Thầy Hà Hữu Hải ----- facebook.com/thaygiaohaihn----- 0986.120.635
Dạng 3: Tìm cặp vector
Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, viết phương trình đường vuông góc chung của hai
 x= 3 + 7t
x −7 y −3 z−9

đường thẳng: ∆1 : = =
và ∆2 :  y = 1 − 2t .
−1
1
2
 z= 1 − 3t
 x= 7 + t '

Phương trình tham số của ∆1 :  y= 3 + 2t '
 z= 9 − t '

Câu 1.

Gọi M và N lần lượt là giao điểm của đường vuông góc chung với ∆ 1 và ∆ 2
⇒ M(7 + t′;3 + 2t′;9 – t′) và N(3 –7t;1 + 2t;1 + 3t)

VTCP lần lượt của ∆ 1 và ∆ 2 là a = (1; 2; –1) và b = (–7;2;3)
 
 
 
 
MN ⊥ a
MN .a =
0
Ta có: 

. Từ đây tìm được t và t′ ⇒ Toạ độ của M, N.
⇔ 
0
 MN ⊥ b
 MN .b =

Đường vuông góc chung ∆ chính là đường thẳng MN.
Câu hỏi tương tự:
 x= 3 + t
 x =−2 + 2 t '


2 x – y + 10 z – 47 =
0
.
ĐS: ∆ : 
a) Với (∆1 ) :  y =−1 + 2t , (∆2 ) :  y = 2 t '
+
+
=
 
x
3
y
–
2
z
6
0


 z = 4
=
z 2 + 4t '
Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm
x − 2 y +1 z −1
2 x + 3y + 11 =
0
và d2 : = =
.
M ( −4; −5;3) và cắt cả hai đường thẳng: d1 : 
0
2
3
−5
 y − 2z + 7 =

Câu 2.

 x= 5 − 3t1
 x= 2 + 2t2


Viết lại phương trình các đường thẳng: d1 :  y =−7 + 2t1 ,
d2 :  y =−1 + 3t2 .
z = t
 z= 1 − 5t

1

2

Gọi A =
d ∩ d1, B =
d ∩ d2 ⇒ A(5 − 3t1; −7 + 2t1; t1 ) , B(2 + 2t2 ; −1 + 3t2 ;1 − 5t2 ) .


MA =−
( 3t1 + 9;2t1 − 2; t1 − 3) , MB= (2t2 + 6;3t2 + 4; −5t2 − 2)

 

 MA, MB  =
(−13t1t2 − 8t1 + 13t2 + 16; −13t1t2 + 39t2 ; −13t1t2 − 24t1 + 31t2 + 48)
 
  
t = 2
M, A, B thẳng hàng ⇔ MA, MB cùng phương ⇔  MA, MB  = 0 ⇔  1
t2 = 0


⇒ A(−1; −3;2), B(2; −1;1) ⇒ =
AB (3;2; −1)

 x =−4 + 3t


Đường thẳng d qua M(–4; –5; 3) và có VTCP =
AB (3;2; −1) ⇒ d :  y =−5 + 2t
 z= 3 − t
Câu hỏi tương tự:
x = t

x y−2 z

, d2 :  y= 4 − t .
ĐS:
a) M(1;5;0), d=
=
1:
1
−3
−3
 z =−1 + 2t

x − 2 y +1 z + 3
x − 3 y − 7 z −1
b) M(3; 10; 1) , d1 : = =
, d2 : = =
1
−2
−1
3
1
2
Câu 3.

 x= 3 + 2t


ĐS: d : =
y 10 − 10t
 z = 1 − 2t


Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai đường thẳng ∆1, ∆2 và mặt phẳng ( α ) có
Thầy Hà Hữu Hải ----- facebook.com/thaygiaohaihn----- 0986.120.635
1


