TRƯỜNG ĐAI
• HOC
• s ư PHAM
• HÀ NÔI
• 2
KHOA GIÁO DỤC TIỂU HỌC
_______________•__________
•_

VŨ THI THU HẰNG

MỘT SỐ NỘI DUNG VỀ
ĐA GIÁC VÀ ĐA DIỆN

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Chuyên ngành: H ình học

Ngưòri hướng dẫn khoa học
Th.s. PHẠM THANH TÂM

HÀ NỘI, 2016


MỤC LỤC
LỜI CẢM ƠN
LỜI CAM ĐOAN
A. PHẦN MỞ ĐÀU
1. Lí do chon đề tài................................................................................ 1
2. Mục đích, nhiệm vụ nghiên cứu......................................................2
3. Đổi tượng phạm vi nghiên cứu........................................................2
4. Phương pháp nghiên cứu.................................................................2

5. Cấu trúc đề tài................................................................................... 2
B. NỘI DUNG
CHƯƠNG 1: ĐA GIÁC, DIỆN TÍCH ĐA GIÁC.......................................3
1.1. Đa giác..............................................................................................3
1.2. Các tính chất của đa giác...............................................................7
1.3. Phân hoạch - Sự đồng phân của các đa giác..............................10
1.4. Hàm diên tích, sư tồn tai hàm diên tích......................................13
1.5. Diện tích và tính đồng phân.........................................................19
1.6. Tính diện tích các đa giác.............................................................21
1.7. Diện tích của các hình phẳng.......................................................24
1.8. Tính chất của diên tích.................................................................25
1.9. Bài tập............................................................................................26
CHƯƠNG 2: ĐA DIỆN - THẺ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN.......................... 27
2.1. Đa diên...........................................................................................27
■

2.2. Đa diện lồi và định lý Đề Các- ơ ỉe .............................................28
2.3. Sơ lược về sơ đồ phẳng của hình đa diện...................................33
2.4. Phân hoach
của khối đa diên......................................................35
•
•
2.5. Thể tích của khối đa diện.............................................................35
2.6. Bài tập............................................................................................41


KẾT LUẬN....................................................................................................42
TÀI LIỆU THAM KHẢO............................................................................43



LỜI CẢM ƠN

Trong quá trình thực hiện khóa luận em đã nhận được nhiều sự giúp đỡ
quý báu và bổ ích từ các thầy cô và bạn bè. Em xin chân thành cảm ơn các
thày cô trong khoa Giáo dục Tiểu học và các thầy cô trong khoa Toán trường
Đại học sư phạm Hà Nội 2 đã tận tâm giảng dạy và truyền thụ những kiến
thức quý báu để em có thể hoàn thành tốt khóa học. Đặc biệt, em xin bày tỏ
lòng cảm ơn sâu sắc của mình tới thầy Phạm Thanh Tâm - Khoa Toán,
thày đã trực tiếp hướng dẫn, nhiệt tình giúp đỡ và chỉ bảo em trong suốt quá
trình thực hiện khóa luận.
Em xin chân thành cảm ơn các thầy cô giáo, thư viện nhà trường, gia
đình và bạn bè đã tạo mọi điều kiện, động viên, giúp đỡ tận tình để em hoàn
thành khóa luận này.
Hà Nội, ngày 7 tháng 5 năm 2016
Sinh viền

Vũ Thị Thu Hằng


LỜI CAM ĐOAN

Để hoàn thành khóa luận này, ngoài sự nỗ lực của bản thân, sự giúp đỡ
tận tình của thầy giáo Phạm Thanh Tâm, em đã sử dụng một số tài liệu tham
khảo ghi ở mục “Tài liệu tham khảo”. Nhưng em xin cam đoan khóa luận này
là kết quả nghiên làm việc của bản thân dưới sự hướng dẫn của thầy giáo
Phạm Thanh Tâm.
Hà Nội, ngày 7 tháng 5 năm 2016
Sinh viên

