê ̣ to ̣a đô ̣ cong . Tuy nhiên, đố i với vỏ thoải có đô ̣ nâng
mă ̣t giữa của vỏ nhỏ hơn nhiề u so với kích thước a , b nên người ta có thể dùng hê ̣ to ̣a đô ̣ Đề
các để thay cho hê ̣ to ̣a đô ̣ cong.

8


Hình 1.1: Vỏ thoải có mặt phẳng chiế u hình chữ nhật
Như vâ ̣y, trong trường hơ ̣p này sẽ có :

Quan hê ̣ phi tuyế n chuyể n vi ̣ - biế n dạng theo lý thuyết độ võng lớn và biến dạng nhỏ của
Von Karman là :
2

u
1  w 
 
 k1w  
 ,
x1
2  x1 
0
1

1 

2w
,
x12
2

v
1  v 
 
 k2 w  
 ,
x2
2  x2 
0
2


2 

2w
,
x22

 120 

u v w w


,
x2 x1 x1 x2

12 

2w
.
x1x2

(1.2)

Trong đó : 10 ,  20 , 120 là các thành phần biến dạng ở mặt trung b ình của vỏ. Đa ̣i lươ ̣ng u, v, w
là chuyển vị theo phương x, y, z tương ứng.
Phương trình tương thích biế n da ̣ng trong trường hơ ̣p này có da ̣ng :

9



2

 2w  2w 2w
 210  2 20  2 120
2w
2w
 2 

 k1 2  k2 2
  2
x22
x1 x1x2  x1x2 
x1 x22
x2
x1
Với

,

(1.3)

là các độ cong của vỏ.

Biế n da ̣ng ta ̣i các điể m cách mă ̣t trung bin
̀ h mô ̣t khoảng cách z là :

1  10  z 1 ,
 2   20  z  2 ,

(1.4)


 12    2 z 12 .
0
12

Liên hê ̣ ứng suấ t – biế n da ̣ng đươ ̣c cho bởi:

1
 1  v 2  ,
E
1
 2   2  v 1  ,
E
1
 12   12
G

1 

Trong đó G 

E  z
2 1  v 

Biể u diễn ngươ ̣c:

1 
2 
 12 


E z

1  v 2 
E  z

1  v 
2

1  v 2  ,
 2  v1  ,

(1.5)

E  z
 12 .
2 1  v 

Thay 1.4 vào 1.5 ta được:

1 

E  z

 10  v 20   z  1  v 2   ,

1  v  
2

E  z


2 

  20  v10   z   2  v 1   ,

1  v  

 12 

E  z
 120  2 z 12  .

2 1  v 

2

(1.6)

Các thành phần lực dãn và mômen được biểu diễn dưới dạng:

10