Một số phơng pháp chứng minh ba điểm thẳng hàng trong chơng trình Toán 7
MC LC
Phn I: T VN ....................................................................................2
I. Lí do chọn đề tài ..........................................................................................2
II. Mục đích nghiên cứu....................................................................................2
III. Nhiệm vụ nghiên cứu .................................................................................3
IV. Đối tượng , phạm vi nghiên cứu ................................................................3
V. Phương pháp nghiên cứu ............................................................................ 3
VI. Ý nghĩa thực tiễn ....................................................................................... 3
Phần II: NỘI DUNG ...................................................................................... 4
I. Thuận lợi ..................................................................................................... 4
II. Khó khăn ................................................................................................... 4
III. Giải pháp thực hiện ................................................................................ 5
1. Phương pháp 1: Sử dụng 2 góc kề bù.......................................................... 5
2. Phương pháp 2: Sử dụng tiên đề Ơclit về hai đường thẳng song song..... 11
3. Phương pháp 3: Sử dụng tiên đề về hai đường thẳng vng góc ............ 16
4. Phương pháp 4: Sử dụng tia phân giác của một góc ............................... 19
5. Phương pháp 5: Sử dụng hình duy nhất ................................................... 22
6. Phương pháp 6: Sử dụng tính chất đường trung tuyến trong tam giác..... 25
7. Phương pháp 7:C/m 3 điểm cùng thuộc đường trung trực của đoạn thẳng 28
8. Phương pháp 8:Sử dụng tính chất ba đường cao của tam giác................ 30
9. Phương pháp 9:Phương pháp thêm điểm.................................................. 33
IV. Hiệu quả do sáng kiến đem lại............................................................ 35
V. Bài học kinh nghiệm .......................................................................... 36
Phần III. KẾT LUẬN ................................................................................. 36
TÀI LIỆU THAM KHẢO ..........................................................................37

GV: NguyÔn Văn Điệp

1

Trờng THCS Hoàng Hoa Thám


Một số phơng pháp chứng minh ba điểm thẳng hàng trong chơng trình Toán 7

PHN I : T VN
GV: Nguyễn Văn Điệp

2

Trờng THCS Hoàng Hoa Thám


Một số phơng pháp chứng minh ba điểm thẳng hàng trong chơng trình Toán 7
I. Lý do chn ti
Trong q trình giảng dạy, người thầy ln phải đặt ra cái đích, đó là giúp HS
nắm vững kiến thức cơ bản, hình thành phương pháp, kỹ năng, kỹ xảo, tạo thái độ và
động cơ học tập đúng đắn để HS có khả năng tiếp cận và chiếm lĩnh những nội dung
kiến thức mới theo xu thế của thời đại và giải quyết phù hợp các vấn đề nảy sinh.
Trong quá trình nghiên cứu và giảng dạy bộ mơn Tốn 7 ở trường THCS Hồng
Hoa Thám, tơi nhận thấy rằng học sinh gặp rất nhiều khó khăn khi gặp những bài
tốn khó. Đặc biệt là “dạng tốn chứng minh ba điểm thẳng hàng ”, đây là dạng
tốn địi hỏi các em phải có khả năng lập luận và tư duy tốt. Tuy nhiên đa phần học
sinh lớp 7 rất sợ khi gặp những dạng tốn này . Vì các em khơng biết lập luận , không
định hướng được cách chứng minh, không biết phải sử dụng phương pháp nào để
chứng minh…vv. Vì vậy những tiết giải bài tập hình học thường giáo viên là người
cung cấp mọi kiến thức, giáo viên hầu như thực hành hết các bước từ phân tích tìm
lời giải cho đến bước cuối cùng là trình bày lời giải đó, cịn học sinh thì vẫn thụ động
chép những kiến thức mà giáo viên đã tìm sẵn, và khi khơng có sự hướng dẫn của
giáo viên thì các em khó tìm ra phương pháp chứng minh mà chỉ chứng minh theo

quán tính.
Để nâng cao chất lượng dạy - học, nâng cao tỉ lệ học sinh giỏi. Giáo viên cần
cung cấp cho học sinh một số phương pháp “chứng minh ba điểm thẳng hàng ” để
các em tiếp cận và có cơ sở để định hướng và tìm ra được con đường chứng minh .
Đó là lý do tơi chọn và nghiên cứu đề tài này.
II. Mục đích nghiên cứu
- Các phương pháp “chứng minh ba điểm thẳng hàng” sẽ giúp học sinh phát huy
được tính tích cực trong học tập, có tư duy lơgic, biết phân tích tìm hướng giải các
dạng bài tập nâng cao. Khi chứng minh được “ ba điểm thẳng hàng” các em sẽ thấy
học tốn thực sự bổ ích và thú vị vì mình đã phát triển năng lực học tập ở một cấp độ
cao hơn . Do đó các em sẽ u thích mơn Tốn hơn, có nhu cầu khám phá những kiến
thức mới cao hơn, giúp phát triển năng lực tư duy của học sinh.
III. Nhiệm vụ nghiên cứu đề tài.
GV: NguyÔn Văn Điệp

3

Trờng THCS Hoàng Hoa Thám


Một số phơng pháp chứng minh ba điểm thẳng hàng trong chơng trình Toán 7
- Tỡm hiu thc trng vic dạy và học mơn Tốn 7 ở trường THCS Hồng Hoa Thám.
-

Hệ thống các phương pháp chứng minh “ba điểm thẳng hàng” . Áp dụng các

phương pháp này trong trong dạy và học. Đánh giá kết quả học tập của học sinh
sau khi vận dụng các phương pháp đó trong dạy học mơn Tốn 7.
IV. Đối tượng, phạm vi nghiên cứu.
- Việc vận dụng các phương pháp “chứng minh ba điểm thẳng hàng” của học sinh ở

các lớp 7A3, 7A5, 7A10, 7A11. Phạm vi nghiên cứu về phân mơn Hình học 7.
V. Phương pháp nghiên cứu.
- Đọc và tham khảo các loại tài liệu tham khảo , sách nâng cao, lựa chọn
những dạng bài tập cần thiết , phù hợp cho việc vận dụng các phương pháp dạy học
này nhằm phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh.
- Tìm hiểu thực tế, rút kinh nghiệm qua các tiết dạy học có áp dụng “phương
pháp chứng minh 3 điểm thẳng hàng” của đồng nghiệp, trao đổi ý kiến trong Tổ
chuyên môn, Nhà trường.
VI. Ý nghĩa thực tiễn của đề tài
- Để góp phần tạo nên sự chuyển biến trong dạy học bộ mơn Tốn, đáp ứng u
cầu phát triển xã hội, phát huy tính tích cực, chủ động , sáng tạo của học sinh
trong học tập, phát triển năng lực tư duy của học sinh .
- Học sinh sẽ không cịn tâm lý sợ mỗi khi gặp dạng tốn “chứng minh ba điểm
thẳng hàng” . Các em còn cảm thấy hăng say học tập , thích khám phá , tìm tòi
các cách giải phù hợp khác nhau.
- Rõ ràng nếu vận dụng tốt các phương pháp này trong dạy và học sẽ nâng cao tỉ
lệ học sinh khá , giỏi lờn ỏng k.