Thầy Hà Hữu Hải ----- facebook.com/thaygiaohaihn----- 0986.120.635
 x= 2 + t
x −1 y +1 z + 2

phương trình là ∆1 :  y = 5 + 3t , ∆2 :
=
=
, (α ) : x − y + z + 2 = 0 . Viết phương
1
1
2
 z = t
trình đường thẳng d đi qua giao điểm của ∆1 với ( α ) đồng thời cắt ∆2 và vuông góc với trục
Oy.
x =
t =
2+t
−1
 y =

x =
5 + 3t
1
Toạ độ giao điểm A của ( α ) và ∆1 thoả mãn hệ 

⇔
⇒ A(1;2; −1)
=
=
z
t
y
2


 x − y + z + 2 =0  z =−1



Trục Oy có VTCP là j = (0;1; 0) . Gọi d là đường thẳng qua A cắt ∆2 tại B(1 + t; −1 + t; −2 + 2t )



 



. AB = (t; t − 3;2t − 1); d ⊥ Oy ⇔ AB j = 0 ⇔ t = 3 ⇒ AB = (3; 0;5)

 x = 1 + 3u


Đường thẳng d đi qua A nhận AB = (3; 0;5) làm VTCP có phương trình là  y = 2
.
 z =−1 + 5u


Câu 4.

 x= 1+ t

Trong không gian với hệ tọa độ O xyz, cho đường thẳng d1 :  y = 1 + 2t , đường thẳng d2 là
 z = 1 + 2t


giao tuyến của hai mặt phẳng (P): 2 x – y –1 = 0 và (Q): 2 x + y + 2 z – 5 =
0 . Gọi I là giao điểm
của d1, d2 . Viết phương trình đường thẳng d3 qua điểm A (2; 3; 1), đồng thời cắt hai đường
thẳng d1, d2 lần lượt tại B và C sao cho tam giác BIC cân đỉnh I .

PTTS của d2 : { x =t '; y =−1 + 2t '; z =3 − 2t ' . =
I d1 ∩ d2 ⇒ I (1;1;1) .

Giả sử: B(1 + t;1 + 2t;1 + 2t ) ∈ d1, C (t '; −1 + 2t ';3 − 2t ') ∈ d2 (t ≠ 0, t ' ≠ 1)
 IB = IC
∆BIC cân đỉnh I ⇔   

 ⇔ t = 1 ⇒ Phương trình d : { x = 2; y = 3; z= 1 + 2t
3
t ' = 2
[ AB , AC ] = 0

Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): 4 x – 3y + 11z =
0 và hai đường
x
y −3

z +1 x − 4
y
z−3
thẳng d 1 :
=
=
,
=
=
. Chứng minh rằng d 1 và d 2 chéo nhau. Viết
3
1
2
−1
2
1
phương trình đường thẳng ∆ nằm trên (P), đồng thời ∆ cắt cả d 1 và d 2 .
Toạ độ giao điểm của d 1 và (P): A(–2;7;5).
Toạ độ giao điểm của d 2 và (P): B(3;–1;1)
x +2 y−7 z−5
Phương trình đường thẳng ∆: = =
.
5
−8
−4

Câu 5.

Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai mặt phẳng và hai đường thẳng có phương
x + 5 y − 3 z +1

trình (P): 3 x + 12 y − 3z − 5 =
, (d 2 ):
0 và (Q): 3 x − 4 y + 9 z + 7 =
0 , (d 1 ): = =
2
−4
3
x − 3 y +1 z − 2
. Viết phương trình đường thẳng (∆) song song với hai mặt phẳng (P), (Q)
= =
−2
3
4
và cắt (d 1 ), (d 2 ).


(P) có VTPT=
nP (1; 4; − 1) , (Q) có pháp vectơ n=
Q (3; − 4; 9)

Câu 6.





