- Trang chủ >>
- Đề thi >>
- Tuyển sinh lớp 10
0102 HS1 toan TS10CVP 1112 CT
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (256.88 KB, 3 trang )
SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC
————————
ĐỀ CHÍNH THỨC
KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN NĂM HỌC 2011-2012
ĐỀ THI MÔN: TOÁN
Dành cho tất cả các thí sinh
(Thời gian làm bài: 120 phút, không kể thời gian giao đề)
————————————
Câu 1 (2,0 điểm). Cho biểu thức P( x)
1
1
1 x 1 x
a) Rút gọn P( x) .
b) Tìm giá trị của x để P( x) 2 .
Câu 2 (3,0 điểm). Cho f ( x) x2 (2m 1) x m2 1 ( x là biến, m là tham số)
a) Giải phương trình f ( x) 0 khi m 1 .
b) Tìm tất cả các giá trị của m để đẳng thức f ( x) (ax b)2 đúng với mọi số thực x ; trong đó
a, b là các hằng số.
c) Tìm tất cả các giá trị m
biểu thức P
để phương trình f ( x) 0 có hai nghiệm x1 , x2 ( x1 x2 ) sao cho
x1 x2
có giá trị là số nguyên.
x1 x2
Câu 3 (3,0 điể . Cho đường tròn (O; R) đường kính AB. Kẻ tiếp tuyến Ax và lấy trên tiếp tuyến đó một
điểm P sao cho AP R . Từ điểm P kẻ tiếp tuyến tiếp xúc với đường tròn (O;R) tại điểm M (điểm M
khác điểm A).
a) Chứng minh rằng tứ giác APMO nội tiếp được một đường tròn.
b) Đường thẳng vuông góc với AB tại điểm O cắt đường thẳng BM tại điểm N, đường thẳng AN
cắt đường thẳng OP tại điểm K, đường thẳng PM cắt đường thẳng ON tại điểm I; đường thẳng PN và
đường thẳng OM cắt nhau tại điểm J. Chứng minh ba điểm I, J, K thẳng hàng.
Câu 4 (1,0 điể
9
. Chứng minh rằng:
4
a3 b3 c3 a b c b c a c a b
. Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn abc
Câu 5 (1,0 điểm). Tìm tất cả các số nguyên tố p sao cho tồn tại cặp số nguyên x; y thỏa mãn hệ:
2
p 1 2 x
2
2
p 1 2 y
------------Hết------------
Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm!
Họ tên thí sinh: .....................………………………………………........... Số báo danh: …………
SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC
————————
KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN NĂM HỌC 2011-2012
HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN
Dành cho tất cả các thí sinh
I. HƯỚNG DẪN CHUNG:
- Hướng dẫn chấm chỉ trình bày một cách giải với các ý cơ bản học sinh phải trình bày, nếu học sinh giải theo cách
khác đúng và đủ các bước vẫn cho điểm tối đa.
- Trong mỗi câu, nếu ở một bước nào đó bị sai thì các bước sau có liên quan không được điểm.
- Câu hình học bắt buộc phải vẽ đúng hình mới chấm điểm, nếu thí sinh không có hình vẽ đúng ở phần nào thì giám
khảo không cho điểm phần lời giải liên quan đến hình phần đó.
- Điểm toàn bài là tổng điểm của các ý, các câu, tính đến 0,25 điểm và không làm tròn.
II. ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM:
Câu 1 (2,0 điểm
a) 1,0 điểm
ội ung t ình b y
iểm
x 0
0 x 1
1 x 0
Điều kiện:
Khi đó: P( x)
0,50
2
1 x 1 x
P( x)
1 x
(1 x )(1 x )
0,50
b) 1,0 điểm
ội ung t ình b y
iểm
2
Theo phần a) có: P( x) 2
2
1 x
1
1 1 x 1 x 2 (thỏa mãn điều kiện). Mỗi dấu đúng cho 0,25 điểm.
1 x
0,25
0,75
Câu 2 điểm
a 1,0 điểm
ội ung t ình b y
iểm
0,25
Thay m 1 vào PT f ( x) 0 ta có: x 3x 2 0 (1)
PT(1) có: a b c 1 3 2 0
Vậy PT có hai nghiệm là: 1 và 2.
b) 1,0 điểm
ội ung t ình b y
2
2
1
1
1
Với mọi m ta có: f ( x) x 2 2 m x m m2 1 m
2
2
2
2
1
1
f ( x) x 2 m m 2 1 m
2
2
0,50
0,25
iểm
2
0,25
2
0,25
2
1 3
f ( x) x 2 m m
2 4
Suy ra: để f ( x) ax b m
2
0,25
3
3
. Vậy tồn tại duy nhất giá trị m thỏa mãn yêu cầu.