GV: Nguyễn Văn Điệp

4

Trờng THCS Hoàng Hoa Thám


Một số phơng pháp chứng minh ba điểm thẳng hàng trong chơng trình Toán 7

PHN II: NI DUNG

I. Thun li khi thực hiện đề tài SKKN

- Đối tượng học sinh được chọn áp dụng cho đề tài này có khả năng tiếp thu
bài khá tốt.
- Được BGH quan tâm, tạo điều kiện thuận lợi cho việc nghiên cứu.
- Được các giáo viên trong trường và bạn bè đóng góp, giúp đỡ, phương tiện
dạy học được đáp ứng kịp thời.

II. Khó khăn khi thực hiện đề tài SKKN
- Chứng minh ba điểm thẳng hàng thường là dạng bài tập khó , yêu cầu vận dụng nhiều
kiến thức liên môn, yêu cầu học sinh phải có năng lực tư duy tốt . Vì vậy đa số học
sinh khơng thể tiếp cận được, đặc biệt là những học sinh trung bình , yếu , kém.
- Một số học sinh vẫn chưa thật sự chủ động, tích cực trong tư duy, cịn lười biếng
trong học tập. Đa số các em thường bỏ câu “chứng minh ba điểm thẳng hàng” trong
bài thi.
- Để vận dụng tốt các phương pháp này yêu cầu phải có nhiều thời gian luyện tập trên
lớp , tuy nhiên thời lượng các tiết học theo quy định lại hơi ít, do đó học sinh chưa đủ
thời gian nghiên cứu sâu về vn ny.

III. GII PHP THC HIN
GV: Nguyễn Văn Điệp

5

Trờng THCS Hoàng Hoa Thám


Một số phơng pháp chứng minh ba điểm thẳng hàng trong chơng trình Toán 7
- Khi chng minh ba điểm thẳng hàng” trong chương trình Tốn 7. Ta thường
vận dụng một số phương pháp sau (Các phương pháp được áp dụng theo chương
trình mơn học , từ HKI đến HKII ) :
1) Phương pháp 1: Sử dụng “hai góc kề bù ”


D

·
·
·
- Nếu BAD
+ DAC
= 1800 (hay BAC
= 1800 )
Thì ba điểm A , B , C thẳng hàng
B

a) Các ví dụ

A

C

* Ví dụ 1: Cho tam giác ABC vuông tại A . D là điểm trên cạnh BC ( D khác B và C) .
Vẽ điểm M sao cho AB là tia phân giác của góc DAM, vẽ điểm N sao cho AC là tia
phân giác của góc DAN . Chứng minh ba điểm M , A , N thẳng hàng .
Lời giải
Ta có :

1·
·
·
BAD
= DAM

(AB là tia phân giác của DAM
)
2
1·
·
·
CAD
= DAN
(AC là tia phân giác của DAN
)
2
M

1·
1·
·
·
⇒ DAM
+ DAN
= BAD
+ CAD
2
2
·
·
⇒ DAM
+ DAN
= 2.90 = 180
0


·
·
·
Mà DAM
+ DAN
= MAN

N

A

0

·
⇒ MAN
= 180

B

C
D

0

Vậy ba điểm M , A , N thẳng hàng .
* Ví dụ 2: Cho tam giác ABC . Trên nửa mặt phẳng bờ AC không chứa điểm B vẽ tia
Ax song song với BC . Gọi M là trung điểm của AC , trên tia Ax lấy điểm E , trên
cạnh BC lấy điểm D sao cho AE = CD . Chứng minh ba điểm D , M , E thẳng hàng.
Lời giải


A

E

x

Xét ∆MAE và ∆MCD có :
MA = MC ( M là trung điểm AC)

M

·
·
( So le trong và Ax // BC)
MAE
= MCD

B
D

AE = CD (gt)

·
·
⇒ ∆MAE = ∆MCD (c.g.c) ⇒ AME
( 2 góc tng ng)
= CMD

GV: Nguyễn Văn Điệp


6

Trờng THCS Hoàng Hoa Thám

C


Một số phơng pháp chứng minh ba điểm thẳng hàng trong chơng trình Toán 7
Ã
Ã
Ã
Ã
M AME
+ EMC
= 1800 ( 2 góc kề bù) ⇒ CMD
+ EMC
= 1800
·
·
·
⇒ DME
= CMD
+ EMC
= 1800 ⇒ Ba điểm D , M , E thẳng hàng

* Ví dụ 3: Cho tam giác ABC vng ở A, M là trung điểm AC. Kẻ tia Cx vuông góc
CA (tia Cx và điểm B ở hai nửa mặt phẳng đối nhau bờ AC). Trên tia Cx lấy điểm D
sao cho CD = AB. Chứng minh ba điểm B, M, D thẳng hàng.
Lời giải
Xét ∆AMB và ∆CMD có :


B

AB = DC (gt).
·
·
BAM
= DCM
= 900

MA = MC (M là trung điểm AC)

C

A

M

⇒ ∆AMB = ∆CMD (c.g.c)
·
⇒ ·AMB = DMC
( 2 góc tương ứng)
·
Mà ·AMB + BMC
= 1800 (2 góc kề bù)

D
x

·

·
·
⇒ BMD
= BMC
+ CMD
= 1800 .
⇒ ba điểm B , M , D thẳng hàng.

* Ví dụ 4: Cho tam giác ABC. Trên tia đối của tia AB lấy điểm D sao cho AD = AB,
trên tia đối của tia AC lấy điểm E sao cho AE = AC. Gọi M, N lần lượt là trung điểm
của BE và CD. Chứng minh ba điểm M, A, N thẳng hàng.
Lời giải
Xét ∆BAE và ∆DAC có :
AE = AC ( gt)

D

E

·
·
(đối đỉnh)
BAE
= DAC
AB = AD (gt)

A

⇒ ∆BAE = ∆DAC (c.g.c)


M

·
·
(2 góc tương ứng)
⇒ ABE
= ADC
Mà hai góc này ở vị trí so le trong

B

⇒ BE / /DC
Ta có :

1
BM = BE ( M l trung im ca BE)
2

GV: Nguyễn Văn Điệp

7

Trờng THCS Hoàng Hoa Thám

N

C


Một số phơng pháp chứng minh ba điểm thẳng hàng trong chơng trình Toán 7


1
DN = DC ( N l trung điểm của DC)
2
( ∆ABE = ∆ADC )

BE = DC
⇒ BM = DN

Xét ∆BAM và ∆DAN có :
AD = AB

(gt)

·
·
( ∆ABE = ∆ADC )
ABM
= ADN
BM = DN

(cmt)

·
·
⇒ ∆BAM = ∆DAN (c.g.c) ⇒ BAM
( 2 góc tương ứng)
= DAN

·

·
Mà DAN
+ BAN
= 1800 (2 góc kề bù)
·
·
·
⇒ MAN
= BAM
+ BAN
= 1800 ⇒ ba điểm M ,A ,N thẳng hàng

* Ví dụ 5: Gọi O là trung điểm của đoạn thẳng AB. Trên hai nửa mặt phẳng đối nhau
· Ax = ·ABy .Trên Ax lấy hai điểm C và E (E nằm
bờ AB, vẽ hai tia Ax và By sao cho B

giữa A và C),trên By lấy hai điểm D và F ( F nằm giữa B và D) sao cho AC = BD,
AE = BF. Chứng minh ba điểm C, O, D thẳng hàng ; ba điểm E, O, F thẳng hàng.
Hướng dẫn
- Chứng minh : ∆AOC = ∆BOD (c.g.c)

x
C

·
·
⇒ AOC
= BOD

·

·
Mà AOC
+ COB
= 1800 (2 góc kề bù)

E

·
·
·
⇒ COB
+ BOD
= 1800 hay COD
= 1800

B

⇒ ba điểm C ,O ,D thẳng hàng .