Vũ Thị Thu Hằng



A. PHẦN MỞ ĐẦU

1. Lí do chọn đề tài
Trong chương trình học ở phổ thông cùng với những môn học như văn,
lịch sử, địa,... thì môn toán cũng là một trong những môn học rất quan trọng
và thiết thực đối với học sinh. So với các môn học khác, môn toán là một môn
học đòi hỏi học sinh phải tư duy và tưởng tượng cao. Hình học là một nội
dung học tập khó trong chưomg trình giáo dục phổ thông nói chung và bậc
tiểu học nói riêng. Học sinh các lớp tiểu học có khả năng tưởng tượng còn
chưa phát triển ở mức độ cao nên những biểu tượng về các hình như hình chữ
nhật, hình vuông, hình tứ giác, hình bình hành,... còn chưa rõ nét. Các em
được làm quen với hình học ngay từ lớp 1 với các hình đom giản như hình
ừòn, hình vuông,... càng lên các lớp cao nội dung hình học mà các em được
học càng khó và trừu tượng hơn. Từ lớp 3 trở lên các em bắt đàu được học
cách tính chu vi, diện tích và thể tích của một số hình như hình vuông, hình
tam giác, hình lập phương và một số hình hộp. Điều này đòi hỏi ở các em
phải có sự tư duy trừu tượng và trí tưởng tượng phong phú mới có thể học tốt
được. Mặt khác với các em việc hiểu rõ bản chất của các công thức tính diện
tích và thể tích của các hình đa giác và đa diện là rất khó vì ở các em trí tưởng
tượng còn kém và tư duy còn mang tính cụ thể. Bởi vậy chỉ có những người
giáo viên nắm vững kiến thức về đa giác, đa diện thì mới có thể truyền thụ
cho học sinh hiểu được những điều đó.
Để nâng cao thêm hiểu biết của bản thân và giúp cho các thầy cô giáo
tiểu học nắm rõ hơn về đa giác và đa diện, cũng như với niềm say mê hứng
thú với toán hình cùng sự giúp đỡ hướng dẫn nhiệt tình của thầy giáo Phạm
Thanh Tâm, một giảng viên Khoa Toán trường ĐHSP Hà Nội 2. Tôi quyết

1



định chọn đề tài “Một số nội dung về đa giác và đa diện” làm đề tài nghiên
cứu của mình.
2. Mục đích, nhiệm vụ nghiên cứu
- Mục đích nghiên cứu: Nghiên cứu làm rõ một số nội dung về đa giác
và đa diện.
- Nhiệm vụ nghiên cứu:
+ Tìm hiểu một số nội dung về đa giác: Định lý Jordan, tính chất của đa
giác, phân hoạch sự đồng phân của đa giác, diên tích đa giác, cách tính diện
tích đa giác, tính chất của diện tích.
+ Tìm hiểu một số nội dung về đa diện: Định lý Jordan, phân loại đa
diện, thể tích của các khối đa diện.
3. Đổi tượng phạm vi nghiên cứu
- Đối tượng nghiên cứu: Một số nội dung về đa giác và đa diện.
- Phạm vi nghiên cứu: Định nghĩa về đa giác và đa diện, diên tích đa
giác, thể tích của các khối đa diện.
4. Phương pháp nghiên cứu
- Nghiên cứu tài liệu, sách giáo trình.
- Sử dụng các công cụ toán học.
5. Cấu trúc đề tài
Chương I: Đa giác, diện tích đa giác
Chương II: Đa diện - thể tích khối đa diện

2


B. NỘI DUNG
CHƯƠNG 1. ĐA GIÁC, DIỆN TÍCH ĐA GIÁC


1.1. Đa giác
Định nghĩa 1.1.1. Đường gấp khúc n cạnh là hình hợp thành bởi n
đoạn thẳng A ịA2, A2A3, ..., ArẠn +J, trong đó hai đoạn thẳng liên tiếp A i- 1Aị và
AịAị +1 không cùng nằm trên một đường thẳng ( i = 2, 3,..., n).
- Kí hiệu đường gấp khúc như ừên là A iA2. .. An+1.
- Các điểm Ai gọi là các đỉnh của đường gấp khúc (có n + 1 đỉnh), còn
các đoạn thẳng AịAi +! gọi là các cạnh của đường gấp khúc.
Từ định nghĩa trên ta suy ra hai cạnh liên tiếp Ai _ lAị và AịAi +1 chỉ có
một đỉnh chung duy nhất là Ai {xem hình 1).

Hình 1
Định nghĩa 1.1.2 .Đ a giác n cạnh là đường gấp khúc n cạnh ( n >3)
A]A2...An + I sao cho đỉnh đầu Aj và đỉnh cuối An + I trùng nhau, cạnh đầu
A]A2 và cạnh cuối A„A„ +J ( cũng coi là hai cạnh liên tiếp) không nằm trên
một đường thẳng.
- Đa giác như thế kí hiệu là AiA2...An. Đa giác n cạnh còn gọi là
n - giác.
- Các điểm Ai gọi là các đỉnh của đa giác , các đoạn thẳng AịAi +1 gọi là
các cạnh của đa giác. Góc A i. lAị Ai + 1 gọi là góc đa giác ở đỉnh Ai ( xem
hình 2).

