- Trang chủ >>
- THPT Quốc Gia >>
- Toán
Chungminh bang nguyen hammorong
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (104.16 KB, 3 trang )
CÁC CÔNG THỨC NGUYÊN HÀM MỞ RỘNG
x
dx
dx
d (tan )
dx
1
1 ∫
2 = ln tan x + C
x
x =
x
1. I = ∫
= ∫
2 x = ∫
x
2
sin x
2 sin cos
2 tan cos
tan
2
2
2
2
2
d (cos x)
sin xdx
− d (cos x)
1
1
dx
1
+
)d (cos x)
Cách 2: ∫
=∫
=∫
= -∫
= - ∫(
2
2
(1 − cos x)(1 + cos x )
sin x
2 1 − cos x 1 + cos x
sin x
1 − cos x
1
1 1 − cos x
= - (-ln|1-cosx| + ln|1+cosx|) + C = ln
+C
2
2 1 + cos x
x
2 = tan 2 x = tan x nên hai kết quả trên, đều đúng!.
Rõ ràng
x
2
2
2 cos 2
2
x
1
2dt
2t
2t
1− t2
2 x
Cách 3: Đặt t = tan ⇒ dt = (1 + tan ) dx ⇒ dx =
;
thay
sinx
(cosx
=
; tanx =
)
2
2
2
2
2
2
1+ t
1+ t
1− t2
1+ t
2dt
dt
x
dx
1+ t2
I= ∫
= ∫
= ∫
= ln|t| + C = ln|tan | + C
2t
sin x
t
2
2
1+ t
x
Phương pháp này là biểu thị sinx, cosx, tanx theo t = tan , chuyển từ biểu thức lượng giác sang biểu thức đại số
2
dx
dx
dx
dx
1 ∫
1 ∫
∫
π =
x π
x π =
x π
π
2. ∫
=
2 x
sin( x + )
cos x
2 sin( + ) cos( + )
2 tan( + ) cos ( + )
2
2 4
2 4
2 4
2 4
x π
d (tan + )
2 4 =ln tan( x + π ) + C
=∫
x π
2 4
tan( + )
2 4
d (sin x)
dx
cos xdx
d (sin x )
1
1
1
+
)d (sin x )
Cách 2: ∫
=∫
=∫
= ∫
= ∫(
2
2
(1 − sin x)(1 + sin x) 2 1 − sin x 1 + sin x
cos x
cos x
1 − sin x
1
1 1 + sin x
= (-ln|1-sinx| + ln|1+sinx|) + C = ln
+C
2
2 1 − sin x
x
x
x π
x
x
sin + cos
2 sin( + )
(sin + cos ) 2
x π
1 + sin x
2
2
2 4
2
2 =
Rõ ràng
=
=
= tan( + )
x
x
x
π
x
x
2 4
1 − sin x
sin − cos
− 2 cos( + )
(sin − cos ) 2
2
2
2 4
2
2
x
1
2dt
1− t2
2 x
Cách 3: Đặt t = tan ⇒ dt = (1 + tan ) dx ⇒ dx =
;
thay
cosx
=
2
2
2
1+ t2
1+ t2
2dt
2dt
1+ t
dx
2dt
1
1
1+ t2
+
)dt = -ln|1-t| + ln|1+t| + C = ln
I= ∫
= ∫
=∫(
+C
2 = ∫
2 = ∫
(1 − t )(1 + t )
1− t
1− t
cos x
1− t 1+ t
1− t
1+ t2
x π
= ln tan( + ) + C
2 4
dx
1
sin x
dx
⇒ du =
⇒ v = tanx
3. I = ∫
Đặt u =
dx; dv =
3
2
cos x
cos x
cos x
cos 2 x
tan x
sin x. tan xdx
tan x
