Phương trình lượng giác

Phương trình lượng giác
I. Các phương trình lượng giác cơ bản
1. Phương trình cơ bản
a) Phương trình

(1)

Nếu

thì phương trình (1) vô nghiệm

Nếu

, gọi

là một nghiệm của (1), tức

khi đó ta có

Ví dụ 1: Giải các phương trình sau
1.

2.
b) Phương trình

(2)

Nếu

thì phương trình (2) vô nghiệm

Nếu

, gọi

là một nghiệm của (2), tức

khi đó ta có

Ví dụ 2: Giải các phương trình sau
1.

2.
c) Phương trình

(3)

1
Th.s Nguyễn Dương ĐT 0932528949

45-Hồng Lĩnh Nha Trang


Phương trình lượng giác
Điều kiện
Gọi

là một nghiệm của (3), khi đó ta có


Ví dụ 3: Giải các phương trình sau:

1.
2.
d) Phương trình

(4)

Điều kiện
Gọi

là một nghiệm của (4), khi đó ta có

Ví dụ 4: Giải các phương trình sau:
1.
2.

2. Phuơng trình

(5)

Cách 1: Chia hai vế phương trình cho

ta có phương trình (5) tương đương với

phương trình

2
Th.s Nguyễn Dương ĐT 0932528949


45-Hồng Lĩnh Nha Trang


Phương trình lượng giác
Chọn α sao cho

Với

Cách 2: Đặt

, khi đó ta có phương trình:

. Tới đây ta giải như phương trình (1).

, khi đó

Khi đó phương trình (5) được đưa về phương trình bậc hai theo t, giải ra t và suy ra nghiệm
của (5)
3. Phương trình thuần nhất bậc hai:

(6)

Cách 1: Áp dụng công thức hạ bậc

và

ta đưa có phương trình:

Phương trình này đã biết cách giải ở phần trên
Cách 2: Cách này ta xét hai trường hợp

Trường hợp 1:
Trường hợp 2:

có là nghiệm của phương trình không?
Chia hai vế của phương trình cho

, khi đó phương trình trở

thành:

3
Th.s Nguyễn Dương ĐT 0932528949

45-Hồng Lĩnh Nha Trang


Phương trình lượng giác
Phương trình trên là phương trình bậc hai theo

, ta có thể giải được.

4. Bài tập
Bài 1. Giải các phương trình lượng giác sau:

a)
b)
c)
d)
e)
f)

g)

Bài 2. Giải các phương trình lượng giác sau:
a)
b)
c)

d)
e)

Bài 3. Tìm

để các phương trình sau có nghiệm

a)

4
Th.s Nguyễn Dương ĐT 0932528949

45-Hồng Lĩnh Nha Trang


Phương trình lượng giác
b)
c)

Bài 4. Cho phương trình
a) Tìm

để phương trình có nghiệm


b) Tìm

để phương trình có nghiệm thuộc

Bài 5. Giải các phương trình lượng giác sau:

a)
b)
c)
d)

Bài 6. Định

để các phương trình sau có nghiệm

a)
b)

II.Các phương pháp giải và các dạng phương trình lượng giác thường gặp
1. Phương pháp biến đổi về dạng cơ bản
Đây là phương pháp cơ bản nhất trong việc giải phương trình lượng giác. Trong phương
pháp này, chúng ta biến đổi phương trình đã cho thành trở thành những phương trình cơ bản
đã biết cách giải (1) – (6). Chúng ta chú ý tới các cung liên kết, công thức hạ bậc,…. Sau đây
là một vài ví dụ
Ví dụ 1. Giải phương trình lượng giác sau

5
Th.s Nguyễn Dương ĐT 0932528949


45-Hồng Lĩnh Nha Trang


Phương trình lượng giác
(1)
Lời giải. Phương trình đã cho tương đương với

Ví dụ 2. Giải phương trình lượng giác sau:
(2) (Khối B – 2009)
Lời giải. Ta có phương trình đã cho tương đương với