(d 1 ) có VTCP u=
1 (2; − 4; 3) , (d 2 ) có VTCP u2 = (−2; 3; 4)

Thầy Hà Hữu Hải ----- facebook.com/thaygiaohaihn----- 0986.120.635

2


Thầy Hà Hữu Hải ----- facebook.com/thaygiaohaihn----- 0986.120.635
(∆=
1 ) ( P ) ∩ (Q)
( P ) ⊃ (d ),( P )  ( P )

1
1
Gọi:  1
⇒ (∆) = (P1 ) ∩ (Q 1 ) và (∆) // (∆ 1 )
(Q1 ) ⊃ (d2 ),(Q1 )  (Q)
 
u = u∆1
 1  
(∆) có vectơ chỉ phương u = [nP ; nQ ] = (8; − 3; − 4)
4


 

(P 1 ) có cặp VTCP u1 và u nên có VTPT:=
nP1 [u=
1; u ] (25; 32; 26)
Phương trình mp (P1 ): 25(x + 5) + 32(y – 3) + 26(z + 1) = 0 ⇔ 25 x + 32 y + 26 z + 55 =
0








 

nQ1 [u=
(Q 1 ) có cặp VTCP u2 và u nên có VTPT:=
2 ; u ] (0; 24; − 18)
Phương trình mp (Q 1 ): 0( x − 3) + 24( y + 1) − 18( z − 2) =
0 ⇔ 4 y − 3 x + 10 =
0

0
Ta có: (=
∆) (P1 ) ∩ (Q1 ) ⇒ phương trình đường thẳng (∆) : 25 x + 32 y + 26 z + 55 =
0
4 y − 3z + 10 =

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2 x – y + 2 z – 3 =
0 và hai đường
x +3 y+5 z−7
x − 4 y −1 z
thẳng (d 1 ), (d 2 ) lần lượt có phương trình = =
và = =
. Viết
−2
2
2
−1

2
3
phương trình đường thẳng ( ∆ ) song song với mặt phẳng (P), cắt (d1 ) và (d2 ) tại A và B sao
cho AB = 3.
A ∈ (d1 ) ⇒ A(4 + 2t;1 + 2t; −t ) ; B ∈ (d2 ) ⇒ B(−3 + 2t′; −5 + 3t′; 7 − 2t′)

Câu 7.





AB = (−7 + 2t′ − 2t; −6 + 3t′ − 2t; 7 − 2t′ + t ) , n=
P (2; −1;2) .






t′ = 2
⇒ A(2; −1;1), AB =
Từ giả thiết ta có:  AB.nP = 0 ⇔ 
(−1;2;2) .
t = −1
 AB = 3
x − 2 y +1 z −1
⇒ Phương trình đường thẳng (∆): = =
.
−1

2
2
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2 x − y + z + 1 =
0 và hai đường
x −1 y + 2 z − 3
x +1 y −1 z − 2
thẳng d1 : = =
, d2 : = =
. Viết phương trình đường thẳng ∆
2
3
2
2
1
3
song song với (P), vuông góc với d1 và cắt d2 tại điểm E có hoành độ bằng 3.



d1 có VTCP u1 = (2;1;3) , d2 có VTCP u2 = (2;3;2) , (P) có VTPT =
n (2; −1;1) .

Giả sử ∆ có VTCP u = (a; b; c) , E ∈ d2 có x E = 3 ⇒ E(3; −1;6) .

Câu 8.



∆  (P )
u.n = 0

Ta có: 
⇔
⇔  
u.u1 = 0
∆ ⊥ d1
⇒ PT đường thẳng ∆: { x =3 + t;
Câu 9.

2 a − b + c =
0
⇔
2a + b + 3c =
0



 a = −c
u (1;1; −1)
b = −c ⇒ Chọn=


y =−1 + t; z =6 − t .

Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng (d1 ),(d2 ) và mặt phẳng (P) có phương trình:

x − 2 y −1 z −1
x +1 y + 2 z
; (P ) : x + y − 2z + 5 =
(d1 ) : = = , (d2 ) : = =
0 . Lập phương trình

1
2
1
2
1
1
đường thẳng (d) song song với mặt phẳng (P) và cắt (d1 ),(d2 ) lần lượt tại A, B sao cho độ dài
đoạn AB nhỏ nhất.



