DapanDaisoHK2011 1 Đại học Bách Khoa
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (43.1 KB, 1 trang )
Đáp án đề thi Đại số tuyến tính, năm 2010-2011, ca 1
Thang điểm: câu 1, 2, 5, 6: 1.5 điểm. Các câu còn lại 1 điểm.
Nếu cách làm đúng mà đáp án sai, thì vẫn cho điểm tùy theo mức độ.
√
Câu 1. det ( A) = −5 + 5 i = 5 2 ( c o s ( 3 π/4 + i s in 3 π/4 ) .
√
√
3 π/4 + k2 π
3 π/4 + k2 π
5
z = zk = 10 5 0 c o s
, k = 0 , 1 , ..., 4 .
+ i s in
5
5
5
1 −1
−2 3 −4 1 1
1 −1
−5
8
Câu 2. X = A−1 B T − 2 I , A−1 = 4
Suy ra X = −1 9
−3 0
1
1 8
2
−4
Câu 3. Đưa về bậc thang, giải ra được nghiệm tổng quát X = ( 2 α + 3 β, −α − β, α, β) .
√
√
Câu 4. Độ dài vécto ||u|| = ( u, u) = 3 + 4 + 4 + 2 0 + 1 = 3 2
Câu 5. Có nhiều cách làm. Tìm f( 1 , 0 , 0 ) = ( 1 8 , 1 0 , 1 0 ) , f( 0 , 1 , 0 ) = ( −1 2 ,
−5 , −8 ) , f ( 0 , 0 , 1 ) =
1 8 −1 2 −1 2
−5
−8
( −1 2 , −8 , −5 ) , suy ra ma trận của f trong chính tắc là A =
1 0
1 0
−8
−5
Ứng với trò riêng λ1 = 3 , giải hệ ( A − 3 I) X = 0 , ta có nghiệm X = ( 4 α, 5 α − β, β) T . Suy ra tất cả
các vécto riêng của f ứng với trò riêng λ1 = 3 là X = ( 4 α, 5 α − β, β)
Câu 6. f ( 1 , 1 , 1 ) = ( 0 , 4 , 1 ) , suy ra [f ( 1 , 1 , 1 ) ]E = ( −1 , 5 , −4 ) T ;
f ( 1 , 1 , 0 ) = ( 3 , 3 , 1 ) , suy ra [f( 1 , 1 , 0 ) ]E = ( 1 , 2 , 0 )
T
−1 1 1
T
2 0
f ( 1 , 0 , 0 ) = ( 2 , 1 , 1 ) , suy ra [f( 1 , 0 , 0 ) ]E = ( 1 , 0 , 1 ) . Ma trận cần tìm: A = 5
−4 0 1
5
−2
Câu 7. Ma trận của dạng toàn phương: A =
. Chéo hóa trực giao A = P DP T , trong
−2
8
1
2
√
√
9 0
5
5
đó D =
, P = −2
.
1
0 4
√
√
5
5
Dạng chính tắc cần tìm: f ( y1 , y2 ) = 9 y12 + 4 y22 . Phép đổi biến X = P Y .
Câu 8. Ta có A3 ( X1 ) = A( A( AX1 ) ) = A( AX2 ) = AX3 = X1 . Suy ra X1 là vécto riêng của A3 ứng
với trò riêng λ1 = 1 .
Tương tự 2 vécto X2 , X3 đều là vécto riêng của A3 ứng với trò riêng λ1 = 1 .
Vì X1 , X2 , X3 độc lập tuyến tính nên Bội hình học của λ1 bằng 3. Suy ra A3 chỉ có một trò riêng
và A3 = I.
1