sin 2 xdx tan x
AD CT NH TP : I =
- ∫
=
=
- I1
cos x
cos 2 x
cos x ∫ cos 3 x
cos x
1 − cos x
=
1 + cos x
2 sin 2
HCT-GV THPT Hoài Ân, Bình Định
x π
dx
dx
sin 2 xdx
1 − cos 2 xdx
=
∫ cos3 x ∫ cos3 x = ∫ cos3 x - ∫ cos x = I - ln tan( 2 + 4 )
x π
tan x
tan x
Từ đó I =
- I1 =
- (I - ln tan( + ) )
2 4
cos x
cos x
x π
x π
tan x
1 tan x
⇒ 2I =
⇒ I= (
+ ln tan( + ) + C
+ ln tan( + ) ) + C
2 4
2 4
cos x
2 cos x
1
cos x
u
=
dx
du = − 2 dx
sin x
⇒
sin x
4. I = ∫ 3
Đặt
dx
sin x
dv =
v = − cot x
sin 2 x
cot x
cot x.cos x
cot x
cos 2 x
1 − sin 2 x
dx
dx
x
⇒I =−
−∫
dx
=
−
−
I
I
=
dx
=
dx = ∫ 3 − ∫
= I − ln tan + C
Tính
1
1
2
3
3
∫
∫
sin x
sin x
sin x
sin x
sin x
sin x
sin x
2
cot x
cot x
x
x cot x
1
x cot x
⇒I =−
− I1 = −
− I + ln tan + C ⇒ 2 I = ln tan −
+ C ⇒ I = ln tan −
+C
sin x
sin x
2
2 sin x
2
2 2sin x
dx
x−a
dx
1
1
1
1
ln
(
−
)dx =
5. ∫ 2
=
+C
2 =∫
∫
( x − a)( x + a) 2a x − a x + a
x −a
2a x + a
dx
a
adt
2
2
6. I = ∫ 2
Đặt x = atant ⇒ dx =
x 2 + a 2 = a 2 tan 2 t + a 2 = a (1 + tan t ) =
2 ;
2
cos t
cos t
x +a
adt
dx
t π
dt
x
∫
∫ x 2 + a 2 = (cos 2 t ) a = ∫ cos t = ln tan( 2 + 4 ) + C , với t = arctan a .
cos t
x
t
x + x2 + a2
x2 + a2
2
2 ⇒
⇒
Cách 2: Đặt t = x+ x + a
dt = (1+ 2
)dx
=
dx
=
dx
dx
=
dt
x + a2
x2 + a2
t
x2 + a2
dx
dt
x 2 + a 2 dt
ln x + x 2 + a 2 + C
Từ đó I = ∫ 2
=
=
=
ln|t|
+
C
=
∫
2
∫
t
x +a
t x2 + a2
dx
a
a sin t
a2
2
2
⇒
dt
7. I = ∫
Đặt
x
=
dx
=
;
=
− a 2 = a.tant
x −a
2
2
2
2
cos
t
cos t
x −a
cos t
a sin t
dt
dx
t π
dt
a
cos 2 t
∫ x 2 − a 2 = ∫ sin t = ∫ cos t = ln tan( 2 + 4 ) + C, với t = arccos x .
a.
cos t
x
t
x + x2 − a2
Cách 2: Đặt t = x + x 2 − a 2 ⇒ dt = (1+ 2
)dx
=
dx
=
dx
2
2
x −a
x − a2
x2 − a2
Với I1 =
dx
x 2 − a 2 dt
dt
2
2
x2 − a2
dt
Từ đó I = ∫
=
=∫
= ln|t| + C = ln x + x − a + C
∫
2
2
2
2
t
x −a
t
t x −a
xdx
xdx
1 d ( x 2 + a)
1
1 d ( x 2 − a)
1
2
8. ∫ 2
=
=
ln|x
+
a|
+
C
9.
=
= ln|x2 - a| + C
2
2
2
∫
2
2
2
2
∫
∫
2
2
2
2
x +a
x −a
x +a
x −a
⇒ dx =
10.