O

A

- Tương tự , chứng minh : ∆AOE = ∆BOF (c.g.c)

F

·
·
⇒ AOE

= BOF

D

·
·
Mà AOE
+ EOB
= 1800 (2 góc kề bù)

y

·
·
·
EOF
= EOB
+ BOF
= 1800
⇒ ba điểm E ,O ,F thẳng hàng .

GV: Nguyễn Văn Điệp

8

Trờng THCS Hoàng Hoa Thám


Một số phơng pháp chứng minh ba điểm thẳng hàng trong chơng trình Toán 7
* Vớ d 6: Cho ABC có AB < AC . Trên cạnh AC lấy điểm D sao cho AD = AB .

Ã
Tia phân giác của BAC
cắt cạnh BC tại K.

a) Chứng minh : ABK = ADK .
b) Trên tia đối của tia BA lấy điểm F sao cho BF = DC . Chøng minh ba điểm F , K , D
thẳng hàng.
Hng dn

A

a) ABK = ∆ADK (c.g.c)
b) Ta có :

·
·
KBF
+ KBA
= 1800 (kề bù)

D

·
·
KDC
+ KDA
= 1800 (kề bù)

B


·
·
( ∆ABK = ∆ADK )
KBA
= KDA

K

C

·
·
⇒ KBF
= KDC

F

Xét ∆KBF và ∆KDC có :
KB = KD ( ∆ABK = ∆ADK )
·
·
(cmt)
KBF
= KDC

BF = DC (gt)
·
·
⇒ ∆KBF = ∆KDC (c.g.c) ⇒ BKF
( 2 góc tương ứng)

= DKC

·
·
Mà BKD
+ DKC
= 1800 ( 2 góc kề bù)
·
·
·
⇒ DKF
= BKF
+ BKD
= 1800
⇒ ba điểm F , K , D thẳng hàng

* Vớ d 7: Cho tam giác ABC , M là trung điểm của cạnh AC. Trên tia đối của tia MB
lấy điểm D sao cho MD = MB . Trên các đoạn thẳng AD , BC lần lượt lấy các điểm I ,
K sao cho AI = CK . Chứng minh ba điểm I , M ,K thẳng hàng
Lời giải

A

Xét ∆MAD và ∆MCB có :

I

D

MA = MC ( M là trung điểm của AC)

·
·
( đối đỉnh)
AMD
= CMB

M

MD = MB (gt)

B

⇒ ∆MAD = MCB (c.g.c)
GV: Nguyễn Văn Điệp

9

K

C

Trờng THCS Hoàng Hoa Thám


Một số phơng pháp chứng minh ba điểm thẳng hàng trong chơng trình Toán 7
Xột AMI v CMK cú :
AI = CK

·
·

( ∆MAD = ∆MCB )
MAI
= MCK
MA = MC ( M là trung điểm của AC)
·
·
⇒ ∆AMI = ∆CMK (c.g.c) ⇒ AMI
= CMK
·
·
·
·
·
Mà AMI
+ IMC
= 1800 (2 góc kề bù) ⇒ IMK
= IMC
+ CMK
= 1800
⇒ ba điểm I , M , K thẳng hàng .

* Ví dụ 8: Cho gãc xOy nhọn . Trên tia Ox lấy điểm A, trên tia Oy lÊy ®iĨm B sao
cho OA = OB. Gäi H là trung điểm của AB , E là trung ®iĨm cđa OB . Trªn tia ®èi cđa
tia EH lÊy ®iÓm K sao cho EH = EK Tõ E vÏ EM OH tại M .

K

O

Chứng minh: Ba điểm A , M , K thẳng hàng.

Li gii
Xột OEK v BEH có :
EO = EB ( E là trung điểm của OB)
·
·
(đối đỉnh )
OEK
= BEH
EH = EK (gt)

I

M

E

A

·
·
⇒ ∆OEK = ∆BEH (c.g.c) ⇒ EOK
(hai góc tương ứng) H
= EBH
Mà hai góc này ở vị trí so le trong ⇒ OK / /AB .

x

- Qua H vẽ đường thẳng song song OB , đường thẳng này cắt tia EM tại I .
Xét ∆OHA và ∆OHB có :
OA = OA (gt)

OH là cạnh chung
HA = HB ( H là trung điểm của AB)
⇒ ∆OHA = ∆OHB (c.c.c)

·
·
(2 góc tương ứng)
⇒ OHA
= OHB
·
·
Mà OHA
+ OHB
= 1800 (2 góc kề bù)
0

180
·
·
⇒ OHA
= OHB
=
= 900 ⇒ OH ⊥ AB
2

Mà EM ⊥ OH ( gt) ⇒ EM / /AB hay EI / /AB ( M ∈ EI )
Xột IEH v BHE cú :
GV: Nguyễn Văn Điệp

10


Trờng THCS Hoàng Hoa Thám

B
y


Một số phơng pháp chứng minh ba điểm thẳng hàng trong chơng trình Toán 7
Ã
Ã
(so le trong v IE / /AB )
IEH
= BHE
EH là cạnh chung
·
·
(so le trong và IH / /EB )
IHE
= BEH

⇒ ∆IEH = ∆BHE (g.c.g) ⇒ IH = EB ( hai cạnh tương ứng)
Mà EB = EO (E là trung điểm của OB) ⇒ IH = OE
Xét ∆IMH và ∆EMO có :

·
·
OME
= HMI(
= 900 )
IH = OE (cmt)


·
·
(so le trong và IH / /OE )
MOE
= MHI
⇒ ∆IMH = ∆EMO (g.c.g)
Ta có :

OK = HB ( ∆OEK = ∆BEH )
HA = HB (H là trung điểm của AB)

⇒ OK = HA
Xét ∆OMK và ∆HMA có :
OK = HA (cmt)

·
·
(so le trong và OK / /AB
MOK
= MHA
MO = MH ( ∆IMH = ∆EMO )
·
·
⇒ ∆OMK = ∆HMA (c.g.c) ⇒ OMK
( hai góc tương ứng)
= HMA

·
·

Mà OMK
+ KMH
= 1800 ( 2 góc kề bù)
·
·
·
⇒ KMA
= KMH
+ MHA
= 1800 ⇒ Ba điểm A , M , K thẳng hàng
*Nhận xét : Trong bài này có kết hợp cả kĩ thuật vẽ thêm đường phụ!
b) Bài tập tương tự
Bµi 1: Cho ∆ABC có AB < AC . Trên cạnh AC lấy điểm D sao cho AD = AB .
Gäi M lµ trung điểm của cạnh BD .
1) Tia AM cắt cạnh BC t¹i K . Chøng minh : ∆ABK = ∆ADK .
2) Trên tia đối của tia BA lấy điểm F sao cho BF = DC .
Chøng minh ba ®iĨm F , K , D thẳng hàng.