Đặt A(−1 + a; −2 + 2a; a), B(2 + 2b;1 + b;1 + b) ⇒ AB = (−a + 2b + 3; −2a + b + 3; −a + b + 1)

 
Do AB // (P) nên: AB ⊥ nP = (1;1; −2) ⇔ b = a − 4 . Suy ra: AB = (a − 5; −a − 1; −3)
Thầy Hà Hữu Hải ----- facebook.com/thaygiaohaihn----- 0986.120.635
3


Thầy Hà Hữu Hải ----- facebook.com/thaygiaohaihn----- 0986.120.635
=
AB

2
(a − 5)2 + (−a − 1)2 + (−3)=

2a2 − 8a + 35
=

2(a − 2)2 + 27 ≥ 3 3



a = 2
Suy ra: min =
, A(1;2;2) , AB =(−3; −3; −3) .
AB 3 3 ⇔ 
b = −2
x −1 y − 2 z − 2
.
Vậy d : = =
1
1
1

x +8

Câu 10. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai đường thẳng (d1 ) : =
2

y − 6 z − 10
và
=
1
−1

x = t

(d2 ) :  y= 2 − t . Viết phương trình đường thẳng (d) song song với trục Ox và cắt (d 1 ) tại A,
 z =−4 + 2t
cắt (d 2 ) tại B. Tính AB.

Giả sử: A(−8 + 2t1;6 + t1;10 − t1 ) ∈ d 1 , B(t2 ;2 − t2 ; −4 + 2t2 ) ∈ d 2 .

⇒ AB = (t2 − 2t1 + 8; −t2 − t1 − 4);2t2 + t1 − 14) .

 

−t − t − 4 =
0
⇔
AB, i = (1; 0; 0) cùng phương ⇔  2 1
0
2t2 + t1 − 14 =
⇒ A(−52; −16;32), B(18; −16;32) .

t1 = −22
t = 18
2

⇒ Phương trình đường thẳng d: { x =
−52 + t; y =
−16; z =
32 .
x =
−23 + 8t

Câu 11. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai đường thẳng: (d 1 ):  y =
−10 + 4t và (d 2 ):
 z = t
x −3 y +2 z
. Viết phương trình đường thẳng (d) song song với trục Oz và cắt cả hai

= =
2
−2
1
đường thẳng (d 1 ), (d 2 ).
Giả sử A(−23 + 8t1; −10 + 4t1; t1 ) ∈ d 1 , B(3 + 2t2 ; −2 − 2t2 ; t2 ) ∈ d 2 .


⇒ AB = (2t2 − 8t1 + 26; −2t2 − 4t1 + 8; t2 − t1 )

 

2t − 8t1 + 26 =
0
AB // Oz ⇔ AB, k cuø ng phöông ⇔  2
⇔
0
−2t2 − 4t1 + 8 =



1
3

4
3


17
t1 = 6

 1 4 17 
⇒ A− ; ; 

 3 3 6
t = − 5
2
3


17
6

⇒ Phương trình đường thẳng AB:  x =
− ;y=
; z =+ t
Câu 12. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho các điểm A(2,0,0); B(0,4,0); C(2,4,6) và đường

6 x − 3 y + 2 z =
0
thẳng (d): 
. Viết phương trình đường thẳng ∆ // (d) và cắt các đường
0
6 x + 3y + 2 z − 24 =
thẳng AB, OC.
Phương trình mặt phẳng (α) chứa AB và song song d: (α): 6x + 3y + 2z – 12 = 0
Phương trình mặt phẳng (β) chứa OC và song song d: (β): 3x – 3y + z = 0

0
∆ là giao tuyến của (α) và (β) ⇒ ∆: 6 x + 3y + 2 z − 12 =
3

x
−
3
y
+
z
=
0

Câu 13. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho bốn điểm A(4;5;6); B(0;0;1); C(0;2;0);

D(3;0;0). Chứng minh các đường thẳng AB và CD chéo nhau. Viết phương trình đường thẳng