4
4
0,25
c 1,0 điểm
ội ung t ình b y
3
4
2
x1 x2 2m 1
m 1 2m 1
5
5
P
4 P 2m 1
Khi đó ta có:
(*)
2
2m 1
4
4(2m 1)
2m 1
x1 x2 m 1
f ( x) 0 có 2 nghiệm phân biệt 2m 1 4(m2 1) 0 4m 3 0 m
2
Do m
3
, nên 2m 1 1 , để P
4
phải có: (2m 1) là ước của 5 2m 1 5 m 2
5
4 P 1 . Vậy giá trị m cần tìm bằng 2.
2.2 1
HDC môn Toán HS1 tuyển sinh lớp 10 THPT Chuyên năm học 2011-2012.
Với m 2 thay vào (*) có: 4 P 2.2 1
iểm
0,25
0,25
0,25
0,25
1
Câu 3 2 điểm
a 1,0 điểm:
x
N
P
J
I
Ta có: PAO PMO 900
0,50
PAO PMO 1800 tứ giác APMO nội tiếp
0,50
b 2,0 điểm:
M
K
1
AOM ; OP là phân giác của góc
2
1
AOM AOP AOM
2
ABM AOP (2 góc đồng vị) MB // OP (1)
Ta có ABM
A
O
B
0,25
0,25
Ta có hai tam giác AOP, OBN bằng nhau OP = BN (2)
Từ (1) và (2) OBNP là hình bình hành
0,25
PN // OB hay PJ // AB. Mà ON AB ON PJ.
Ta cũng có: PM OJ I là trực tâm tam giác POJ IJ PO (3)
0,25
0,25
Ta lại có: AONP là hình chữ nhật K là trung điểm của PO và APO NOP
0,25
Mà APO MPO IPO cân tại I.
IK là trung tuyến đồng thời là đường cao IK PO (4)
Từ (3) và (4) I, J, K thẳng hàng
0,25
0,25
Câu 4 (1 điểm
ội ung t ình b y
iểm
Ta có: x y x y 0 x, y 0 Suy ra: a b a b 0 a ab b ab a b 0
2
2
2
2
0,25
a3 b3 ab(a b) (1), dấu ‘=’ xẩy ra a b .
Từ (1) và BĐT AM – GM có: a3 b3 c3 ab(a b) c3 2 abc3 (a b) 3c a b (do abc
9
)
4
a b
a3 b3 c3 3c a b , dấu ‘=’ xẩy ra
(2)
3
ab(a b) c
b c
Tương tự có: a3 b3 c3 3a b c , dấu ‘=’ xẩy ra
(3)
3
bc(b c) a
c a
a3 b3 c3 3b c a , dấu ‘=’ xẩy ra
(4)
3
ca(c a) b
0,25
Vậy:
Từ (2), (3) và (4) có: a3 b3 c3 a b c b c a c a b (5), dấu ‘=’ xẩy ra a b c 0
9
vô lí, do abc , hay ta có đpcm.
4
0,25
0,25
Câu 5 (1 điểm
Nội dung trình bày
Điểm
2
Không mất tính tổng quát ta có thể giả sử x 0, y 0 . Từ phương trình p 1 2 x suy ra p là số
0.25
lẻ. Dễ thấy 0 x y p y x không chia hết cho p (1)
Mặt khác, ta có 2 y 2 2 x2 p 2 p y x y x 0 mod p y x 0 mod p (do (1))
0.25
Do 0 x y p 0 y x 2 p x y p y p x thay vào hệ đã cho ta được
2
2
p 1 2x2
p 4x 1
p 1 2x
p 1 2x
2
2
2
2
2 x 4 x
p 1 2 p x
1 p 4 px p 1 p 4 x 1
Giải hệ này ta được p 7, x 2 thay vào hệ ban đầu ta suy ra y 5 . Vậy p 7.
0.25
0.25
---------------Hết---------------
HDC môn Toán HS1 tuyển sinh lớp 10 THPT Chuyên năm học 2011-2012.
2