GV: Nguyễn Văn Điệp

11

Trờng THCS Hoàng Hoa Th¸m


Một số phơng pháp chứng minh ba điểm thẳng hàng trong chơng trình Toán 7
Bi 2: Cho tam giỏc ABC . Qua A vẽ đường thẳng xy // BC. Từ điểm M trên cạnh
BC, vẽ các đường thẳng song song AB và AC, các đường thẳng này cắt xy theo thứ tự
tại D và E. Gọi I là giao điểm của BD và CE .
Chứng minh : ba điểm A, I , M thẳng hàng .

Bài 3: Cho tam giác ABC. Trên tia đối của tia AB lấy điểm D sao cho AD = AC, trên
tia đối của tia AC lấy điểm E sao cho AE = AB. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của
BE và CD. Chứng minh ba điểm M, A, N thẳng hàng.
Bài 4: Cho tam giác ABC vng ở A có ·ABC = 600 . Vẽ tia Cx ⊥ BC (tia Cx và điểm A
ở phía ở cùng phía bờ BC), trên tia Cx lấy điểm E sao cho CE = CA. Trên tia đối của
tia BC lấy điểm F sao cho BF = BA. Chứng minh ba điểm E, A, F thẳng hàng.
Bài 5: Cho tam giác ABC cân tại A, điểm D thuộc cạnh AB. Trên tia đối của tia CA
lấy điểm E sao cho CE = BD. Kẻ DH và EK vng góc với BC (H và K thuộc đường
thẳng BC).Gọi M là trung điểm của HK.Chứng minh ba điểm D, M, E thẳng hàng.
Bài 6: Gọi O là trung điểm của đoạn thẳng AB. Trên hai nửa mặt phẳng đối nhau bờ
AB, kẻ Hai tia Ax và By sao cho B· Ax = ·ABy .Trên Ax lấy hai điểm C và E (E nằm giữa
A và C),trên By lấy hai điểm D và F ( F nằm giữa B và D) sao cho AC = BD,
AE = BF. Chứng minh ba điểm C, O, D thẳng hàng , ba điểm E, O, F thẳng hàng.
Bài 7.Cho tam giác ABC . Qua A vẽ đường thẳng xy // BC. Từ điểm M trên cạnh BC,
vẽ các đường thẳng song song AB và AC, các đường thẳng này cắt xy theo thứ tự tại D
và E. Chứng minh các đường thẳng AM, BD, CE cùng đi qua một điểm.

2) Phương pháp 2: Sử dụng tiên đề Ơ-Clit về hai đường thẳng song song
* Tiên đề Ơ – Clit: Qua một điểm ở ngồi một đường thẳng chỉ có một đường thẳng
song song với đường thẳng đó.

B

AB / /d
- Nếu 
AC / /d

A

d


Thì 2 đường thẳng AB và AC trùng nhau (tiên đề Ơ-Clit).
⇒ ba điểm A, B , C thẳng hàng

GV: NguyÔn Văn Điệp

12

Trờng THCS Hoàng Hoa Thám

C


Một số phơng pháp chứng minh ba điểm thẳng hàng trong chơng trình Toán 7
a) Cỏc vớ d
* Vớ d 1: Cho tam giác ABC , gọi D ,E lần lượt là trung điểm của AB và AC , trên tia
đối của tia DC lấy điểm M sao cho DM = DC , trên tia đối của tia EB lấy điểm N sao
cho EN = EB.
Chứng minh ba điểm M , A , N thẳng hàng .
Bài giải

A

M

N

Xét ∆ADM và ∆BDC có:
E


DA =DB (D là trung điểm AB)

D

·
·
(2 góc đối đỉnh)
ADM
= BDC

B

DM =DC (gt)

C

·
·
⇒ ∆ADM = ∆BDC (c.g.c) ⇒ DMA
(2 góc tương ứng)
= DCB

Mà hai góc này ở vị trí so le trong ⇒ AM / /BC (1)
·
·
Tương tự ta chứng minh được ∆AEN = ∆CEB (c.g.c) ⇒ ENA
(2 góc tương ứng)
= EBC

Mà hai góc này ở vị trí so le trong ⇒ AN / /BC (2)

Từ (1) , (2) hai đường thẳng AM và AN trùng nhau ( theo tiên đề Ơ – Clit)
⇒ ba điểm M, A ,N thẳng hàng .

* Ví dụ 2: Cho hai đoạn thẳng AC và BD cắt nhau tại trung điểm O của mỗi đoạn.
Trên tia AB lấy lấy điểm M sao cho B là trung điểm AM, trên tia AD lấy điểm N sao
cho D là trung điểm AN. Chứng minh : ba điểm M, C, N thẳng hàng.
A

Bài giải
Xét ∆ AOD và ∆ COB có:
OA = OC ( O là trung điểm AC)
B

·AOD = COB
·
(hai góc đối đỉnh)

O

D

OD = OB (O là trung điểm BD)
⇒ ∆ AOD = ∆ COB (c.g.c)

M

·
·
⇒ DAO
(2 góc tương ứng)

= OCB
⇒ AD // BC ⇒

GV: Ngun Văn Điệp

N
C

Ã
Ã
( 2 gúc ng v)
DAB
= CBM

13

Trờng THCS Hoàng Hoa Th¸m


Một số phơng pháp chứng minh ba điểm thẳng hàng trong chơng trình Toán 7
Xột

DAB v CBM cú :

AD = BC ( ∆ AOD = ∆ COB)
·
·
(cmt)
DAB
= CBM


AB = BM ( B là trung điểm của AM)
·
⇒ ∆ DAB = ∆ CBM (c.g.c). Suy ra ·ABD = BMC
. Do đó BD // CM. (1)

Lập luận tương tự ta chứng minh được được BD // CN. (2)
Từ (1) và (2) suy ra hai đường thẳng CM và CN trùng nhau ( tiên đề Ơ-Clit)
suy ra ba điểm M, C, N thẳng hàng.
·
*Ví dụ 3: Cho ∆ABC có AB = AC . Tia phân giác của BAC
cắt BC tại M. Qua B

vẽ đường thẳng vng góc với AB , đường thẳng này cắt tia AM tại D. Gọi E là trung
điểm của AM , đường thẳng vng góc AM tại E cắt cạnh AB tại F. Từ M vẽ
MK ⊥ CD tại K . Chứng minh 3 điểm : F , M , K thẳng hàng .
A

Lời giải
- Xét ∆FEA và ∆FEM có:
AE = ME (E là trung điểm của AM)

F

E

·
·
FEA
= FEM

= 900 ( AM ⊥ FE )

Cạnh FE chung
B

⇒ ∆FEA = ∆FEM (c.g.c)
·
·
(2 góc tương ứng)
⇒ FME
= FAE

C

M
D

K

·
·
·
·
·
Mà FAE
( AM là tia phân giác BAC
) ⇒ FME
= MAC
= MAC


Mà 2 góc này ở vị trí so le trong.