Thầy Hà Hữu Hải ----- facebook.com/thaygiaohaihn----- 0986.120.635
4


Thầy Hà Hữu Hải ----- facebook.com/thaygiaohaihn----- 0986.120.635
(D) vuông góc với mặt phẳng Oxy và cắt các đường thẳng AB, CD.
Gọi (P) là mặt phẳng qua AB và (P) ⊥ (Oxy) ⇒ (P): 5x – 4y = 0
(Q) là mặt phẳng qua CD và (Q) ⊥ (Oxy) ⇒ (Q): 2x + 3y – 6 = 0
Ta có (D) = (P)∩(Q) ⇒ Phương trình của (D)
Câu 14. Trong không gian với

hệ toạ độ Oxyz, cho

hai đường thẳng có phương trình:

 x =−1 − 2t
x y z


và d2 : = =
. Xét vị trí tương đối của d 1 và d 2 . Viết phương trình
d1 :  y = t
1
1
2
 z= 1 + t
đường thẳng d qua M trùng với gốc toạ độ O, cắt d 1 và vuông góc với d 2 .



Đường thẳng
∆ cần tìm cắt d 1 tại A(–1–2t; t; 1+t) ⇒ OA = (–1–2t; t; 1+t)
t; y =
−t; z =
0
d ⊥ d2 ⇔ OA.u2 =0 ⇔ t =−1 ⇒ A(1; −1; 0) ⇒ PTTS của d :{ x =
Câu hỏi tương tự:
a) Với M(1;1;1) , (d1 ) :

 x =−2 + 2t
x + 2 y z −1

, (d2 ) :  y = −5t
.
= =
3
1 −2
 z= 2 + t


x −1 y −1 z −1
ĐS: d : = =
3
1
−1

Câu 15. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho 2 đường thẳng có phương trình:

x = t
x = t '


(d 1 ) :  y= 4 + t và (d 2 ) : =
y 3t ' − 6
 z= t ' − 1
 z= 6 + 2t
Gọi K là hình chiếu vuông góc của điểm I(1; –1; 1) trên (d 2 ). Tìm phương trình tham số của
đường thẳng đi qua K vuông góc với (d 1 ) và cắt (d1 ).


(d 1 ) có VTCP u1 = (1; 1; 2) ;
(d 2 ) có VTCP u2 = (1; 3; 1)





K ∈(d2 ) ⇒ K (t′; 3t′ − 6; t′ − 1) ⇒ IK = (t′ − 1; 3t′ − 5; t′ − 2)


 18 12 7 
18

IK ⊥ u2 ⇔ t′ − 1 + 9t′ − 15 + t′ − 2 = 0 ⇔ t′ =
⇒ K ; − ; 
11
 11 11 11 
  18

56
59
Giả sử (d ) cắt (d 1 ) tại H (t; 4 + t; 6 + 2t ), ( H ∈ (d1 )) . HK=  − t; −
− t; −
− 2t 
11
11
 11


 1
18
56
118
26
−t−
−t−
− 4t =0 ⇔ t =−
⇒ HK
=
(44; − 30; − 7).

11
11
11
11
11

18
12
7
Vậy, PTTS của đường thẳng (d ):  x = + 44λ ; y =
− − 30λ ; z = − 7λ
11
11
11





HK ⊥ u1 ⇔

Câu 16. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm M(0;1;1) và 2 đường thẳng (d 1 ), (d 2 ) với:

x −1 y + 2 z
(d 1 ): = =
; (d 2 ) là giao tuyến của 2 mặt phẳng (P): x + 1 =
0 và
3
2
1

x+ y−z+2=
0 . Viết phương trình đường thẳng (d) qua M vuông góc (d 1 ) và cắt (d 2 ).

(Q):

Phương trình mặt phẳng (α) đi qua M(0;1;1) vuông góc với (d 1 ): 3 x + 2 y + z − 3 =
0.

