Bai tap ung dung cua tich phan

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (980.5 KB, 19 trang )

Netschool.edu.vn

CHUYÊN ĐỀ

ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN
A. TÍCH PHÂN CHỨA GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI
Phương pháp giải toán
1. Dạng 1
b

I

f(x) dx

Giả sử cần tính tích phân
, ta thực hiện các bước sau
Bước 1. Lập bảng xét dấu (BXD) của hàm số f(x) trên đoạn [a; b], giả sử f(x) có BXD:
a

x

a

f(x)
b

I

x2

0

0

x1

b

f(x)dx

a

b

x2

f(x) dx

Bước 2. Tính

x1

f(x)dx

a

f(x)dx

x1

x2

.

2

x2

I
Ví dụ 1. Tính tích phân

3x

2 dx

3

.
Giải

Bảng xét dấu
2

x

x
3x

3

1

0

2

1

0

2

x2

I

2

3x

x2

2 dx

3

3x

2 dx

1

59
2

.

2

I
Ví dụ 2. Tính tích phân

5

4 cos2 x

4 sin xdx

0

.
Giải

2

2
2

I

4 sin x

4 sin x

1dx

0

2 sin x
0

.

Bảng xét dấu

x
2 sin x

6
0

0
1

Netschool.edu.vn
1

1 dx

2

Netschool.edu.vn
6

2

I

2 sin x

1 dx

2 sin x

0

1 dx

2 3

2

6
.

6

2. Dạng 2
b

I

f(x)

Giả sử cần tính tích phân
Cách 1.

, ta thực hiện:

b

I

Tách

g(x) dx

a

b

f(x)

g(x) dx

b

f(x) dx

a

g(x) dx

a

rồi sử dụng dạng 1 ở trên.

a

Cách 2.
Bước 1. Lập bảng xét dấu chung của hàm số f(x) và g(x) trên đoạn [a; b].
Bước 2. Dựa vào bảng xét dấu ta bỏ giá trị tuyệt đối của f(x) và g(x).
2

I

x

Ví dụ 3. Tính tích phân

x

1 dx

1

.
Giải

Cách 1.

2

2

I

x

x

1
0

1 dx

x dx
1

2

xdx

(x

0

0

1

1)dx

1

2

x2
2

0

1 dx

(x

1)dx

1

1

x2
2

x
1
2

1

xdx
1

x2
2

2

2

x2
2

x
1

x

0
1

.

Cách 2.
Bảng xét dấu
x
x
x–1

–1

–
–

0

I

0
0

1
+
–

0

2
+
+

1

x

x

1 dx

1

2

x

x

1 dx

0

x

0

1

x
1

x2

x

Vậy I

1
0

x 12

0.

3. Dạng 3
Netschool.edu.vn
2

0

.

x

1 dx

Netschool.edu.vn
b

I

b

max f(x), g(x) dx

Để tính các tích phân
thực hiện các bước sau:

f(x)

0 thì max f(x), g(x)

0 thì max f(x), g(x)

+ Nếu h(x)

min f(x), g(x) dx
a

và

Bước 1. Lập bảng xét dấu hàm số h(x)
Bước 2.
+ Nếu h(x)

J

a

, ta

g(x) trên đoạn [a; b].

f(x) và min f(x), g(x)
g(x) và min f(x), g(x)

g(x) .

f(x) .

4

max x2

I

Ví dụ 4. Tính tích phân

2 dx

.
x2

h(x)

Đặt

1, 4x

0

Giải
4x

1

x2

2

4x

3

.

Bảng xét dấu
x
h(x)

0

1
0

+

1

I

3
0

–

4
+

3

x

2

1 dx

4

4x

0

x2

2 dx

1

1 dx

3

80
3

.

2

min 3x , 4

I

Ví dụ 5. Tính tích phân

x dx

0

.
3x

Đặt h(x)

Giải
4 x

3x

x

4.