⇒ FM / / AC (1)

Ta chứng minh được ∆ABD = ∆ACD (c.g.c) ⇒

·ACD = ·ABD

Mà ·ABD = 900 ( AB ⊥ BD )
⇒ ·ACD = 900 ⇒ AC ⊥ CD
Lại có MK ⊥ CD (gt)

⇒ MK / / AC (2)

Từ (1) và (2) ⇒ hai đường thẳng FM và MK trùng nhau (tiên đề Ơ-Clit)
⇒

3 điểm F , M , K thng hng .

GV: Nguyễn Văn Điệp

14

Trờng THCS Hoàng Hoa Thám


Một số phơng pháp chứng minh ba điểm thẳng hàng trong chơng trình Toán 7
*Vớ d 4: Cho góc xAy nhọn . Trên tia Ax lấy điểm B , trên tia Ay lÊy ®iĨm C sao
cho AB = AC. Gäi M là trung điểm của BC . Từ M vẽ MH AC tại H . Trên tia đối
của tia HM lÊy ®iĨm K sao cho HM = HK . Tõ H vÏ HF ⊥ KC t¹i F. Gäi I là trung

điểm của AH . Qua I vẽ đờng thẳng song song với MK , đờng thẳng này cắt AM tại E .
Chứng minh : ba điểm E , H , F thẳng hàng.
Hng dn
A
Ta chng minh c AMB = ∆AMC (c.c.c)
·
·
·
·
mà AMB
⇒ AMB
= AMC
+ AMC
= 1800 (kề bù)
1800
I
·
·
⇒ AMB = AMC =
= 900 ⇒ AM ⊥ BC
E
2
K
- Chứng minh được ∆AHM = ∆AHK (c.g.c)
AM = AK
⇒
H
F
·
·

B
= KAH
MAH
M
C
- Từ đó chứng minh ∆AMC = ∆AKC (c.g.c)
y
·
·
⇒ HF / /AK (1)
⇒ AKC
= AMC
= 900 ⇒ AK ⊥ KC mà HF ⊥ KC (gt)
x
- Ta chứng minh được EI ⊥ AH (vì có EI / /MK,AH ⊥ MK )
·
·
- Từ đó chứng minh ∆EIA = ∆EIH (c.g.c) ⇒ EAI
= EHI
·
·
·
·
Mà EAI
( ∆AHM = ∆AHK ) ⇒ EHI
= IAK
= IAK
Mà hai góc này ở vị trí so le trong ⇒ HE / /AK (2)
- Từ (1), (2) ⇒ hai đường thẳng HE và HF trùng nhau
⇒ ba điểm E, H , F thẳng hàng .


*Ví dụ 5: Cho gãc nhän xAy. Trªn tia Ax lấy điểm B , trên tia Ay lấy điểm C sao

Ã
cho AB = AC . Tia phân giác của BAC
cắt BC tại H. Qua điểm C vẽ đờng thẳng
vuông góc với AC tại C, đờng thẳng này cắt tia AH tại điểm D. Từ H vẽ HE BD tại
E, gọi K là trung điểm của AC . Chứng minh: Ba điểm E , H , K thẳng hàng.
Hng dẫn
Trên tia đối của tia KE lấy điểm F sao cho KE = KF
- Ta chứng minh được ∆AKF = ∆CKH (c.g.c)
·
·
⇒ KFA
= KHC
Mà hai góc này ở vị trí so le trong ⇒ AF / / BC
A
F
- Ta chứng minh được ∆AHB = ∆AHC ( c.g.c)
⇒ HB = HC ( 2 cạnh tương ứng)
Ta có :
AF = HC ( ∆AKF = ∆CKH )
K
HB = HC (cmt)
⇒ AF = HB
Xét BHA v FAH cú :
H
B
C
GV: Nguyễn Văn Điệp

Trờng THCS Hoàng Hoa Th¸m
15
x

E D

y


Một số phơng pháp chứng minh ba điểm thẳng hàng trong chơng trình Toán 7
AF = HB (cmt)
Ã
Ã
(so le trong và AF / /BC )
BHA
= FAH
AH : cạnh chung
·
·
⇒ ∆BHA = ∆FAH (c.g.g) ⇒ BAH
= FHA
Mà 2 góc này ở vị trí so le trong ⇒ HF / /AB hay HK / /AB(K ∈ HF) (1)
·
·
- Ta chứng minh được ∆ABD = ∆ACD (c.g.c) ⇒ ABD
= ACD
= 900
⇒ AB ⊥ BD mà HE ⊥ BD (gt) ⇒ HE / /AB (2)
Từ (1), (2) ⇒ hai đường thẳng HK và HE trùng nhau (tiên đề Ơ-Clit)
⇒ ba điểm E ,H ,K thẳng hàng.

*Nhận xét : Trong bài này có kết hợp cả kĩ thuật vẽ thêm đường phụ!
b) Bài tập tương tự
Bµi 1: Cho ∆ABC cã AB = AC . Gäi M là trung điểm của cạnh BC . Trên cạnh AB lấy
điểm D, trên cạnh AC lấy điểm E sao cho AD = AE.
1) Chøng minh : ∆ADM = ∆AEM .
2) Gọi H là trung điểm của EC .Từ C vẽ đờng thẳng song song với cạnh ME, đờng thẳng này cắt tia MH tại F. Chứng minh: Ba điểm D , E , F thẳng hàng.
Bài 2: Cho ABC có AB = AC . Gọi M, N lần lợt là trung điểm của BC và AC . Qua
điểm A vẽ đờng thẳng song song với BC , đờng thẳng này cắt tia MN tại điểm E.
1) Chứng minh : AEM là tam giác vuông.
2) Chứng minh : BC = 2.AE
3) Gọi H là trung điểm của AB . Trên tia ®èi cđa tia HM lÊy ®iĨm K sao cho
HM = HK. Chøng minh : 3 ®iĨm A , K , E thẳng hàng .
4) Chứng minh : BK // CE
Bài 3: Cho góc nhn xAy , trên tia Ax lấy điểm B , trên tia Ay lấy điểm C sao cho
AB = AC . Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng BC và E là trung điểm của đoạn thẳng
AC. Trên tia đối của tia EM lấy điểm H sao cho EH = EM.
1) Chøng minh : ∆ABM = ACM
2) Gọi D là trung điểm của đoạn thẳng AB .Từ B vẽ đờng thẳng song song với đờng thẳng AM, đờng thẳng này cắt tia MD tại K. Chứng minh: Ba điểm H ,
A , K thẳng hàng.
Bài 4: Cho ∆ABC cã AB = AC . Gäi M là trung điểm của cạnh BC . Trên cạnh AB lấy
điểm D, trên cạnh AC lấy điểm E sao cho AD = AE. Gọi H là trung điểm của EC .Từ C

GV: Nguyễn Văn Điệp

16

Trờng THCS Hoàng Hoa Thám


Một số phơng pháp chứng minh ba điểm thẳng hàng trong chơng trình Toán 7

vẽ đờng thẳng song song với cạnh ME, đờng thẳng này cắt tia MH tại F. Chứng minh:
Ba điểm D , E , F thẳng hàng.
Bài 5: Cho tam gi¸c ABC cã AB = AC , Gọi D là trung điểm của cạnh BC , Gọi E là
trung điểm của cạnh AD , qua E vẽ đờng thẳng vuông góc với AD cắt AB tại M .
Trên nửa mặt phẳng bờ AD chứa điểm B vẽ tia Ax // BC , trên tia Ax lấy điểm H sao
cho AH = BD. Chøng minh ba ®iĨm D , M , H thẳng hàng .
3) Phng phỏp 3: Sử dụng tiên đề về hai đường thẳng vng góc.
* Tiên đề: Có một và chỉ một đường thẳng đi qua một điểm cho trước và vng góc
với đường thẳng cho trước.