3 x + 2 y + z − 3 =
0

5 8

A = (d 2 ) ∩ (α) ⇔
=
⇔ A  −1; ; 
x + 1 0
3 3

 x + y − z + 2 =
0

x y −1 z −1
⇒ Phương trình AM:= =
.
−3
2
5

Thầy Hà Hữu Hải ----- facebook.com/thaygiaohaihn----- 0986.120.635

5


Thầy Hà Hữu Hải ----- facebook.com/thaygiaohaihn----- 0986.120.635
Câu 17. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng ( P ) : 2 x − y + 2 z =
0 và 2 đường
x −1 y −1 z −1
x −1 y − 2 z
thẳng (d ) : = =
, ( d ') : = =
. Viết phương trình đường thẳng (∆)
1
3
2
−2
1
1
nằm trong mặt phẳng (P), vuông góc với đường thẳng (d) và cắt đường thẳng (d').
 x = 1 − 2t



Ta có nP =
(2; −1;2), ud =
(1;3;2) và PTTS của (d'):  y= 2 + t
 z = t
Gọi A = (d') ∩ (P) ⇒ A(1 − 2t;2 + t; t ) .
Do A ∈ (P) nên: 2(1 − 2t ) − 2 − t + 2t = 0 ⇔ t = 0 ⇒ A(1;2; 0)








Mặt khác (∆) nằm trong (P), vuông góc với (d) nên u∆ vuông góc với nP , ud ⇒ ta có thể chọn

x −1 y − 2 z

 
u∆ = nP , ud  =(−8; −2; 7) ⇒ Phương trình ∆ : = =
−8
−2
7
Câu 18. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2 x − y + z − 1 =
0 và hai đường

x +1 y −1 z − 2
x −1 y + 2 z − 3
thẳng (d 1 ): = =
, (d 2 ): = =
. Viết phương trình đường thẳng (∆)
2
3
2
2
1
3
song song với mặt phẳng (P), vuông góc với đường thẳng (d 1 ) và cắt đường thẳng (d 2 ) tại điểm
E có hoành độ bằng 3.



 x= 3 + t
a ⊥ nP


 
 nP , ad1  =
• E ∈ (d 2 ) ⇒ E(3; 7; 6).  
−4(1;1; −1) ⇒ (∆):  y= 7 + t .
 ⇒ a =
a ⊥ ad1
 z= 6 − t
Câu 19. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai điểm A(0; 0;–3), B(2; 0;–1) và mặt phẳng

(P) có phương trình: 3 x − 8y + 7z + 1 =
0 . Viết phương trình chính tắc đường thẳng d nằm trên
mặt phẳng (P) và d vuông góc với AB tại giao điểm của đường thẳng AB với (P).
Giao điểm của đường thẳng AB và (P) là: C(2;0;–1)
 
x − 2 y z −1
Đường thẳng d đi qua C và có VTCP là  AB, nP  ⇒ d:
= =
2
−1 −2

Câu 20. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d 1 :

x +1 y −1 z −1
;

= =
2
−1
1

x −1 y − 2 z +1
d2: = =
và mặt phẳng (P): x − y − 2 z + 3 =
0 . Viết phương trình đường thẳng ∆
1
1
2
nằm trên mặt phẳng (P) và cắt hai đường thẳng d 1 , d 2 .
Gọi A = d 1 ∩ ∆, B = d 2 ∩ ∆. Vì ∆ ⊂ (P) nên A = d 1 ∩ (P), B = d 2 ∩ (P)
⇒ A(1; 0; 2), B(2; 3; 1)
x −1 y z − 2
⇒ ∆ chính là đường thẳng AB ⇒ Phương trình ∆:
.
= =
1
3
−1

Câu 21. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng (d) vuông góc với

x −1 y +1 z
mặt phẳng (P): x + y + z − 1 =
và
0 đồng thời cắt cả hai đường thẳng (d1 ) : = =
2

−1 1
 x =−1 + t

(d2 ) :  y = −1 , với t ∈ R .
 z = −t
Lấy M ∈ ( d1 ) ⇒ M (1 + 2t1; −1 − t1; t1 ) ; N ∈ ( d2 ) ⇒ N ( −1 + t; −1; −t )