Bảng xét dấu
x
h(x)
1

3 dx
0

–

1
0

2
x

I

0
4

x dx

1

2
+

3x 1
ln 3 0

4x

B. ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN
I. DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG

1. Diện tích hình thang cong

Netschool.edu.vn
3

x2
2

2

1

2
ln 3

5
2

.

Netschool.edu.vn
Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a; b]. Diện tích hình thang cong giới hạn bởi các
b

đường y

f(x), x

a, x

b và trục hoành là:

S=

f(x) dx
.

a

Phương pháp giải toán
Bước 1. Lập bảng xét dấu hàm số f(x) trên đoạn [a; b].
b

f(x) dx

Bước 2. Dựa vào bảng xét dấu tính tích phân

a

.

Ví dụ 1. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi y
Giải
1; e nên:
Do ln x 0 x
e

ln x, x

ln x dx

ln xdx

1

x ln x

1

e
1

1
.

1

Vậy S

1 (đvdt).

x2
Ví dụ 2. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi y
Ox.
Giải
Bảng xét dấu
x 0
1
3
y
–

0
+
0
1

S

4x

3, x

0, x

3 và

3

x

2

4x

x2

3 dx

0

4x

3 dx

1

x3
3
Vậy

e và Ox.

e

S

S

1, x

1

2x

2

x3
3

3x
0

3

2x

2

3x
1

8
3 (đvdt).

8
3.

2. Diện tích hình phẳng
2.1. Trường hợp 1
Cho hai hàm số f(x) và g(x) liên tục trên đoạn [a; b]. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi
b

các đường y

f(x), y

g(x), x

a, x

b là:

S=

Phương pháp giải toán
Netschool.edu.vn
4

f(x) - g(x) dx
a

.

Netschool.edu.vn

Bước 1. Lập bảng xét dấu hàm số f(x)

g(x) trên đoạn [a; b].
b

f(x)

Bước 2. Dựa vào bảng xét dấu tính tích phân

g(x) dx

a

.

2.2. Trường hợp 2
Cho hai hàm số f(x) và g(x) liên tục trên đoạn [a; b]. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi
các đường y
Trong đó ,

f(x), y

S=

g(x) là:

f(x) - g(x) dx
.

là nghiệm nhỏ nhất và lớn nhất của phương trình f(x)
b .

a

g(x)

Phương pháp giải toán
Bước 1. Giải phương trình f(x)

g(x) .

Bước 2. Lập bảng xét dấu hàm số f(x)

g(x) trên đoạn
f(x)

;

.

g(x) dx

Bước 3. Dựa vào bảng xét dấu tính tích phân

.

Ví dụ 3. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường:
y x3 11x 6, y 6x2 , x 0, x
3

Đặt h(x)
h(x)

(x
0

11x 6)
x 1 x

Giải
6x
x
6x2 11x
2 x 3 (loại).
2

3

2.

6

Bảng xét dấu
x 0
h(x)
1

S

x

6x

2
0

2

11x

x3

6 dx

6x2

11x

6 dx

1

4

x
4
S

+

2
3

0

Vậy

1
0

–

2x

3

11x
2

1

2

6x
0

x4
4

2x

3

11x2
2

2

6x
1

5
2 (đvdt).

Ví dụ 4. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y

Netschool.edu.vn
5

x3

5
2.

11x

6, y

6x2 .

Netschool.edu.vn
Giải
6x2 x3 6x2
2 x 3.

(x3 11x 6)
0
x 1 x

Đặt h(x)
h(x)

11x

6

Bảng xét dấu
x 1
h(x) 0

+

2

6x2

11x

x3

6 dx

1

Vậy

–
6x2

11x

6 dx

2

x4
4
S

3
0

3

x3

S

2
0

2

11x2
2

2x3

x4
4

6x
1

3

11x2
2

2x3

1
2.

6x
2

1
2 (đvdt).

