- Trang chủ >>
- THPT Quốc Gia >>
- Toán
Cach giai cac dang bat phuong trinh chua can thuc
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (137.99 KB, 7 trang )
wWw.VipLam.Net
3.BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC
A-Lý thuyết :
Phương pháp 1:
Sử dụng phép biến đổi tương đương :
A ≥ 0
1. A < B ⇔ B > 0
A < B2
A ≥ 0
2. A ≤ B ⇔ B ≥ 0
A ≤ B2
B < 0 B ≥ 0
3. A > B ⇔
∪
2
A ≥ 0 A > B
B ≤ 0 B > 0
4. A ≥ B ⇔
∪
2
A ≥ 0 A ≥ B
Bài toán 1:
Giải các bpt sau :
1. x − 3 < 2 x − 1
2. x 2 − x + 1 ≤ x + 3
3. 3 x − 2 > 4 x − 3
4. 3 x 2 + x − 4 ≥ x + 1
Bài giải :
1
x>
2 x − 1 > 0
2
⇔ x − 3 ≥ 0
⇔ x ≥ 3
1.
4 x 2 − 5 x + 4 > 0
2
x − 3 < (2 x − 1)
x≥3
x2 − x + 1 ≥ 0
8
⇔ x≥−
2. ⇔ x + 3 ≥ 0
7
x 2 − x + 1 ≤ ( x + 3) 2
4 x − 3 < 0 4 x − 3 ≥ 0
∪
3. ⇔
2
3 x − 2 ≥ 0 3 x − 2 > (4 x − 3)
3
2
3 ≤ x < 4
2
⇔ ≤ x <1
3
3 ≤ x <1
4
x + 1 ≤ 0
4
2
x≤−
3
x
+
x
−
4
≥
0
3
⇔
4. ⇔
x +1 > 0
1 + 41
x
≥
4
3 x 2 + x − 4 ≥ ( x + 1) 2
Bài toán 2:
Giải các bpt sau :
1.x + 1 ≥ 2( x 2 − 1)
2. ( x + 5)(3 x + 4) > 4( x − 1)
3. x + 2 − 3 − x < 5 − 2 x
4.( x − 3) x 2 − 4 ≤ x 2 − 9
Bài giải :
.1
2( x 2 − 1) ≥ 0
x ≤ −1 ∪ x ≥ 1
(1) ⇔ x + 1 ≥ 0
⇔ x ≥ −1
2( x 2 − 1) ≤ ( x + 1) 2
x2 − 2 x − 3 ≤ 0
.
x = −1
⇔
1 ≤ x ≤ 3
4( x − 1) < 0
( x + 5)(3 x + 4) ≥ 0
(2) ⇔
x −1 ≥ 0
( x + 5)(3 x + 4) > 16( x − 1) 2
2.
x < 1
x ≤ −5
4
x ≤ −5 ∪ x ≥ − 4
3 ⇔ − ≤ x < 1
⇔
3
1 ≤ x < 4
x ≥ 1
13 x 2 − 51x − 4 < 0
4
Kết luận : x ≤ −5 ∪ − ≤ x < 4
5
1
wWw.VipLam.Net
x + 2 ≥ 0
5
3. Đk: 3 − x ≥ 0 ⇔ −2 ≤ x ≤
2
5 − 2 x ≥ 0
(1) ⇔ x 2 − 4 ≥ x + 3
x + 3 > 0
x + 3 ≤ 0
⇔ 2
∪ 2
2
x − 4 ≥ 0 x − 4 ≥ ( x + 3)
(1) ⇔ 5 − 2 x + 3 − x > x + 2
⇔ 2 x − 11x + 15 > 2 x − 3
2
+) Xét : −2 ≤ x <
(2)
3
2
(1) luôn đúng.
3
5
+) Xét : ≤ x ≤
2
2
2
(2) ⇔ 2 x − 11x + 15 > (2 x − 3) 2
⇔ 2x2 − x − 6 < 0
3
⇔−
3
5
Do ≤ x ≤ nên nghiệm của bpt là :
2
2
3
≤x<2
2
Kết luận :
−2 ≤ x < 2
2
4.Đk: x − 4 ≥ 0 ⇔ x ≤ −2 ∪ x ≥ 2
Nhận xét x = 3 là nghiệm bpt .