Thầy Hà Hữu Hải ----- facebook.com/thaygiaohaihn----- 0986.120.635
6




Thầy Hà Hữu Hải ----- facebook.com/thaygiaohaihn----- 0986.120.635

Suy ra MN =

( t − 2t1 − 2; t1; −t − t1 )


4
t=



5 ⇒ M =  1;− 3;− 2 
(d ) ⊥ ( P ) ⇔ MN =k .n; k ∈ R* ⇔ t − 2t1 − 2 =t1 =−t − t1 ⇔ 


5 5 5

t = −2
 1 5
1
3
2
⇒ d: x − = y + = z +
5
5
5
Câu hỏi tương tự:
x − 2 y z −1
x −1 y +1 z
a) Với (P): 2 x + y + 5z + 3 =
, ( d2 ) :
= =
0 , (d1 ) : = =
1
1 −2
2
1
2
x +1 y + 2 z + 2
ĐS: d : = =
2
1
5
x −2 y+2 z
x +1 y −1 z − 2
b) Với ( P ) : 2 x – y – 5z + 1 =
, d2 : = =

0 , d1 : = =
−2
1
5
2
3
1



x −1 y − 4 z − 3
ĐS: = =
2
−1
−5

xyz, cho ba mặt phẳng: (P): 2 x – y + z + 1 =
0 , (Q):
x − 2 y +1 z
. Gọi ∆2 là
x – y + 2z + 3 =
0 , (R): x + 2 y – 3z + 1 =
0 và đường thẳng ∆1 : = =
−2
1
3
giao tuyến của (P) và (Q). Viết phương trình đường thẳng (d) vuông góc với (R) và cắt cả hai
đường thẳng ∆1 , ∆2 .

Câu 22. Trong không gian với hệ tọa độ O


∆1 có PTTS: { x =2 − 2t; y =−1 + t; z =3t ;

∆2 có PTTS:

2 s; y =+
5 3s; z =
s.
{ x =+

Giả sử d ∩ ∆1 = A; d ∩ ∆2 = B ⇒ A(2 − 2t; −1 + t;3t ), B(2 + s;5 + 3s; s)


AB = (s + 2t;3s − t + 6; s − 3t ) , (R) có VTPT=
n (1;2; −3) .

 

 1 1 23 
s + 2t 3s − t + 6 s − 3t
23
=
=
⇒ t = ⇒ A ; ; 
1
2
−3
24
 12 12 8 
23

1
1
z−
x−
y−
8 .
12 =
12
Vậy phương trình của d: =
1
2
−3

d ⊥ ( R) ⇔ AB, n cùng phương ⇔

Câu 23. Trong không gian với hệ tọa độ O

xyz, cho ba đường thẳng có phương trình

x = t
x y−2 z
x +1 y −1 z +1

, d3 : = =
. Viết phương trình đường thẳng
:
=
d1 :  y= 4 − t , d2=
1
−

3
−
3
5
2
1
 z =−1 + 2t

∆, biết ∆ cắt ba đường thẳng d1, d2 , d3 lần lượt tại các điểm A, B, C sao cho AB = BC .
Xét ba điểm A, B, C lần lượt nằm trên ba đường thẳng d1, d2 , d3 .

Giả sử A(t; 4 – t; −1 + 2t ), B(u;2 – 3u; −3u), C (−1 + 5v;1 + 2v; −1 + v) .
Ta có: A, B, C thẳng hàng và AB = BC ⇔ B là trung điểm của AC
t + (−1 + 5v) =2u
t = 1


⇔ 4 − t + (1 + 2v=
) 2.(2 − 3u) ⇔ u = 0 ⇒ A(1;3;1), B(0;2; 0), C (−1;1; −1) .
−1 + 2t + (−1 + v) = 2(−3u)
v = 0
x y−2 z
Đường thẳng ∆ đi qua A, B, C có phương trình:
= =
1
1
1
Thầy Hà Hữu Hải ----- facebook.com/thaygiaohaihn----- 0986.120.635
7