Nội dung
1.
2.
3.
4.

Điện thế

Thế năng tĩnh điện
Điện thế
Lưỡng cực điện
Lưu số của trường tĩnh điện

Lê Quang Nguyên
www4.hcmut.edu.vn/~leqnguyen


1. Thế năng tĩnh điện - 1
• Lực tĩnh điện là lực thế:

1. Thế năng tĩnh điện - 2
• Của hệ điện trường E và điện tích q tại M:

F = qE B

P

WA→B = U A − U B = −∆U

• U là thế năng tĩnh điện của
hệ điện trường E và điện

tích điểm q.
• Dạng vi phân:
dW = −dU
• U còn gọi là năng lượng
tĩnh điện.

II

q

I

F
A

WI = WII

U = q ∫ E ⋅ dr

P là gốc thế năng

M

• Của hệ hai điện tích điểm (gốc ở ∞):
U =k

q1q2
r

U > 0: hệ đẩy nhau

U < 0 : hệ hút nhau


1. Thế năng tĩnh điện - 3

Bài tập 1
Điện tích q được đặt trong
điện trường đều E. Chọn
gốc thế năng tại gốc tọa
độ. Tìm thế năng của q
theo vị trí x.

• Của hệ điện tích điểm (gốc ở ∞):

U = ∑k
(i , j )

qi q j
rij

Bài tập 2

q
(c) Ue = k
4+ 2
2a

(

q2

(b) Ue = k
4+ 2
2a

(

)
)

x

Trả lời BT2

Ba điện tích điểm q được đặt tại ba đỉnh của
một hình vuông cạnh a. Năng lượng tĩnh điện
của hệ điện tích bằng:

(

q

O

Tổng theo các cặp điện tích

q
(a) Ue = k 4 + 2
a

E


q2
(d) Ue = k
4+ 2
a

(

)
)

q2
U1 = k
a

q2
U3 = k
a 2

q2
U2 = k
a

a

q2 
1 
q2
Ue = k  2 +
 = k 2a 4 + 2

a
2

(

Câu trả lời đúng là (b)

a 2

a

)


2. Điện thế - 1
• Điện thế do điện trường E tạo ra tại M:
P

U
VM = = ∫ E ⋅ dr
q M

• Hiệu điện thế giữa hai vị trí:
M

J/C hay Volt (V)

• U là thế năng của hệ E + q
• Điện thế do điện tích điểm tạo ra ở khoảng
cách r (gốc ở ∞):

V =k

2. Điện thế - 2

VM − VN = − ∫ E ⋅ dr
N

• Dạng vi phân:

dV = −E ⋅ dr

q
r

2. Điện thế - 3
• Điện thế tạo bởi một hệ điện tích điểm =
• tổng điện thế của từng điện tích điểm.
• Nếu là một phân bố điện tích liên tục:
Chia làm nhiều phần nhỏ vi phân,
Coi mỗi phần là một điện tích điểm.
Tổng được thay thế bằng tích phân.

2. Biểu thức khác của thế năng tĩnh điện
• Hệ điện trường E và điện tích q tại M:
U = qVM

VM: điện thế do E tạo ra ở M

• Hệ N điện tích điểm:
1 N

U = ∑ qiVi
2 i =1

• Vi là điện thế tại vị trí đặt qi, do các điện tích
còn lại tạo nên.


Bài tập 3

Trả lời BT3

Một dây dẫn mảnh, tích điện đều với mật độ
điện dài λ, được uốn thành một nửa vòng tròn
tâm O, bán kính R. Biểu thức nào sau đây cho
biết thế năng của một điện tích điểm q0 đặt ở
tâm O:
q0λ
2ε 0
qλ
(c) U = 0
4ε 0

(a) U =

q0λ
4ε 0R
qλ
(d) U = 0
2ε 0R


(b) U =

Thế năng tĩnh điện của
q0: U = q0V
V là điện thế do dây tích
điện tạo ra ở O:

dq
R
q0
O

dq kq
=
V = ∫k
R
R
V=

λq
1
λ
λ (π R ) =
⇒U = 0
4πε 0R
4ε 0
4ε 0

Câu trả lời đúng là (c)