+) Xét x > 3 :
(1) ⇔ x − 4 ≤ x + 3
2
⇔ x 2 − 4 ≤ ( x + 3)
x ≤ −3
x > −3
(tm )
⇔
∪
x ≤ −2 U x ≥ 2 6 x + 13 ≤ 0
x ≤ −3
13
⇔
⇔ x≤−
13
−3 < x ≤ −
6
6
Vậy kêt luận :
13
x ≤ − 6
x ≥ 3
Bài tập về nhà :
Bài 1:
Giải các bpt sau :
1. 2 x − 1 ≤ 8 − x
2. 2 x 2 − 6 x + 1 − x + 2 > 0
3. − x 2 + 6 x − 5 > 8 − 2 x
4. x + 3 ≥ 2 x − 8 + 7 − x
5. x + 2 − x + 1 < x
Bài 2:
Giải các bpt sau :
1.( x 2 − 3 x). 2 x 2 − 3 x − 2 ≥ 0
2
13
⇔x≥−
6
Suy ra x > 3 là nghiệm bpt
+) Xét : x ≤ −2 ∪ 2 ≤ x < 3
2.
3.
(
(
2 x2
3 − 9 + 2x
x2
1+ 1+ x
)
2
)
2
< x + 21
> x−4
Bài giải :
Bài 1:
1.
2
wWw.VipLam.Net
5.
8 − x ≥ 0
(1) ⇔ 2 x − 1 ≥ 0
2 x − 1 ≤ (8 − x ) 2
x ≤ 8
1
⇔ x ≥
2
x 2 − 18 x + 65 ≥ 0
⇔
x + 2 ≥ 0
Đkiện : x + 1 ≥ 0 ⇔ x ≥ 0
x ≥ 0
(5) ⇔ x + 2 < x + 1 + x
⇔ x + 2 < 2 x + 1 + 2 ( x + 1) x
⇔ 1 − x < 2 ( x + 1) x
1
≤ x≤5
2
1 − x < o 1 − x ≥ 0
⇔
∪
2
x ≥ 0
( 1 − x ) < 4 x( x + 1)
2.
(2) ⇔ 2 x 2 − 6 x + 1 > x − 2
x − 2 ≥ 0
x − 2 < 0
⇔ 2
∪ 2
2
2 x − 6 x + 1 ≥ 0 ( 2 x − 6 x + 1) > ( x − 2 )
x < 2
x ≤ 3 − 7 x ≥ 2
⇔
2 ∪ 2
x − 2x − 3 > 0
3
+
7
x ≥
2
⇔x≤
3− 7
∪x>3
2
3.
Tương tự : 3 < x ≤ 5
x + 3 ≥ 0
4.Đk: 2 x − 8 ≥ 0 ⇔ 4 ≤ x ≤ 7
7 − x ≥ 0
(4) ⇔ x + 3 ≥
⇔ 3 ≥ −1 + 2
⇔2≥
(
2x − 8 + 7 − x
( 2 x − 8) ( 7 − x )
( 2 x − 8) ( 7 − x )
⇔ 4 ≥ −2 x 2 + 22 x − 56
⇔ x 2 − 11x + 30 ≥ 0
x ≤ 5
⇔
x ≥ 6
4 ≤ x ≤ 5
Kết luận :
6 ≤ x ≤ 7
9
9 + 2 x ≥ 0
x ≥ −
⇔
2
2.Đk :
3 − 9 + 2 x ≠ 0
x ≠ 0
Khi đó :
)
2
3+ 2 3
x < −
3
⇔ x > 1∪
−3 + 2 3
< x ≤1
3
3+ 2 3
x < −
3
⇔
−3 + 2 3
3
Kết luận :
−3 + 2 3
x>
3
Bài 2:
1.
2 x 2 − 3x − 2 = 0
(1) ⇔ 2 x 2 − 3x − 2 > 0
2
x − 3x ≥ 0
1
x = 2
x ≤ − 2
1
⇔ x = −
⇔ x = 2
2
x ≥ 3
1
x < − 2
x > 2
x ≤ 0 ∪ x ≥ 3
Bài 2:
1. x 2 − 3x + 2 + x 2 − 4 x + 3 ≥ 2 x 2 − 5 x + 4
2. x 2 − 8 x + 15 + x 2 + 2 x − 15 ≤ 4 x 2 − 18 x + 18
3. 1 + x + 1 − x ≤ 2 −
x2
4
Bài giải :
3
wWw.VipLam.Net
(2) ⇔
(
2x2 3 + 9 + 2x
4 x2
⇔ 9 + 2x < 4
7
⇔x<
2
)
2
< x + 21
Xét : 0 < x ≤
7
9
− ≤ x <
2
Kết luận : 2
x ≠ 0
3.