B

AH ⊥ xy
- Nếu 
thì 2 đường thẳng AH và AB trùng nhau
AB ⊥ xy
⇒ ba điểm A , B , H thẳng hàng .

A

x

y

H

a) Các ví dụ
* Ví dụ 1: Cho tam giác ABC, trên tia đối của tia AB lấy điểm D sao cho AD = AB.
Trên tia đối của tia AC lấy điểm E sao cho AE = AC. Vẽ AH vng góc BC
( H ∈ BC). Trên đoạn DE lấy điểm K sao cho BH = DK. Chứng minh ba điểm A, H,

K thẳng hàng.
Bài giải

K
E

Xét ∆ADE và ∆ABC có :
AD = AB (gt)

D

A

·
·
( đối đỉnh)
DAE
= BAC

AC = AE (gt)
µ =B
µ (2 góc tương ứng)
⇒ ∆ADE = ∆ABC (c.g.c) ⇒ D

B

H

Mà hai góc này ở vị trí so le trong ⇒ DE / /BC
Xét ∆AHB và ∆AKD có :


BH = KD (gt)
µ =B
µ (cmt)
D

AB = AD (gt)
·
·
·
·
⇒ ∆AHB = ∆AKD (c.g.c) ⇒ AKD
mà AHB
= AHB
= 900 ⇒ AKD
= 900

Ta có :

·
AK ⊥ ED ( AKD
= 900 )

GV: Nguyễn Văn Điệp

17

Trờng THCS Hoàng Hoa Thám

C



Một số phơng pháp chứng minh ba điểm thẳng hàng trong chơng trình Toán 7
DE / /BC (cmt)
AK BC mà AH ⊥ BC (gt) ⇒ hai đường thẳng AK và AH trùng nhau
⇒ ba điểm K , A , H thẳng hàng.

* Ví dụ 2: Cho ∆ABC cã µA = 900 (AB < AC), tõ A vÏ AH BC tại H. Trên BC lấy
điểm I sao cho HI = HB (I khỏc B). Trên tia đối của tia HA lÊy ®iĨm K sao cho
HK = HA .Tõ I vÏ IE ⊥ AC (E thuéc AC) . Chøng minh 3 điểm K , I , E thẳng hàng .
Bài giải
Xét ∆BHA và ∆IHK có :

K

HB =HI (gt)

B

·
·
(đối đỉnh)
BHA
= IHK

H

HA = HK (gt)

I


·
·
⇒ ∆BHA = ∆IHK (c.g.c) ⇒ HBA
= HIK

Mà hai góc này ở vị trí so le trong ⇒ AB / / IK
Ta có :

A

E

C

·
AB ⊥ AC ( BAC
= 900 )

AB / /IK (cmt)
⇒ IK ⊥ AC

Mà IE ⊥ AC (gt) ⇒ hai đường thẳng IK và IE trùng nhau

⇒ ba điểm K , I , E thẳng hàng .

* Chú ý : Bài tốn này cũng có thể chứng minh theo phương pháp 2: “Sử dụng tiên đề
Ơ-Clit”. Bằng cách chứng minh KI và IE cùng song song với AB.
*Ví dụ 3: Cho gãc xAy nhän . Trên tia Ax lấy điểm B , trên tia Ay lấy điểm C sao
cho AB = AC. Gọi M là trung ®iĨm cđa BC . Tõ M vÏ MH ⊥ AC tại H . Trên tia đối

của tia HM lấy ®iÓm K sao cho HM = HK . Tõ H vẽ HF KC tại F. Gọi I là trung
điểm của AH . Qua I vẽ đờng thẳng song song với MK , đờng thẳng này cắt AM tại E .
Chøng minh : ba ®iĨm E , H , F thẳng hàng.
Hng dn
Ta chng minh c AMB = AMC (c.c.c)
Ã
Ã
Ã
Ã
m AMB
⇒ AMB
= AMC
+ AMC
= 1800 (kề bù)
1800
·
·
⇒ AMB
= AMC
=
= 900 ⇒ AM ⊥ BC
2
- Chứng minh được ∆AHM = ∆AHK (c.g.c)
GV: Nguyễn Văn Điệp

18

A

I

E

B

K
H

F

M Hoa Thám
C
Trờng THCS Hoàng
x

y


Một số phơng pháp chứng minh ba điểm thẳng hàng trong chơng trình Toán 7
AM = AK

Ã
Ã
= KAH
MAH
- T ú chứng minh ∆AMC = ∆AKC (c.g.c)
·
·
⇒ AKC
= AMC
= 900 ⇒ AK ⊥ KC (1)

- Ta chứng minh được EI ⊥ AH (vì có EI / /MK,AH ⊥ MK )
·
·
- Từ đó chứng minh được ∆EIA = ∆EIH (c.g.c) ⇒ EAI
= EHI
·
·
·
·
Mà EAI
( ∆AHM = ∆AHK ) ⇒ EHI
= IAK
= IAK
Mà hai góc này ở vị trí so le trong ⇒ HE / /AK (2)
Từ (1) và (2) ⇒ HE ⊥ KC mà HF ⊥ KC (gt)
⇒ hai đường thẳng HE và HF trùng nhau
⇒ ba điểm E, H , F thẳng hàng .
* Chú ý : Bài toán này cũng có thể chứng minh theo phương pháp 2: “Sử dụng tiên đề
Ơ-Clit”
Bằng cách chứng minh HE và HF cùng song song với AK.

b) Bài tập tương tự
Bµi 1: Cho ∆ABC có AB = AC . Gọi M là trung điểm của cạnh BC . Trên cạnh AB lấy
điểm D, trên cạnh AC lấy điểm E sao cho AD = AE. Gọi H là trung điểm của EC .Từ C
vẽ đờng thẳng song song với cạnh ME, đờng thẳng này cắt tia MH tại F. Chứng minh:
Ba điểm D , E , F thẳng hàng.
Bài 2: Cho tam giác ABC , M là trung điểm của cạnh AC . Trên tia ®èi cđa tia MB lÊy
®iĨm D sao cho MD = MB . Qua B vẽ đờng thẳng d vuông góc víi BC . Tõ A vÏ
AE vu«ng gãc víi d tại E . Chứng minh ba điểm A, D , E thẳng hàng .
Bài 3: Cho tam giác ABC vuông tại A . Trên cạnh BC lấy điểm D sao cho BD = AB .