2. Tìm điện trường từ điện thế

dV = −E ⋅ dr = − ( E x dx + E ydy + E zdz )
dV =

∂V
∂V
∂V
dx +
dy +
dz
∂x
∂y
∂z

∂V
∂V
∂V
⇒ Ex = −
, Ey = −
, Ez = −
∂x
∂y
∂z
E = − gradV

gradV =

∂V
∂V

∂V
i+
j+
k
∂x
∂y
∂z

Bài tập 4
Một điện trường có điện thế xác định trong
không gian theo biểu thức ܸ = 3‫ݕݔ‬2 − ‫ ݖ‬.
Vectơ điện trường là:
(a) E = 0

(

(c) E = −3 y 2 , − 6 xy , 1

(

(

(b) E = 3 y 2 , 6 xy , − 1

)

(d) E = −3 y 2 + z , − 6 xy + z , 3xy 2 + 1

)


)


2. Mặt đẳng thế – Định nghĩa

2. Mặt đẳng thế – Tính chất

• Mặt đẳng thế là tập hợp các điểm có cùng
một điện thế trong điện trường.

• Điện trường luôn vuông góc với mặt đẳng
thế,
• và hướng theo chiều giảm của điện thế.
• Khi điện tích dịch chuyển trên một mặt đẳng
thế thì công của lực tĩnh điện bằng không.

V ( x , y , z ) = const
• Ví dụ: điện trường của điện tích điểm q có
mặt đẳng thế là các mặt cầu có tâm đặt tại q

q
V = k = const ⇔ r = const
r

Bài tập 5
Điện trường
xi + yj
E =a 2
a = const
x + y2

có mặt đẳng thế là:

(a) Mặt nón tròn xoay
(b) Mặt trụ tròn xoay
(c) Mặt cầu
(d) Mặt phẳng

Trả lời BT5
• Điện trường có phương
vuông góc với trục z.
• Trong mỗi mặt phẳng ⊥
trục z, đường sức là
những đường xuyên
tâm.
• Mặt đẳng thế ⊥ với điện
trường, là các mặt trụ
tròn xoay.
• Câu trả lời đúng là (b)

z
E
xi + yj

E
r

O


3a. Lưỡng cực điện


r+

݀Ԧ

d

O

x
–q

–q

V+ = k

q
r+

V− = −k

q
r−

3a. Lưỡng cực điện – 3
r 2 = x 2 + z 2 , cosθ =

r+

Khi r >> d ta có gần đúng:

d
dcosθ

z
r

V = kp

z
z
= kp
3
r
x 2 + z2

Ex = −

∂V
xz
= 3kp 5
∂x
r

r–
θ

p cosθ
V =k
r2


r–

θ

1 1
 r −r 
V = kq  −  = kq  − + 
 r+ r− 
 r+r− 

Suy ra:

r

+q

+q

3a. Lưỡng cực điện – 2

r+r− ≈ r 2

M

z

Lưỡng cực điện là hệ hai điện
tích điểm +q và −q, cách nhau
một khoảng d.
Momen lưỡng cực điện:

‫݌‬Ԧ = ‫݀ݍ‬Ԧ, ݀Ԧ hướng từ −q đến +q.
Tìm:
(a) Điện thế do lưỡng cực điện
tạo ra ở khoảng cách r ≫ d.
(b) Điện trường từ biểu thức
của điện thế.

r− − r+ ≈ d cosθ

3a. Lưỡng cực điện – 1

z

(

z

)

∂V
3z 2 − r 2
Ez = −
= kp
∂z
r5

3
2

θ


r

x


Bài tập 6

3a. Lưỡng cực điện – 4

Một dipole điện có momen p = qd được đặt
trong chân không. Điện trường do dipole tạo
ra tại điểm M nằm trên đường trung trực của
lưỡng cực và cách trục một đoạn r >> d là:

Độ lớn điện trường:

E = E x2 + E z2
=

kp 2
r + 3z 2
4
r

E=

p
r3
p

(c) E = k 3
2r

(a) E = −k

kp
1 + 3cos2 θ
3
r

E = −k

p
r3

p
r3

(d) E = −k

p
2r 3

3b. Lưỡng cực điện trong điện trường

Trả lời BT6
• Điện trường của dipole:
p
E = k 3 1 + 3cos2 θ
r

• Trên trung trực θ = ±90°:
p
E =k 3
r
• E hướng ngược chiều p:

(b) E = k

Đặt một lưỡng cực điện có momen lưỡng cực
p trong một điện trường đều E. Hãy tìm:
trung trực
݀Ԧ

(a) Thế năng tĩnh điện của lưỡng cực điện.
(b) Momen lực tĩnh điện tác động lên lưỡng
cực điện.