Chú ý:
1) Nếu hình phẳng được giới hạn từ 3 đường trở lên thì phải vẽ hình, tuy nhiên hầu hết rất
khó xác định đúng miền phẳng cần tính diện tích (có thể vì thế mà đề thi Đại học không
ra).
2) Nếu trong khoảng
dùng công thức:

;

phương trình f(x)

f(x)

g(x) dx

g(x) không có nghiệm thì ta có thể
f(x)

g(x) dx

3) Nếu tích diện tích hình phẳng giới hạn bởi x = f(y) và x = g(y) thì ta giải như trên
nhưng nhớ đổi vai trò x cho y (xem ví dụ 9).
Ví dụ 5. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi y

x3, y

4x .

Giải
Phương trình hoành độ giao điểm:

x3
0

x3

x3

4x dx

2

Vậy S

x

2

x

0

x

2

2

S
x4
4

4x

4x dx

0
0

2x 2
2

x4
4

2

2x 2

8
0

.

8 (đvdt).

Ví dụ 6. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi y
Giải
Phương trình hoành độ giao điểm:

x2

Netschool.edu.vn
6

4x

3 và trục hoành.

Netschool.edu.vn
x2

4x

t 1
t

3

3

t2

0
x

1

4t
x

x

3

x

3
1
3

3

0, t

x

2

4 x

3 dx

x2

2

3

4x

3 dx

0

1

3

2

x

2

4x

x2

3 dx

0

4x

3 dx

1

x3
3

2

1

2x 2

3

x3
3

3x

0

2x 2

16
3

3x
1

16
3 (đvdt).

S

4x

3

x

3

x2

4x

3

x2

4x

3

x2

y

Ví dụ 7. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi
Giải
Phương trình hoành độ giao điểm:
x 3 0

x2

0

3

S

Vậy

x

x

4x

3

x

0

x

5

3
x

3

–

3
0

.

và y

x

.

Bảng xét dấu
x

2

x

4x

1

S

x

x

3x

6 dx

1
3

x
3

5x
2

2

1

x
3

0

5
+
5

2

5x dx

0

Vậy

3

1
0

+

3
2

S

0

x2

5x dx

5x 2
2

5

3
3

3x
2

3

2

3

x
3

6x
1

3

109
6

109
6 (đvdt).

x2

y
Ví dụ 8. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi
Giải
Phương trình hoành độ giao điểm:
x2 1
x
5
t2 1
t 5, t
x
t
x
0
t
t2 1 t 5
t
t2 1
t 5
3

S

2

1

x

5 dx

x2

2

x

0

3

1

0

Netschool.edu.vn
7

x

0

x

3

x
3

1, y

x

5 dx

3

.

5

.

3.

Netschool.edu.vn
Bảng xét dấu
x
2

x

0
–

1

1

S

x2

x

x2

4 dx

0

Vậy

3
+

3

2

x

6 dx

1

x
3

2

1
0

3

1

2

x
2

x3
3

4x
0

3

x2
2

73
3

6x
1

73
3 (đvdt).

S

Ví dụ 9. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi y
Giải
2
2
2 x
x
2 y , x 0.
Ta có: y
Phương trình tung độ giao điểm: y
1

2

y2

.

x, y

y

0, y

2

x2 .

1.

1

S

2

2

y

y dy

2

0

y2

y dy

0

1

4
2

2 cos tdt

ydy

0

t

0

1
sin 2t
2

1

y2
2

4

0

0

.

S
4 (đvdt).
Vậy
Cách khác:

1
Vẽ hình ta thấy S bằng 8 diện tích hình tròn bán kính R

S

1
R2
8

4.

f(x)

0 x

a;b ,

2 nên

II. THỂ TÍCH KHỐI TRÒN XOAY
1. Trường hợp 1

Thể tích khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường y

b

y

0, x

a và x

b (a

b) quay quanh trục Ox là:

f 2 (x)dx

V
a

.
(C)
:
x
y
R
Ví dụ 1. Tính thể tích hình cầu do hình tròn
quay quanh Ox.

