BÀI TẬP

HÌNH HỌC HOẠ HÌNH
Giảng viên: Th.s Nguyễn Thị Thu Nga


Chương 4
Các phép biến đổi


Bài 4-1:
Bằng phương pháp thay mặt phẳng hình chiếu, hãy tìm trên đường thẳng DE
một điểm cách mặt phẳng (ABC) một đoạn bằng l
B1

G1
D1
h1
11

G2

E1

B2

A1

x

F1

D2
12

F2
h2

E2
C2

α’1

E’1

l

F’1
C’1

D’1
G’1

B’1

l

A’1
x’

A2


C1

β’1


Bài 4-2:
Vẽ đường vuông góc chung của hai
đường thẳng AB và CD. Xác định độ
dài thật của nó.

C1

B1

K1
A1

H1
D1

x
A2
K2

x’

C2

B2

H2

A’1
C’1

D2

H’1
K’1

D’1
B’1

x’’

α’2
H’2

D’2

C’2
A’2 ≡ B’2 ≡ K’2


Bài 4-3:
Bằng cách thay mặt phẳng hình
chiếu hãy tìm hình chiếu đứng
của điểm M biết M cách đường
thẳng AB một khoảng bằng d


M*1

B1

A1
M1

x

B2

M2
A2

a
a

M’1

x’

M’2
A’1

B’1
d

M*’1
x’’


A’2≡ B’2

M*’2


Bài 4-4:

B*1

Biết đường thẳng AB song song với mặt
phẳng α(mαnα) và cách α một khoảng bằng

A*1

l. Tìm hình chiếu đứng của AB

B1
A1
x
x’

m

12

nα
≡
α

A2

1’1
A’1

B*’1

m’α

A*’1

l

l

B’1

11

B2


Bài 4-5:
Bằng cách thay mặt phẳng hình chiếu, hãy tìm giao điểm của đường cạnh
DE với mặt phẳng ABC.
D1
B1
F1
A1
x

C1


11

h1

E1
E2

E’1

B2

B’1
F2
F’1
A2

h2
D2

C2

C’1
12
x’

A’1
D’1



Bài 4-6:
Thay mặt phẳng hình chiếu sao cho hình chiếu đứng mới A’ 1B’1=(2/3)A2B2

Δz

B1

A1
x
C

A’1

Δz

A2

B’1
Δz

x’

D

B2


Bài 4-7:
Thay mặt phẳng hình chiếu để hình chiếu bằng mới A’ 1B’1C’1D’1 là một hình
Nham- Phai

thay mp
hinh chieu
de I’1=K’1
thi
A’1B’1C’1D
’1 moi la
hinh binh
hanh- Xem
lai de baihinh chieu
bang
A’1B’1C’1D
’1????
B’2

bình hành.
D1
Giải:
A1
- Tính chất hình bình hành là hai
đường chéo cắt nhau tại trung điểm
của mỗi đường.
- Lấy I là trung điểm AC
- Lấy K là trung điểm BD
- Thay mặt phẳng hình chiếu П1
A2
⇒ IK là đường mặt
- Thay mặt phẳng hình chiếu П2
⇒ IK là đường thẳng chiếu bằng
trong hệ thống (П’1 П’2).
- Biến đổi các điểm ABCD, kết quả

A’2B’2C’2D’2 là hình bình hành

K1

I1
C1

B1
x
D2

K2

B2

I2

B’1

C2
C’1

x’

K’1

I’1
Chú ý: Ta có thể thay П2 rồi sau đó thay
П1 thì A’1B’1C’1D’1 là hình bình hành


A’1

x’’

C’2

I’2 ≡ K’2

A’2

D’2
D’1


Bài 4-8:
Tìm trên đoạn thẳng AB điểm M cách đều hai mặt phẳng (ACD) và (BCD).
B1

Giải:
- Vì điểm M cách đều hai mặt phẳng
(ACD) và (BCD), do đó M nằm trên
mặt phẳng phân giác của nd(A,CD,B)
tạo bởi hai mặt đó.
- Thay mặt phẳng hình chiếu để CD
trở thành đường thẳng chiếu bằng
(C’2 ≡ D’2)

A1

M1∈ A1B1 và M2 ∈A2B2.