3


Ag

a6

Hình 2
Định nghĩa 1.1.3. Đa giác đơn là đa giác mà bất kì 2 cạnh không liên

tiếp nào cũng không có điểm chung (xem hình 3).

Định nghĩa 1.1.4. Đa giác đều là đa giác có tẩt cả các cạnh và các góc
bằng nhau (xem hình 4)
A2

Ai ________ A2

»32

A4

Hình 4
Định lí 1.1.5. Cho H là đa giác nằm trong mặt phẳngP khỉ đó tập
p / H là hợp của hai tập hợp H ° và H * có các tính chất sau đây:
i)

Bất kì hai điểm nào cùng thuộc vào một trong hai tập hợp đó đều có

thể nối với nhau bằng một đường gấp khúc không cỏ điểm chung với H .

4


ii) Một đường gấp khúc bất kì nối hai điểm thuộc hai tập hợp H °và
H* thì luôn có điểm chung với H .
iii) Tập H 0không chứa đường thẳng nào, tập H* chứa những đường
thẳng.
Định nghĩa 1.1.6. Đa giác lồi là đa giác mà nó nằm về một phía đổi
với đường thẳng chứa bất kì một cạnh nào đó của đa giác đó. Hiển nhiên các

đa giác lồi là đa giác đơn.
Định nghĩa 1.1.7. Tập H ữnỏi trong định lí Jordan được gọi là miền
trong của đa giác H. Tập H* được gọi là miền ngoài của đa giác H. Mỗi
điểm của H °gọi là điểm trong của đa giác H. Mỗi điểm thuộc H* gọi là điểm
ngoài của đa giác H. Tập H ũ

u

H* gọi là miền đa giác H. Miền đa

giác H kỉ hiệu là [H] (xem hình 5)

Hình 5
Chứng minh định lí Jordan
Ta sẽ chứng minh trong trường họp H là đa giác lồi.
Giả sử H là đa giác lồi n cạnh. Ta kí hiệu Sị (i = 1, 2, ..., n) là n đường
thẳng chứa mỗi cạnh của H. Vì H là đa giác lồi nên H nằm về một phía đối
với mỗi S ị. Ta kí hiệu S'? là nửa mặt phẳng mở với bờ là Sị, và chứa tập
H / S , còn Si* là nửa mặt phẳng mở đối của nửa mặt phẳng Si° qua bờ chung
là đường thẳng S ị, tức là p = s?

u u
5

(xem hình ố). Ta đặt:


tf°=n ;ff'=u

Dễ chứng minh rằng p / H —H°


u

và /7 °n

, nên ta chỉ còn

phải chứng minh các tính chất i), ii), iii).
i)

Xét trường họp A, B là hai điểm thuộc H ° tức là A và B đều thuộc

s f , với mọi i = 1, 2, . . n.
Như vậy đoạn thẳng AB cz Sị với mọi i = 1 , 2 , . . n. Suy ra AB d H °
, và do đó AB chính là đường gấp khúc không có điểm chung với H .
Bây giờ xét trường họp A, B là hai điểm thuộc H * . Theo định nghĩa của
H *, có i và j để A e Sị và B

G

5*. Nếu i = j thì hiển nhiên đoạn thẳng

A B d Sị tức AB a H *, và AB là đường gấp khúc nối A với B (xem hình 7).

Nếu i Ỷ j, chẳng hạn j = i + k > i. Ta lấy các điểm:

6


Aes;ns, lAeC.nS, ;