Giải
2
R2
x
R.
Hoành độ giao điểm của (C) và Ox là x
2
2
2
2
2
2
y
R
y
R
x
Phương trình (C) : x
2

R

V

R

R
R

2

2

x

2

dx

R2

2

x 2 dx

2

0

Netschool.edu.vn
8

R2 x

2

x3
3

R

0

4 R3
3 .

Netschool.edu.vn

Vậy

4 R3
3 (đvtt).

V

2. Trường hợp 2

Thể tích khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường x

g(y)

0 y

c;d ,

d

c và y

g2 (y)dy

V

d) quay quanh trục Oy là:
c
.
2
2
x
y
(E) : 2
1
a
b2
Ví dụ 2. Tính thể tích hình khối do ellipse
quay quanh Oy.
Giải
y2
1
y
b
2
Tung độ giao điểm của (E) và Oy là b
.
2
2
2 2
x
y

ay
(E) : 2
1
x2
a2
2
a
b
b2
Phương trình

0, y

x

b

V

a

2

b

d (c

b

a 2 y2

dy
b2

a 2 y2
dy
b2

a2

2
0

2

a2 y

a2 y3
3b2

R

4 a2 b
3 .

0

2

Vậy

4 ab
3 (đvtt).

V

3. Trường hợp 3

Thể tích khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường y f(x), y g(x) ,
a; b ) quay quanh trục Ox là:
x a và x b (a b, f(x) 0,g(x) 0 x
b

f 2 (x)

V

g2 (x) dx

a

.

Ví dụ 3. Tính thể tích hình khối do hình phẳng giới hạn bởi các đường y = x2, y2 = x quay
quanh Ox.
Giải
x 0
x 0
Hoành độ giao điểm:

x4

1

V

x4

x dx

0

Vậy

1

.

1

x4

V

x

x

x dx

0

1 5
x
5

3
10 (đvtt).

4. Trường hợp 4
Netschool.edu.vn
9

1 2
x
2

1
0

3
10

.

Netschool.edu.vn
Thể tích khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường x f(y), x g(y) ,
y
c và y
d (c d, f(y) 0,g(y) 0 y

c; d ) quay quanh trục Oy là:
d

f 2 (y)

V

g2 (y) dy

c

.

Ví dụ 4. Tính thể tích hình khối do hình phẳng giới hạn bởi các đường x
x 3 y quay quanh Oy.
2

y

5

3

Giải
y

y

1

y

Tung độ giao điểm:

2

y2

V

5

2

3

y

2

y4

dy

5

Vậy

11y2

6y

16 dy

1

1

V

.

2

2

2

3

y
5

11y
3

153
5

(đvtt).

3y2

153
5

16y
1

.

BÀI TẬP
Bài 1. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường có phương trình sau
1) y sin x, y 0 , x 0, x 2
2) y
3) y

x3, y
x2

0, x

1, x

x2

2x, y

2

4x

4) y
5) y

x3, y
x2

5, y

6x , x

0, x

1

6) y
7) y

x2

2, y

3x, x

0, x

2

x2

2x, y

8) y
9) y
y

x3

2x2

4
x

2

x2

4 x

2

x2
4 2

x2 , x2
4x

2

2 và trục hoành
x 2 và trục hoành

x2
, y
4

4

1, x

x

x

2x2

x3

10)
11) y
y
12)
y
13)

4x , x

3y

3, y
3, y

0
3
0

Netschool.edu.vn
10

y2

5,

Netschool.edu.vn
y, x

x

2
,x
y2

14)
15)
16) y
17) y
y

18)
19)