11.
∫
∫
d (x 2 + a 2 )
1
2
2 2
1
1
1 (x + a )
2
2
2
1 =
= ∫
+C=
(x + a ) d (x + a ) = 2
1
x 2 + a 2 2 (x2 + a 2 ) 2 2 ∫
2
xdx
d (x 2 − a 2 )
1
−
2
2
1
2
2 2
1
1
1 (x − a )
2
2
2
1 =
= ∫
+C=
(x − a ) d (x − a ) = 2
1
x 2 − a 2 2 (x 2 − a 2 ) 2 2 ∫
2
xdx
x2 + a2 + C
1
−
2
2
x2 − a2 + C
HCT-GV THPT Hoài Ân, Bình Định
12.
∫
a
adt
2
2
x 2 + a 2 = a 2 tan 2 t + a 2 = a (1 + tan t ) =
2 ;
cos t
cos t
t π
a.adt
dt
x
1 tan t
x 2 + a 2 dx = ∫
= a2 ∫
= a2. (
+ ln tan( + ) ) + C, với t = arctan .
2
3
2 4
2 cos t
a
cos t. cos t
cos t
∫
Cách 2: I =
∫
∫
x + a dx =
2
2
a2
∫
Với I1 =
I2 =
Đặt x = atant ⇒ dx =
x 2 + a 2 dx
x +a
2
x
2
x2 + a2
dx =
∫
a2
x2 + a2
dx +
∫
x2
x2 + a2
dx = I1 + I2
dx = a2 ln x + x 2 + a 2 (chọn C = 0)
2
x2 + a2
∫
a2 + x2
dx =
Đặt u = x ⇒ du = dx; dv =
ADCT NHTP I2 = x x 2 + a 2 2
2
I = I1 + I2 = a2 ln x + x + a
x
x2 + a2
dx ⇒ v =
x2 + a2
∫
x 2 + a 2 dx = = x x 2 + a 2 - I
1
2
2
+ x x 2 + a 2 - I ⇔ I = ( x x 2 + a 2 + a2 ln x + x + a ) + C
2
1
2
2
( x x 2 − a 2 - a2 ln x + x − a ) + C
2
a
a sin t
a2
2
2
⇒ dx =
dt
Đặt x =
;
=
− a 2 = a.tant
x −a
2
cos t
cos 2 t
cos t
2
2
a sin t
1
2 sin t
2 1 − cos t
dt
dt I = ∫ x 2 − a 2 dx = ∫ a tan t
=
a
=
a
dt
dt = a2( ∫
2
3
3
∫
∫
cos t
cos 3 t
cos t
cos t
t π
t π
1
1
1 tan t
dt = (
dt = ln tan( + ) + C
Với ∫
+ ln tan( + ) ) + C; ∫
3
2 4
2 4
2 cos t
cos t
cos t
2
2
2
x −a
x
a2
2
2
dx = ∫
dx - ∫
dx = I2 - I1
Cách 2: I = ∫ x − a dx = ∫
x2 − a2
x2 − a2
x2 − a2
a2
dx = a2. ln x + x 2 − a 2 (chọn C = 0)
Với I1 = ∫
2
2
x −a
2
x
x
dx = Đặt u = x ⇒ du = dx; dv =
I2 = ∫
dx ⇒ v = x 2 − a 2
x2 − a2
x2 − a2
13. I =
∫
x 2 − a 2 dx =
1
∫ cos t dt )
∫
x 2 − a 2 dx = = x x 2 − a 2 - I
1
2
2
2
2
I = I2 - I1 = x x 2 − a 2 - I - a2 ln x + x − a ⇔ I = ( x x 2 − a 2 - a2 ln x + x − a ) + C
2
ADCT NHTP I2 = x x 2 − a 2 -
Good luck
HCT-GV THPT Hoài Ân, Bình Định