Chú ý rằng

s*mn

A *=•''*: i-<’;•

5 nên có thể lấy được các điểm như thế. Khi

đó hiển nhiên ta có đường gấp khúc AA1A2 ...AkB nằm trong H* và nối A
với B (xem hình 7).
ii) Giả sử A g H ° còn B e H *, ta phải chứng minh rằng mọi đường
gấp khúc nối A và B đều phải có điểm chung với H.
Trước hết ta chứng tỏ rằng đoạn thẳng AB phải cắt H. Ta xét các góc
AịAAi +1 với i = 1,2 ,3 , ...,n + 1. Điểm B phải thuộc một trong những góc đó
vì B thuộc H* nên đoạn AB phải cắt một ừong các cạnh của đa giác.
Bây giờ để chứng minh ii) ta giả sử ngược lại, có một đường gấp khúc
A iA2. .. An không có điểm chung với H, trong đó Ai trùng với A và An trùng
B. Vì đoạn thẳng A iA2 không cắt H và Ai thuộc H ° , ..., tiếp tục suy ra An,
tức B cũng thuộc H ° , điều đó là vô lí.
iii) Trong mặt phẳng p lấy điểm o và xét đường tròn (O, R) với bán
kính R đủ lớn sao cho mọi đỉnh của đa giác lồi H đều nằm trong (O, R). Khi
đó dễ chứng minh rằng miền trong H ° cũng nằm trong đường tròn đó. Từ đó
suy ra không có đường thẳng nào nằm trong H °, và mọi đường thẳng không
cắt đường tròn (O, R) đều nằm trong H * .
1.2. Các tính chất của đa giác
Định nghĩa 1.2.1. Trong mặt phẳng cho điểm Ả và một 8 > 0, tập hợp
tất cả những điểm cách A một khoảng nhỏ hom 8 được gọi là lân cận 8 của
điểm A. Nói khác đi lân cận 8 của điểm A là tập hợp những điểm nằm trong
đường tròn tâm A bán kỉnh 8 . Lân cận đó được kỉ hiệu là (A, 8 ).


7


Nhận xét 1.2.2. Điều kiện cần và đủ để điểm A là điểm ừong của đa
giác H là có một lân cận 8 của A chứa trong H ữ, nói khác đi có 8 > 0 sao cho

(A ,í)c H °.
Chứng minh
Nếu A là điểm trong của H, ta chọn 8 là số dưong, sao cho 8 < AM với
mọi M

G

H . Khi đó nếu điểm

thì hiển nhiên đoạn thẳng AB

cũng không cắt H. Vì A là điểm trong nên B cũng là điểm trong.
Ngược lại nếu điểm A có lân cận (A,ff) c= //°th ì cố nhiên A

G

H ° , tức

A là điểm trong của H.
Nhận xét 1.2.3. Điều kiện càn và đủ để điểm A là điểm ngoài của H là
có một lân cận 8 của A chứa ừong t ì : ( A, £■) cz / / .
Chứng minh
Nếu A là điểm ngoài của H, ta chọn 8 là số dương, sao cho £ < AN với
mọi điểm N


G

H . Khi đó nếu điểm B

G

( A, E ) thì hiển nhiên đoạn thẳng AB

cũng không cắt H. Vì A là điểm ngoài nên B cũng là điểm ngoài.
Ngược lại nếu điểm A có lân cận(A, £•) A là điểm ngoài của H.
Nhận xét 1.2.4. Nếu A

G

H thì mọi lân cận (A, e) đều có chứa điểm

ừong và điểm ngoài của H.
Cho A là một đỉnh nào đó của đa giác đơn H, và hai cạnh của H có
chung đỉnh A là AB và AC. Khi đó lân cận (A, 8) (không kể những điểm
thuộc AB, AC) được phân thành hai phần: một phần nằm trong góc BAC mà
ta kí hiệu là phần I, và phần kia nằm ngoài góc BAC mà ta kí hiệu là phàn II.
Hiển nhiên nếu một trong hai phần đó chứa một điểm trong (tương ứng với

8


một điểm ngoài) của H thì mọi điểm của phần đó đều là điểm ừong (tương
ứng là điểm ngoài) của H.

Vì lân cận (A, e) phải chứa cả điểm ngoài và điểm trong nên ta suy ra:
Một trong hai phần đó chứa trong H°, và phàn kia chứa trong H*.
Định nghĩa 1.2.5. Đỉnh A được gọi là đỉnh lồi nếu phần I chứa trong
H°, và được gọi là đỉnh lõm nếu phần II chứa trong H*.
Trên hình 8 ta có các đỉnh lồi là Ai, A2, A4, A6, A7 và các đỉnh lõm là
A3, A5.

Chứng minh
Giả sử H là một đa giác đã cho (xem hình 9).
M

m

_______ X ___________________

A

a

Hình 9
Qua các đỉnh của H ta vẽ các đường thẳng song song với nhau. Giả sử
các đường thẳng đó nằm ngang thi ta hãy chọn đường thẳng cao nhất, gọi nó

9


là đường thẳng a và gọi đỉnh của H nằm ừên a là A. Kí hiệu hai cạnh của H
xuất phát từ A là AB và AC. Mọi điểm M nằm cao hơn đường thẳng a đều là
điểm ngoài của H, vì nếu gọi m là đường thẳng đi qua M và song song với a
thì m không cắt H nên nó nằm ngoài H, và do đó M là điểm ngoài. Từ đó suy

ra trong lân cận đủ bé của đỉnh A, phần I phải nằm dưới đường thẳng a tức là
nằm trong góc BAC. Nói khác đi A là đỉnh lồi.
1.3 . Phân hoạch - Sự đồng phân của các đa giác
Định nghĩa 1.3.1. Đa giác H gọi là được phân hoạch thành các đa
giác H ỈJ