3b – 1
Thế năng tĩnh điện:

3b – 2
• Momen lực:

E

U = qVM − qVN = q (VM − VN )

M


M

= −q ∫ E ⋅ dr
N

(

M

)

d
N
–qE

τ = q ( rM − rN ) × E

U = −qE . ∫ dr = −qE ⋅ d
N

U = −p ⋅ E

M

• Momen toàn phần:

N

U cực tiểu khi p //
cùng chiều với điện

trường ngoài

3b. Lò vi sóng
• Các phân tử nước là những
lưỡng cực điện.
• Trong một điện trường
xoay chiều (tần số radio),
các phân tử nước dao động
để momen lưỡng cực luôn
cùng chiều điện trường.
• Ma sát giữa chúng với môi
trường chung quanh tạo
nên nhiệt.
• Minh họa

+qE

τ + = rM × qE

τ − = rN × −qE

d

E

= qd × E

rN

Momen lực sẽ quay

dipole sao cho p song
song với E

τ = p×E

4a. Lưu số của trường tĩnh điện - 1
• Lưu số của E trên (C) là:
p H+

H+

O--

ΓC =

rM

∫ E ⋅ dr

E

(C )

E
p

E
(C)

dr


O


4a. Lưu số của trường tĩnh điện - 2
• Công thực hiện khi điện
tích di chuyển trên một
đường kín = không.
• Lưu số điện trường theo
một đường kín = 0.
• Trường tĩnh điện có đường
sức không khép kín: trường
không có xoáy.
• Dòng nước không có xoáy
trên (C):

q ∫ E ⋅ dr = 0
(C )

∫ E ⋅ dr = 0
(C )

∫ v .dr = 0
(C )

4b. Rotation – Tính chất
• Lưu số của E theo một đường kín = 0:

4b. Rotation – Định nghĩa
• ΔΓ là lưu số của E trên

chu tuyến nhỏ (C).
• Định nghĩa rot‫ ܧ‬ở M:

∆Γ
= rotE ⋅ n
∆S →0 ∆S
lim

• Giới hạn này thay đổi
khi quay (C),
cực đại khi ݊ ↗↗ ‫ܧݐ݋ݎ‬

4c. rot‫ݒ‬Ԧ của dòng chảy xoáy

rotE

n

ΔS
M
(C)

dr

Chiều của n và dr
liên hệ với nhau
theo quy tắc bàn
tay phải.

rotv


lim ∆Γ ∆S = rotv ⋅ n

∆S →0

rotE = 0

 ∂E ∂E 
rotE = i  z − y  +
∂z 
 ∂y
i
∂
( rotE )x =
∂x
Ex

j
∂
∂y
Ey

∂E 
 ∂E ∂E   ∂E
j  x − z  +k  y − x 
∂x   ∂x
∂y 
 ∂z
k
∂E ∂E

∂
= z− y
∂y
∂z
∂z
Ez

• Quay (C) sao cho n cùng
chiều rotv → lưu số cực
đại.
• Đặt một chong chóng
nhỏ vào dòng nước xoáy.
• Khi chong chóng quay
nhanh nhất thì trục quay
chỉ chiều của rotv.

n
(C)
v
n


Tóm tắt: Năng lượng tĩnh điện

Tóm tắt: Điện thế
P

Hệ E và điện tích q đặt tại M:

của E tại M: VM = ∫ E ⋅ dr


P

U = q ∫ E ⋅ dr

P: gốc thế năng

M

M

của điện tích q: V = k

VM: điện thế do
E tạo ra ở M

U = qVM

q
r

U
q

goቷ ctheቷ nă ngở∞

M

qq
Cặp điện tích:

U =k 1 2
r
Hệ N điện tích = tổng năng lượng của các cặp

hay: U =

VM =

Hiệu thế: VM − VN = − ∫ E ⋅ dr

dV = −E ⋅ dr

N

Liên hệ giữa E và V: E = − gradV

N

1
∑ qiVi
2 i =1

E ⊥ mặt đẳng thế, hướng từ V cao đến V thấp

Tóm tắt: Dipole điện

z

Momen dipole: p = qd


+q

Điện thế: V = k

p cosθ
r2

Điện trường: E =

M
r
θ

݀Ԧ
–q

kp
1 + 3cos2 θ
3
r

Thế năng trong điện trường: U = − p ⋅ E
Momen lực trong điện trường: τ = p × E

x