- Vì M ở trên đoạn thẳng AB do đó
chỉ có một nghiệm

C1
x

B2
D2

x’’

M2

- Vẽ p’2 là mp phân giác góc A’2C’2B’2
M’2 ≡ p’2 ∩ A’2B’2, đưa M về vị trí

D1

M1

C2

A2

C’1

D’1
M’1

x’


C’2 ≡ D’2

B’1
B’2

A’1

M’2
A’2

p’2


Bài 4-9:
Tìm các điểm thuộc góc phần tư thứ nhất cách đều tam diện Im αnα x
b1
21

mα
11
H1

I1 ≡I2

31 ≡32

12

Giải:

- Thay mặt phẳng hình chiếu để (mα nα)

3’2

22

H’1

nα

1’1 m’α

I’1

b2
2’2
x’

nhau qua trục x)
- Giao tuyến của hai mặt phẳng là tập hợp
các điểm cách đều tam diện.
- Xác định giao tuyến : Hai mặt phẳng có 1
điểm chung I, điểm chung thứ hai là giao
điểm của đường thẳng b và gα

g’α

H2

trở thành mặt phẳng chiếu.

- Vẽ mặt phẳng phân giác gα của góc nhị
diện (x’,I’,mα)
- Vẽ mặt phẳng phân giác I, xác định bởi
trục x và đường thẳng b(b1 và b2 đối xứng

x

b’1


Bài 4-10:
Cho hai đường thẳng a,b chéo nhau. Hãy vạch mặt phẳng chiếu để có một
hình chiếu mới của hai đường thẳng là hai đường thẳng song song.
Giải:
- Trên a lấy K, qua K vẽ c//b.
Mặt phẳng α(a, c) là mặt phẳng
đi qua a, (α)//b.
- Vẽ đường bằng h của mặt
phẳng (α)
- Thay mặt phẳng hình chiếu
để mặt phẳng (α) trở thành mặt
phẳng chiếu đứng
(thay П1 thành П’1, x’ ⊥h2)
- Vẽ a’1, b’1 ⇒ a’1//b’1

b1
c1

a1


11

21

h1
31

K1

41

X`
K2
c2

12

x’
22

b2

h2
a2
32

42

K’1
2’1


4’1
3’1
b’1

a’2


Bài 4-11:
Cho đường thẳng k và mặt phẳng P cho bằng hai vết. Hãy quay k quanh
đường thẳng chiếu để k tới song song với P và cách P một khoảng bằng 2cm
x’

A’2
d2

A

* ’
2

nP’’≡ k*2’

k’2

k1
k

B*2’


A1

*
1

d1
mP

A*1

B’2

B*1

k*2

x

A*2
k2

11

B1

A2
B2
B*2

nP


12

1’2

nP’


Bài 4-13:
b1

Cho hai đường thẳng chéo nhau.
Tìm độ lớn thật của góc giữa hai
đường thẳng.

A1

a1 ≡ c 1

11

21

h1

x
b2

a2
c2


A*

A2

O2
12

φ
A’2

22

h2


Bài 4-14:
Cho tam giác ABC. Tìm độ lớn thật của tam giác trong ba trường hợp
a) Mặt phẳng (ABC) bất kỳ

A1
D1

B1

h1
Δz
C1

A’2


C*2

B’2≡ B2

C2
OC
T:
L
Đ

D2
O2
A2
A*2
β2

C

C’2
α2

h2


Bài 4-14:
Cho tam giác ABC. Tìm độ lớn thật của tam giác trong ba trường hợp
b) Mặt phẳng (ABC) vuông góc với Π1

A’2


Giải:
- (ABC) đã cho là mặt phẳng chiếu đứng.
- Thay mặt phẳng П2 thành П’2 sao cho П’2 //
(ABC)
Muốn vậy, chọn trục hình chiếu x’//A1B1C1.

B’2
A’x
A1

Tìm A’2B’2C’2?

B’x

- Kết quả ΔA’2B’2C’2 là hình dạng độ lớn thật

C’x

B1

của ΔABC.