Hsnếu thỏa mãn các điều kiện sau:

i) Các đa giác Hị đôi một không cỏ điểm trong chung, tức là hai hình
Hị

và

Hj

hoặc không có điểm chung hoặc chỉ có điểm chung trên cạnh, với

V/'* j.
ii) Miền đa giác H là hợp của các miền đa giác Hị.
B

H2 u ...u H».

ì
Neu đa giác H được phân hoạch thành các tam giác thì cách phân
hoạch đó gọi là tam giác phân.
Định nghĩa 1.3.2. Một đoạn thẳng nổi hai đỉnh không kề nhau của một
đa giác gọi là một đường chéo của đa giác đó.
Định lí 1.3.3. Mọi n giác đơn bất kỳ luôn tồn tại một đường chéo phân
hoạch đa giác thành hai đa giác có sổ cạnh bé hơn n.

Chứng minh
Giả sử H là một n đa giác đã cho (n > 3). Theo định lí 1.2.6. ta có thể
lấy BAC là một góc nào đó của H sao cho A là đỉnh lồi.
Nếu miền tam giác ABC ngoài ba đỉnh A, B,

c không còn chứa một

đỉnh nào nữa của H thì dễ thấy rằng bằng đường chéo BC ta phân hoạch H

10


thành hai đa giác mà một ừong chúng là tam giác ABC, còn đa giác kia có
n - 1 cạnh, (.xem hình lOa).
B

Hình lOa
Nếu miền tam giác ABC có chứa các đỉnh của H khác với A, B, c thì ta
hãy vẽ qua các đỉnh đó những đường thẳng song song với BC và gọi p là một
ừong các đính đó nằm trên đường thẳng song song với BC gần A nhất (xem
hình lOb). Ta chứng minh rằng đường chéo AP không có điểm chung nào với
H ngoài hai đỉnh A và p. Thật vậy, giả sử có điểm M nằm giữa A và p và M
thuộc H. Vì M không phải là đỉnh của H nên M thuộc cạnh KL nào đó của H.
Có ít nhất một trong hai đường thẳng đi qua K, L và song song với BC nằm
cao hom đường thẳng đi qua p mà ta đã chọn. Suy ra có ít nhất một trong hai
đỉnh K, L nằm ngoài tam giác ABC, do đó một trong hai cạnh AB hoặc AC
phải cắt cạnh KL, trái với giả thiết H là đa giác đơn.
A

11

Từ định lí ừên, bằng phương pháp quy nạp theo số cạnh n của đa giác,
ta suy ra:
Định lí 1.3.4. Mọi đa giác đơn bất kì đều cỏ tam giác phân.
Định nghĩa 1.3.5. Hai đa giác đom H và H ’ được gọi là đồng phân nếu
H v à H tương ứng có các phân hoạch:

tf=u ;fi'=u .
Trong đó

H l = H .\..

Chú ý 1.3.6. Hai đa giác gọi là bằng nhau nếu có phép đẳng cự biến đa
giác này thành đa giác kia.
Ví dụ 1.3.7. Một hình chữ nhật luôn có tam giác đồng phân với nó.
Ngược lại mọi tam giác luôn có hình chữ nhật đồng phân với nó.
Thật vậy, đối với hình chữ nhật ABCD ta lấy C’ là điểm đối xứng với
điểm

c qua ba điểm B thì hình chữ nhật đó đồng phân với tam giác ACC’,

(xem hình lia ).
A

D

-------------------//
/\

/
//

f
//

//

//
//

//

/

//

/

C

B

c
Hình l i a

Ngược lại, cho tam giác ABC bất kì. Giả sử BC là cạnh lớn nhất thì
đường cao AH sẽ có chân là H nằm giữa hai điểm B và

c. Gọi E, F là trung

điểm hai cạnh AB và AC. Kẻ BB’ và CC’ vuông góc với đường thẳng EF thì
ta dễ thấy tam giác ABC đồng phân với hình chữ nhật BCC’B’, (xem hình
llb ).
12