Đk: 1 + x ≥ 0 ⇔ x ≥ −1
Nhận xét : x = 0 là nghiệm của bpt
+) Xét x ≠ 0 :
(3) ⇔
(
(
x2 1 − 1 + x
)
2
x2
⇔ 1− 1+ x
Bài 1:
4
−1 ≤ x ≤
3:
Đk :
x ≠ 0
)
2
> x−4
> x−4
⇔ 2 − 2 1 + x > −4
⇔ 1+ x < 3 ⇔ 1+ x < 9
⇔ x<8
Kết luận : −1 ≤ x < 8
Chú ý : Dạng :
f ( x ). g ( x ) ≥ 0
g ( x) = 0
⇔ g ) x) > 0
f ( x) ≥ 0
Bài tập về nhà :
Bài 1 :
Giải các bpt sau :
−3 x 2 + x + 4 + 2
1.
<2
x
Nhân xét x = 1 là nghiệm
+) Xét x <1 :
(2) ⇔ ( 1 − x ) ( 2 − x ) +
(1) ⇔
4
:
3
−3 x 2 + x + 4 + 2
<2
x
⇔ −3 x 2 + x + 4 < 2 x − 2
2 x − 2 ≥ 0
⇔
2
2
−3 x + x + 4 < ( 2 x − 2 )
x ≥ 1
9
⇔ 2
⇔ x>
7
7 x − 9 x > 0
9
4
Vậy (1) có nghiệm : < x ≤
7
3
Xét : −1 ≤ x < 0 :
(1) luôn đúng
Kết luận nghiệm của bpt:
−1 ≤ x < 0
9
7
Bài 2:
1.
x 2 − 3x + 2 ≥ 0
2
Đk: x − 4 x + 3 ≥ 0 ⇔ x ≤ 1 ∪ x ≥ 4
x2 − 5x + 4 ≥ 0
(1) ⇔
≥2
( x − 1) ( x − 2 ) + ( x − 1) ( x − 3)
( x − 1) ( x − 4 ) (2)
Suy ra : x ≤ −5 là nghiệm của bpt
+) Xét : x ≥ 5 :
(2) ⇔ x − 5 + x + 5 ≤ 4 x − 6
( 1− x) ( 3 − x)
≥ 2 ( 1− x) ( 4 − x)
⇔ 2− x + 3− x ≥ 2 4− x
2− x + 3− x < 4− x + 4− x
Ta có :
= 2 4 − x , ∀ x<1
Suy ra x < 1 bpt vô nghiệm .
+) Xét : x ≥ 4 :
(2) ⇔ x − 2 + x − 3 ≥ 2 x − 4
⇔ x − 5 + x + 5 + 2 x 2 − 25 ≤ 4 x − 6
17
⇔ x 2 − 25 ≤ x − 3 ⇔ x ≤
3
17
Suy ra : 5 ≤ x ≤
3
Là nghiệm của bpt .
Kết luận : Nghiệm của bpt đã cho là :
x ≤ −5
x = 3
17
5 ≤ x ≤
3
4
wWw.VipLam.Net
Ta có :
x−2 + x−3 ≥ x−4 + x−4
3.
= 2 x − 4, ∀ x≥ 4
Suy ra : x ≥ 4 : , bất pt luôn đúng .
Bài toán 1:Giải bpt sau :
x = 1
Vậy nghiệm
4 )
( x +bpt
x ≥ 4
Bài
giải
:
2.