3

x

y

20) y
y

21)
22) y
23) y
24) y
2
25) y
26) x

(2

4

y2
1
, y
8 y2

cos x)sin x, y

2
0,

x

y
2

0
, x

3
2

x 1 x2 , y 0 , x 1
ln x
,y 0
2 x
, x 1, x e
1 ln x
, y 0 x 1, x e
x
,
0, y ln x , x 2, x e
1
1
,y
x
, x

2
sin x
cos2 x ,
6
3
2
2
x , y 4x , y 4
x(x

1)(x

x

xe , y

0, x

4x, x

y

3

0, x

y

1

2), y

1

0, x

2, x

1, x

2

0, y

0

1

0, y

y

2

0

Bài 2. Tính thể tích do hình phẳng giới hạn bởi các đường
1) y 3x, y x , x 0, x 1 quay quanh Ox

y

2)
2
3) y
2
4) y

x2
, y 2 y 4, x 0
2
,
quay quanh Oy
3
(x 1) , x 2 và y 0 quay quanh Ox
4 x, x 0 quay quanh Oy

2
5) (C) : x

(y 4)2 4 quay quanh Oy
x2
y2
(E) :
1
16
9
6) ellipse
quay quanh Ox
2
2
x

x
(E) :
1
16
9
7) ellipse
quay quanh Oy
2
2
2, y 4 x quay quanh Ox
8) y x
2
x quay quanh Ox
9) y x , y
10) y

4

x2 , x2

3y

0 quay quanh Ox

HƯỚNG DẪN GIẢI
Netschool.edu.vn
11

Netschool.edu.vn

Bài 1.
2

2

S

sin x dx

1)
(đvdt).

sin xdx

0

2

0

2

3

S

3

x dx

1

2

2x

x

x4
4

x3 dx

x dx

1

2)
2
3) x

sin xdx

0

4x

x

0

x

(x

2

2x)

( x

2

1

2

(2x

4x) dx

2

17
4

0

9(đvdt).
3

4x
4) x

0

x

0

x

2

2

x

S

x

6x)dx

(x

3

(x3

4x)dx

1
0

2x 2

x
4

S

23
4 (đvdt).

1

6x

5

0

4x)dx

0

2x 2
0

x

.

1 x

5 (loại).

1

1

x2

S

6x

0

2

4

x
4

3x

2

4x dx

1
4

3
2

2 (loại).

0
3

(x2

5 dx

6x

1

x3
3

5)dx

0

0

3x2

5x
0

7
3 (đvdt).

S

3x

2

0

x

1 x

S

x

(x

3x

2 dx

2

1

3x

x
3

3x
2

2x

x
3

0

x

2

x

x2

S

x

2
(x2

2 dx

3x
2

x

2x
1

x

2)dx

9
2 (đvdt).

S
Vậy
3
2x2
8) x

x

2

0

x

2

= 1(đvdt).

1.

2

2

2)dx

2

2

1

1

3x

1
3

2x

(x2

2)dx

0
3

x

2
2

0

2

2.

1

2
2

=4

(đvdt).

2x3

3

0

0

7)

x4
4

3

S

Vậy
2
6) x

0

cos x 2

3

3

Vậy
2
5) x

cos x 0

0

x

1.

Netschool.edu.vn
12

x3
3

x2
2

1

2x
2

.

.

=

Netschool.edu.vn
2

x3

S

2x2

x

2 dx

1

1

2

(x

3

2

2x

x

(x3

2)dx

1

S

2x 3
3

1

x2
2

x4
4

2x
1

2x 3
3

2x2

x

2

0

t

x

0

t3

2t2

t

2

2x
1

2x2

x3

x

2 dx

2

2

(x3

2

2x2

x

2)dx

2

0

x
2
4

2x
3

2

x
2

1

t

2

2 2
2 2

2
0

2x2

x

2 dx

(x3

2x2

x

2)dx

128

16 cos tdt

2 2

0

2x 3
3

0

x

2 2

2 2

2x
1

x2
dx
4 2

2 2

x dx

2 2

0

x2dx

1

sin2t
2

8 t

0

4
0

4
3 (đvdt).