A

1.4. Hàm diên tích, sư tồn tai hàm diên tích
Kí hiệu V là tập hợp tất cả các đa giác đơn trong mặt phẳng.
Định nghĩa 1.4.1. Ánh xạ S: V —>R+(R+là tập hợp các sổ thực dương)
gọi là hàm diện tích nếu nó thỏa mãn các tính chất sau đây:
i) Nếu đa giác Hj và H2 bằng nhau thì S(Hj) = S(H2).
ii) Nầi đa giác H được phân hoạch thành các đa giác Hj, H2,

Hn thì:

1-1
iii) Nếu V là hình vuông có cạnh bằng 1 thì S(V) = 1.
Nếu có ánh sạ s như thế thì giá trị S(H) sẽ gọi là diện tích của đa giác H.
Ta thừa nhận hàm diện tích tồn tại, xét một hàm

s ỉà hàm diện

tích. Bây giờ chúng ta sẽ tìm cách tính diện tích các hình đa giác.
Định lí 1.4.2. Diện tích hình chữ nhật bằng tích hai kích thước của nó
(tức là tích độ dài hai cạnh liên tiếp).
Chứng minh
Trước hết ta có nhận xét sau đây: Với N là số nguyên dương, mỗi hình

vuông có cạnh bằng 1 có thể phân hoạch thành N2 hình vuông có cạnh bằng
1/N. Theo tính chất i) của hàm diện tích các hình vuông đó đều bằng nhau,
theo thủi chất ii) tổng các diện tích đó phải bằng diện tích hình vuông lớn, tức
là bằng 1 (tính chất iii). Từ đó suy ra diện tích mỗi hình vuông bé bằng 1/N2.
13


D2 ------------------------------------ C2

d '_____________

c

D l1-------------------------c >

A

I
:

Ị
I

I
I

Ị

I

I

I

I
I
I

-----------------------U ------ 1-------Bl B
B2
Hình 12

Bây giờ giả sử cho hình chữ nhật ABCD, với AB = a và AD = b. Ta kí
hiệu q = 1/N, thì theo tiên đề Archimeder, ta có các số nguyên m và n sao
cho:
mq < a < (m + l)ợ và nq
(1.4.1)

Trên tia AB ta đặt các đoạn thẳng ABi = mq và AB2 = (m + l)q.
Trên tia AD đặt các đoạn thẳng ADi = nq và AD2 = (n + l)q.
Nếu ta dựng các hình chữ nhật ABiQDi và AB2C2D2 (xem hình 12), thì
từ các tính chất của hàm diện tích, ta suy ra:

s {ABỈCỈDỈ) < 5 (ABCD) < s (AB2C2D2).
Cũng từ các tính chất của hàm diện tích ta có:

s ( AßjCjDj ) = mnq2, s (AB2C2D2) = (m + 1) (n +1) q2
Như vậy là:
mnq2 < S^ABCD )< {m + Ÿ)[n+ Ÿ)q2

(1.4.2)

Mặt khác từ các bất đẳng thức (1.4.1) ta suy ra:
nm q2 < ab < {m + Ý)(n + % 2
Từ (1.4.2) và (1.4.3) ta suy ra:

14

(1.4.3)


IS ^ A B C D ^-a b <(ra + l)(n + l) g 2 —mnq7
= m q2 + nq2 + q 2.
Với chú ý rằng mq < a, nq < b, và q = 1/N ta suy ra:
IS'(ABCZ)) —ab < aq + bq + q

a b
ì
— + — 4 2■
N N N

Lấy N đủ lớn thì bất đẳng thức cuối cùng sẽ cho ta kết quả là
S(ABCD) = ab .
Định lí 1.4.3. Diện tích của tam giác bằng nửa tích sổ của một cạnh và
chiều cao ứng với cạnh đó.
Chứng minh
Giả sử tam giác ABC có cạnh BC = a, CA = b, AB = c và các chiều cao
tương ứng là ha, hb, hc. Bằng cách xét các tam giác đồng dạng, dễ dàng chứng
minh rằng a.ha = b.hb = C.hc.

Bây giờ giả sử BC là cạnh lớn nhất, ta đã biết rằng tam giác ABC đồng
phân với hình chữ nhật BCC’B’ có BC = a và B B ' ——ha . Theo tính chất
của hàm diện tích thì hai tam giác đồng phân cố nhiên có diện tích bằng nhau.
Vậy:
S ( A B C ) = S ( B C C ' B ' ) = - a .h a .
Nhận xét 1.4.4. Ta đã biết rằng mỗi đa giác đơn có ít nhất là một tam
giác phân. Theo tính chất của hàm diện tích thì diện tích đa giác bằng tổng
diện tích các tam giác trong tam giác phân đó. Vì vậy nếu hàm diên tích tồn
tại thì nó tồn tại là duy nhất. Bây giờ ta đi chứng minh sự tồn tại của hàm diện
tích.