Tia phân giác của góc ABC cắt AC ở E . Vẽ CH vuông góc với BE tại H , CH cắt
AB tại F . Chứng minh ba điểm D , E , F thẳng hàng .
4) Phương pháp 4: Sử dụng tia phân giác của một góc.
* Tính chất: Mỗi góc cho trước chỉ có duy nhất một tia phân giác của góc đó.
- Nếu

·
OA là tia phân giác của xOy

x

·
OB là tia phân giác ca xOy

B
A

GV: Nguyễn Văn Điệp

Trờng THCS Hoàng Hoa Thám

19
O

y


Một số phơng pháp chứng minh ba điểm thẳng hàng trong chơng trình Toán 7
Thỡ hai tia OA v OB trùng nhau.
⇒ ba điểm O , A , B thẳng hàng.


a) Các ví dụ
* Ví dụ 1: Cho tam giác ABC có AB = AC. Gọi M là một điểm nằm trong tam giác
ABC sao cho MB = MC. Gọi N là trung điểm của BC. Chứng minh ba điểm A, M, N
thẳng hàng.

A

Bài giải
Xét ∆ABM và ∆ACM có :
AM : cạnh chung

M

AB = AC (gt)
MB = MC ( gt)
⇒ ∆ABM = ∆ACM (c.c.c)

B

·
·
·
⇒ BAM
⇒ AM là tia phân giác BAC
(1)
= CAM

N


C

Tương tự ta có ∆ABN = ∆ACN (c.c.c)
·
·
·
⇒ AN là tia phân giác BAC
(2)
⇒ BAN
= CAN

Từ (1), (2) ⇒ hai tia AM và AN trùng nhau
⇒ ba điểm A , M , N thẳng hàng.

*Ví dụ 2: Cho tam giác ABC vuông tại A, trên cạnh BC lấy điểm D sao cho BA =
BD. Qua điểm D vẽ đường thằng vng góc với BC , đường thẳng này cắt cạnh AC tại
M và tia BA tại E . Gọi K là trung điểm của EC . Chứng minh: 3 điểm B,M,K thẳng
B

hàng.
Lời giải

D

- Xét ∆ABM và ∆DBM có:
·
·
BAM
= BDM
= 900 ( MA ⊥ BE , MD ⊥ BC )


A

Cạnh BM chung
BA = BD (gt)

C

M
K

·
⇒ ∆ABM = ∆DBM (ch – gn) ⇒ ·ABM = DBM

E

⇒ BM là tia phân giác của ·ABD
·
⇒ BM là tia phân giác EBC
(A∈ BE, D∈ BC) (1)

- AME v DMC cú :
GV: Nguyễn Văn Điệp

Ã
Ã
MAE
= MDC
= 900 ( MA ⊥ BE , MD ⊥ BC )


20

Trờng THCS Hoàng Hoa Thám


Một số phơng pháp chứng minh ba điểm thẳng hàng trong chơng trình Toán 7
MA = MD

( ABM = DBM )

·AME = DMC
·

(2 góc đối đỉnh)

⇒ ∆AME = ∆DMC (g.c.g) ⇒ AE = DC ( 2 cạnh tương ứng)
BE = BA + AE ( A ∈ BE)

- Ta có:

BC = BD + DC ( D ∈ BC)
BA = BD (gt)
AE = DC (cmt)
⇒ BE = BC

- Xét ∆EBK và ∆CBK có :

BE = BC (cmt)
Cạnh BK chung
KE = KC (K là trung điểm của EC)


·
·
⇒ ∆EBK = ∆CBK (c .c . c) ⇒ EBK
( 2 góc tương ứng)
= CBK
·
⇒ BK là tia phân giác của EBC

(2)

- Từ (1) và (2) ⇒ Hai tia BM và BK trùng nhau ⇒ 3 điểm B , M , K thẳng hàng.

*Ví dụ 3: Cho tam giác ABC có AB = AC. Kẻ BM ⊥ AC, CN ⊥ AB
( M ∈ AC , N ∈ AB ), H là giao điểm của BM và CN.
a) Chứng minh AM = AN.
b) Gọi K là trung điểm BC. Chứng minh ba điểm A, H, K thẳng hàng.
Hướng dẫn

A

a) Chứng minh ∆AMB = ∆ANC (ch-gn)
⇒ BM = CN

b) (Sử dụng phương pháp 4)
·
- Chứng minh AH và AK cùng là tia phân giác của BAC
⇒ Tia AH và tia AK trùng nhau

B


⇒ ba điểm A , H , K thng hng

N

H

M

K

b) Bi tp tng t

GV: Nguyễn Văn Điệp

21

Trờng THCS Hoàng Hoa Thám

C


Một số phơng pháp chứng minh ba điểm thẳng hàng trong chơng trình Toán 7
Bài 1: Cho tam giác ABC nhän cã AB = AC . Gäi D lµ trung ®iĨm cđa c¹nh BC . Tõ
D vÏ DE ⊥ AC tại E. Trên tia đối của tia ED lấy điểm F sao cho ED = EF. Tia AF c¾t
tia DC tại H, tia AD cắt tia FC tại K. Gọi M là trung điểm của KH. Chứng minh: Ba
điểm E , C , M thẳng hàng.
Bi 2: Cho tam giỏc ABC có AB = AC. Gọi H là trung điểm BC. Trên nửa mặt phẳng
bờ AB chứa C kẻ tia Bx vng góc AB, trên nửa mặt phẳng bờ AC chứa B kẻ tia Cy
vuông AC. Bx và Cy cắt nhau tại E. Chứng minh ba điểm A, H, E thẳng hàng.

Bµi 3: Cho ∆ABC cã AB = AC . Gọi H là trung điểm của cạnh BC .
1) Trên tia đối của tia BA lấy điểm D , trên tia ®èi cđa tia CA lÊy ®iĨm E sao
cho BD = CE . Chøng minh : AD = AE vµ HAD = HAE .
2) Gọi K là trung điểm của DE . Chøng minh ba ®iĨm A , H , K thẳng hàng.

5) Phng phỏp 5: S dng hỡnh duy nhất (phương pháp đồng nhất).
- Để chứng minh ba điểm A, B , C thẳng hàng trong đó C thuộc hình H ( Hình H có
thể là đường thẳng , đoạn thẳng , tia ……) . Ta có thể gọi C’ là giao điểm của AB với
hình H , sau đó tìm cách chứng minh C và C’ trùng nhau.
a) Các ví dụ
* Ví dụ 1: Cho tam giác ABC , M là trung điểm của cạnh AC. Trên tia đối của tia MB
lấy điểm D sao cho MD = MB . Trên các đoạn thẳng AD , BC lần lượt lấy các điểm I ,
K sao cho AI = CK . Chứng minh ba điểm I , M ,K thẳng hàng
Lời giải

A

Gọi I’ là giao điểm của KM và AD

I I’

D

Xét ∆MAD và ∆MCB có :
MA = MC ( M là trung điểm của AC)

M

·
·

( đối đỉnh)
AMD
= CMB

B

MD = MB (gt)
GV: Nguyễn Văn Điệp

22

K

C

Trờng THCS Hoàng Hoa Thám


Một số phơng pháp chứng minh ba điểm thẳng hàng trong chơng trình Toán 7
MAD = MCB (c.g.c)
Ã
Ã
(2 gúc tương ứng)
⇒ MAD
= MCB

Xét ∆MAI ' và ∆MCK có:
·
·
·

·
( MAD
, I’ ∈ AD, K ∈ BC)
MAI
' = MCK
= MCB

MA = MC ( M là trung điểm AC)
·
·
( đối đỉnh)
AMI
' = CMK

⇒ ∆MAI ' = ∆MCK (g.c.g)

⇒ AI ' = CK (hai cạnh tương ứng)

Mà AI = CK (gt) ⇒ AI ' = AI ⇒ I ≡ I '

Vậy ba điểm I , M , K thẳng hàng .