2

0

x2
3

y

9x 2

36

0

3

4

x

2

2 2

1

2

16

= 3(đvdt).

2 2

x2
4

4

2

x2
2

x

x2
dx
3

x2
3

x2

4
3
3

2

4
0

x2

x2
dx
3

Netschool.edu.vn
13

x

1

x

2
.

x2 dx
0

2 2

1

2

3

8x2

x2
dx
4 2

4

S

0

x2

dx
4 2

x2
4

4

3y

x3

x4
2
4

2x

x4

x2
4

4

1

2

x

4 2

2 2

S

3

2

x
4

S

0

t

0

1
4

10)

2

x

0
2

1

4

.

2

S

x4

2

x2
2

t

9)

x2

2)dx

37
12 (đvdt).

x3

Vậy
11)

x

1

x4
4

Vậy

2x2

1 x3
2 2 3

2 2

0

.

Netschool.edu.vn

3

2

4

x dx

0

1
sin 2t
2

22 t

4

S

Vậy

x

3
2

x dx

2 4

cos tdt

0

0

x3
9

3
0

3

1
3

2

x 2 dx
0

3

0

.

3
3

2

3

1
3

2

(đvdt).

4x

3

3

12)
Bảng xét dấu

x2

4x

3

x2

4x

3

x
2

x

3
3

0

4x

3

1
0

+

x

0

x

4

3
0

–

.
4

+

4

x2

S

4x

3

3 dx

0

1

3
2

x

4
2

4x dx

x

0

4x

1
1

3

x
3

2x

3

3

3

2x

2

6x
1

x2

0

4 x

3

x
2

x

4x

3

2x

x

1

= 8(đvdt).
x

1

x

3

x

2
3

3
0

–

3

x2

S

4 x

3 dx

2

3

x2

4x

3 dx

x2

4x

3 dx

0
3

1

x2

2

4x

3 dx

0

1
1

3

Vậy

+

1
0

4

x3
3

0

0

3

2

4x dx

3

x
3

2

0

x2 4 x
13)
Bảng xét dấu

S

x2

6 dx

x
3

2x

2

x3
3

3x
0

3

2x

2

3x
1

16
3 (đvdt).

y
14) Tung độ giao điểm

3
4

y2

, 0

y

.

2

Netschool.edu.vn
14

y
y

1

3

3

.

Netschool.edu.vn
3

S

Vậy

y

2
y2

2

S

Vậy

=…

6

(đvdt).

2
y2
15) Tung độ giao điểm

S

y dy

y2

4

1

3

1

2

3

y dy

2

4

1

S

3

3

1
2

1
8

2

1

y

2

2
y2

dy

2

y

y2

8

2

1
y2

8

dy
=…

12 (đvdt).

3
2

3
2

S

(2

cos x) sin x dx

2

16)

1
cos2x
4

1

2

x

x2 dx

x 1
0

x2 d(1

lnx
1

0

t

2
e

x

1

x2 )3
0

.

1

1; e
.

t

dx

e dt

e

t

1

1

1

td

e

t

t e

t 1
0

et dt

0

ln x
x

1

0 x

0

dx

1

1, x

t2

1

e

ln x
x

1

ln x

t

e

ln x

t

dx
.

2tdt

dx
x

2

Netschool.edu.vn

15

e

2 et

1
0

.

e (đvdt).

1

t

e

0, x

1

S

t

x

tet dt

2 et

S

Đặt

= 3(đvdt).

0

2 2 1
3
(đvdt).
e
e
ln x
ln x
ln x
dx
dx
2 x
2 x
2 x
1
1

1

19)

x

3
2

x2 dx

1
(1
3

x2 )

0

Vậy S

cos x) sin xdx

0

1

18)
Đặt t
x

0

x 1

1

S

(2

1

S

Vậy

2 cos x

1
cos2x
4

2

17) Hoành độ giao điểm x 1

S

cos x) sin xdx

2

2 cos x

1
2

(2

Netschool.edu.vn
2

2

S
1

1

e

S
20)
Vậy S

1

.