15


Đỉnh lí 1.4.5. Hàm diên tích là tồn tai.
•

•

•

Chứng minh
Ta sẽ chứng minh rằng có ánh sạ S: V -> R+ thỏa mãn các tính chất i),
ii), và iii) của hàm diện tích. Ta xây dựng hàm s như sau:
+ Nếu A là tam giác với một cạnh là a và chiều cao tương ứng là ha, thì
ta đặt S (A) = —a.hữ .
(Chú ý rằng định nghĩa đó là đúng đắn bởi vì đối với các tam giác ta
luôn luôn có đẳng thức a.ha = b.hb = C.hc).
+ Nếu H là một đa giác đơn thì ta chọn một tam giác phân nào đó của nó
và đặt S(H) bằng tổng các S(Ai) với Ai là tất cả các tam giác của tam giác phân

đó.
A

Để định nghĩa đó là đúng đắn ta phải chứng minh rằng giá trị S(H) như
thế không phụ thuộc vào các tam giác phân của H. Ta chứng minh như sau:
- Nếu tam giác ABC được phân hoạch thành các tam giác ABDi,
AD1D2, ...,ADnC như ữên hình 13 thì:

s (ABC) = s (ABDỈ) + s (AD,D2) + ...+ s (.ADnC ).
- Điều đó dễ dàng suy ra từ định nghĩa của hàm s đối với tam giác.
- Cho tam giác A1A2A3 và một điểm A tùy ý, ta luôn có:
s ( A ^A g ) = £ỉs (AA2A3) + s 2S ( AA3Al ) + £3S ( AA1A2).
16


- Trong đó: £i bằng 1,-1 hoặc 0, được xác định như sau:
+ 81 = 1 nếu hai điểm Ai và A nằm cùng phía đối với đường thẳng
A2A3.
+ 81 = -1 nếu hai điểm ấy nằm khác phía đối với đường thẳng A2A3.
+ Si = 0 nếu điểm A nằm trên đường thẳng A2A3.
+ Với g2 và e3 ta cũng xác định tương tự như 81.
- Chứng minh điều đó không khó khăn, ta chỉ cần dựa vào định nghĩa
hàm

s đối với tam giác. Sau đây ta nêu một số trường họp theo vị trí của đỉnh

A, (.xem hình 14a, b).
Ai

Ai

A-

/

/

N\

A’

\
A3

A
Hình 14a

Hình 14b

S (\A \)=
= s ( A4 A3) + s ( AA3Ạ)■+s ( AẠ4 )

=~ s ( a a 2a ỉ )+ s ( a a ìaì )+ s ( a a 1a 2)
S(A ỉA2As) = 5(A'A14 )-5 (A 'Ạ A 3)

- Giả sử tam giác ABC được phân hoạch thành các tam giác Ai, với
i = 1, 2, ..., n. Ta luôn có thể giả sử rằng hai tam giác khác nhau Ai và Àj hoặc
không có điểm chung, hoặc có một đỉnh chung, hoặc có một cạnh chung.
Ta chứng minh: 'Ỵ js (A i) = S(ABC )
¿=1

17

(1.4.4)


+ Mỗi tam giác Ai là một tam giác A1A2A3 nào đó với các đỉnh Ai thuộc
miền tam giác ABC. Ta dùng công thức s ( A A A ) —£s ( A A A ) •
+ s2S (AA3Ạ ) + s3S (

) để thay vào vế bên trái của (1.4.4).

+ Nếu cạnh A1A2 nào đó là cạnh chung của hai tam giác Ai và Aj thì giá
trị S(AAiA2) sẽ xuất hiện hai lần với dấu đổi nhau (nếu A không nằm trên
đường thẳng A1A2) hoặc đều bằng 0 (nếu A nằm trên A1A2), vậy tổng của
chúng luôn bằng 0. Nếu cạnh A1A2 nào đó nằm trên cạnh AB hoặc AC của
tam giác ABC thì hiển nhiên giá trị S(AAiA2) bằng 0.
+ Như vậy trong tổng của chúng ta chỉ còn lại các giá trị S(AA!A2) với
đoạn thẳng A1A2 nằm trên cạnh BC, vậy tổng đó bằng S(ABC), tóm lại
(1.4.4) đã được chứng minh.
Bây giờ giả sử H có hai cách tam giác phân: cách thứ nhất thành các
tam giác Ai, i = 1, 2, ..., s, và cách thứ hai gồm các tam giác A’j, với j = 1,
2,..., s’.
Ta chứng minh rằng:
¿ S ( A , .) = ¿ S ( A ' ,) .
i=1
j=l