Bài tập. Giải các phương trình lượng giác sau:
6
Th.s Nguyễn Dương ĐT 0932528949

45-Hồng Lĩnh Nha Trang


Phương trình lượng giác
(ĐHSP HCM B, D 2001)

a)
b)
c)

d)
e)
f)
g)


(CĐ Hải Quan 1998)

h)

i)
j)

(D, 2009)

k)

2. Phương pháp đặt ẩn phụ
Phương pháp đặt ẩn phụ được sử dụng khi phương trình đã cho có biểu thức lượng
giác chung nào đó, hoặc từ phương trình ban đầu ta biến đổi để đưa về phương trình theo
một hàm lượng giác nào đó,… Trong mục “Phương trình lượng giác cơ bản” ta đã sử dụng
phương pháp đặt ẩn phụ để giải phương trình (5) và (6), ngoài ra còn nhiều phương trình có
thể giải bằng phương pháp này, sau đây tôi xin nêu ra vài dạng quen thuộc nhất.
Dạng 1. Phương trình đưa về phương trình với một hàm lượng giác
Đối với dạng này, ta thường biến đổi phương trình về chỉ còn một hàm số lượng giác,
sử dụng công thức hạ bậc (tăng cung),

Ví dụ 3: Giải phương trình

(3)

7
Th.s Nguyễn Dương ĐT 0932528949

45-Hồng Lĩnh Nha Trang



Phương trình lượng giác
Lời giải. Đặt

, khi đó ta có

, phương trình trở thành

Với

Ví dụ 4. Giải phương trình

(4)

Lời giải.
Ta có

Đặt

, phương trình trở thành

Ví dụ 5. Giải phương trình

(5)

Lời giải: Điều kiện

Đặt

, phương trình trở thành

8

Th.s Nguyễn Dương ĐT 0932528949

45-Hồng Lĩnh Nha Trang


Phương trình lượng giác

Với

Với
Bài tập. Giải các phương trình lượng giác sau

a)
b)
c)
d)
e)

f)
g)

Dạng 2. Phương trình đưa về hàm tang
Biến đổi phương trình về chỉ còn hàm tang, hoặc đặt ẩn

và tính tất cả các biểu

thức còn lại theo . Các phương trình (5), (6) trong phần “Phương trình lượng giác cơ bản” là
những ví dụ cơ bản nhất của dạng toán này, sau đây chúng ta xét một vài ví dụ khác.

Ví dụ 6. Giải phương trình sau:

(6)

Lời giải.

9
Th.s Nguyễn Dương ĐT 0932528949

45-Hồng Lĩnh Nha Trang


Phương trình lượng giác
Ta thấy

không phải là nghiệm của phương trình.

Chia hai vế của phương trình cho

Đặt

ta được phương trình

, ta có phương trình

Với
Với

Với


Ví dụ 7. Giải phương trình
Lời giải. Điều kiện

Đặt
Phương trình trở thành

10
Th.s Nguyễn Dương ĐT 0932528949

45-Hồng Lĩnh Nha Trang


Phương trình lượng giác
Với

Với
Bài tập.
Bài 1. Giải các phương trình sau:
a)
b)
c)
d)
e)

(Dự bị A, 2006)

f)

Bài 2. Giải các phương trình sau:
a)


(ĐHQG HN, D, 2000)

b)

(SPHN, B, 2001)

c)
d)
e)

(ĐH Thủy Lợi 1999)

f)
g)

(Dự bị D, 2007)

h)

(Dự bị, A , 2008)
11

Th.s Nguyễn Dương ĐT 0932528949

45-Hồng Lĩnh Nha Trang


Phương trình lượng giác
Dạng 3. Phương trình

Cách giải
Đặt

, đưa phương trình đã cho về phương trình bậc 2 theo . Giải
phương trình này ra nghiệm , từ đó đưa về dạng phương trình cơ bản (1) đã biết cách giải.
Ví dụ 8: Giải phương trình

(8)

Lời giải.