* Ví dụ 2: Cho ABC , trên nửa mặt phẳng bờ AB không chứa điểm C vẽ tia
Ax AB , trên tia Ax lÊy ®iĨm D sao cho AD = AB. Trên nửa mặt phẳng bờ AC không
chứa điểm B vẽ tia Ay AC , trên tia Ay lấy điểm E sao cho AE = AC. Gọi M là trung
điểm cđa BC . Tõ A vÏ AH ⊥ DE t¹i H. Chứng minh : 3 điểm H, A, M thẳng hµng .
Lời giải
Gọi H’ là giao điểm của đường thẳng AM và DE
Trên tia đối của tia MA lấy điểm F sao cho MA = MF.


y

Ta chứng minh được ∆AMC = ∆FMB (c.g.c)
 BF = AC
⇒  ·
·
 MAC = MFB

⇒ AC / /BF

E

H H'

x
D

A

( do có 2 góc so le trong bằng nhau)

·
·
⇒ ABF
+ BAC
= 1800 ( trong cùng phía)

·
·
·

·
Mà BAC
= 900 , EAC
= 900 )
+ DAE
= 1800 ( DAB
B

·
·
(2 góc tương ứng)
⇒ ABF
= DAE

Xét ∆DAE và ∆ABF có :

C

M

AB = AD (gt)
·
·
(cmt)
ABF
= DAE

F

BF = AE ( cùng = AC)

·
·
⇒ ∆DAE = ∆ABF (c.g.c) ⇒ ADE
(2 góc tương ứng)
= BAF
·
·
( H' ∈ DE,M ∈ AF )
⇒ ADH
' = BAM

GV: Nguyễn Văn Điệp

(1)

23

Trờng THCS Hoàng Hoa Thám


Một số phơng pháp chứng minh ba điểm thẳng hàng trong chơng trình Toán 7
Ã
Ã
Ã
BAM
+ DAH
' + DAB
= 1800
Ã
Ã

Ta cú  ·
⇒ BAM
+ DAH
' = 900 (2)
0
DAB = 90 (AD ⊥ AB)
·
·
Từ (1) và (2) ⇒ ADH
' + DAH
' = 900 ⇒ ∆ADH ' vuông tại H’

⇒ AH' ⊥ DE tại H’ mà AH ⊥ DE tại H ⇒ H ≡ H '
Vậy ba điểm A, H ,M thẳng hàng
* Vớ d 3: Cho ABC vuông tại A . Trên tia ®èi cđa tia AC lÊy ®iĨm D sao cho
AD = AC . Trên cạnh BC lấy điểm H, trên tia ®èi cđa tia DB lÊy ®iĨm K sao cho
CH = DK . Gọi Q là trung điểm của KH . Chøng minh : ba ®iĨm C , Q , D thẳng hàng
B
Li gii
- T H v HE CD tại E, từ K vẽ KF ⊥ CD tại F ⇒ HE / /KF
Xét ∆BAC và ∆BAD có:

H

AB: cạnh chung
F

·
·
BAC

= BAD(
= 900 )

D

Q'
Q

A

E

AD = AC (gt)
K

·
·
·
·
mà BDA
(đối đỉnh)
⇒ BCA
= BDA
= KDF
·
·
·
·
hay KDF
( H ∈ BC,E ∈ CD )

⇒ BCA
= KDF
= HCE
Xét ∆KDF và ∆HEC có :

·
·
KFD
= HEC(
= 900 )
CH = DK (gt)

·
·
(cmt)
KDF
= HCE
⇒ ∆KDF = ∆HEC (ch-gn) ⇒ HE = KF
- Gọi Q’ là giao điểm của CD và HK .
Xét ∆KQ'F và ∆HQ'E có :

·
·
KFD
= HEC(
= 900 )
HE = KF (cmt)
·
·
( so le trong và HE / /KF )

FKQ'
= EHQ'

⇒ ∆KQ'F = ∆HQ'E (g.c.g) ⇒ Q'K = Q'H ( hai cạnh tương ứng)
Mà Q' ∈ HK ⇒ Q’ là trung điểm của đoạn thẳng HK
Lại có Q cũng là trung điểm của đoạn thẳng HK (gt) ⇒ Q' ≡ Q
GV: Nguyễn Văn Điệp

24

Trờng THCS Hoàng Hoa Thám

C


Một số phơng pháp chứng minh ba điểm thẳng hàng trong chơng trình Toán 7
M ba im D , Q ,C thẳng hàng
⇒ ba điểm D , Q , C thng hng

b) Bi tp tng t
Bài 1: Cho tam giác ABC . Trên tia đối của tia AB lấy điểm D sao cho AD = AB , trên
tia đối của tia AC lÊy ®iĨm E sao cho AE = AC . Qua C vẽ đờng thẳng m song song với
AB . Trên đờng thẳng m lấy điểm F sao cho FC = BD và F ở trên cùng nửa mặt phẳng
bờ BC có chứa điểm D . Chứng minh ba điểm D , E , F thẳng hàng .
Bài 2: Cho tam giác ABC , D và E lần lợt là trung điểm của các cạnh AB , AC . Gọi
M là trung điểm của đoạn thẳng BD . Trên tia ®èi cđa tia MC lÊy ®iĨm F sao cho
MF = MC . Chøng minh ba ®iĨm E , D , F thẳng hàng .

Bài 3: Cho tam giác ABC cân tại A , trên các cạnh AB , AC lần lợt lấy các điểm D và E
sao cho AD = AE . Gọi M , N lần lợt là trung điểm các đoạn thẳng BC , DE . Chứng

minh ba điểm A , M , N thẳng hàng .
Bi 4: Cho tam giác nhọn ABC (AB < AC) . Về phía ngồi tam giác ABC vẽ các tam
giác ABD và ACE lần lượt vuông cân tại B và C . Đường thẳng qua B vng góc với
CD và đường thẳng qua C vng góc với BE cắt nhau tại F , BE cắt CD tại H . Chứng
minh ba điểm F , A , H thẳng hàng .
6) Phương pháp 6: Sử dụng tính chất đường trung tuyến trong tam giác.
( Đường trung tuyến của một tam giác đi qua trọng tâm của tam giác đó)
- Nếu

G là trọng tâm của ∆ABC

A

AM là đường trung tuyến của ∆ABC
Thì AM đi qua G ( hay G ∈ AM)

G

⇒ ba điểm A , G , M thẳng hàng .

B

a) Các ví d
GV: Nguyễn Văn Điệp

25

M

Trờng THCS Hoàng Hoa Thám


C