(1.4.5)

Ta chú ý rằng với hai giá trị i và j (1 < ỉ < Í,1 < j < í ' ) , giao của miền

tam giác Ai và miền tam giác A’j là một miền tam giác lồi có số cạnh là 3,
hoặc 4, hoặc 5, hoặc 6. Ta phân hoạch các đa giác đó thành các tam giác Ak.
Như vậy ta được tam giác phân thứ ba thành các tam giác Ak, có tính chất:
mỗi tam giác Ai hoặc A’j đều được phân hoạch thành một số nào đó các tam
giác Ak. Từ đó ta suy ra đẳng thức (1.4.5) vì hai vế của nó cùng bằng

(At ).

Như vậy vói mỗi đa giác đơn H ta có một giá trị dương S(H) hoàn toàn
xác định, tức là có hàm S: V -» M. .

18


1.5. Diện tích và tính đồng phân
Nhận xét 1.5.1. Ta biết rằng hai đa giác đồng phân thì có diện tích
bằng nhau. Tiếp theo chúng ta sẽ chứng minh điều ngược lại. Hai đa giác đơn
bằng nhau thì đồng phân.
Bổ đề 1.5.2. Nếu đa giác Hi đồng phân với đa giác H2, đa giác H2 đồng
phân với đa giác H3 thì đa giác Hi đồng phân với đa giác H3.
Chứng minh
Giả sử các đa giác Hi và H2 cùng được phân hoạch thành các đa giác
Gi, i = 1, 2, ..., n, các đa giác H2 và H3 cũng được phân hoạch thành các đa
giác G’j, j = 1,2, ..., m. Ta hãy xét tập họp các đa giác Gi n G’j (i = 1, 2, ...,
n ;j = 1, 2,..., m).
Hiển nhiên chúng làm thành một phân hoạch mới của H2.
Nhưng với mỗi i cố định, đa giác Gi được phân hoạch thành các đa giác
Gi n G j G = l , 2,..., m) cho nên đa giác Hi cũng được phân hoạch thành các
đa giác G , n G ; . Tương tự, với mỗi j cố định, đa giác H3 được phân hoạch
thành các đa giác Gi n G’j (i = 1, 2, ..., n), cho nên đa giác H2 cũng được

phân hoạch thành các đa giác Gi n G’j. vậy Hi đồng phân với H3.
Định lí 1.5.3. Hai hình chữ nhật có cùng diện tích thì đồng phân.
Chứng minh
Giả sử hình chữ nhật OADB và 0 ’A’D’B’ có OA = a ,OB = b ,
O A ' = a ', O B ' — b ' với ab —a 'b '.
Ta dễ dàng chứng minh rằng A 'B / / A B 7 / D D ' . Thật vậy vì
ab = a 'b '

nên

a\a' =b \b \

Suy

ra

A'B = A B \

( a - a ') : a ' = (b - b ) : b nên DD’ // A B \ (xem hình 15).

19

Lại

vì


D

9

B

D

o

A

Hình 15
Nếu đoạn thẳng AB’ cắt hai cạnh BO’ và 0 ’A’ của hình chữ nhật
OBO’A’ làn lượt tại F và G thì dễ thấy hai hình chữ nhật đã cho đồng phân:
Hình chữ nhật OADB được phân hoạch thành hình thang OBFA và tam giác
FDA còn hình chữ nhật

OA’D’B’ được phân hoạch thành hình thang

OA’GB’ và tam giác B’GD’, và rõ ràng là hai hình thang trên đồng phân và
hai tam giác trên đồng phân. Trường họp trên sảy ra khi điểm F nằm trên
đoạn thẳng BO’ tức là: BO'+ FD > BD hay là 2a '> a .
Bây giờ ta xét trường họp 2 a ' < a .
Ta có số nguyên dưong m sao cho 2ma ' < a < 2m+la ' và đặt

Khi đó ta có afbf —ữ 'b ' —a b . Nếu gọi Ci là những hình chữ nhật có
kích thước là ai và bị thì theo trường họp đã chứng minh ừên ta có: Hình chữ
nhật OA’D’B’ đồng phân với Ci, Ci đồng phân với c 2,..., c m đồng phân với
hình chữ nhật OADB từ đó suy ra hai hình chữ nhật đã cho là đồng phân.

20