Đặt

Với

, suy ra

. Phương trình (8) trở thành:

ta có

Ví dụ 9: Giải phương trình

(9) (ĐH Cảnh Sát

2000)
Lời giải.
Đặt

. Khi đó


12
Th.s Nguyễn Dương ĐT 0932528949

45-Hồng Lĩnh Nha Trang


Phương trình lượng giác
Phương trình trở thành

Với

Với
Bài tập. Giải các phương trình lượng giác sau
a)

(ĐH Ngoại Ngữ HN, 2000)

b)

(ĐHQG TPHCM, 2000)

c)
d)

(ĐH Nông Nghiệp, HN, 2000)
(ĐHSP TPHCM, 2001)

e)


(Dự bị A, 2007)

f)
g)

3. Phương pháp phân tích thành tích
Đây là phương pháp cơ bản và thường được sử dụng nhất trong việc giải phương trình
lượng giác. Việc phân tích tùy thuộc vào bài toán, tuy nhiên chúng ta cần biết một số biến
đổi hay sử dụng như: các công thức biến tổng thành tích,

,
,…Chúng ta sẽ xét một vài ví dụ

sau đây.
Ví dụ 10. Giải phương trình lượng giác:
(B, 2008)
13
Th.s Nguyễn Dương ĐT 0932528949

45-Hồng Lĩnh Nha Trang


Phương trình lượng giác
Lời giải.

Ví dụ 11 Tìm nghiệm thuộc

của phương trình sau
(11)


(ĐH khối A, 2007)
Lời giải.

Từ đó ta có các nghiệm thuộc

của phương trình trên là:

14
Th.s Nguyễn Dương ĐT 0932528949

45-Hồng Lĩnh Nha Trang


Phương trình lượng giác
Ví dụ 12. Giải phương trình:

(12) (A, 2003)

Lời giải.
Điều kiện
Ta có

TH1:
TH2:

(Vô nghiệm)

Bài tập
Bài 1. Giải các phương trình sau:
a)

b)
c)
d)
e)

Bài 2. Giải các phương trình sau:
(ĐHSP TPHCM 2000)

a)

b)
c)
d)

4. Phuơng pháp đánh giá (sẽ được trình bày sau)
III. Phương trình lượng giác trong các kì thi đại học gần đây
15
Th.s Nguyễn Dương ĐT 0932528949

45-Hồng Lĩnh Nha Trang


Phương trình lượng giác
1. (A, 2005)
2. (B, 2005)
3. (D, 2005)
4. (Dự bị 2005)
5. (Dự bị 2005)

6. (A, 2006)

7. (B, 2006)
8. (D, 2006)
9. (Dự bị A, 2006)
10. (Dự bị A, 2006)
11. (Dự bị B, 2006)
12. (Dự bị B, 2006)
13. (Dự bị D, 2006)
14. (Dự bị D, 2006)
15. (B, 2007)
16. (D, 2007)
17. (Dự bị A, 2007)
18. (Dự bị A, 2007)
19. (Dự bị B, 2007)
16
Th.s Nguyễn Dương ĐT 0932528949

45-Hồng Lĩnh Nha Trang


Phương trình lượng giác
20. (Dự bị B, 2007)
21. (Dự bị D, 2007)
22. (Dự bị D, 2007)

23. (A, 2008)
24. (D, 2008)
25. (Dự bị A, 2008)
26. (Dự bị A, 2008)
27. (Dự bị B, 2008)
28. (Dự bị B, 2008)

29. (Dự bị D, 2008)
30. (A, 2009)
31.

(D, 2009)

Chúc các em làm bài tốt.

17
Th.s Nguyễn Dương ĐT 0932528949

45-Hồng Lĩnh Nha Trang