Đặt : tx 2=− 8xx2 ++15
5 x≥+028, t > 0
2
( Dox 2 + 5 x + 28 > 0, ∀ ∈R ) x = 3
Điều kiện: x + 2 x − 15 ≥ 0 x⇔
x ≤ −5 ∪ x ≥ 5
Khi đó
4 x: 2 − 18 x + 18 ≥ 0
2
(1) ⇔ t − 24 < 5t
(2) ⇔ ⇔( xt 2−−5 )5(t x−−24
3)<+0 (( do
x +t>
5 ) 0( x) − 3)
0
≤ (4 x⇔
− 6)(
2
Nhận xét
⇔ x0 =
< 3 xlà nghiệm
+ 5 x + 28của
< 8 bpt :
+) Xét :⇔x x≤2 −+55:x − 36 < 0
⇔ −9 < x < 4
x ) ( 3 − x ) + ( − x − 5) ( 3 − x ) ≤ ( 6 − 4 x ) ( 3 − x )
( 5 −luận
Kết
: -9 < x < 4
⇔ 5 − x + −x − 5 ≤ 6 − 4x
Bài toán 2 :
⇔ 5 − x − x − 5 + 2 x 2 − 25 ≤2 6 − 4 x
7 x + 7 + 7 x − 6 + 2 49 x + 7 x − 42 < 181 − 14 x(1)
2
2
⇔ x72 x−25
+ 7≤≥30− x ⇔ x6 −25 ≤ ( 3 − x )
⇔x≥ :
Đk:
17
7
⇔ x ≤7 x − 6 ≥ 0
3 7 x + 7 + 7 x − 6, t ≥ 0
t=
1 + x ≥ 0
⇔ −1 ≤ x ≤ 1 :
Đk:
1 − x ≥ 0
Khi đó :
Bài toán3:
x4
(3) ⇔ 1 + x 3+ 1 − x + 2 11 − x 2 ≤ 4 − x 2 +
16
3 x+
< 2x +
− 7(1)
2x 4
2 x
x
⇔Đk1 −: xx 2>−0:2 1 − x 2 + 1 + ≥ 0
16
14
1
2
(1) ⇔ 32 x + x ÷ < 2 x + ÷− 7(2)
⇔ 1 − x − 1 +2 x ≥ 0∀ x∈[ −1;1] 4 x
16
1
1
Vậy nghiệm
t = của
x + bpt là≥ :2−1 ≤x x. ≤ 1 = 2
2 x
2 x
Đặt :
1
1
⇒ t2 = x +
+1 ⇒ x +
= t 2 −1
4x
4x
Khi đó :
(2) ⇔ 3t < 2 ( t 2 − 1) − 7
(2) ⇔
2
Đặt : ⇒ t = 7 x + 7 + 7 x − 6 + 2
⇒ 14 x + 2
( 7 x + 7) ( 7 x − 6)
( 7 x + 7) ( 7 x − 6)
= t 2 −1
Khi đó :
(1) ⇔ 7 x + 7 + 7 x − 6 + 14 x + 2 49 x 2 + 7 x − 42 < 181
⇔ t 2 + t − 1 < 181
⇔ t 2 + t − 182 < 0
⇔ 0 ≤ t < 13(t ≥ 0)
⇔ 7 x + 7 + 7 x − 6 < 13
⇔ 49 x 2 + 7 x − 42 < 84 − 7 x
6
6
≤ x < 12
⇔ 7
⇔ ≤x<6
7
x < 6
6
Kết luận : ≤ x < 6
7
(
(
)
)
⇔ 2t 2 − 3t − 9 > 0 ⇔ t > 3(t ≥ 2)
1
⇔ x+
> 3(3)
2 x
Đặt :
u = x,u > 0
1
( 3) ⇔ u + > 3 ⇔ 2u 2 − 6u + 1 > 0
2u
3− 7
3+ 7
⇔0
2
2
3− 7
3+ 7
⇔0< x <
∪ x>
2
2
8−3 7
8+3 7
⇔0< x<
∪x>
2
2
8−3 7
8+3 7
Kết luận : 0 < x <
∪x>
2
2
Bài tập về nhà :
Bài 1: Giải các bpt sau :
1). 3x 2 + 6 x + 4 < 2 − 2 x − x 2
2).2 x 2 + 4 x + 3 3 − 2 x − x 2 > 1
3). 3x 2 + 5 x + 7 − 3x 2 + 5 x + 2 ≥ 1
Phương pháp 2: Đặt ẩn số phụ :
5
wWw.VipLam.Net
Bài 2:
1). x + 2 x − 1 + x − 2 x − 1 >
2).5 x +
3).
5
2 x
< 2x +
3
2
1
+4
2x
x
x +1
−2
>3
x +1
x
Bài 3:
x+
x
x −1
2
>
35
12
Bài giải :
Bài 1:
1.Đặt :
( 2 ) ⇔ 2 ( 3 − t 2 ) + 3t > 1
⇔ 2t 2 − 3t − 5 < 0
5
⇔ 0 ≤ t < ( dot ≥ 0)
2
⇔ 0 ≤ 3 − 2 x − x2 <
5
2
−3 ≤ x ≤ 1
⇔
25 ⇔ −3 ≤ x ≤ 1
2
3 − 2 x − x < 4
3.
