Bài 1
Điểm

1


I – Đồ thức của một điểm
1– Hệ thống hai mặt phẳng hình chiếu

a)
Π1

a) Xây dựng đồ thức
- Trong không gian lấy hai mặt phẳng
vuông góc nhau П1 và П2.

A1
A

x

- Mặt phẳng П1 có vị trí thẳng đứng.

Ax
A2

Π2

- Mặt phẳng П2 có vị trí nằm ngang.
- Gọi x là giao điểm của П1 và П2
(x = П1∩П2 )

- Chiếu vuông góc điểm A lên mặt phẳng
П1và П2 ta nhận được các hình chiếu A1 và A2

b)
Π1

A1 A

- Cố định mặt phẳng П1, quay mặt phẳng

x

П2 quanh đường thẳng x theo chiều quay

Ax

được chỉ ra trên Hình 1.1.a cho đến khi П2
trùng vớiП1. Ta nhận được đồ thức của điểm

A2

A trong hệ hai mặt phẳng hình chiếu (Hình 1.1.b)

Π2

Hình 1.1a,b. Xây dựng đồ thức của một điểm trên hệ
thống hai mặt phẳng hình chiếu

2



a)
b) Các định nghĩa và tính chất
- Mặt phẳng П1: mặt phẳng hình chiếu đứng

Π1

A1
A

- Mặt phẳng П2: mặt phẳng hình chiếu bằng

x

- Đường thẳng x : trục hình chiếu
- A1: hình chiếu đứng của điểm A

Ax
A2

Π2

- A2: hình chiếu bằng của điểm A
- Gọi Ax là giao của trục x và mặt phẳng
(AA1A2)
- Trên đồ thức, A1,Ax, A2 cùng nằm trên một
đường thẳng vuông góc với trục x gọi là
đường dóng thẳng đứng.

b)


Π1

A1 A

x

Ax
A2

Π2
Hình 1.1a,b. Xây dựng đồ thức của một điểm
trên hệ thống hai mặt phẳng hình chiếu

3


* Độ cao của một điểm
- Ta có: AxA1 = A2A gọi là độ cao của
điểm A
- Quy ước:
+ Độ cao dương : khi điểm A nằm
phía trên П2

a)

Π1

A1
A


x

Ax
A2

Π2

+ Độ cao âm: khi điểm A nằm phía
dưới П2.
- Dấu hiệu nhận biết trên đồ thức:
+ Độ cao dương: A1 nằm phía trên
trục x
+ Độ cao âm: A1 nằm phía dưới trục x

b)

Π1

A1 A
Ax

x

A2
Π2
Hình 1.1a,b. Xây dựng đồ thức của một điểm trên hệ
thống hai mặt phẳng hình chiếu

4



* Độ xa của một điểm
- Ta có:
AxA2 = A1Agọi là độ xa của điểm A
- Quy ước:
+ Độ xa dương : khi điểm A nằm
phía trước П1

a)

Π1

A
x

trục x
+ Độ xa âm: A2 nằm phía trên trục x
*Chú ý: Với một điểm A trong không gian có đồ
thức là một cặp hình chiếu A1, A2. Ngược lại
cho đồ thức A1 A2 , ta có thể xây dựng lại
điểm A duy nhất trong không gian. Như vậy
đồ thức của một điểm A có tính phản
chuyển

Ax
A2

Π2


+ Độ xa âm: khi điểm A nằm phía
sau П1.
- Dấu hiệu nhận biết trên đồ thức:
+ Độ xa dương: A2 nằm phía dưới

A1

b)
A1
Ax

x

A2
Π2
Hình 1.1a,b. Xây dựng đồ thức của một
điểm trên hệ thống hai mặt phẳng
hình chiếu

5


2– Hệ thống ba mặt phẳng hình chiếu
a) Xây dựng đồ thức
- Trong không gian, lấy ba mặt phẳng
П1’ П2,П3 vuông góc với nhau từng đôi một.

a)
Π1


+ Gọi x là giao điểm của П1 và П2 (y = П1∩П2)

x

z

A1

- Chiếu vuông góc điểm A lên mặt phẳng П1, П2
và П3 ta nhận được các hình chiếu A1 , A2 và A3
- Cố định mặt phẳng П1, quay mặt phẳng П2
quanh đường thẳng x, quay mặt phẳng П3 quanh
trục z theo chiều quay được chỉ ra trên Hình 1.2.a
cho đến khi П2 trùng với П1,П3 trùng với П1. Ta
nhận được đồ thức của điểm A trong hệ hai mặt
phẳng hình chiếu (Hình 1.2.b)

A3

A

Ax

O

+ Gọi y là giao điểm của П2 và П3 (y = П2∩П3)
+ Gọi z là giao điểm của П1 và П3 (z = П1∩П3)

Az


Ay

A 2 A2

Π2

y

Π3

b)
Π1

x

A1

Ax

z

A

A3

Π3

Az
O


Ay
y

Ay
Π2

A2

y

Hình 1.2a,b. Xây dựng đồ thức của một điểm trên hệ thống ba
mặt phẳng hình chiếu6


b) Các định nghĩa và tính chất
Bổ xung thêm các định nghĩa
và tính chất sau:
- Mặt phẳng П3: mặt phẳng hình chiếu cạnh

a)
Π1

- Đường thẳng x, y, z : trục hình chiếu
- A3: hình chiếu cạnh của điểm A

x

z

A1


A3

A

Ax

O

- Gọi

Ay

A2 A2

Π2

Ax = x ∩ (A1AA2)
Ay = y ∩ (A2AA3)

Az

y

- Trên đồ thức:
z ∩trên
(A1một
AAđường
3)
+ A1, Ax, A2 Az

cùng=nằm
thẳng vuông góc với trục x gọi là đường
dóng thẳng đứng
+ A1, Az, A3 cùng nằm trên một đường
thẳng song song với trục x gọi là đường
dóng nằm ngang.