C’2

C1

x

Ax


Bx

Cx

Π1
C2

A2

B2

Π2

x’
Π’
Π 2
1


Bài 4-14:
Cho tam giác ABC. Tìm độ lớn thật của tam giác trong ba trường hợp
C) Mặt phẳng (ABC) vuông góc với Π3

B1

C1

A1


x
B*2

B2

A2

O2

B’2

C2


Bài 4-15:
Tìm khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng k (hình a) và tìm trên đường
bằng h một điểm cách điểm B một đoạn bằng l cho trước (hình b)
a)

21

A1

k1

11
x
12
x’


A’1

22

A2

1’1

k2

k’1
2’1

’
x’

A’2

12≡22≡k2


Bài 4-15:
Tìm khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng k (hình a) và tìm trên đường
bằng h một điểm cách điểm B một đoạn bằng l cho trước (hình b)
b)

B1

A’1


A1

h1

B*
h2
B2

A2
O2

A’2

l

B’2


Bài 4-16:
Bằng phương pháp xoay quanh đường bằng hãy xác định trực tâm của tam
giác ABC.
B1
I1
H1

D1

A1
K1


h1
Δz

B’2

C1
I’2

A’2≡ A2

K2

C2

K’2

D2

T:
ĐL

O2

H2
I2

B2
β2

α2


C’2

C

OC

h2


Bài 4-17:
Bằng phương pháp xoay quanh đường bằng hoặc đường mặt hãy xác định
góc giữa hai mặt phẳng α và β
Giải:
- Lấy một điểm A bất kỳ.
- Qua A dựng đường thẳng a vuông
góc với α, dựng đường thẳng b
vuông góc với β.
- Góc giữa hai mặt phẳng là góc tạo
bởi hai đường thẳng (a,b).
- Dùng phương pháp quay quanh
đường bằng b để tìm độ lớn thật
của góc (a,b)

mα

A1

b1
Δz


B1
a1
x

B2

O2
B’2

β2

a2

b2

φ

B*
A2

Δz

nα


M1

Bài 4-18:


mP

H1

K1

D1

A1

B*1

B1

g1

Cho tam giác ABC và mặt
phẳng P. Tìm trên mặt phẳng P
điểm cách đều A,B,C

Δy

C1

O1

h1

11


H’1
K’1

I’1

J’1
M2

N1
B2

B’1
g2

Δy
K2

D2
H2

nP
C2

A2
h2
N2

12



Bài 4-19:
Tìm góc giữa đường thẳng t và mặt phẳng α
A1

mα
t1

A’2

a1

φ

h1

21

11

90o-φ =(t,α)

12
O2

x
a2

22
h2
A2


t2
nα
`

A*


B1

Bài 4-20:
Cho tam giác ABC có ba
góc đều nhọn .Tìm điểm S sao
cho tam diện S.ABC có các
góc ASB = ASC= CSB = 90o

11

h1

C1
S1

A1

x
12

Giải:
- Giả sử có tam diện vuông S.ABC trong đó:

SA ⊥ SB ⊥ SC.
A2
- Từ S hạ SH vuông góc với (ABC)
SH ⊥ (ABC) ⇒SH ⊥ AC (1)
SB ⊥ (ASC) ⇒SB ⊥ AC (2)
Từ (1) và (2) ⇒AC ⊥(SHB) ⇒AC ⊥ HB ≡ J

B2

S2

h2
C2

H*1

J*1
x’

Tương tự có AB ⊥ HC ≡ I
⇒H là trực tâm của tam giác ABC
SB ⊥ (ASC) ⇒SB ⊥ SJ
Cách làm: Thay mặt phẳng hình chiếu để tìm
hình thật của tam giác ABC là A’ 2B’2C’2
⇒truc tâm H’2

S*1 S’1

A’1


C’2
J’2

B

Vẽ đường trònđường kính B’ 1J*⇒1S*1⇒
C S’1

I
A

H’2
J*2

H
J

x’’

C’1

S

Đưa B’2J’2 về đường mặt ⇒J*2,H*2 ⇒J*1H*1

B’1

A’2

I’2


H*2

B’2