4 2 2
3
(đvdt).

S

Vậy

2

2 3
t
3

2t2 dt

t.2tdt

e

ln x dx

ln xdx

2

3

x ln x

dx

2

2
1
2
21) cos x

2 ln 2 .
1
sin2 x

1
cos2 x

S

e
e
2
2

x

4

;

6
4

1

dx
sin2 x

6

3

1
cos2 x

1
cos2 x

3

1
dx
sin2 x

1
cos2 x

cotgx

tgx

4

cotgx

1
dx
sin2 x

3

6

4

8 3 12
3
(đvdt).
y x2
4x2

y

22) Tọa độ giao điểm

y

x2

x

y

y

4x2

x

1
y
2

1
y dy
2

y3
3

Ta có:
4

S

y
0

S

1
dx
sin2 x

4

tgx

Vậy

1
cos2 x

4

6

Vậy

3

1
dx
sin2 x

6

4

S

.

8
3 (đvdt).

x

0

y

0

.

4

0

.

2

S

23)

x(x

1)(x

2) dx

2

1

0

x

3

2

x

2x dx

x

2

x4
4

2
3

2

x

x3

2x dx

1

x3
3

1

x2
2

x4
4

x2

2x dx

0
0

x3
3

x2
1

Netschool.edu.vn

16

x4
4

x3
3

2

x2
0

.

Netschool.edu.vn
37
6 (đvdt).

S

Vậy

2

2

xex dx

S
1

24)
Vậy

e

S
y

3

2e
e

2

0

Vậy
26)
x y3

x

1 2
y
4
y 1

x
1

0

1 2
y
4

S

x

2
0

(y

1) dy

1 2
y
4

y

1

y

2

1
4

1

0

1

0

x

y3

x

1 ex

0
1

.

y2

4y

2
2

1 y3
4 3

4 dy

0

2y2

4y
0

x

1

y3

S

y

.

1
y

1

y3

1

1 4
y
4

2 dy

0

Vậy

1 ex

2
3 (đvdt).

y

S

x

(đvdt).

4x
y

1

2

25)

S

xe x dx

0

2

x

0

xe x dx

1

y3

y

y

2

0

y

1

1

1 2
y
2

2y
0

5
4.

.

Bài 2.
1

V

3x

2

x dx

8 x3
3

2

8

x dx

0

1)
Vậy

1
2

0

8
3 (đvtt).

V

4

y
2) Ta có
Vậy V 12

x2
2

x2

0

.

4
2

V

2y

1

x dy

2ydy

2

2

Vậy

V

4) Ta có

4
2

.

(đvtt).
2

3) Ta có (x

y2

1)3

0

x

V

1

y dx
1

4 (đvtt).
y2
4 x

x

4

x

x

0

0

2
2

y2

y

1

2

Netschool.edu.vn
17

(x

1)3 dx

1)4

(x
4

2

1

.

Netschool.edu.vn
2

V

4

y

2 2

dy

2

8y3
3

16y

2

Vậy

V

y5
5

2

0

512
15 (đvtt).

2
5) Tung độ giao điểm (C) : x

4)2

(y
6

4

4)2 4 và Oy:
y 4 2
y

4

2

6
2

V

(y

x dy

4

2

4) dy

2

y

6

y

2
6

y3
3

2

(y

.

4y

2

12y
2

.

Cách khác:

4 23
V
3 . Vậy

V

Hình khối tròn xoay là hình cầu bán kính R = 2 nên
x2
y2
(E) :
1
16
9
6) Hoành độ giao điểm
và Ox là x
2
2
x
y
9
1
y2
16 x2
16
9
16
Ta có:
4

9
16

2