Π3

b)

Π1

x

A1

Ax

z

A

A3

Π3

Az
O


Ay
y

Ay
Π2

A2

y

Hình 1.2a,b. Xây dựng đồ thức của một điểm trên hệ thống ba
mặt phẳng hình chiếu 7


b) Các định nghĩa và tính chất (tiếp theo)
* Độ xa cạnh của một điểm
- Ta có: AzA1 = AyA 2 = OAx = A 3A
gọi là độ xa cạnh của điểm A
- Quy ước:
+ Độ xa cạnh dương : khi điểm A nằm
phía bên trái П3

a)
Π1

x

z

A1


Az

A

A3

Ax

O
A2

Π2

A2

Ay

+ Độ xa cạnh âm: khi điểm A nằm
phía bên phải П3.
- Dấu hiệu nhận biết trên đồ thức:
+ Độ xa cạnh dương: A3 nằm phía bên
phải trục z
+ Độ xa cạnh âm: A3 nằm phía bên trái
trục z

y

Π3


b)

Π1

x

A1

Ax

z

A

A3

Π3

Az
O

Ay
y

Ay
Π2

A2

y


Hình 1.2a,b. Xây dựng đồ thức của một điểm trên hệ thống ba
mặt phẳng hình chiếu 8


II – Cách chuyển từ tọa độ Đề các sang đồ thức
a)

b)

z
A3

5
A1

z(+) A
z
5

A1

i
3

x(+)

k
j


Π3

A

A

O

x

Π1

4

Ax
3

y

A2

Hình 1.3a,b Chuyển từ tọa độ Decac sang đồ thức

O

A2
Π2

y(+)


Ay

4
y(+)

- Trong tọa độ Đề các vuông góc điểm A(xA, yA, zA) (Hình 1.3a)
- Trên đồ thức chiều dương trục x,y,z được xác định như hình vẽ 1.3b.
- Chọn trục hình chiếu x,y,z lần lượt tương ứng với trục tọa độ Ox, Oy, Oz. Các
mặt phẳng П1, П2, П3 lần lượt tương ứng với mặt phẳng (xOz), (xOy), (zOy)
Ví dụ: Chuyển từ tọa độ Đề các vuông góc sang đồ thức điểm A(3,4,5)
9


III – Một số định nghĩa khác
1– Góc phần tư
- Hai mặt phẳng hình chiếu П1, П2 vuông góc với nhau chia không gian thành bốn
phần, mỗi phần được gọi là một góc phần tư.
+ Phần không gian phía trước П1, trên П2 được gọi là góc phần tư thứ nhất. (I)
+ Phần không gian phía sau П1, trên П2 được gọi là góc phần tư thứ hai. (II)
+ Phần không gian phía sau П1, dưới П2 được gọi là góc phần tư thứ ba. (III)
+ Phần không gian phía trước П1, dưới П2 được gọi là góc phần tư thứ tư. (IV)
Ví dụ: Tự cho đồ thức của các điểm A, B, C, D lần lượt thuộc các góc phần tư I, II, III, IV

Π1

( II ) Π1
(I)

( III )


Π2

A1

( IV )
Hình 1.4. Góc phần tư I, II, III, IV

C2

B2

x
A2

B1

C1

A2

D1
D2

Π2

Hình 1.5. Các điểm A,B,C,D thuộc các
góc phần tư I, II, III, IV

10



2 – Mặt phẳng phân giác

- Có hai mặt phẳng phân giác
+ Mặt phẳng đi qua trục x chia góc nhị diện phần tư (I) và góc phần tư (III) thành
các phần bằng nhau gọi là mặt phẳng phân giác I. (Pg1)
+ Mặt phẳng đi qua trục x chia góc nhị diện phần tư (II) và góc phần tư (IV) thành
các phần bằng nhau gọi là mặt phẳng phân giác II.(Pg2)
Ví dụ: Vẽ đồ thức của các điểm A, B thuộc mặt phẳng phân giác I; C, D thuộc mặt phẳng phân giác II, A thuộc góc
phần tư (I), B thuộc (III), C thuộc (II), D thuộc (IV)

( II )

Π1

Π1
(Pg1)

x
( III )

A1

x

C1 =C2
B2

Ax


Bx

A2

B1

Cx

Dx

(I)
Π2

A2
(Pg2)

Hình 1.6. Mặt phẳng phân giác I và II

( IV )

D1 =D2

Π2
Hình 1.7. Đồ thức các điểm A,B,C,D thuộc
mặt phẳng phân giác (P1) và (P2)

11


IV- Vẽ hình chiếu thứ ba của một điểm trên đồ thức

Bài toán: Cho hình chiếu đứng và hình chiếu bằng của một điểm, tìm hình chiếu cạnh của điểm đó trên đồ thức.
Ví dụ: Vẽ hình chiếu cạnh của các điểm A, B, C, D, E được cho trên đồ thức

z(+)

a)

Az

A1

Δ’
A3

Δ

z(+)

Δ’

b)

B1

B3

B2
x(+)

Ax


O

Bz

z(+)

c)
Δ

C2

Cy

By

Ay

x(+)

O

Cy

Cx

y(+)

y(+)
x(+)


Ay

A2

Bx
By

Dx

y(+)

O

E1=E2

Dy

Dz

z(+)

Δ’

e)
y(+)

D1

E3


Dy
y(+)

Ez=Ey

Δ

O

y(+)

Δ
D3

D2

Δ’

y(+)
z(+)

x(+)

Cz

C3

Δ
C1


y(+)

By

y(+)

d)

O

Δ’

x(+)

Ex
Ey

12

y(+)