Đặt :
t = 3 x 2 + 5 x + 2, t ≥ 0
t = 3 x 2 + 6 x + 4, t ≥ 0
⇒ t 2 = 3 x 2 + 6 x + 4 = 3( x 2 + 2 x) + 4
t2 − 4
⇒ x + 2x =
3
Khi đó :
t2 − 4
( 1) ⇔ t < 2 −
3
2
⇔ t + 3t − 10 < 0 ⇔ 0 ≤ t < 2(t ≥ 0)
2
⇔ 0 ≤ 3x 2 + 6 x + 4 < 2
⇔ 3 x 2 + 6 x + 4 < 4(do3 x 2 + 6 x + 4 > 0)
⇔ 3 x 2 + 6 x < 0 ⇔ −2 < x < 0
2.
Đặt :
t = 3 − 2 x − x2 , t ≥ 0
⇒ t 2 = 3 − 2x − x2
⇒ 2x + x = 3 − t
Khi đó :
2
2
⇒ 3x 2 + 5 x = t 2 − 2
Ta được :
t2 + 5 − t ≥ 1
⇔ t 2 + 5 ≥ t + 1 ⇔ t 2 + 5 ≥ ( t + 1)
2
⇔ 2t ≤ 4 ⇔ t ≤ 2
⇔ 0 ≤ 3x 2 + 5 x + 2 ≤ 2
3 x 2 + 5 x + 2 ≥ 0
⇔ 2
3 x + 5 x + 2 ≤ 4
−2
−2 ≤ x ≤ − 1
x ≤ −1 ∪ x ≥ 3
⇔
⇔ −2
≤x≤1
1
−2 ≤ x ≤
3
3
3
Bài 2:
1.
( 1) ⇔
(
)
2
x −1 +1 +
(
)
x −1 −1
Đk : x ≥ 1 :
⇔
x −1 +1 +
x −1 −1 >
2
>
3
2
3
2
Đặt : t = x − 1, t ≥ 0
Khi đó :
Bài 2:
2− 2
2− 2
u <
0 < x <
2
2
⇔
⇔
2+ 2
2+ 2
u >
x>
2
2
3−2 2
0 < x <
2
3+2 2
x >
2
6
wWw.VipLam.Net
3
⇔ t + 1 + t − 1 > (2)
2
+)t ≥ 1:
3
3
(2) ⇔ 2t > ⇔ t >
2
4
⇔ x − 1 ≥ 1( dot ≥ 1) ⇔ x ≥ 2
+)0 ≤ t < 1:
3
(2) ⇔ 2 >
2
x ≥ 1
Vậy : 0 ≤ x − 1 ≤ 1 ⇔
x ≤ 2
Kết luận : x ≥ 1
2.Đk : x > 0
1
1
( 2) ⇔ 5 x +
÷ < 2 x + 2 x + 4(3)
2 x
Đặt :
1
1
t= x+
≥ 2 x.
= 2, t ≥ 2
2 x
2 x
1
⇒ x+
= t 2 −1
4x
Khi đó :
( 3) ⇔ 5t < 2 ( t 2 − 1) + 4
3.
Đk: x < −1 ∪ x > 0 :
x +1
x
1
Đặt: t =
,t > 0 ⇒
= 2
x
x +1 t
Ta được :
1
− 2t > 3 ⇔ 2t 3 + 3t 2 − 1 < 0
2
t
⇔ ( t + 1) ( 2t 2 + t − 1) < 0
1
⇔ 0 < t < (dot > 0)
2
x +1 1
4
⇔0<
< ⇔ − < x < −1
x
2
3
Bài 3:
x < −1
2
Đk: x − 1 > 0 ⇔
x >1
+) Xét x < -1 :bpt VN
+) x > 1 :
x2
x2
1225
+
2.
>
2
2
x −1
x −1 144
4
2
x
x
1225
⇔ 2
+ 2.
−
> 0(2)
2
x −1
x −1 144
( 1) ⇔ x 2 +
t=
1
t<
⇔ 2t − 5t + 2 > 0 ⇔ 2
t > 2
1
2 x
> 2 ⇔ 2x − 4 x + 1 > 0
Đặt : u = x , u > 0
Ta được : 2u2 – 4u + 1> 0
,t >0
1225
>0
144
25
( dot > 0)
12
x2
25
>
⇔144 x 4 > 625 x 2 − 625
2
12
x −1
⇔t >
Đặt :
x+
x 2 −1
(2) ⇔t 2 + 2t −
2
Do đk:Ta có
x2
⇔
⇔144 x 4 − 625 x 2 + 625 > 0
25
5
2
0 ≤ x < 16
1 < x < 4
⇔
⇔
(dox >1)
x 2 > 25
x > 5
9
3
7
